6.1 પ્રસ્તાવના

આ એક વાર્તા છે ભારતના મહાન ગાણિતિક પ્રતિભાશાળી, એસ. રામાનુજનની. એક વાર બીજા પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રી પ્રોફેસર જી.એચ. હાર્ડી તેમની મુલાકાતે એક ટેક્સીમાં આવ્યા જેનો નંબર 1729 હતો. રામાનુજન સાથે વાત કરતી વખતે, હાર્ડીએ આ સંખ્યાને “એક નીરસ સંખ્યા” કહી. રામાનુજને તરત જ નોંધ્યું કે 1729 ખરેખર રસપ્રદ છે. તેમણે કહ્યું કે તે સૌથી નાની સંખ્યા છે જેને બે જુદી જુદી રીતે બે સંખ્યાઓના ઘનના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે:

$ \begin{aligned} & 1729=1728+1=12^{3}+1^{3} \\ & 1729=1000+729=10^{3}+9^{3} \end{aligned} $

ત્યારથી 1729 હાર્ડી - રામાનુજન સંખ્યા તરીકે ઓળખાય છે, ભલેને રામાનુજન પહેલાં 300 વર્ષથી પણ વધુ સમય પહેલાં 1729ની આ લાક્ષણિકતા જાણીતી હતી.

રામાનુજને આ કેવી રીતે જાણ્યું? સારું, તેમને સંખ્યાઓ ખૂબ ગમતી. બધી

હાર્ડી - રામાનુજન સંખ્યા

1729 સૌથી નાની હાર્ડી-રામાનુજન સંખ્યા છે. આવી અનંત સંખ્યાઓ છે. થોડીક છે 4104 $(2,16 ; 9,15), 13832(18,20$; $2,24)$, કૌંસમાં આપેલી સંખ્યાઓ સાથે તે તપાસો. તેમના જીવન દરમિયાન, તેમણે સંખ્યાઓ સાથે પ્રયોગો કર્યા. તેમણે કદાચ એવી સંખ્યાઓ શોધી હશે જેને બે વર્ગોના સરવાળા અને બે ઘનોના સરવાળા તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે.

ઘનોના અન્ય ઘણા રસપ્રદ નમૂનાઓ છે. ચાલો આપણે ઘન, ઘનમૂળ અને તેનાથી સંબંધિત અન્ય ઘણી રસપ્રદ હકીકતો વિશે જાણીએ.

6.2 ઘન

તમે જાણો છો કે શબ્દ ‘ઘન’ ભૂમિતિમાં વપરાય છે. ઘન એક ઘન આકૃતિ છે જેની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે. $1 cm$ બાજુવાળા કેટલા ઘનો $2 cm$ બાજુવાળો ઘન બનાવશે?

$1 cm$ બાજુવાળા કેટલા ઘનો $3 cm$ બાજુવાળો ઘન બનાવશે?

સંખ્યાઓ $1,8,27, \ldots$ ધ્યાનમાં લો

આપણે નોંધીએ છીએ કે $1=1 \times 1 \times 1=1^{3} ; 8=2 \times 2 \times 2=2^{3} ; 27=3 \times 3 \times 3=3^{3}$.

કારણ કે $5^{3}=5 \times 5 \times 5=125$, તેથી 125 એક ઘન સંખ્યા છે.

શું 9 એ ઘન સંખ્યા છે? ના, કારણ કે $9=3 \times 3$ અને એવી કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી જેને ત્રણ વાર લેવાથી 9 મળે. આપણે એ પણ જોઈ શકીએ છીએ કે $2 \times 2 \times 2=8$ અને $3 \times 3 \times 3=27$. આ દર્શાવે છે કે 9 એક પરિપૂર્ણ ઘન નથી.

1 થી 10 સુધીની સંખ્યાઓના ઘન નીચે મુજબ છે.

કોષ્ટક 1

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{સંખ્યાઓ 729, 1000, 1728}\\ \text{પણ પરિપૂર્ણ ઘન છે.} \\ \hline \end{array} $

1 થી 1000 સુધી માત્ર દસ જ પરિપૂર્ણ ઘન છે. (આ તપાસો). 1 થી 100 સુધી કેટલા પરિપૂર્ણ ઘન છે?

સમ સંખ્યાઓના ઘન જુઓ. શું તે બધા સમ છે? તમે વિષમ સંખ્યાઓના ઘન વિશે શું કહી શકો?

11 થી 20 સુધીની સંખ્યાઓના ઘન નીચે મુજબ છે.

કોષ્ટક 2

એવી થોડીક સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લો જેમનો એકમનો અંક 1 છે. તેમાંથી દરેકનો ઘન શોધો. એકમનો અંક 1 હોય તેવી સંખ્યાના ઘનનો એકમનો અંક વિશે તમે શું કહી શકો?

એ જ રીતે, $2,3,4, \ldots$, વગેરેમાં અંત થતી સંખ્યાઓના ઘનના એકમના અંકની શોધખોળ કરો.

પ્રયાસ કરો

નીચેની દરેક સંખ્યાના ઘનનો એકમનો અંક શોધો.

(i) 3331 $\quad$ (ii) 8888 $\quad$ (iii) 149 (iv) 1005

(v) 1024 (vi) 77 (vii) 5022 (viii) 53

6.2.1 કેટલાક રસપ્રદ નમૂનાઓ

1. સળંગ વિષમ સંખ્યાઓનો સરવાળો

વિષમ સંખ્યાઓના સરવાળાના નીચેના નમૂનાને જુઓ.

$ \begin{aligned} & \\ 3+5 & =1=8 \\ 7+9+11 & =27=1^{3} \\ 13+15+17+19 & =64=3^{3} \\ 21+23+25+27+29 & =125=4^{3} \end{aligned} $

શું તે રસપ્રદ નથી? $10^{3}$ ની રકમ તરીકે મેળવવા માટે કેટલી સળંગ વિષમ સંખ્યાઓની જરૂર પડશે?

પ્રયાસ કરો

ઉપરના નમૂનાનો ઉપયોગ કરીને નીચેની સંખ્યાઓને વિષમ સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવો?

(a) $6^{3}$ $\quad$ (b) $8^{3}$ $\quad$ (c) $7^{3}$

નીચેના નમૂનાને ધ્યાનમાં લો.

$ \begin{aligned} & 2^{3}-1^{3}=1+2 \times 1 \times 3 \\ & 3^{3}-2^{3}=1+3 \times 2 \times 3 \\ & 4^{3}-3^{3}=1+4 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

ઉપરના નમૂનાનો ઉપયોગ કરીને, નીચેનાનું મૂલ્ય શોધો.

(i) $7^{3}-6^{3}$ $\quad$ (ii) $12^{3}-11^{3}$ $\quad$ (iii) $20^{3}-19^{3}$ $\quad$ (iv) $51^{3}-50^{3}$

2. ઘન અને તેમના અવયવી અવયવો

સંખ્યાઓ અને તેમના ઘનના નીચેના અવયવી અવયવીકરણને ધ્યાનમાં લો.

$\begin{array}{cc} \text{સંખ્યાનું અવયવી અવયવીકરણ} & \text{તેના ઘનનું અવયવી અવયવીકરણ} \\ 4 = 2 \times 2 & 4^3 = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \\ 6 = 2 \times 3 & 6^3=216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \\ 15 = 3 \times 5 & 15^3 = 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 3^3 \times 5^3 \\ 12 = 2 \times 2 \times 3 & 12^3 = 1728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 3^3 \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{દરેક અવયવી અવયવ}\\ \text{તેના ઘનમાં ત્રણ વાર}\\ \text{દેખાય છે} \\ \hline \end{array} $

શું 729 એક પરિપૂર્ણ ઘન છે?

હા, 729 એક પરિપૂર્ણ ઘન છે.

નોંધો કે સંખ્યાનો દરેક અવયવી અવયવ તેના ઘનના અવયવી અવયવીકરણમાં ત્રણ વાર દેખાય છે.

કોઈપણ સંખ્યાના અવયવી અવયવીકરણમાં, જો દરેક અવયવ ત્રણ વાર દેખાય, તો શું તે સંખ્યા પરિપૂર્ણ ઘન છે?

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{શું તમને યાદ છે કે}\\ a^m \times b^m = (a \times b)^m \\ \hline \end{array} $

આ વિશે વિચારો. શું 216 એક પરિપૂર્ણ ઘન છે?

અવયવી અવયવીકરણ દ્વારા, $216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

દરેક અવયવ 3 વાર દેખાય છે. $216=2^{3} \times 3^{3}=(2 \times 3)^{3}$ $=6^{3}$ જે એક પરિપૂર્ણ ઘન છે! $729=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{3 \times 3 \times 3}$

હવે ચાલો 500 માટે તપાસ કરીએ.

500 નું અવયવી અવયવીકરણ $2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$ છે.

તેથી, 500 એક પરિપૂર્ણ ઘન નથી.

ઉદાહરણ 1 : શું 243 એક પરિપૂર્ણ ઘન છે?

ઉકેલ: $243=\underline{3 \times 3 \times 3} \times 3 \times 3$

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ગુણાકારમાં ત્રણ }\\ \text{5 છે પરંતુ } \\ \text{માત્ર બે 2 છે. } \\ \hline \end{array} $

ઉપરના અવયવીકરણમાં $3 \times 3$ ત્રિપુટીઓમાં 3 ને જૂથબદ્ધ કર્યા પછી બાકી રહે છે. તેથી, 243 એક પરિપૂર્ણ ઘન નથી.

પ્રયાસ કરો

નીચેનામાંથી કઈ પરિપૂર્ણ ઘન છે?

1. 400

2. 3375

3. 8000

4. 15625

5. 9000

6. 6859

7. 2025

8. 10648

6.2.2 સૌથી નાનો ગુણિત જે પરિપૂર્ણ ઘન છે

રાજે પ્લાસ્ટિક લીનમાંથી એક ઘનાકાર બનાવ્યો. ઘનાકારની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ અનુક્રમે $15 cm$, $30 cm, 15 cm$ છે.

અનુ પૂછે છે કે એક પરિપૂર્ણ ઘન બનાવવા માટે તેને આવા કેટલા ઘનાકારોની જરૂર પડશે? શું તમે કહી શકો છો?

રાજે કહ્યું, ઘનાકારનું ઘનફળ $15 \times 30 \times 15=3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5$ છે

$ =2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5} $

કારણ કે અવયવી અવયવીકરણમાં માત્ર એક જ 2 છે. તેથી આપણને $2 \times 2$, એટલે કે, 4 ની જરૂર છે તેને પરિપૂર્ણ ઘન બનાવવા માટે. તેથી, ઘન બનાવવા માટે આપણને 4 આવા ઘનાકારોની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 2 : શું 392 એક પરિપૂર્ણ ઘન છે? જો ના હોય, તો 392 ને કઈ સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા વડે ગુણવામાં આવે કે જેથી ગુણાકાર પરિપૂર્ણ ઘન બને?

ઉકેલ: $392=\underline{2 \times 2 \times 2} \times 7 \times 7$

અવયવી અવયવ 7 ત્રણના જૂથમાં દેખાતો નથી. તેથી, 392 એક પરિપૂર્ણ ઘન નથી. તેને ઘન બનાવવા માટે, આપણને એક વધુ 7 ની જરૂર છે. તે કિસ્સામાં

$ 392 \times 7=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2744 $

તેથી 392 ને પરિપૂર્ણ ઘન બનાવવા માટે જે સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા વડે ગુણવી જોઈએ તે 7 છે.

ઉદાહરણ 3 : શું 53240 એક પરિપૂર્ણ ઘન છે? જો ના હોય, તો 53240 ને કઈ સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવે કે જેથી ભાગફળ પરિપૂર્ણ ઘન બને?

ઉકેલ: $53240=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} \times 5$

અવયવી અવયવ 5 ત્રણના જૂથમાં દેખાતો નથી. તેથી, 53240 એક પરિપૂર્ણ ઘન નથી. અવયવીકરણમાં 5 માત્ર એક જ વાર દેખાય છે. જો આપણે સંખ્યાને 5 વડે ભાગીએ, તો ભાગફળનું અવયવી અવયવીકરણમાં 5 હશે નહીં.

તેથી,

$ 53240 \div 5=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} $

તેથી 53240 ને પરિપૂર્ણ ઘન બનાવવા માટે જે સૌથી નાની સંખ્યા વડે ભાગવી જોઈએ તે 5 છે.

તે કિસ્સામાં પરિપૂર્ણ ઘન $=10648$ છે.

ઉદાહરણ 4 : શું 1188 એક પરિપૂર્ણ ઘન છે? જો ના હોય, તો 1188 ને કઈ સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવે કે જેથી ભાગફળ પરિપૂર્ણ ઘન બને?

ઉકેલ: $1188=2 \times 2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times 11$

અવયવી અવયવો 2 અને 11 ત્રણના જૂથમાં દેખાતા નથી. તેથી, 1188 એક પરિપૂર્ણ ઘન નથી. 1188 ના અવયવીકરણમાં અવયવી અવયવ 2 માત્ર બે વાર દેખાય છે અને અવયવી અવયવ 11 એક વાર દેખાય છે. તેથી, જો આપણે 1188 ને $2 \times 2 \times 11=44$ વડે ભાગીએ, તો ભાગફળના અવયવી અવયવીકરણમાં 2 અને 11 હશે નહીં.

તેથી 1188 ને પરિપૂર્ણ ઘન બનાવવા માટે જે સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા વડે ભાગવી જોઈએ તે 44 છે.

અને પરિણામી પરિપૂર્ણ ઘન $1188 \div 44=27(=3^{3})$ છે.

ઉદાહરણ 5 : શું 68600 એક પરિપૂર્ણ ઘન છે? જો ના હોય, તો 68600 ને કઈ સૌથી નાની સંખ્યા વડે ગુણવામાં આવે કે જેથી પરિપૂર્ણ ઘન મળે?

ઉકેલ: આપણી પાસે, $68600=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$. આ અવયવીકરણમાં, આપણે જોઈએ છીએ કે 5 નું કોઈ ત્રિપુટી નથી.

તેથી, 68600 એક પરિપૂર્ણ ઘન નથી. તેને પરિપૂર્ણ ઘન બનાવવા માટે આપણે તેને 5 વડે ગુણીએ છીએ. આમ,

$ \begin{aligned} 68600 \times 5 & =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 \\ & =343000, \text{ જે એક પરિપૂર્ણ ઘન છે. } \end{aligned} $

નોંધો કે 343 એક પરિપૂર્ણ ઘન છે. ઉદાહરણ 5 માંથી આપણે જાણીએ છીએ કે 343000 પણ પરિપૂર્ણ ઘન છે.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

નીચેનામાંથી કઈ પરિપૂર્ણ ઘન છે તે તપાસો.

(i) 2700 $\quad$ (ii) 16000 $\quad$ (iii) 64000 $\quad$ (iv) 900

(v) 125000 $\quad$ (vi) 36000 $\quad$ (vii) 21600 $\quad$(viii) 10,000

(ix) 27000000 (x) 1000.

આ પરિપૂર્ણ ઘનોમાં તમે કયો નમૂનો જોઈ શકો છો?

કસરત 6.1

1. નીચેનામાંથી કઈ સંખ્યાઓ પરિપૂર્ણ ઘન નથી?

(i) 216 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 1000 $\quad$ (iv) 100 $\quad$

(v) 46656

2. નીચેની દરેક સંખ્યાને કઈ સૌથી નાની સંખ્યા વડે ગુણવામાં આવે કે જેથી પરિપૂર્ણ ઘન મળે?

(i) 243 $\quad$ (ii) 256 $\quad$ (iii) 72 $\quad$ (iv) 675 $\quad$

(v) 100

3. નીચેની દરેક સંખ્યાને કઈ સૌથી નાની સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવે કે જેથી પરિપૂર્ણ ઘન મળે?

(i) 81 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 135 $\quad$ (iv) 192 $\quad$

(v) 704

4. પરિક્ષિત $5 cm, 2 cm, 5 cm$ બાજુઓવાળો પ્લાસ્ટિક લીનનો ઘનાકાર બનાવે છે. ઘન બનાવવા માટે તેને આવા કેટલા ઘનાકારોની જરૂર પડશે?

6.3 ઘનમૂળ

જો ઘનનું ઘનફળ $125 cm^{3}$ હોય, તો તેની બાજુની લંબાઈ કેટલી હશે? ઘનની બાજુની લંબાઈ મેળવવા માટે, આપણે એવી સંખ્યા જાણવાની જરૂર છે જેનો ઘન 125 હોય.

તમે જાણો છો તેમ, વર્ગમૂળ શોધવું એ વર્ગ કરવાની વ્યસ્ત ક્રિયા છે. એ જ રીતે, ઘનમૂળ શોધવું એ ઘન શોધવાની વ્યસ્ત ક્રિયા છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે $2^{3}=8$; તેથી આપણે કહીએ છીએ કે 8 નું ઘનમૂળ 2 છે.

આપણે $\sqrt[3]{8}=2$ લખીએ છીએ. ચિહ્ન $\sqrt[3]{ }$ ‘ઘનમૂળ’ દર્શાવે છે.

નીચેનાને ધ્યાનમાં લો:

6.3.1 અવયવી અવયવીકરણ પદ્ધતિ દ્વારા ઘનમૂળ

3375 ને ધ્યાનમાં લો. આપણે તેનું ઘનમૂળ અવયવી અવયવીકરણ દ્વારા શોધીએ:

$ 3375=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5}=3^{3} \times 5^{3}=(3 \times 5)^{3} $

તેથી, $3375=\sqrt[3]{3375}=3 \times 5=15$ નું ઘનમૂળ

એ જ રીતે, $\sqrt[3]{74088}$ શોધવા માટે, આપણી પાસે,

$ 74088=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2^{3} \times 3^{3} \times 7^{3}=(2 \times 3 \times 7)^{3} $

તેથી, $\sqrt[3]{74088}=2 \times 3 \times 7=42$

ઉદાહરણ 6 : 8000 નું ઘનમૂળ શોધો.

ઉકેલ: 8000 નું અવયવી અવયવીકરણ $\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{5 \times 5 \times 5}$ છે

તેથી,

$ \sqrt[3]{8000}=2 \times 2 \times 5=20 $

ઉદાહરણ 7 : અવયવી અવયવીકરણ પદ્ધતિ દ્વારા 13824 નું ઘનમૂળ શોધો.

ઉકેલ:

$ 13824=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3}=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 3^{3} \text{. } $

તેથી, $\sqrt[3]{13824}=2 \times 2 \times 2 \times 3=24$

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

સત્ય કે અસત્ય જણાવો: કોઈપણ પૂર્ણાંક $m, m^{2}<m^{3}$ માટે. શા માટે?

કસરત 6.2

1. અવયવી અવયવીકરણ પદ્ધતિ દ્વારા નીચેની દરેક સંખ્યાનું ઘનમૂળ શોધો.

(i) 64 $\quad$ (ii) 512 $\quad$ (iii) 10648 $\quad$ (iv) 27000 $\quad$ (v) 15625

(vi) 13824 $\quad$ (ix) 175616 $\quad$ (x) 91125 $\quad$ (vii) 110592 $\quad$ (viii) 46656

2. સત્ય કે અસત્ય જણાવો.

(i) કોઈપણ વિષમ સંખ્યાનો ઘન સમ હોય છે.

(ii) પરિપૂર્ણ ઘન બે શૂન્ય સાથે અંત થતો નથી.

(iii) જો સંખ્યાનો વર્ગ 5 સાથે અંત થાય, તો તેનો ઘન 25 સાથે અંત થાય છે.

(iv) એવું કોઈ પરિપૂર્ણ ઘન નથી જે 8 સાથે અંત થાય.

(v) બે અંકની સંખ્યાનો ઘન ત્રણ અંકની સંખ્યા હોઈ શકે છે.

(vi) બે અંકની સંખ્યાનો ઘન સાત અથવા વધુ અંકોની સંખ્યા હોઈ શકે છે.

(vii) એક અંકની સંખ્યાનો ઘન એક અંકની સંખ્યા હોઈ શકે છે.

આપણે શું ચર્ચા કરી?

1. $1729,4104,13832$ જેવી સંખ્યાઓ, હાર્ડી - રામાનુજન સંખ્યાઓ તરીકે ઓળખાય છે. તેમને બે જુદી જુદી રીતે બે ઘનોના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

2. જ્યારે કોઈ સંખ્યાને તેની જ સાથે ત્રણ વાર ગુણવામાં આવે ત્યારે મળતી સંખ્યાઓ ઘન સંખ્યાઓ તરીકે ઓળખાય છે. ઉદાહરણ તરીકે $1,8,27, \ldots$ વગેરે.

3. જો કોઈ સંખ્યાના અ