৬.১ পৰিচয়

এইটো ভাৰতৰ এজন মহান গাণিতিক প্ৰতিভাধৰ ব্যক্তি, শ্ৰীনিবাস ৰামানুজনৰ এটা কাহিনী। এবাৰ আন এজন বিখ্যাত গণিতজ্ঞ প্ৰফেছাৰ জি.এইচ. হাৰ্ডি তেওঁক লগ কৰিবলৈ এখন টেক্সিত আহিছিল যাৰ নম্বৰ আছিল ১৭২৯। ৰামানুজনৰ সৈতে কথা পাতোতে, হাৰ্ডিয়ে এই সংখ্যাটোক “এটা নিস্তেজ সংখ্যা” বুলি বৰ্ণনা কৰিছিল। ৰামানুজনে তৎক্ষণাত কৈছিল যে ১৭২৯ সঁচাকৈয়ে আকৰ্ষণীয়। তেওঁ কৈছিল যে এইটোৱেই হৈছে সৰ্বনিম্ন সংখ্যা যাক দুটা ভিন্ন ধৰণে দুটা ঘনৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি:

$ \begin{aligned} & 1729=1728+1=12^{3}+1^{3} \\ & 1729=1000+729=10^{3}+9^{3} \end{aligned} $

ৰামানুজনৰ আগতেই ৩০০ বছৰৰো অধিক আগৰে পৰা ১৭২৯ৰ এই বৈশিষ্ট্যটো জনা থকা স্বত্বেও, ১৭২৯ক ইয়াৰ পিছৰে পৰা হাৰ্ডি - ৰামানুজন সংখ্যা হিচাপে জনা যায়।

ৰামানুজনে ইয়াক কেনেকৈ জানিলে? হয়, তেওঁ সংখ্যাবোৰ ভাল পাইছিল। সকলো

হাৰ্ডি - ৰামানুজন সংখ্যা

১৭২৯ হৈছে সৰ্বনিম্ন হাৰ্ডি-ৰামানুজন সংখ্যা। এনে সংখ্যা অসীম আছে। কেইটামান হৈছে ৪১০৪ $(2,16 ; 9,15), 13832(18,20$; $2,24)$, বন্ধনীত দিয়া সংখ্যাবোৰৰ সৈতে পৰীক্ষা কৰক। তেওঁৰ জীৱনজুৰি, তেওঁ সংখ্যাৰ সৈতে পৰীক্ষা-নিৰীক্ষা কৰিছিল। তেওঁ সম্ভৱতঃ এনে সংখ্যা বিচাৰি পাইছিল যিবোৰ দুটা বৰ্গৰ যোগফল আৰু দুটা ঘনৰ যোগফল হিচাপেও প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।

ঘনৰ আন বহুতো আকৰ্ষণীয় নমুনা আছে। আহক আমি ঘন, ঘনমূল আৰু ইয়াৰ সৈতে জড়িত আন বহুতো আকৰ্ষণীয় তথ্যৰ বিষয়ে শিকো।

৬.২ ঘন

আপুনি জানে যে ‘ঘন’ শব্দটো জ্যামিতিত ব্যৱহাৰ কৰা হয়। এটা ঘন হৈছে এটা ঘন বস্তু যাৰ সকলো বাহু সমান। $1 cm$ বাহুৰ কিমানটা ঘনে $2 cm$ বাহুৰ এটা ঘন তৈয়াৰ কৰিব?

$1 cm$ বাহুৰ কিমানটা ঘনে $3 cm$ বাহুৰ এটা ঘন তৈয়াৰ কৰিব?

$1,8,27, \ldots$ সংখ্যাবোৰ বিবেচনা কৰক

আমি লক্ষ্য কৰো যে $1=1 \times 1 \times 1=1^{3} ; 8=2 \times 2 \times 2=2^{3} ; 27=3 \times 3 \times 3=3^{3}$।

যিহেতু $5^{3}=5 \times 5 \times 5=125$, সেয়েহে ১২৫ এটা ঘন সংখ্যা।

৯ এটা ঘন সংখ্যা নেকি? নহয়, কাৰণ $9=3 \times 3$ আৰু এনে কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা নাই যাক তিনিবাৰ লৈ পূৰণ কৰিলে ৯ পোৱা যায়। আমি ইয়াও দেখিব পাৰো যে $2 \times 2 \times 2=8$ আৰু $3 \times 3 \times 3=27$। ইয়াই দেখুৱায় যে ৯ এটা পূৰ্ণ ঘন নহয়।

তলত ১ৰ পৰা ১০লৈ সংখ্যাবোৰৰ ঘন দিয়া হৈছে।

তালিকা ১

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{সংখ্যাবোৰ ৭২৯, ১০০০, ১৭২৮}\\ \text{ও পূৰ্ণ ঘন।} \\ \hline \end{array} $

১ৰ পৰা ১০০০লৈ মাত্ৰ দহটা পূৰ্ণ ঘন আছে। (ইয়াক পৰীক্ষা কৰক)। ১ৰ পৰা ১০০লৈ কিমানটা পূৰ্ণ ঘন আছে?

যোৰ সংখ্যাবোৰৰ ঘনবোৰ লক্ষ্য কৰক। সিহঁত সকলোৱে যোৰ নেকি? আপুনি বিজোৰ সংখ্যাবোৰৰ ঘনৰ বিষয়ে কি ক’ব পাৰে?

তলত ১১ৰ পৰা ২০লৈ সংখ্যাবোৰৰ ঘন দিয়া হৈছে।

তালিকা ২

একক স্থানত (বা এককৰ) ১ থকা কেইটামান সংখ্যা বিবেচনা কৰক। সেইবোৰৰ প্ৰতিটোৰ ঘন নিৰ্ণয় কৰক। একক স্থানত ১ থকা সংখ্যা এটাৰ ঘনৰ একক স্থানৰ বিষয়ে আপুনি কি ক’ব পাৰে?

একেদৰে, $2,3,4, \ldots$ আদিত শেষ হোৱা সংখ্যাবোৰৰ ঘনৰ একক স্থান অন্বেষণ কৰক।

চেষ্টা কৰক

তলত দিয়া সংখ্যাবোৰৰ প্ৰতিটোৰ ঘনৰ একক স্থান নিৰ্ণয় কৰক।

(i) ৩৩৩১ $\quad$ (ii) ৮৮৮৮ $\quad$ (iii) ১৪৯ (iv) ১০০৫

(v) ১০২৪ (vi) ৭৭ (vii) ৫০২২ (viii) ৫৩

৬.২.১ কেইটামান আকৰ্ষণীয় নমুনা

১. ক্ৰমিক বিজোৰ সংখ্যা যোগ কৰা

বিজোৰ সংখ্যাৰ যোগফলৰ তলৰ নমুনাটো লক্ষ্য কৰক।

$ \begin{aligned} & \\ 3+5 & =1=8 \\ 7+9+11 & =27=1^{3} \\ 13+15+17+19 & =64=3^{3} \\ 21+23+25+27+29 & =125=4^{3} \end{aligned} $

ইয়াক আকৰ্ষণীয় নহয় নেকি? $10^{3}$ হিচাপে যোগফল পাবলৈ কিমানটা ক্ৰমিক বিজোৰ সংখ্যাৰ প্ৰয়োজন হ’ব?

চেষ্টা কৰক

ওপৰৰ নমুনা ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ সংখ্যাবোৰ বিজোৰ সংখ্যাৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰক?

(a) $6^{3}$ $\quad$ (b) $8^{3}$ $\quad$ (c) $7^{3}$

তলৰ নমুনাটো বিবেচনা কৰক।

$ \begin{aligned} & 2^{3}-1^{3}=1+2 \times 1 \times 3 \\ & 3^{3}-2^{3}=1+3 \times 2 \times 3 \\ & 4^{3}-3^{3}=1+4 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

ওপৰৰ নমুনা ব্যৱহাৰ কৰি, তলৰবোৰৰ মান নিৰ্ণয় কৰক।

(i) $7^{3}-6^{3}$ $\quad$ (ii) $12^{3}-11^{3}$ $\quad$ (iii) $20^{3}-19^{3}$ $\quad$ (iv) $51^{3}-50^{3}$

২. ঘন আৰু ইহঁতৰ মৌলিক উৎপাদক

সংখ্যাবোৰ আৰু ইহঁতৰ ঘনৰ তলৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণবোৰ বিবেচনা কৰক।

$\begin{array}{cc} \text{সংখ্যা এটাৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণ} & \text{ইয়াৰ ঘনৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণ} \\ 4 = 2 \times 2 & 4^3 = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \\ 6 = 2 \times 3 & 6^3=216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \\ 15 = 3 \times 5 & 15^3 = 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 3^3 \times 5^3 \\ 12 = 2 \times 2 \times 3 & 12^3 = 1728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 3^3 \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{প্ৰতিটো মৌলিক উৎপাদক}\\ \text{ইয়াৰ ঘনত তিনিবাৰ}\\ \text{দেখা দিয়ে} \\ \hline \end{array} $

৭২৯ এটা পূৰ্ণ ঘন নেকি?

হয়, ৭২৯ এটা পূৰ্ণ ঘন।

লক্ষ্য কৰক যে সংখ্যা এটাৰ প্ৰতিটো মৌলিক উৎপাদক ইয়াৰ ঘনৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত তিনিবাৰ দেখা দিয়ে।

কোনো সংখ্যাৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত, যদি প্ৰতিটো উৎপাদক তিনিবাৰ দেখা দিয়ে, তেন্তে, সংখ্যাটো পূৰ্ণ ঘন নেকি?

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{আপুনি মনত ৰাখেনে যে}\\ a^m \times b^m = (a \times b)^m \\ \hline \end{array} $

ইয়াৰ বিষয়ে চিন্তা কৰক। ২১৬ এটা পূৰ্ণ ঘন নেকি?

মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ দ্বাৰা, $216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

প্ৰতিটো উৎপাদক ৩ বাৰ দেখা দিছে। $216=2^{3} \times 3^{3}=(2 \times 3)^{3}$ $=6^{3}$ যি এটা পূৰ্ণ ঘন! $729=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{3 \times 3 \times 3}$

এতিয়া ৫০০ৰ বাবে পৰীক্ষা কৰোঁ আহক।

৫০০ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণ হৈছে $2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$।

গতিকে, ৫০০ এটা পূৰ্ণ ঘন নহয়।

উদাহৰণ ১ : ২৪৩ এটা পূৰ্ণ ঘন নেকি?

সমাধান: $243=\underline{3 \times 3 \times 3} \times 3 \times 3$

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{উৎপাদনত তিনিটা}\\ \text{৫ আছে কিন্তু} \\ \text{মাত্ৰ দুটা ২ আছে।} \\ \hline \end{array} $

ওপৰৰ উৎপাদকীকৰণত $3 \times 3$ তিনিটাকৈ গোট বনাওতে বাকী থাকে। সেয়েহে, ২৪৩ এটা পূৰ্ণ ঘন নহয়।

চেষ্টা কৰক

তলৰ কোনবোৰ পূৰ্ণ ঘন?

১. ৪০০

২. ৩৩৭৫

৩. ৮০০০

৪. ১৫৬২৫

৫. ৯০০০

৬. ৬৮৫৯

৭. ২০২৫

৮. ১০৬৪৮

৬.২.২ সৰ্বনিম্ন গুণিতক যিটো পূৰ্ণ ঘন

ৰাজে প্লাষ্টিচিনৰ এটা আয়তঘন তৈয়াৰ কৰিলে। আয়তঘনটোৰ দৈৰ্ঘ্য, প্ৰস্থ আৰু উচ্চতা ক্ৰমে $15 cm$, $30 cm, 15 cm$।

অনুই সুধিলে যে এটা পূৰ্ণ ঘন তৈয়াৰ কৰিবলৈ তেওঁৰ এনে কিমানটা আয়তঘনৰ প্ৰয়োজন হ’ব? আপুনি ক’ব পাৰেনে?

ৰাজে ক’লে, আয়তঘনটোৰ আয়তন হৈছে $15 \times 30 \times 15=3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5$

$ =2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5} $

যিহেতু মৌলিক উৎপাদকীকৰণত মাত্ৰ এটা ২ আছে। গতিকে ইয়াক পূৰ্ণ ঘন কৰিবলৈ আমাক $2 \times 2$, অৰ্থাৎ ৪ৰ প্ৰয়োজন। সেয়েহে, ঘন এটা তৈয়াৰ কৰিবলৈ আমাক ৪টা এনে আয়তঘনৰ প্ৰয়োজন।

উদাহৰণ ২ : ৩৯২ এটা পূৰ্ণ ঘন নেকি? যদি নহয়, তেন্তে সৰ্বনিম্ন স্বাভাৱিক সংখ্যাটো নিৰ্ণয় কৰক যিৰে ৩৯২ক পূৰণ কৰিলে গুণফলটো পূৰ্ণ ঘন হয়।

সমাধান: $392=\underline{2 \times 2 \times 2} \times 7 \times 7$

মৌলিক উৎপাদক ৭ টো তিনিটাকৈ গোটত দেখা নিদিয়ে। সেয়েহে, ৩৯২ এটা পূৰ্ণ ঘন নহয়। ইয়াক ঘন কৰিবলৈ, আমাক আৰু এটা ৭ৰ প্ৰয়োজন। সেই ক্ষেত্ৰত

$ 392 \times 7=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2744 $

গতিকে ৩৯২ক পূৰ্ণ ঘন কৰিবলৈ পূৰণ কৰিবলগীয়া সৰ্বনিম্ন স্বাভাৱিক সংখ্যাটো হৈছে ৭।

উদাহৰণ ৩ : ৫৩২৪০ এটা পূৰ্ণ ঘন নেকি? যদি নহয়, তেন্তে ৫৩২৪০ক কোনটো সৰ্বনিম্ন স্বাভাৱিক সংখ্যাৰে হৰণ কৰিলে ভাগফলটো পূৰ্ণ ঘন হয়?

সমাধান: $53240=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} \times 5$

মৌলিক উৎপাদক ৫ টো তিনিটাকৈ গোটত দেখা নিদিয়ে। গতিকে, ৫৩২৪০ এটা পূৰ্ণ ঘন নহয়। উৎপাদকীকৰণত ৫ মাত্ৰ এবাৰহে দেখা দিছে। যদি আমি সংখ্যাটোক ৫ৰে হৰণ কৰোঁ, তেন্তে ভাগফলটোৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত ৫ নাথাকিব।

গতিকে,

$ 53240 \div 5=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} $

সেয়েহে ইয়াক পূৰ্ণ ঘন কৰিবলৈ ৫৩২৪০ক হৰণ কৰিবলগীয়া সৰ্বনিম্ন সংখ্যাটো হৈছে ৫।

সেই ক্ষেত্ৰত পূৰ্ণ ঘনটো হৈছে $=10648$।

উদাহৰণ ৪ : ১১৮৮ এটা পূৰ্ণ ঘন নেকি? যদি নহয়, তেন্তে ১১৮৮ক কোনটো সৰ্বনিম্ন স্বাভাৱিক সংখ্যাৰে হৰণ কৰিলে ভাগফলটো পূৰ্ণ ঘন হয়?

সমাধান: $1188=2 \times 2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times 11$

মৌলিক উৎপাদক ২ আৰু ১১বোৰ তিনিটাকৈ গোটত দেখা নিদিয়ে। গতিকে, ১১৮৮ এটা পূৰ্ণ ঘন নহয়। ১১৮৮ৰ উৎপাদকীকৰণত মৌলিক ২ মাত্ৰ দুবাৰহে দেখা দিছে আৰু মৌলিক ১১ এবাৰ দেখা দিছে। গতিকে, যদি আমি ১১৮৮ক $2 \times 2 \times 11=44$ৰে হৰণ কৰোঁ, তেন্তে ভাগফলটোৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত ২ আৰু ১১ নাথাকিব।

সেয়েহে ১১৮৮ক পূৰ্ণ ঘন কৰিবলৈ হৰণ কৰিবলগীয়া সৰ্বনিম্ন স্বাভাৱিক সংখ্যাটো হৈছে ৪৪।

আৰু ফলত পোৱা পূৰ্ণ ঘনটো হৈছে $1188 \div 44=27(=3^{3})$।

উদাহৰণ ৫ : ৬৮৬০০ এটা পূৰ্ণ ঘন নেকি? যদি নহয়, তেন্তে ৬৮৬০০ক পূৰণ কৰিবলগীয়া সৰ্বনিম্ন সংখ্যাটো নিৰ্ণয় কৰক যাতে পূৰ্ণ ঘন পোৱা যায়।

সমাধান: আমি পাইছো, $68600=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$। এই উৎপাদকীকৰণত, আমি দেখো যে ৫ৰ কোনো তিনিটাকৈ গোট নাই।

গতিকে, ৬৮৬০০ এটা পূৰ্ণ ঘন নহয়। ইয়াক পূৰ্ণ ঘন কৰিবলৈ আমি ইয়াক ৫ৰে পূৰণ কৰোঁ। এনেদৰে,

$ \begin{aligned} 68600 \times 5 & =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 \\ & =343000, \text{ যি এটা পূৰ্ণ ঘন। } \end{aligned} $

লক্ষ্য কৰক যে ৩৪৩ এটা পূৰ্ণ ঘন। উদাহৰণ ৫ ৰ পৰা আমি জানো যে ৩৪৩০০০ও পূৰ্ণ ঘন।

চিন্তা কৰক, আলোচনা কৰক আৰু লিখক

তলৰ কোনবোৰ পূৰ্ণ ঘন পৰীক্ষা কৰক।

(i) ২৭০০ $\quad$ (ii) ১৬০০০ $\quad$ (iii) ৬৪০০০ $\quad$ (iv) ৯০০

(v) ১২৫০০০ $\quad$ (vi) ৩৬০০০ $\quad$ (vii) ২১৬০০ $\quad$(viii) ১০,০০০

(ix) ২৭০০০০০০ (x) ১০০০।

এই পূৰ্ণ ঘনবোৰত আপুনি কি নমুনা লক্ষ্য কৰে?

অনুশীলনী ৬.১

১. তলৰ কোনবোৰ সংখ্যা পূৰ্ণ ঘন নহয়?

(i) ২১৬ $\quad$ (ii) ১২৮ $\quad$ (iii) ১০০০ $\quad$ (iv) ১০০ $\quad$

(v) ৪৬৬৫৬

২. তলৰ প্ৰতিটো সংখ্যাক পূৰ্ণ ঘন পাবলৈ পূৰণ কৰিবলগীয়া সৰ্বনিম্ন সংখ্যাটো নিৰ্ণয় কৰক।

(i) ২৪৩ $\quad$ (ii) ২৫৬ $\quad$ (iii) ৭২ $\quad$ (iv) ৬৭৫ $\quad$

(v) ১০০

৩. তলৰ প্ৰতিটো সংখ্যাক পূৰ্ণ ঘন পাবলৈ হৰণ কৰিবলগীয়া সৰ্বনিম্ন সংখ্যাটো নিৰ্ণয় কৰক।

(i) ৮১ $\quad$ (ii) ১২৮ $\quad$ (iii) ১৩৫ $\quad$ (iv) ১৯২ $\quad$

(v) ৭০৪

৪. পৰীক্ষিতে $5 cm, 2 cm, 5 cm$ বাহুৰ প্লাষ্টিচিনৰ এটা আয়তঘন তৈয়াৰ কৰে। ঘন এটা গঠন কৰিবলৈ তেওঁৰ এনে কিমানটা আয়তঘনৰ প্ৰয়োজন হ’ব?

৬.৩ ঘনমূল

যদি এটা ঘনৰ আয়তন $125 cm^{3}$ হয়, তেন্তে ইয়াৰ বাহুটোৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান হ’ব? ঘনটোৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য পাবলৈ, আমাক এটা সংখ্যা জানিব লাগিব যাৰ ঘন ১২৫।

আপুনি জানে যে, বৰ্গমূল নিৰ্ণয় কৰাটো হৈছে বৰ্গ কৰাৰ বিপৰীত ক্ৰিয়া। একেদৰে, ঘনমূল নিৰ্ণয় কৰাটো হৈছে ঘন নিৰ্ণয় কৰাৰ বিপৰীত ক্ৰিয়া।

আমি জানো যে $2^{3}=8$; গতিকে আমি কওঁ যে ৮ৰ ঘনমূল হৈছে ২।

আমি লিখো $\sqrt[3]{8}=2$। চিহ্ন $\sqrt[3]{ }$ই ‘ঘনমূল’ সূচায়।

তলৰবোৰ বিবেচনা কৰক:

৬.৩.১ মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে ঘনমূল

৩৩৭৫ বিবেচনা কৰক। আমি ইয়াৰ ঘনমূল মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ দ্বাৰা নিৰ্ণয় কৰো:

$ 3375=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5}=3^{3} \times 5^{3}=(3 \times 5)^{3} $

গতিকে, $3375=\sqrt[3]{3375}=3 \times 5=15$ৰ ঘনমূল

একেদৰে, $\sqrt[3]{74088}$ নিৰ্ণয় কৰিবলৈ, আমি পাইছো,

$ 74088=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2^{3} \times 3^{3} \times 7^{3}=(2 \times 3 \times 7)^{3} $

গতিকে, $\sqrt[3]{74088}=2 \times 3 \times 7=42$

উদাহৰণ ৬ : ৮০০০ৰ ঘনমূল নিৰ্ণয় কৰক।

সমাধান: ৮০০০ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণ হৈছে $\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{5 \times 5 \times 5}$

গতিকে,

$ \sqrt[3]{8000}=2 \times 2 \times 5=20 $

উদাহৰণ ৭ : মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে ১৩৮২৪ৰ ঘনমূল নিৰ্ণয় কৰক।

সমাধান:

$ 13824=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3}=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 3^{3} \text{. } $

গতিকে, $\sqrt[3]{13824}=2 \times 2 \times 2 \times 3=24$

চিন্তা কৰক, আলোচনা কৰক আৰু লিখক

সত্য নে অসত্য কৈ দিয়ক: যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা $m, m^{2}<m^{3}$ৰ বাবে। কিয়?

অনুশীলনী ৬.২

১. মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ প্ৰতিটো সংখ্যাৰ ঘনমূল নিৰ্ণয় কৰক।

(i) ৬৪ $\quad$ (ii) ৫১২ $\quad$ (iii) ১০৬৪৮ $\quad$ (iv) ২৭০০০ $\quad$ (v) ১৫৬২৫

(vi) ১৩৮২৪ $\quad$ (ix) ১৭৫৬১৬ $\quad$ (x) ৯১১২৫ $\quad$ (vii) ১১০৫৯২ $\quad$ (viii) ৪৬৬৫৬

২. সত্য নে অসত্য কৈ দিয়ক।

(i) যিকোনো বিজোৰ সংখ্যাৰ ঘন যোৰ।

(ii) এটা পূৰ্ণ ঘন দুটা শূন্যৰে শেষ নহয়।

(iii) যদি সংখ্যা এটাৰ বৰ্গ ৫ৰে শেষ হয়, তেন্তে ইয়াৰ ঘন ২৫ৰে শেষ হয়।

(iv) ৮ৰে শেষ হোৱা কোনো পূৰ্ণ ঘন নাই।

(v) দুটা অংকৰ সংখ্যা এটাৰ ঘন তিনিটা অংকৰ সংখ্যা হ’ব পাৰে।

(vi) দুটা অংকৰ সংখ্যা এটাৰ ঘনৰ সাতটা বা ততোধিক অংক থাকিব পাৰে।

(vii) এটা অংকৰ সংখ্যা এটাৰ ঘন এটা অংকৰ সংখ্যা হ’ব পাৰে।

আমি কি আলোচনা কৰিলো?

১. $1729,4104,13832$ আদি সংখ্যাবোৰ হাৰ্ডি - ৰামানুজন সংখ্যা হিচাপে জনা যায়। ইহঁতক দুটা ভিন্ন ধৰণে দুটা ঘনৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।

২. যেতিয়া সংখ্যা এটাক নিজৰে সৈতে তিনিবাৰ পূৰণ কৰা হয় তেতিয়া পোৱা সংখ্যাবোৰক ঘন সংখ্যা বোলা হয়। উদাহৰণস্বৰূপে $1,8,27, \ldots$ আদি।

৩. যদি কোনো সংখ্যাৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত প্ৰতিটো উৎপাদক তিনিবাৰ দেখা দিয়ে, তেন্তে সংখ্যাটো পূৰ্ণ ঘন।

৪. চিহ্ন $\sqrt[3]{ }$ই ঘনমূল সূচায়। উদাহৰণস্বৰূপে $\sqrt[3]{27}=3$।