৬.১ ভূমিকা

এটি ভারতের একজন মহান গাণিতিক প্রতিভা, এস. রামানুজনের একটি গল্প। একবার আরেকজন বিখ্যাত গণিতবিদ প্রফেসর জি.এইচ. হার্ডি তাকে দেখতে একটি ট্যাক্সিতে করে এসেছিলেন যার নম্বর ছিল ১৭২৯। রামানুজনের সাথে কথা বলার সময়, হার্ডি এই সংখ্যাটিকে “একটি নীরস সংখ্যা” বলে বর্ণনা করেছিলেন। রামানুজন দ্রুত ইঙ্গিত দিলেন যে ১৭২৯ প্রকৃতপক্ষে আকর্ষণীয়। তিনি বললেন এটি হল ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা দুটি ভিন্ন উপায়ে দুটি ঘনকের যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যায়:

$ \begin{aligned} & 1729=1728+1=12^{3}+1^{3} \\ & 1729=1000+729=10^{3}+9^{3} \end{aligned} $

১৭২৯ তখন থেকে হার্ডি - রামানুজন সংখ্যা নামে পরিচিত, যদিও রামানুজনের ৩০০ বছরেরও বেশি আগে থেকেই ১৭২৯-এর এই বৈশিষ্ট্যটি জানা ছিল।

রামানুজন এটি কীভাবে জানতেন? ঠিক আছে, তিনি সংখ্যাকে ভালোবাসতেন। সমস্ত

হার্ডি - রামানুজন সংখ্যা

১৭২৯ হল ক্ষুদ্রতম হার্ডি-রামানুজন সংখ্যা। এরকম অসীম অনেক সংখ্যা আছে। কয়েকটি হল ৪১০৪ $(2,16 ; 9,15), 13832(18,20$; $2,24)$, বন্ধনীতে দেওয়া সংখ্যাগুলি দিয়ে এটি পরীক্ষা করুন। তাঁর সমগ্র জীবনের মাধ্যমে, তিনি সংখ্যা নিয়ে পরীক্ষা-নিরীক্ষা করেছিলেন। তিনি সম্ভবত এমন সংখ্যাগুলিও খুঁজে পেয়েছিলেন যেগুলি দুটি বর্গের যোগফল এবং দুটি ঘনকের যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যায়।

ঘনকের আরও অনেক আকর্ষণীয় নিদর্শন রয়েছে। আসুন ঘন, ঘনমূল এবং তাদের সাথে সম্পর্কিত আরও অনেক আকর্ষণীয় তথ্য সম্পর্কে জানি।

৬.২ ঘন

আপনি জানেন যে ‘ঘন’ শব্দটি জ্যামিতিতে ব্যবহৃত হয়। একটি ঘন হল একটি ঘনবস্তু যার সব বাহু সমান। $1 cm$ বাহুবিশিষ্ট কয়টি ঘন $2 cm$ বাহুবিশিষ্ট একটি ঘন তৈরি করবে?

$1 cm$ বাহুবিশিষ্ট কয়টি ঘন $3 cm$ বাহুবিশিষ্ট একটি ঘন তৈরি করবে?

সংখ্যাগুলি বিবেচনা করুন $1,8,27, \ldots$

আমরা লক্ষ্য করি যে $1=1 \times 1 \times 1=1^{3} ; 8=2 \times 2 \times 2=2^{3} ; 27=3 \times 3 \times 3=3^{3}$।

যেহেতু $5^{3}=5 \times 5 \times 5=125$, তাই ১২৫ একটি ঘন সংখ্যা।

৯ কি একটি ঘন সংখ্যা? না, কারণ $9=3 \times 3$ এবং এমন কোন স্বাভাবিক সংখ্যা নেই যা তিনবার নিয়ে গুণ করলে ৯ দেয়। আমরা এটাও দেখতে পাই যে $2 \times 2 \times 2=8$ এবং $3 \times 3 \times 3=27$। এটি দেখায় যে ৯ একটি নিখুঁত ঘন নয়।

নিচে ১ থেকে ১০ পর্যন্ত সংখ্যার ঘন দেওয়া হল।

সারণী ১

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{সংখ্যাগুলি ৭২৯, ১০০০, ১৭২৮}\\ \text{ও নিখুঁত ঘন।} \\ \hline \end{array} $

১ থেকে ১০০০ পর্যন্ত মাত্র দশটি নিখুঁত ঘন আছে। (এটি পরীক্ষা করুন)। ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত কয়টি নিখুঁত ঘন আছে?

জোড় সংখ্যার ঘনগুলি লক্ষ্য করুন। সেগুলি কি সব জোড়? আপনি বিজোড় সংখ্যার ঘন সম্পর্কে কী বলতে পারেন?

নিচে ১১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যার ঘন দেওয়া হল।

সারণী ২

কয়েকটি সংখ্যা বিবেচনা করুন যাদের একক স্থানের অঙ্ক (বা একক) হিসাবে ১ আছে। তাদের প্রতিটির ঘন নির্ণয় করুন। একক স্থানের অঙ্ক ১ বিশিষ্ট একটি সংখ্যার ঘনের একক স্থানের অঙ্ক সম্পর্কে আপনি কী বলতে পারেন?

একইভাবে, $2,3,4, \ldots$ ইত্যাদিতে শেষ হওয়া সংখ্যার ঘনের একক স্থানের অঙ্ক অন্বেষণ করুন।

চেষ্টা করুন

নিচের প্রতিটি সংখ্যার ঘনের একক স্থানের অঙ্ক নির্ণয় করুন।

(i) ৩৩৩১ $\quad$ (ii) ৮৮৮৮ $\quad$ (iii) ১৪৯ (iv) ১০০৫

(v) ১০২৪ (vi) ৭৭ (vii) ৫০২২ (viii) ৫৩

৬.২.১ কিছু আকর্ষণীয় নিদর্শন

১. ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার যোগ

বিজোড় সংখ্যার যোগফলের নিম্নলিখিত নিদর্শনটি লক্ষ্য করুন।

$ \begin{aligned} & \\ 3+5 & =1=8 \\ 7+9+11 & =27=1^{3} \\ 13+15+17+19 & =64=3^{3} \\ 21+23+25+27+29 & =125=4^{3} \end{aligned} $

এটি কি আকর্ষণীয় নয়? যোগফলকে $10^{3}$ হিসাবে পেতে কতগুলি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার প্রয়োজন হবে?

চেষ্টা করুন

উপরের নিদর্শন ব্যবহার করে নিচের সংখ্যাগুলিকে বিজোড় সংখ্যার যোগফল হিসাবে প্রকাশ করুন?

(a) $6^{3}$ $\quad$ (b) $8^{3}$ $\quad$ (c) $7^{3}$

নিম্নলিখিত নিদর্শনটি বিবেচনা করুন।

$ \begin{aligned} & 2^{3}-1^{3}=1+2 \times 1 \times 3 \\ & 3^{3}-2^{3}=1+3 \times 2 \times 3 \\ & 4^{3}-3^{3}=1+4 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

উপরের নিদর্শন ব্যবহার করে, নিচেরগুলির মান নির্ণয় করুন।

(i) $7^{3}-6^{3}$ $\quad$ (ii) $12^{3}-11^{3}$ $\quad$ (iii) $20^{3}-19^{3}$ $\quad$ (iv) $51^{3}-50^{3}$

২. ঘন এবং তাদের মৌলিক উৎপাদক

সংখ্যা এবং তাদের ঘনের নিম্নলিখিত মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ বিবেচনা করুন।

$\begin{array}{cc} \text{একটি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ} & \text{এর ঘনের মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ} \\ 4 = 2 \times 2 & 4^3 = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \\ 6 = 2 \times 3 & 6^3=216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \\ 15 = 3 \times 5 & 15^3 = 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 3^3 \times 5^3 \\ 12 = 2 \times 2 \times 3 & 12^3 = 1728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 3^3 \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{প্রতিটি মৌলিক উৎপাদক}\\ \text{তার ঘনে তিনবার করে উপস্থিত হয়} \\ \hline \end{array} $

৭২৯ কি একটি নিখুঁত ঘন?

হ্যাঁ, ৭২৯ একটি নিখুঁত ঘন।

লক্ষ্য করুন যে একটি সংখ্যার প্রতিটি মৌলিক উৎপাদক তার ঘনের মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণে তিনবার করে উপস্থিত হয়।

যেকোনো সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণে, যদি প্রতিটি উৎপাদক তিনবার করে উপস্থিত হয়, তাহলে, সংখ্যাটি কি একটি নিখুঁত ঘন?

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{আপনি কি মনে রাখেন যে}\\ a^m \times b^m = (a \times b)^m \\ \hline \end{array} $

এটি নিয়ে ভাবুন। ২১৬ কি একটি নিখুঁত ঘন?

মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ দ্বারা, $216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

প্রতিটি উৎপাদক ৩ বার উপস্থিত হয়। $216=2^{3} \times 3^{3}=(2 \times 3)^{3}$ $=6^{3}$ যা একটি নিখুঁত ঘন! $729=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{3 \times 3 \times 3}$

এখন ৫০০ এর জন্য পরীক্ষা করা যাক।

৫০০ এর মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হল $2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$।

সুতরাং, ৫০০ একটি নিখুঁত ঘন নয়।

উদাহরণ ১ : ২৪৩ কি একটি নিখুঁত ঘন?

সমাধান: $243=\underline{3 \times 3 \times 3} \times 3 \times 3$

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{গুণফলে তিনটি }\\ \text{৫ আছে কিন্তু } \\ \text{মাত্র দুটি ২ আছে। } \\ \hline \end{array} $

উপরের উৎপাদকে বিশ্লেষণে $3 \times 3$ ট্রিপলেটে ৩ গুলোকে দলবদ্ধ করার পরও থেকে যায়। অতএব, ২৪৩ একটি নিখুঁত ঘন নয়।

চেষ্টা করুন

নিচের কোনগুলি নিখুঁত ঘন?

১. ৪০০

২. ৩৩৭৫

৩. ৮০০০

৪. ১৫৬২৫

৫. ৯০০০

৬. ৬৮৫৯

৭. ২০২৫

৮. ১০৬৪৮

৬.২.২ ক্ষুদ্রতম গুণিতক যা একটি নিখুঁত ঘন

রাজ প্লাস্টিসিন দিয়ে একটি আয়তঘন তৈরি করল। আয়তঘনের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা যথাক্রমে $15 cm$, $30 cm, 15 cm$।

অনু জিজ্ঞাসা করে যে একটি নিখুঁত ঘন তৈরি করতে তার কতগুলি এমন আয়তঘনের প্রয়োজন হবে? আপনি বলতে পারেন?

রাজ বলল, আয়তঘনের আয়তন হল $15 \times 30 \times 15=3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5$

$ =2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5} $

যেহেতু মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণে মাত্র একটি ২ আছে। তাই আমাদের $2 \times 2$ প্রয়োজন, অর্থাৎ, এটিকে একটি নিখুঁত ঘন করতে ৪ প্রয়োজন। অতএব, একটি ঘন তৈরি করতে আমাদের ৪টি এমন আয়তঘনের প্রয়োজন।

উদাহরণ ২ : ৩৯২ কি একটি নিখুঁত ঘন? যদি না হয়, তবে ক্ষুদ্রতম স্বাভাবিক সংখ্যাটি নির্ণয় করুন যার দ্বারা ৩৯২ কে গুণ করতে হবে যাতে গুণফলটি একটি নিখুঁত ঘন হয়।

সমাধান: $392=\underline{2 \times 2 \times 2} \times 7 \times 7$

মৌলিক উৎপাদক ৭ তিনটির একটি দলে উপস্থিত হয় না। অতএব, ৩৯২ একটি নিখুঁত ঘন নয়। এটিকে একটি ঘন করতে, আমাদের আরও একটি ৭ প্রয়োজন। সেই ক্ষেত্রে

$ 392 \times 7=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2744 $

সুতরাং ক্ষুদ্রতম স্বাভাবিক সংখ্যা যার দ্বারা ৩৯২ কে গুণ করলে একটি নিখুঁত ঘন হয় তা হল ৭।

উদাহরণ ৩ : ৫৩২৪০ কি একটি নিখুঁত ঘন? যদি না হয়, তবে ক্ষুদ্রতম কোন স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা ৫৩২৪০ কে ভাগ করতে হবে যাতে ভাগফলটি একটি নিখুঁত ঘন হয়?

সমাধান: $53240=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} \times 5$

মৌলিক উৎপাদক ৫ তিনটির একটি দলে উপস্থিত হয় না। সুতরাং, ৫৩২৪০ একটি নিখুঁত ঘন নয়। উৎপাদকে বিশ্লেষণে ৫ মাত্র একবার উপস্থিত হয়। যদি আমরা সংখ্যাটিকে ৫ দ্বারা ভাগ করি, তাহলে ভাগফলের মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণে ৫ থাকবে না।

সুতরাং,

$ 53240 \div 5=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} $

সুতরাং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যার দ্বারা ৫৩২৪০ কে ভাগ করলে এটিকে একটি নিখুঁত ঘন করা যায় তা হল ৫।

সেই ক্ষেত্রে নিখুঁত ঘনটি হল $=10648$।

উদাহরণ ৪ : ১১৮৮ কি একটি নিখুঁত ঘন? যদি না হয়, তবে ক্ষুদ্রতম কোন স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা ১১৮৮ কে ভাগ করতে হবে যাতে ভাগফলটি একটি নিখুঁত ঘন হয়?

সমাধান: $1188=2 \times 2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times 11$

মৌলিক সংখ্যা ২ এবং ১১ তিনটির দলে উপস্থিত হয় না। সুতরাং, ১১৮৮ একটি নিখুঁত ঘন নয়। ১১৮৮ এর উৎপাদকে বিশ্লেষণে মৌলিক ২ মাত্র দুইবার উপস্থিত হয় এবং মৌলিক ১১ একবার উপস্থিত হয়। সুতরাং, যদি আমরা ১১৮৮ কে $2 \times 2 \times 11=44$ দ্বারা ভাগ করি, তাহলে ভাগফলের মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণে ২ এবং ১১ থাকবে না।

সুতরাং ক্ষুদ্রতম স্বাভাবিক সংখ্যা যার দ্বারা ১১৮৮ কে ভাগ করলে এটিকে একটি নিখুঁত ঘন করা যায় তা হল ৪৪।

এবং ফলস্বরূপ নিখুঁত ঘনটি হল $1188 \div 44=27(=3^{3})$।

উদাহরণ ৫ : ৬৮৬০০ কি একটি নিখুঁত ঘন? যদি না হয়, তবে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয় করুন যার দ্বারা ৬৮৬০০ কে গুণ করতে হবে যাতে একটি নিখুঁত ঘন পাওয়া যায়।

সমাধান: আমাদের আছে, $68600=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$। এই উৎপাদকে বিশ্লেষণে, আমরা দেখি যে ৫ এর কোন ট্রিপলেট নেই।

সুতরাং, ৬৮৬০০ একটি নিখুঁত ঘন নয়। এটিকে একটি নিখুঁত ঘন করতে আমরা এটিকে ৫ দ্বারা গুণ করি। এইভাবে,

$ \begin{aligned} 68600 \times 5 & =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 \\ & =343000, \text{ যা একটি নিখুঁত ঘন। } \end{aligned} $

লক্ষ্য করুন যে ৩৪৩ একটি নিখুঁত ঘন। উদাহরণ ৫ থেকে আমরা জানি যে ৩৪৩০০০ ও একটি নিখুঁত ঘন।

ভাবুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

নিচের কোনগুলি নিখুঁত ঘন তা পরীক্ষা করুন।

(i) ২৭০০ $\quad$ (ii) ১৬০০০ $\quad$ (iii) ৬৪০০০ $\quad$ (iv) ৯০০

(v) ১২৫০০০ $\quad$ (vi) ৩৬০০০ $\quad$ (vii) ২১৬০০ $\quad$(viii) ১০,০০০

(ix) ২৭০০০০০০ (x) ১০০০।

এই নিখুঁত ঘনগুলিতে আপনি কোন নিদর্শন লক্ষ্য করেন?

অনুশীলনী ৬.১

১. নিচের কোন সংখ্যাগুলি নিখুঁত ঘন নয়?

(i) ২১৬ $\quad$ (ii) ১২৮ $\quad$ (iii) ১০০০ $\quad$ (iv) ১০০ $\quad$

(v) ৪৬৬৫৬

২. নিচের প্রতিটি সংখ্যাকে ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে যাতে একটি নিখুঁত ঘন পাওয়া যায়।

(i) ২৪৩ $\quad$ (ii) ২৫৬ $\quad$ (iii) ৭২ $\quad$ (iv) ৬৭৫ $\quad$

(v) ১০০

৩. নিচের প্রতিটি সংখ্যাকে ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে হবে যাতে একটি নিখুঁত ঘন পাওয়া যায়।

(i) ৮১ $\quad$ (ii) ১২৮ $\quad$ (iii) ১৩৫ $\quad$ (iv) ১৯২ $\quad$

(v) ৭০৪

৪. পরীক্ষিত $5 cm, 2 cm, 5 cm$ বাহুবিশিষ্ট প্লাস্টিসিনের আয়তঘন তৈরি করে। একটি ঘন গঠন করতে তার কতগুলি এমন আয়তঘনের প্রয়োজন হবে?

৬.৩ ঘনমূল

যদি একটি ঘনের আয়তন $125 cm^{3}$ হয়, তবে এর বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে? ঘনের বাহুর দৈর্ঘ্য পেতে, আমাদের এমন একটি সংখ্যা জানতে হবে যার ঘন ১২৫।

বর্গমূল নির্ণয় করা, যেমন আপনি জানেন, বর্গ করার বিপরীত প্রক্রিয়া। একইভাবে, ঘনমূল নির্ণয় করা ঘন নির্ণয়ের বিপরীত প্রক্রিয়া।

আমরা জানি যে $2^{3}=8$; তাই আমরা বলি যে ৮ এর ঘনমূল হল ২।

আমরা লিখি $\sqrt[3]{8}=2$। চিহ্ন $\sqrt[3]{ }$ ‘ঘনমূল’ বোঝায়।

নিম্নলিখিতগুলি বিবেচনা করুন:

৬.৩.১ মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতির মাধ্যমে ঘনমূল

৩৩৭৫ বিবেচনা করুন। আমরা মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণের মাধ্যমে এর ঘনমূল নির্ণয় করি:

$ 3375=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5}=3^{3} \times 5^{3}=(3 \times 5)^{3} $

অতএব, $3375=\sqrt[3]{3375}=3 \times 5=15$ এর ঘনমূল

একইভাবে, $\sqrt[3]{74088}$ নির্ণয় করতে, আমাদের আছে,

$ 74088=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2^{3} \times 3^{3} \times 7^{3}=(2 \times 3 \times 7)^{3} $

অতএব, $\sqrt[3]{74088}=2 \times 3 \times 7=42$

উদাহরণ ৬ : ৮০০০ এর ঘনমূল নির্ণয় করুন।

সমাধান: ৮০০০ এর মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হল $\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{5 \times 5 \times 5}$

সুতরাং,

$ \sqrt[3]{8000}=2 \times 2 \times 5=20 $

উদাহরণ ৭ : মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতিতে ১৩৮২৪ এর ঘনমূল নির্ণয় করুন।

সমাধান:

$ 13824=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3}=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 3^{3} \text{. } $

অতএব, $\sqrt[3]{13824}=2 \times 2 \times 2 \times 3=24$

ভাবুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

সত্য বা মিথ্যা বলুন: যেকোনো পূর্ণসংখ্যা $m, m^{2}<m^{3}$ এর জন্য। কেন?

অনুশীলনী ৬.২

১. মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতিতে নিচের প্রতিটি সংখ্যার ঘনমূল নির্ণয় করুন।

(i) ৬৪ $\quad$ (ii) ৫১২ $\quad$ (iii) ১০৬৪৮ $\quad$ (iv) ২৭০০০ $\quad$ (v) ১৫৬২৫

(vi) ১৩৮২৪ $\quad$ (ix) ১৭৫৬১৬ $\quad$ (x) ৯১১২৫ $\quad$ (vii) ১১০৫৯২ $\quad$ (viii) ৪৬৬৫৬

২. সত্য বা মিথ্যা বলুন।

(i) যেকোনো বিজোড় সংখ্যার ঘন জোড়।

(ii) একটি নিখুঁত ঘন দুটি শূন্য দিয়ে শেষ হয় না।

(iii)如果一个数的平方以5结尾，那么它的立方以25结尾。

(iv) ৮ দিয়ে শেষ হয় এমন কোন নিখুঁত ঘন নেই।

(v) একটি দুই অঙ্কের সংখ্যার ঘন একটি তিন অঙ্কের সংখ্যা হতে পারে।

(vi) একটি দুই অঙ্কের সংখ্যার ঘনের সাত বা তার বেশি অঙ্ক থাকতে পারে।

(vii) একটি একক অঙ্কের সংখ্যার ঘন একটি একক অঙ্কের সংখ্যা হতে পারে।

আমরা কী আলোচনা করেছি?

১. $1729,4104,13832$ এর মতো সংখ্যাগুলি হার্ডি - রামানুজন সংখ্যা নামে পরিচিত। সেগুলিকে দুটি ভিন্ন উপায়ে দুটি ঘনকের যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যায়।

২. যখন একটি সংখ্যাকে নিজের সাথে তিনবার গুণ করা হয় তখন প্রাপ্ত সংখ্যাগুলি ঘন সংখ্যা নামে পরিচিত। উদাহরণস্বরূপ $1,8,27, \ldots$ ইত্যাদি।

৩. যদি কোন সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণে প্রতিটি উৎপাদক তিনবার উপস্থিত হয়, তবে সংখ্যাটি একটি নিখুঁত ঘন।

৪. চিহ্ন $\sqrt[3]{ }$ ঘনমূল বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ $\sqrt[3]{27}=3$।