६.१ प्रस्तावना

ही कथा भारतातील एका महान गणिती पंडित, एस. रामानुजन यांच्याबद्दल आहे. एकदा दुसरे प्रसिद्ध गणितज्ञ प्रो. जी.एच. हार्डी त्यांना भेटायला एका टॅक्सीतून आले होते, जिचा नंबर १७२९ होता. रामानुजनशी बोलताना, हार्डी यांनी या संख्येचे वर्णन “एक कंटाळवाणी संख्या” असे केले. रामानुजन यांनी त्वरित सांगितले की १७२९ ही खरोखरच एक मनोरंजक संख्या आहे. त्यांनी सांगितले की ही सर्वात लहान संख्या आहे जी दोन वेगवेगळ्या प्रकारे दोन घनांची बेरीज म्हणून व्यक्त केली जाऊ शकते:

$ \begin{aligned} & 1729=1728+1=12^{3}+1^{3} \\ & 1729=1000+729=10^{3}+9^{3} \end{aligned} $

त्यानंतर १७२९ ही हार्डी - रामानुजन संख्या म्हणून ओळखली जाऊ लागली, जरी १७२९ चे हे वैशिष्ट्य रामानुजन यांच्या जन्मापूर्वी ३०० वर्षांपासून ज्ञात होते.

रामानुजन यांना हे कसे कळले? बरं, त्यांना संख्यांची आवड होती. संपूर्ण

हार्डी - रामानुजन संख्या

१७२९ ही सर्वात लहान हार्डी-रामानुजन संख्या आहे. अशा असंख्य संख्या आहेत. काही आहेत ४१०४ $(2,16 ; 9,15), 13832(18,20$; $2,24)$, कंसात दिलेल्या संख्यांसह ते तपासा. आयुष्यभर, त्यांनी संख्यांसोबत प्रयोग केले. त्यांनी कदाचित अशा संख्या शोधल्या ज्या दोन वर्गांची बेरीज आणि दोन घनांची बेरीज म्हणून देखील व्यक्त केल्या जाऊ शकतात.

घनांचे इतरही अनेक मनोरंजक नमुने आहेत. चला घन, घनमूळ आणि त्यांच्याशी संबंधित इतर अनेक मनोरंजक तथ्यांबद्दल जाणून घेऊया.

६.२ घन

तुम्हाला माहित आहे की ‘घन’ हा शब्द भूमितीमध्ये वापरला जातो. घन ही एक घन आकृती आहे जिच्या सर्व बाजू समान असतात. $1 cm$ बाजू असलेले किती घन $2 cm$ बाजू असलेला एक घन तयार करतील?

$1 cm$ बाजू असलेले किती घन $3 cm$ बाजू असलेला एक घन तयार करतील?

$1,8,27, \ldots$ संख्या विचारात घ्या

आपल्याला दिसते की $1=1 \times 1 \times 1=1^{3} ; 8=2 \times 2 \times 2=2^{3} ; 27=3 \times 3 \times 3=3^{3}$.

$5^{3}=5 \times 5 \times 5=125$ पासून, म्हणून १२५ ही एक घन संख्या आहे.

९ ही घन संख्या आहे का? नाही, कारण $9=3 \times 3$ आणि अशी कोणतीही नैसर्गिक संख्या नाही जिला तीन वेळा घेतल्यास ९ मिळते. आपण हे देखील पाहू शकतो की $2 \times 2 \times 2=8$ आणि $3 \times 3 \times 3=27$. हे दर्शवते की ९ हा परिपूर्ण घन नाही.

खाली १ ते १० पर्यंतच्या संख्यांचे घन दिले आहेत.

सारणी १

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{संख्या ७२९, १०००, १७२८}\\ \text{हे देखील परिपूर्ण घन आहेत.} \\ \hline \end{array} $

१ ते १००० पर्यंत फक्त दहाच परिपूर्ण घन आहेत. (हे तपासा). १ ते १०० पर्यंत किती परिपूर्ण घन आहेत?

सम संख्यांचे घन पाहा. त्या सर्व सम आहेत का? तुम्ही विषम संख्यांच्या घनांबद्दल काय म्हणू शकता?

खाली ११ ते २० पर्यंतच्या संख्यांचे घन दिले आहेत.

सारणी २

एकक स्थानी (किंवा एकक) १ असलेल्या काही संख्या विचारात घ्या. त्यातील प्रत्येकाचे घन शोधा. एकक स्थानी १ असलेल्या संख्येच्या घनाच्या एकक स्थानाबद्दल तुम्ही काय म्हणू शकता?

त्याचप्रमाणे, $2,3,4, \ldots$, इत्यादी ने समाप्त होणाऱ्या संख्यांच्या घनांचे एकक स्थान अन्वेषित करा.

प्रयत्न करा

खालील प्रत्येक संख्येच्या घनाचे एकक स्थान शोधा.

(i) ३३३१ $\quad$ (ii) ८८८८ $\quad$ (iii) १४९ (iv) १००५

(v) १०२४ (vi) ७७ (vii) ५०२२ (viii) ५३

६.२.१ काही मनोरंजक नमुने

१. सलग विषम संख्यांची बेरीज

विषम संख्यांच्या बेरजेचा खालील नमुना पाहा.

$ \begin{aligned} & \\ 3+5 & =1=8 \\ 7+9+11 & =27=1^{3} \\ 13+15+17+19 & =64=3^{3} \\ 21+23+25+27+29 & =125=4^{3} \end{aligned} $

हे मनोरंजक नाही का? $10^{3}$ ची बेरीज मिळवण्यासाठी किती सलग विषम संख्या आवश्यक असतील?

प्रयत्न करा

वरील नमुना वापरून खालील संख्या विषम संख्यांची बेरीज म्हणून व्यक्त करा?

(a) $6^{3}$ $\quad$ (b) $8^{3}$ $\quad$ (c) $7^{3}$

खालील नमुना विचारात घ्या.

$ \begin{aligned} & 2^{3}-1^{3}=1+2 \times 1 \times 3 \\ & 3^{3}-2^{3}=1+3 \times 2 \times 3 \\ & 4^{3}-3^{3}=1+4 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

वरील नमुना वापरून, खालील चे मूल्य शोधा.

(i) $7^{3}-6^{3}$ $\quad$ (ii) $12^{3}-11^{3}$ $\quad$ (iii) $20^{3}-19^{3}$ $\quad$ (iv) $51^{3}-50^{3}$

२. घन आणि त्यांचे मूळ अवयव

खालील संख्यांचे मूळ अवयवीकरण आणि त्यांचे घन विचारात घ्या.

$\begin{array}{cc} \text{संख्येचे मूळ अवयवीकरण} & \text{त्याच्या घनाचे मूळ अवयवीकरण} \\ 4 = 2 \times 2 & 4^3 = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \\ 6 = 2 \times 3 & 6^3=216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \\ 15 = 3 \times 5 & 15^3 = 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 3^3 \times 5^3 \\ 12 = 2 \times 2 \times 3 & 12^3 = 1728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 3^3 \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{प्रत्येक मूळ अवयव}\\ \text{त्याच्या घनामध्ये तीन वेळा}\\ \text{दिसतो} \\ \hline \end{array} $

७२९ हा परिपूर्ण घन आहे का?

होय, ७२९ हा परिपूर्ण घन आहे.

लक्षात घ्या की संख्येचा प्रत्येक मूळ अवयव त्याच्या घनाच्या मूळ अवयवीकरणात तीन वेळा दिसतो.

कोणत्याही संख्येच्या मूळ अवयवीकरणात, जर प्रत्येक अवयव तीन वेळा दिसत असेल, तर ती संख्या परिपूर्ण घन आहे का?

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{तुम्हाला आठवते का}\\ a^m \times b^m = (a \times b)^m \\ \hline \end{array} $

याचा विचार करा. २१६ हा परिपूर्ण घन आहे का?

मूळ अवयवीकरणानुसार, $216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

प्रत्येक अवयव ३ वेळा दिसतो. $216=2^{3} \times 3^{3}=(2 \times 3)^{3}$ $=6^{3}$ जो एक परिपूर्ण घन आहे! $729=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{3 \times 3 \times 3}$

आता ५०० साठी तपासू.

५०० चे मूळ अवयवीकरण $2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$ आहे.

म्हणून, ५०० हा परिपूर्ण घन नाही.

उदाहरण १ : २४३ हा परिपूर्ण घन आहे का?

उकल: $243=\underline{3 \times 3 \times 3} \times 3 \times 3$

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{गुणाकारात तीन}\\ \text{५ आहेत पण}\\ \text{फक्त दोन २ आहेत.}\\ \hline \end{array} $

वरील अवयवीकरणात $3 \times 3$ तिप्पटांमध्ये ३ चे गट केल्यानंतर उरते. म्हणून, २४३ हा परिपूर्ण घन नाही.

प्रयत्न करा

खालीलपैकी कोणते परिपूर्ण घन आहेत?

१. ४००

२. ३३७५

३. ८०००

४. १५६२५

५. ९०००

६. ६८५९

७. २०२५

८. १०६४८

६.२.२ सर्वात लहान गुणक जो परिपूर्ण घन आहे

राजने प्लास्टिसिनचा एक घनाभ तयार केला. घनाभाची लांबी, रुंदी आणि उंची अनुक्रमे $15 cm$, $30 cm, 15 cm$ आहेत.

अनू विचारते की तिला एक परिपूर्ण घन तयार करण्यासाठी अशा किती घनाभांची आवश्यकता असेल? तुम्ही सांगू शकता का?

राज म्हणाला, घनाभाचे घनफळ $15 \times 30 \times 15=3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5$ आहे

$ =2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5} $

मूळ अवयवीकरणात फक्त एकच २ असल्याने. त्यामुळे आपल्याला $2 \times 2$, म्हणजेच ४ ची आवश्यकता आहे त्याला परिपूर्ण घन बनवण्यासाठी. म्हणून, घन बनवण्यासाठी आपल्याला अशा ४ घनाभांची आवश्यकता आहे.

उदाहरण २ : ३९२ हा परिपूर्ण घन आहे का? नसल्यास, ३९२ ला कोणत्या सर्वात लहान नैसर्गिक संख्येने गुणले पाहिजे जेणेकरून गुणाकार हा परिपूर्ण घन असेल?

उकल: $392=\underline{2 \times 2 \times 2} \times 7 \times 7$

मूळ अवयव ७ तिप्पटांच्या गटात दिसत नाही. म्हणून, ३९२ हा परिपूर्ण घन नाही. त्याला घन बनवण्यासाठी, आपल्याला आणखी एक ७ ची आवश्यकता आहे. त्या परिस्थितीत

$ 392 \times 7=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2744 $

म्हणून ३९२ ला परिपूर्ण घन बनवण्यासाठी गुणाकार करावयाची सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या ७ आहे.

उदाहरण ३ : ५३२४० हा परिपूर्ण घन आहे का? नसल्यास, ५३२४० ला कोणत्या सर्वात लहान नैसर्गिक संख्येने भागले पाहिजे जेणेकरून भागाकार हा परिपूर्ण घन असेल?

उकल: $53240=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} \times 5$

मूळ अवयव ५ तिप्पटांच्या गटात दिसत नाही. म्हणून, ५३२४० हा परिपूर्ण घन नाही. अवयवीकरणात ५ फक्त एकदाच दिसतो. जर आपण संख्येला ५ ने भागले, तर भागाकाराच्या मूळ अवयवीकरणात ५ असणार नाही.

म्हणून,

$ 53240 \div 5=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} $

म्हणून ५३२४० ला परिपूर्ण घन बनवण्यासाठी भागावयाची सर्वात लहान संख्या ५ आहे.

त्या परिस्थितीतील परिपूर्ण घन $=10648$ आहे.

उदाहरण ४ : ११८८ हा परिपूर्ण घन आहे का? नसल्यास, ११८८ ला कोणत्या सर्वात लहान नैसर्गिक संख्येने भागले पाहिजे जेणेकरून भागाकार हा परिपूर्ण घन असेल?

उकल: $1188=2 \times 2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times 11$

मूळ अवयव २ आणि ११ तिप्पटांच्या गटात दिसत नाहीत. म्हणून, ११८८ हा परिपूर्ण घन नाही. ११८८ च्या अवयवीकरणात मूळ अवयव २ फक्त दोन वेळा दिसतो आणि मूळ अवयव ११ एकदा दिसतो. म्हणून, जर आपण ११८८ ला $2 \times 2 \times 11=44$ ने भागले, तर भागाकाराच्या मूळ अवयवीकरणात २ आणि ११ असणार नाहीत.

म्हणून ११८८ ला परिपूर्ण घन बनवण्यासाठी भागावयाची सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या ४४ आहे.

आणि परिणामी परिपूर्ण घन $1188 \div 44=27(=3^{3})$ आहे.

उदाहरण ५ : ६८६०० हा परिपूर्ण घन आहे का? नसल्यास, ६८६०० ला कोणत्या सर्वात लहान संख्येने गुणले पाहिजे जेणेकरून परिपूर्ण घन मिळेल?

उकल: आपल्याकडे, $68600=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$ आहे. या अवयवीकरणात, आपल्याला आढळते की ५ चे तिप्पट नाही.

म्हणून, ६८६०० हा परिपूर्ण घन नाही. त्याला परिपूर्ण घन बनवण्यासाठी आपण त्याला ५ ने गुणतो. अशाप्रकारे,

$ \begin{aligned} 68600 \times 5 & =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 \\ & =343000, \text{ जो एक परिपूर्ण घन आहे. } \end{aligned} $

लक्षात घ्या की ३४३ हा एक परिपूर्ण घन आहे. उदाहरण ५ वरून आपल्याला माहित आहे की ३४३००० हा देखील परिपूर्ण घन आहे.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

खालीलपैकी कोणते परिपूर्ण घन आहेत ते तपासा.

(i) २७०० $\quad$ (ii) १६००० $\quad$ (iii) ६४००० $\quad$ (iv) ९००

(v) १२५००० $\quad$ (vi) ३६००० $\quad$ (vii) २१६०० $\quad$(viii) १०,०००

(ix) २७०००००० (x) १०००.

या परिपूर्ण घनांमध्ये तुम्हाला कोणता नमुना दिसतो?

उदाहरणे ६.१

१. खालीलपैकी कोणत्या संख्या परिपूर्ण घन नाहीत?

(i) २१६ $\quad$ (ii) १२८ $\quad$ (iii) १००० $\quad$ (iv) १०० $\quad$

(v) ४६६५६

२. खालील प्रत्येक संख्येला कोणत्या सर्वात लहान संख्येने गुणावे लागेल जेणेकरून परिपूर्ण घन मिळेल?

(i) २४३ $\quad$ (ii) २५६ $\quad$ (iii) ७२ $\quad$ (iv) ६७५ $\quad$

(v) १००

३. खालील प्रत्येक संख्येला कोणत्या सर्वात लहान संख्येने भागावे लागेल जेणेकरून परिपूर्ण घन मिळेल?

(i) ८१ $\quad$ (ii) १२८ $\quad$ (iii) १३५ $\quad$ (iv) १९२ $\quad$

(v) ७०४

४. परीक्षित $5 cm, 2 cm, 5 cm$ बाजू असलेला प्लास्टिसिनचा घनाभ तयार करतो. घन तयार करण्यासाठी त्याला अशा किती घनाभांची आवश्यकता असेल?

६.३ घनमूळ

जर घनाचे घनफळ $125 cm^{3}$ असेल, तर त्याच्या बाजूची लांबी किती असेल? घनाच्या बाजूची लांबी मिळवण्यासाठी, आपल्याला अशी संख्या माहित असणे आवश्यक आहे जिचा घन १२५ असेल.

तुम्हाला माहित आहे की, वर्गमूळ शोधणे हे वर्गीकरणाचे व्यस्त क्रियापद आहे. त्याचप्रमाणे, घनमूळ शोधणे हे घन शोधण्याचे व्यस्त क्रियापद आहे.

आपल्याला माहित आहे की $2^{3}=8$; म्हणून आपण म्हणतो की ८ चे घनमूळ २ आहे.

आपण $\sqrt[3]{8}=2$ लिहितो. चिन्ह $\sqrt[3]{ }$ ‘घनमूळ’ दर्शवते.

खालील विचारात घ्या:

६.३.१ मूळ अवयवीकरण पद्धतीद्वारे घनमूळ

३३७५ विचारात घ्या. आपण त्याचे घनमूळ मूळ अवयवीकरणाने शोधतो:

$ 3375=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5}=3^{3} \times 5^{3}=(3 \times 5)^{3} $

म्हणून, $3375=\sqrt[3]{3375}=3 \times 5=15$ चे घनमूळ

त्याचप्रमाणे, $\sqrt[3]{74088}$ शोधण्यासाठी, आपल्याकडे,

$ 74088=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2^{3} \times 3^{3} \times 7^{3}=(2 \times 3 \times 7)^{3} $

म्हणून, $\sqrt[3]{74088}=2 \times 3 \times 7=42$

उदाहरण ६ : ८००० चे घनमूळ शोधा.

उकल: ८००० चे मूळ अवयवीकरण $\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{5 \times 5 \times 5}$ आहे

म्हणून,

$ \sqrt[3]{8000}=2 \times 2 \times 5=20 $

उदाहरण ७ : मूळ अवयवीकरण पद्धतीने १३८२४ चे घनमूळ शोधा.

उकल:

$ 13824=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3}=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 3^{3} \text{. } $

म्हणून, $\sqrt[3]{13824}=2 \times 2 \times 2 \times 3=24$

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

सत्य किंवा असत्य सांगा: कोणत्याही पूर्णांक $m, m^{2}<m^{3}$ साठी. का?

उदाहरणे ६.२

१. मूळ अवयवीकरण पद्धतीने खालील प्रत्येक संख्येचे घनमूळ शोधा.

(i) ६४ $\quad$ (ii) ५१२ $\quad$ (iii) १०६४८ $\quad$ (iv) २७००० $\quad$ (v) १५६२५

(vi) १३८२४ $\quad$ (ix) १७५६१६ $\quad$ (x) ९११२५ $\quad$ (vii) ११०५९२ $\quad$ (viii) ४६६५६

२. सत्य किंवा असत्य सांगा.

(i) कोणत्याही विषम संख्येचा घन सम असतो.

(ii) परिपूर्ण घन दोन शून्यांनी संपत नाही.

(iii) जर संख्येचा वर्ग ५ ने संपत असेल, तर त्याचा घन २५ ने संपतो.

(iv) ८ ने संपणारा कोणताही परिपूर्ण घन नाही.

(v) दोन अंकी संख्येचा घन तीन अंकी संख्या असू शकतो.

(vi) दोन अंकी संख्येचा घन सात किंवा अधिक अंकी असू शकतो.

(vii) एक अंकी संख्येचा घन एक अंकी संख्या असू शकतो.

आपण काय चर्चा केली?

१. $1729,4104,13832$ सारख्या संख्या, हार्डी - रामानुजन संख्या म्हणून ओळखल्या जातात. त्यांना दोन वेगवेगळ्या प्रकारे दोन घनांची बेरीज म्हणून व्यक्त केले जाऊ शकते.

२. जेव्हा एखाद्या संख्येचा स्वतःशी तीन वेळा गुणाकार केला जातो तेव्हा मिळणाऱ्या संख्यांना घन संख्या म्हणतात. उदाहरणार्थ $1,8,27, \ldots$ इत्यादी.

३. जर कोणत्याही संख्येच्या मूळ अवयवीकरणात प्रत्येक अवयव तीन वेळा दिसत असेल, तर ती संख्या परिपूर्ण घन असते.

४. चिन्ह $\sqrt[3]{ }$ घनमूळ दर्शवते. उदाहरणार्थ $\sqrt[3]{27}=3$.