6.1 ആമുഖം

ഇന്ത്യയിലെ മഹാനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ എസ്. രാമാനുജന്റെ ഒരു കഥയാണിത്. ഒരിക്കൽ മറ്റൊരു പ്രശസ്ത ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പ്രൊഫ. ജി.എച്ച്. ഹാർഡി അദ്ദേഹത്തെ സന്ദർശിക്കാൻ 1729 നമ്പറുള്ള ഒരു ടാക്സിയിൽ എത്തി. രാമാനുജനുമായി സംസാരിക്കുമ്പോൾ, ഹാർഡി ഈ സംഖ്യയെ “ഒരു മന്ദബുദ്ധിയുള്ള സംഖ്യ” എന്ന് വിശേഷിപ്പിച്ചു. രാമാനുജൻ വേഗത്തിൽ 1729 യഥാർത്ഥത്തിൽ രസകരമാണെന്ന് ചൂണ്ടിക്കാട്ടി. രണ്ട് വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ രണ്ട് ഘനങ്ങളുടെ തുകയായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയാണിതെന്ന് അദ്ദേഹം പറഞ്ഞു:

$ \begin{aligned} & 1729=1728+1=12^{3}+1^{3} \\ & 1729=1000+729=10^{3}+9^{3} \end{aligned} $

അതിനുശേഷം 1729 ഹാർഡി - രാമാനുജൻ നമ്പർ എന്നറിയപ്പെടുന്നു, രാമാനുജന് 300 വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പുതന്നെ 1729 ന്റെ ഈ സവിശേഷത അറിയാമായിരുന്നുവെങ്കിലും.

രാമാനുജന് ഇത് എങ്ങനെ അറിയാമായിരുന്നു? അദ്ദേഹം സംഖ്യകളെ സ്നേഹിച്ചു. എല്ലാം

ഹാർഡി - രാമാനുജൻ നമ്പർ

1729 ആണ് ഏറ്റവും ചെറിയ ഹാർഡിരാമാനുജൻ നമ്പർ. അങ്ങനെയുള്ള അനന്തമായ നിരവധി സംഖ്യകൾ ഉണ്ട്. കുറച്ച് 4104 $(2,16 ; 9,15), 13832(18,20$; $2,24)$, ബ്രാക്കറ്റിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കുക. തന്റെ ജീവിതം മുഴുവൻ, അദ്ദേഹം സംഖ്യകളുമായി പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തി. രണ്ട് വർഗ്ഗങ്ങളുടെയും രണ്ട് ഘനങ്ങളുടെയും തുകയായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യകളും അദ്ദേഹം കണ്ടെത്തിയിരിക്കാം.

ഘനങ്ങളുടെ മറ്റ് പല രസകരമായ രീതികളും ഉണ്ട്. ഘനങ്ങൾ, ഘനമൂലങ്ങൾ, അവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മറ്റ് പല രസകരമായ വസ്തുതകളെക്കുറിച്ചും നമുക്ക് പഠിക്കാം.

6.2 ഘനങ്ങൾ

ജ്യാമിതിയിൽ ‘ക്യൂബ്’ എന്ന വാക്ക് ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം. എല്ലാ വശങ്ങളും തുല്യമായ ഒരു ഖരരൂപമാണ് ക്യൂബ്. $1 cm$ വശമുള്ള എത്ര ക്യൂബുകൾ $2 cm$ വശമുള്ള ഒരു ക്യൂബ് ഉണ്ടാക്കും?

$1 cm$ വശമുള്ള എത്ര ക്യൂബുകൾ $3 cm$ വശമുള്ള ഒരു ക്യൂബ് ഉണ്ടാക്കും?

$1,8,27, \ldots$ എന്ന സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുക

$1=1 \times 1 \times 1=1^{3} ; 8=2 \times 2 \times 2=2^{3} ; 27=3 \times 3 \times 3=3^{3}$ എന്ന് നമ്മൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

$5^{3}=5 \times 5 \times 5=125$ ആയതിനാൽ, 125 ഒരു ഘനസംഖ്യയാണ്.

9 ഒരു ഘനസംഖ്യയാണോ? അല്ല, $9=3 \times 3$ കൂടാതെ മൂന്ന് തവണ എടുത്ത് ഗുണിച്ചാൽ 9 നൽകുന്ന ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയില്ല. $2 \times 2 \times 2=8$ ഉം $3 \times 3 \times 3=27$ ഉം എന്നും നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും. ഇത് 9 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമല്ലെന്ന് കാണിക്കുന്നു.

1 മുതൽ 10 വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ ഘനങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്.

പട്ടിക 1

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{729, 1000, 1728 എന്നീ സംഖ്യകളും}\\ \text{പൂർണ്ണ ഘനങ്ങളാണ്.} \\ \hline \end{array} $

1 മുതൽ 1000 വരെ പത്ത് പൂർണ്ണ ഘനങ്ങൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ. (ഇത് പരിശോധിക്കുക). 1 മുതൽ 100 വരെ എത്ര പൂർണ്ണ ഘനങ്ങൾ ഉണ്ട്?

ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ ഘനങ്ങൾ നിരീക്ഷിക്കുക. അവയെല്ലാം ഇരട്ടയാണോ? ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ഘനങ്ങളെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് പറയാൻ കഴിയും?

11 മുതൽ 20 വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ ഘനങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്.

പട്ടിക 2

ഒന്നിന്റെ അക്കം (അല്ലെങ്കിൽ യൂണിറ്റ്) 1 ആയ കുറച്ച് സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുക. അവയിൽ ഓരോന്നിന്റെയും ഘനം കണ്ടെത്തുക. ഒന്നിന്റെ അക്കം 1 ആയ ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘനത്തിന്റെ ഒന്നിന്റെ അക്കത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് പറയാൻ കഴിയും?

അതുപോലെ, $2,3,4, \ldots$, മുതലായവ. അവസാനിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഘനങ്ങളുടെ ഒന്നിന്റെ അക്കം പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക.

ഇവ ശ്രമിക്കുക

ഇനിപ്പറയുന്ന ഓരോ സംഖ്യയുടെയും ഘനത്തിന്റെ ഒന്നിന്റെ അക്കം കണ്ടെത്തുക.

(i) 3331 $\quad$ (ii) 8888 $\quad$ (iii) 149 (iv) 1005

(v) 1024 (vi) 77 (vii) 5022 (viii) 53

6.2.1 ചില രസകരമായ രീതികൾ

1. തുടർച്ചയായ ഒറ്റ സംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നു

ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതി നിരീക്ഷിക്കുക.

$ \begin{aligned} & \\ 3+5 & =1=8 \\ 7+9+11 & =27=1^{3} \\ 13+15+17+19 & =64=3^{3} \\ 21+23+25+27+29 & =125=4^{3} \end{aligned} $

ഇത് രസകരമല്ലേ? $10^{3}$ എന്ന തുക ലഭിക്കാൻ എത്ര തുടർച്ചയായ ഒറ്റ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണ്?

ഇവ ശ്രമിക്കുക

മുകളിലെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യകളെ ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ തുകയായി പ്രകടിപ്പിക്കുക?

(a) $6^{3}$ $\quad$ (b) $8^{3}$ $\quad$ (c) $7^{3}$

ഇനിപ്പറയുന്ന രീതി പരിഗണിക്കുക.

$ \begin{aligned} & 2^{3}-1^{3}=1+2 \times 1 \times 3 \\ & 3^{3}-2^{3}=1+3 \times 2 \times 3 \\ & 4^{3}-3^{3}=1+4 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

മുകളിലെ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്നവയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

(i) $7^{3}-6^{3}$ $\quad$ (ii) $12^{3}-11^{3}$ $\quad$ (iii) $20^{3}-19^{3}$ $\quad$ (iv) $51^{3}-50^{3}$

2. ഘനങ്ങളും അവയുടെ അഭാജ്യ ഘടകങ്ങളും

സംഖ്യകളുടെയും അവയുടെ ഘനങ്ങളുടെയും ഇനിപ്പറയുന്ന അഭാജ്യ ഘടകവൽക്കരണം പരിഗണിക്കുക.

$\begin{array}{cc} \text{ഒരു സംഖ്യയുടെ അഭാജ്യ ഘടകവൽക്കരണം} & \text{അതിന്റെ ഘനത്തിന്റെ അഭാജ്യ ഘടകവൽക്കരണം} \\ 4 = 2 \times 2 & 4^3 = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \\ 6 = 2 \times 3 & 6^3=216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \\ 15 = 3 \times 5 & 15^3 = 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 3^3 \times 5^3 \\ 12 = 2 \times 2 \times 3 & 12^3 = 1728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 3^3 \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ഓരോ അഭാജ്യ ഘടകവും}\\ \text{അതിന്റെ ഘനങ്ങളിൽ മൂന്ന് തവണ}\\ \text{പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു} \\ \hline \end{array} $

729 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാണോ?

അതെ, 729 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാണ്.

ഒരു സംഖ്യയുടെ ഓരോ അഭാജ്യ ഘടകവും അതിന്റെ ഘനത്തിന്റെ അഭാജ്യ ഘടകവൽക്കരണത്തിൽ മൂന്ന് തവണ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നുവെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക.

ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയുടെ അഭാജ്യ ഘടകവൽക്കരണത്തിൽ, ഓരോ ഘടകവും മൂന്ന് തവണ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, അപ്പോൾ, ആ സംഖ്യ ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാണോ?

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{നിങ്ങൾക്ക് ഓർമയുണ്ടോ}\\ a^m \times b^m = (a \times b)^m \\ \hline \end{array} $

അതിനെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുക. 216 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാണോ?

അഭാജ്യ ഘടകവൽക്കരണം പ്രകാരം, $216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

ഓരോ ഘടകവും 3 തവണ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു. $216=2^{3} \times 3^{3}=(2 \times 3)^{3}$ $=6^{3}$ അത് ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാണ്! $729=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{3 \times 3 \times 3}$

ഇനി നമുക്ക് 500 നായി പരിശോധിക്കാം.

500 ന്റെ അഭാജ്യ ഘടകവൽക്കരണം $2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$ ആണ്.

അതിനാൽ, 500 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമല്ല.

ഉദാഹരണം 1 : 243 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാണോ?

പരിഹാരം: $243=\underline{3 \times 3 \times 3} \times 3 \times 3$

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ഉൽപ്പന്നത്തിൽ മൂന്ന് }\\ \text{5’കൾ ഉണ്ട്, പക്ഷേ } \\ \text{രണ്ട് 2’കൾ മാത്രമേയുള്ളൂ. } \\ \hline \end{array} $

മുകളിലെ ഘടകവൽക്കരണത്തിൽ $3 \times 3$ ട്രിപ്ലറ്റുകളിൽ 3’കൾ ഗ്രൂപ്പുചെയ്ത ശേഷം അവശേഷിക്കുന്നു. അതിനാൽ, 243 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമല്ല.

ഇവ ശ്രമിക്കുക

ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ ഏതാണ് പൂർണ്ണ ഘനങ്ങൾ?

1. 400

2. 3375

3. 8000

4. 15625

5. 9000

6. 6859

7. 2025

8. 10648

6.2.2 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമായ ഏറ്റവും ചെറിയ ഗുണിതം

രാജ് പ്ലാസ്റ്റിസിൻ കൊണ്ട് ഒരു ക്യൂബോയിഡ് ഉണ്ടാക്കി. ക്യൂബോയിഡിന്റെ നീളം, വീതി, ഉയരം എന്നിവ യഥാക്രമം $15 cm$, $30 cm, 15 cm$ ആണ്.

അനു ചോദിക്കുന്നു, ഒരു പൂർണ്ണ ഘനം ഉണ്ടാക്കാൻ അവൾക്ക് എത്ര അത്തരം ക്യൂബോയിഡുകൾ ആവശ്യമാണ്? നിങ്ങൾക്ക് പറയാമോ?

രാജ് പറഞ്ഞു, ക്യൂബോയിഡിന്റെ വ്യാപ്തം $15 \times 30 \times 15=3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5$ ആണ്

$ =2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5} $

അഭാജ്യ ഘടകവൽക്കരണത്തിൽ ഒരു 2 മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നതിനാൽ. അതിനാൽ ഇതിനെ ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാക്കാൻ നമുക്ക് $2 \times 2$, അതായത്, 4 ആവശ്യമാണ്. അതിനാൽ, ഒരു ക്യൂബ് ഉണ്ടാക്കാൻ നമുക്ക് 4 അത്തരം ക്യൂബോയിഡുകൾ ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 2 : 392 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാണോ? അല്ലെങ്കിൽ, 392 നെ ഗുണിച്ചാൽ ഗുണനഫലം ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാകുന്ന തരത്തിൽ ഗുണിക്കേണ്ട ഏറ്റവും ചെറിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: $392=\underline{2 \times 2 \times 2} \times 7 \times 7$

അഭാജ്യ ഘടകം 7 മൂന്നിന്റെ ഒരു ഗ്രൂപ്പിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നില്ല. അതിനാൽ, 392 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമല്ല. അതിനെ ഒരു ഘനമാക്കാൻ, നമുക്ക് ഒരു 7 കൂടി ആവശ്യമാണ്. അങ്ങനെയെങ്കിൽ

$ 392 \times 7=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2744 $

അതിനാൽ 392 നെ ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാക്കാൻ ഗുണിക്കേണ്ട ഏറ്റവും ചെറിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ 7 ആണ്.

ഉദാഹരണം 3 : 53240 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാണോ? അല്ലെങ്കിൽ, 53240 നെ ഹരിച്ചാൽ ഹരണഫലം ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാകുന്ന തരത്തിൽ ഹരിക്കേണ്ട ഏറ്റവും ചെറിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ഏതാണ്?

പരിഹാരം: $53240=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} \times 5$

അഭാജ്യ ഘടകം 5 മൂന്നിന്റെ ഒരു ഗ്രൂപ്പിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നില്ല. അതിനാൽ, 53240 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമല്ല. ഘടകവൽക്കരണത്തിൽ 5 ഒരു തവണ മാത്രമേ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നുള്ളൂ. നമ്മൾ സംഖ്യയെ 5 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, ഹരണഫലത്തിന്റെ അഭാജ്യ ഘടകവൽക്കരണത്തിൽ 5 ഉൾപ്പെടുകയില്ല.

അതിനാൽ,

$ 53240 \div 5=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} $

അതിനാൽ അതിനെ ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാക്കാൻ 53240 നെ ഹരിക്കേണ്ട ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ 5 ആണ്.

ആ സാഹചര്യത്തിലെ പൂർണ്ണ ഘനം $=10648$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 4 : 1188 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാണോ? അല്ലെങ്കിൽ, 1188 നെ ഹരിച്ചാൽ ഹരണഫലം ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാകുന്ന തരത്തിൽ ഹരിക്കേണ്ട ഏറ്റവും ചെറിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ഏതാണ്?

പരിഹാരം: $1188=2 \times 2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times 11$

അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ 2 ഉം 11 ഉം മൂന്നിന്റെ ഗ്രൂപ്പുകളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നില്ല. അതിനാൽ, 1188 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമല്ല. 1188 ന്റെ ഘടകവൽക്കരണത്തിൽ അഭാജ്യ സംഖ്യ 2 രണ്ട് തവണ മാത്രമേ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നുള്ളൂ, അഭാജ്യ സംഖ്യ 11 ഒരു തവണ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, നമ്മൾ 1188 നെ $2 \times 2 \times 11=44$ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, ഹരണഫലത്തിന്റെ അഭാജ്യ ഘടകവൽക്കരണത്തിൽ 2 ഉം 11 ഉം ഉൾപ്പെടുകയില്ല.

അതിനാൽ അതിനെ ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാക്കാൻ 1188 നെ ഹരിക്കേണ്ട ഏറ്റവും ചെറിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ 44 ആണ്.

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പൂർണ്ണ ഘനം $1188 \div 44=27(=3^{3})$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 5 : 68600 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാണോ? അല്ലെങ്കിൽ, 68600 നെ ഗുണിച്ചാൽ ഒരു പൂർണ്ണ ഘനം ലഭിക്കുന്ന തരത്തിൽ ഗുണിക്കേണ്ട ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: നമുക്കുള്ളത്, $68600=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$. ഈ ഘടകവൽക്കരണത്തിൽ, 5 ന്റെ ട്രിപ്ലറ്റ് ഇല്ലെന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

അതിനാൽ, 68600 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമല്ല. അതിനെ ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാക്കാൻ നമ്മൾ അതിനെ 5 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. അങ്ങനെ,

$ \begin{aligned} 68600 \times 5 & =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 \\ & =343000, \text{ ഇത് ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാണ്. } \end{aligned} $

343 ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാണെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക. ഉദാഹരണം 5 ൽ നിന്ന് 343000 ഉം ഒരു പൂർണ്ണ ഘനമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം.

ചിന്തിക്കുക, ചർച്ച ചെയ്യുക, എഴുതുക

ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ ഏതാണ് പൂർണ്ണ ഘനങ്ങൾ എന്ന് പരിശോധിക്കുക.

(i) 2700 $\quad$ (ii) 16000 $\quad$ (iii) 64000 $\quad$ (iv) 900

(v) 125000 $\quad$ (vi) 36000 $\quad$ (vii) 21600 $\quad$(viii) 10,000

(ix) 27000000 (x) 1000.

ഈ പൂർണ്ണ ഘനങ്ങളിൽ നിങ്ങൾ എന്ത് രീതി നിരീക്ഷിക്കുന്നു?

അഭ്യാസം 6.1

1. ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ ഏതൊക്കെ സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണ ഘനങ്ങളല്ല?

(i) 216 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 1000 $\quad$ (iv) 100 $\quad$

(v) 46656

2. ഇനിപ്പറയുന്ന ഓരോ സംഖ്യയെയും ഗുണിച്ചാൽ ഒരു പൂർണ്ണ ഘനം ലഭിക്കുന്ന തരത്തിൽ ഗുണിക്കേണ്ട ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക.

(i) 243 $\quad$ (ii) 256 $\quad$ (iii) 72 $\quad$ (iv) 675 $\quad$

(v) 100

3. ഇനിപ്പറയുന്ന ഓരോ സംഖ്യയെയും ഹരിച്ചാൽ ഒരു പൂർണ്ണ ഘനം ലഭിക്കുന്ന തരത്തിൽ ഹരിക്കേണ്ട ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക.

(i) 81 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 135 $\quad$ (iv) 192 $\quad$

(v) 704

4. പരിക്ഷിത്ത് $5 cm, 2 cm, 5 cm$ വശങ്ങളുള്ള പ്ലാസ്റ്റിസിൻ കൊണ്ട് ഒരു ക്യൂബോയിഡ് ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഒരു ക്യൂബ് രൂപീകരിക്കാൻ അവന് എത്ര അത്തരം ക്യൂബോയിഡുകൾ ആവശ്യമാണ്?

6.3 ഘനമൂലങ്ങൾ

ഒരു ക്യൂബിന്റെ വ്യാപ്തം $125 cm^{3}$ ആണെങ്കിൽ, അതിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം എത്രയായിരിക്കും? ക്യൂബിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം ലഭിക്കാൻ, 125 ന്റെ ഘനമായ ഒരു സംഖ്യ നമുക്ക് അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, വർഗ്ഗമൂലം കണ്ടെത്തുക എന്നത് വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനമാണ്. അതുപോലെ, ഘനമൂലം കണ്ടെത്തുക എന്നത് ഘനം കണ്ടെത്തുന്നതിന്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനമാണ്.

$2^{3}=8$ എന്ന് നമുക്കറിയാം; അതിനാൽ 8 ന്റെ ഘനമൂലം 2 ആണെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു.

നമ്മൾ $\sqrt[3]{8}=2$ എന്ന് എഴുതുന്നു. $\sqrt[3]{ }$ എന്ന ചിഹ്നം ‘ഘനമൂലം’ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്നവ പരിഗണിക്കുക:

6.3.1 അഭാജ്യ ഘടകവൽക്കരണ രീതി വഴി ഘനമൂലം

3375 പരിഗണിക്കുക. അഭാജ്യ ഘടകവൽക്കരണം വഴി അതിന്റെ ഘനമൂലം നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

$ 3375=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5}=3^{3} \times 5^{3}=(3 \times 5)^{3} $

അതിനാൽ, $3375=\sqrt[3]{3375}=3 \times 5=15$ ന്റെ ഘനമൂലം

അതുപോലെ, $\sqrt[3]{74088}$ കണ്ടെത്താൻ, നമുക്കുള്ളത്,

$ 74088=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2^{3} \times 3^{3} \times 7^{3}=(2 \times 3 \times 7)^{3