6.1 ପରିଚୟ

ଏହା ହେଉଛି ଭାରତର ଜଣେ ମହାନ ଗାଣିତିକ ପ୍ରତିଭାଶାଳୀ, ଏସ୍. ରାମାନୁଜନଙ୍କ କାହାଣୀ । ଥରେ ଅନ୍ୟ ଜଣେ ପ୍ରସିଦ୍ଧ ଗଣିତଜ୍ଞ ପ୍ରଫେସର ଜି.ଏଚ୍. ହାର୍ଡି ତାଙ୍କୁ ଦେଖା କରିବାକୁ ଏକ ଟ୍ୟାକ୍ସିରେ ଆସିଥିଲେ ଯାହାର ନମ୍ବର ଥିଲା 1729 । ରାମାନୁଜନଙ୍କ ସହ କଥାବାର୍ତ୍ତା ସମୟରେ, ହାର୍ଡି ଏହି ସଂଖ୍ୟାକୁ “ଏକ ନିରସ ସଂଖ୍ୟା” ବୋଲି ବର୍ଣ୍ଣନା କରିଥିଲେ । ରାମାନୁଜନ ଶୀଘ୍ର ଇଙ୍ଗିତ ଦେଇଥିଲେ ଯେ 1729 ପ୍ରକୃତରେ ଆକର୍ଷଣୀୟ ଥିଲା । ସେ କହିଥିଲେ ଯେ ଏହା ହେଉଛି ସର୍ବନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ଯାହାକୁ ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ଦୁଇଟି ଘନର ଯୋଗଫଳ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ:

$ \begin{aligned} & 1729=1728+1=12^{3}+1^{3} \\ & 1729=1000+729=10^{3}+9^{3} \end{aligned} $

ତେଣୁ 1729 ହାର୍ଡି - ରାମାନୁଜନ ସଂଖ୍ୟା ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା, ଯଦିଓ 1729 ର ଏହି ବିଶେଷତା ରାମାନୁଜନଙ୍କ ପୂର୍ବରୁ 300 ବର୍ଷରୁ ଅଧିକ ସମୟ ଧରି ଜଣାଥିଲା ।

ରାମାନୁଜନ ଏହା କିପରି ଜାଣିଥିଲେ? ହଁ, ସେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକୁ ଭଲ ପାଉଥିଲେ । ସମସ୍ତ

ହାର୍ଡି - ରାମାନୁଜନ ସଂଖ୍ୟା

1729 ହେଉଛି ସର୍ବନିମ୍ନ ହାର୍ଡି-ରାମାନୁଜନ ସଂଖ୍ୟା । ଏଭଳି ଅସଂଖ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି । କେତେକ ହେଉଛି 4104 $(2,16 ; 9,15), 13832(18,20$; $2,24)$, ବନ୍ଧନୀରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ସହିତ ଏହାକୁ ଯାଞ୍ଚ କରନ୍ତୁ । ତାଙ୍କ ଜୀବନ ଦ୍ୱାରା, ସେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକ ସହିତ ପରୀକ୍ଷା କରିଥିଲେ । ସେ ସମ୍ଭବତଃ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକୁ ଖୋଜିଥିଲେ ଯାହାକୁ ଦୁଇଟି ବର୍ଗର ଯୋଗଫଳ ଏବଂ ଦୁଇଟି ଘନର ଯୋଗଫଳ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇଥିଲା ।

ଘନଗୁଡିକର ଅନେକ ଆକର୍ଷଣୀୟ ନମୁନା ଅଛି । ଆସନ୍ତୁ ଆମେ ଘନ, ଘନମୂଳ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ସହିତ ଜଡିତ ଅନେକ ଆକର୍ଷଣୀୟ ତଥ୍ୟ ବିଷୟରେ ଶିଖିବା ।

6.2 ଘନ

ଆପଣ ଜାଣନ୍ତି ଯେ ‘ଘନ’ ଶବ୍ଦଟି ଜ୍ୟାମିତିରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ । ଏକ ଘନ ହେଉଛି ଏକ ଘନ ଆକୃତି ଯାହାର ସମସ୍ତ ବାହୁ ସମାନ । $1 cm$ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ କେତେ ଘନ $2 cm$ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଘନ ତିଆରି କରିବ?

$1 cm$ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ କେତେ ଘନ $3 cm$ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଘନ ତିଆରି କରିବ?

$1,8,27, \ldots$ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକୁ ବିଚାର କରନ୍ତୁ

ଆମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛୁ ଯେ $1=1 \times 1 \times 1=1^{3} ; 8=2 \times 2 \times 2=2^{3} ; 27=3 \times 3 \times 3=3^{3}$।

ଯେହେତୁ $5^{3}=5 \times 5 \times 5=125$, ତେଣୁ 125 ଏକ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ।

9 ଏକ ଘନ ସଂଖ୍ୟା କି? ନା, ଯେହେତୁ $9=3 \times 3$ ଏବଂ କୌଣସି ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ ଯାହାକୁ ତିନିଥର ନେଇ ଗୁଣିଲେ 9 ମିଳେ । ଆମେ ଏହା ମଧ୍ୟ ଦେଖିପାରୁଛୁ ଯେ $2 \times 2 \times 2=8$ ଏବଂ $3 \times 3 \times 3=27$। ଏହା ଦର୍ଶାଏ ଯେ 9 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ନୁହେଁ ।

ନିମ୍ନଲିଖିତଗୁଡିକ 1 ରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକର ଘନ ।

ସାରଣୀ 1

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{729, 1000, 1728 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକ}\\ \text{ମଧ୍ୟ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ଅଟନ୍ତି।} \\ \hline \end{array} $

1 ରୁ 1000 ମଧ୍ୟରେ କେବଳ ଦଶଟି ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ଅଛି । (ଏହାକୁ ଯାଞ୍ଚ କରନ୍ତୁ) । 1 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ କେତେ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ଅଛି?

ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକର ଘନଗୁଡିକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତୁ । ସେମାନେ ସମସ୍ତେ ଯୁଗ୍ମ କି? ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକର ଘନ ବିଷୟରେ ଆପଣ କ’ଣ କହିପାରିବେ?

ନିମ୍ନଲିଖିତଗୁଡିକ 11 ରୁ 20 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକର ଘନ ।

ସାରଣୀ 2

କିଛି ସଂଖ୍ୟା ବିଚାର କରନ୍ତୁ ଯାହାର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ (କିମ୍ବା ଏକକ) 1 ଅଛି । ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକର ଘନ ଖୋଜନ୍ତୁ । ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 1 ଥିବା ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଘନର ଏକକ ସ୍ଥାନ ବିଷୟରେ ଆପଣ କ’ଣ କହିପାରିବେ?

ସେହିପରି, $2,3,4, \ldots$, ଇତ୍ୟାଦିରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକର ଘନର ଏକକ ସ୍ଥାନ ଅନୁସନ୍ଧାନ କରନ୍ତୁ ।

ଏହାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ

ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାର ଘନର ଏକକ ସ୍ଥାନ ଖୋଜନ୍ତୁ ।

(i) 3331 $\quad$ (ii) 8888 $\quad$ (iii) 149 (iv) 1005

(v) 1024 (vi) 77 (vii) 5022 (viii) 53

6.2.1 କିଛି ଆକର୍ଷଣୀୟ ନମୁନା

1. କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗ କରିବା

ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକର ଯୋଗଫଳର ନିମ୍ନଲିଖିତ ନମୁନାକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତୁ ।

$ \begin{aligned} & \\ 3+5 & =1=8 \\ 7+9+11 & =27=1^{3} \\ 13+15+17+19 & =64=3^{3} \\ 21+23+25+27+29 & =125=4^{3} \end{aligned} $

ଏହା ଆକର୍ଷଣୀୟ ନୁହେଁ କି? $10^{3}$ ର ଯୋଗଫଳ ଭାବରେ ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ କେତେ କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଆବଶ୍ୟକ ହେବ?

ଏହାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ

ଉପରୋକ୍ତ ନମୁନା ବ୍ୟବହାର କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକୁ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରନ୍ତୁ?

(a) $6^{3}$ $\quad$ (b) $8^{3}$ $\quad$ (c) $7^{3}$

ନିମ୍ନଲିଖିତ ନମୁନାକୁ ବିଚାର କରନ୍ତୁ ।

$ \begin{aligned} & 2^{3}-1^{3}=1+2 \times 1 \times 3 \\ & 3^{3}-2^{3}=1+3 \times 2 \times 3 \\ & 4^{3}-3^{3}=1+4 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

ଉପରୋକ୍ତ ନମୁନା ବ୍ୟବହାର କରି, ନିମ୍ନଲିଖିତର ମୂଲ୍ୟ ଖୋଜନ୍ତୁ ।

(i) $7^{3}-6^{3}$ $\quad$ (ii) $12^{3}-11^{3}$ $\quad$ (iii) $20^{3}-19^{3}$ $\quad$ (iv) $51^{3}-50^{3}$

2. ଘନ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକ

ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଘନଗୁଡିକୁ ବିଚାର କରନ୍ତୁ ।

$\begin{array}{cc} \text{ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ} & \text{ଏହାର ଘନର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ} \\ 4 = 2 \times 2 & 4^3 = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \\ 6 = 2 \times 3 & 6^3=216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \\ 15 = 3 \times 5 & 15^3 = 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 3^3 \times 5^3 \\ 12 = 2 \times 2 \times 3 & 12^3 = 1728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 3^3 \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକ}\\ \text{ଏହାର ଘନରେ ତିନିଥର}\\ \text{ଦେଖାଯାଏ} \\ \hline \end{array} $

729 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ କି?

ହଁ, 729 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ।

ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତୁ ଯେ ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକ ଏହାର ଘନର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ତିନିଥର ଦେଖାଯାଏ ।

କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ, ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉତ୍ପାଦକ ତିନିଥର ଦେଖାଯାଏ, ତେବେ, ସଂଖ୍ୟାଟି ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ କି?

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ଆପଣ ମନେ ରଖନ୍ତି କି}\\ a^m \times b^m = (a \times b)^m \\ \hline \end{array} $

ଏହା ବିଷୟରେ ଚିନ୍ତା କରନ୍ତୁ । 216 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ କି?

ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ଦ୍ୱାରା, $216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉତ୍ପାଦକ 3 ଥର ଦେଖାଯାଏ । $216=2^{3} \times 3^{3}=(2 \times 3)^{3}$ $=6^{3}$ ଯାହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ! $729=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{3 \times 3 \times 3}$

ଏବେ ଆସନ୍ତୁ 500 ପାଇଁ ଯାଞ୍ଚ କରିବା ।

500 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ହେଉଛି $2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$।

ତେଣୁ, 500 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ନୁହେଁ ।

ଉଦାହରଣ 1 : 243 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ କି?

ସମାଧାନ: $243=\underline{3 \times 3 \times 3} \times 3 \times 3$

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ଉତ୍ପାଦରେ ତିନୋଟି }\\ \text{5 ଅଛି କିନ୍ତୁ } \\ \text{କେବଳ ଦୁଇଟି 2 ଅଛି। } \\ \hline \end{array} $

ଉପରୋକ୍ତ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ $3 \times 3$ ଟ୍ରିପ୍ଲେଟରେ 3 ଗୁଡିକୁ ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରିବା ପରେ ରହିଯାଏ । ତେଣୁ, 243 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ନୁହେଁ ।

ଏହାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ

ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ?

1. 400

2. 3375

3. 8000

4. 15625

5. 9000

6. 6859

7. 2025

8. 10648

6.2.2 ସର୍ବନିମ୍ନ ଗୁଣିତକ ଯାହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ

ରାଜ ପ୍ଲାଷ୍ଟିସିନରେ ଏକ ଆୟତଘନ ତିଆରି କଲେ । ଆୟତଘନର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ଥ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା ଯଥାକ୍ରମେ $15 cm$, $30 cm, 15 cm$ ଅଟେ ।

ଅନୁ ପଚାରେ ଯେ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ତିଆରି କରିବାକୁ ତାଙ୍କୁ ଏଭଳି କେତେ ଆୟତଘନ ଆବଶ୍ୟକ ହେବ? ଆପଣ କହିପାରିବେ କି?

ରାଜ କହିଲେ, ଆୟତଘନର ଆୟତନ ହେଉଛି $15 \times 30 \times 15=3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5$

$ =2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5} $

ଯେହେତୁ ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ କେବଳ ଗୋଟିଏ 2 ଅଛି । ତେଣୁ ଆମକୁ $2 \times 2$, ଅର୍ଥାତ୍, 4 ଆବଶ୍ୟକ ଏହାକୁ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ କରିବା ପାଇଁ । ତେଣୁ, ଏକ ଘନ ତିଆରି କରିବା ପାଇଁ ଆମକୁ 4 ଟି ଏଭଳି ଆୟତଘନ ଆବଶ୍ୟକ ।

ଉଦାହରଣ 2 : 392 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ କି? ଯଦି ନୁହେଁ, ତେବେ ସର୍ବନିମ୍ନ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ଖୋଜନ୍ତୁ ଯାହା ଦ୍ୱାରା 392 କୁ ଗୁଣିବାକୁ ହେବ ଯାହା ଫଳରେ ଗୁଣଫଳଟି ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ହେବ ।

ସମାଧାନ: $392=\underline{2 \times 2 \times 2} \times 7 \times 7$

ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକ 7 ତିନିର ଏକ ଗୋଷ୍ଠୀରେ ଦେଖାଯାଏ ନାହିଁ । ତେଣୁ, 392 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ନୁହେଁ । ଏହାକୁ ଏକ ଘନ କରିବା ପାଇଁ, ଆମକୁ ଆଉ ଗୋଟିଏ 7 ଆବଶ୍ୟକ । ସେହି କ୍ଷେତ୍ରରେ

$ 392 \times 7=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2744 $

ତେଣୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ଦ୍ୱାରା 392 କୁ ଗୁଣିବାକୁ ହେବ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ କରିବା ପାଇଁ ହେଉଛି 7 ।

ଉଦାହରଣ 3 : 53240 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ କି? ଯଦି ନୁହେଁ, ତେବେ କେଉଁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା 53240 କୁ ଭାଗ କରାଯିବା ଉଚିତ ଯାହା ଫଳରେ ଭାଗଫଳଟି ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ହେବ?

ସମାଧାନ: $53240=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} \times 5$

ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକ 5 ତିନିର ଏକ ଗୋଷ୍ଠୀରେ ଦେଖାଯାଏ ନାହିଁ । ତେଣୁ, 53240 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ନୁହେଁ । ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ 5 କେବଳ ଥରେ ଦେଖାଯାଏ । ଯଦି ଆମେ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ 5 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରିବା, ତେବେ ଭାଗଫଳର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ 5 ରହିବ ନାହିଁ ।

ତେଣୁ,

$ 53240 \div 5=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} $

ତେଣୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ଦ୍ୱାରା 53240 କୁ ଭାଗ କରାଯିବା ଉଚିତ ଏହାକୁ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ କରିବା ପାଇଁ ହେଉଛି 5 ।

ସେହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନଟି ହେଉଛି $=10648$।

ଉଦାହରଣ 4 : 1188 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ କି? ଯଦି ନୁହେଁ, ତେବେ କେଉଁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା 1188 କୁ ଭାଗ କରାଯିବା ଉଚିତ ଯାହା ଫଳରେ ଭାଗଫଳଟି ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ହେବ?

ସମାଧାନ: $1188=2 \times 2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times 11$

ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା 2 ଏବଂ 11 ତିନିର ଗୋଷ୍ଠୀରେ ଦେଖାଯାନ୍ତି ନାହିଁ । ତେଣୁ, 1188 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ନୁହେଁ । 1188 ର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା 2 କେବଳ ଦୁଇଥର ଦେଖାଯାଏ ଏବଂ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା 11 ଥରେ ଦେଖାଯାଏ । ତେଣୁ, ଯଦି ଆମେ 1188 କୁ $2 \times 2 \times 11=44$ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରିବା, ତେବେ ଭାଗଫଳର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ 2 ଏବଂ 11 ରହିବ ନାହିଁ ।

ତେଣୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ଦ୍ୱାରା 1188 କୁ ଭାଗ କରାଯିବା ଉଚିତ ଏହାକୁ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ କରିବା ପାଇଁ ହେଉଛି 44 ।

ଏବଂ ଫଳସ୍ୱରୂପ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନଟି ହେଉଛି $1188 \div 44=27(=3^{3})$।

ଉଦାହରଣ 5 : 68600 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ କି? ଯଦି ନୁହେଁ, ତେବେ ସର୍ବନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ଖୋଜନ୍ତୁ ଯାହା ଦ୍ୱାରା 68600 କୁ ଗୁଣିବାକୁ ହେବ ଯାହା ଫଳରେ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ମିଳିବ ।

ସମାଧାନ: ଆମ ପାଖରେ ଅଛି, $68600=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$। ଏହି ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ, ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ 5 ର କୌଣସି ଟ୍ରିପ୍ଲେଟ୍ ନାହିଁ ।

ତେଣୁ, 68600 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ନୁହେଁ । ଏହାକୁ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ କରିବା ପାଇଁ ଆମେ ଏହାକୁ 5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣିବା । ଏହିପରି,

$ \begin{aligned} 68600 \times 5 & =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 \\ & =343000, \text{ ଯାହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ଅଟେ। } \end{aligned} $

ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତୁ ଯେ 343 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ । ଉଦାହରଣ 5 ରୁ ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ 343000 ମଧ୍ୟ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ଅଟେ ।

ଚିନ୍ତା କରନ୍ତୁ, ଆଲୋଚନା କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଲେଖନ୍ତୁ

ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ତାହା ଯାଞ୍ଚ କରନ୍ତୁ ।

(i) 2700 $\quad$ (ii) 16000 $\quad$ (iii) 64000 $\quad$ (iv) 900

(v) 125000 $\quad$ (vi) 36000 $\quad$ (vii) 21600 $\quad$(viii) 10,000

(ix) 27000000 (x) 1000.

ଏହି ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନଗୁଡିକରେ ଆପଣ କି ନମୁନା ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତି?

ଅଭ୍ୟାସ 6.1

1. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ନୁହନ୍ତି?