6.1 परिचय

यह भारत के महान गणितीय प्रतिभाओं में से एक, एस. रामानुजन की कहानी है। एक बार एक अन्य प्रसिद्ध गणितज्ञ प्रो. जी.एच. हार्डी एक टैक्सी में उनसे मिलने आए, जिसका नंबर 1729 था। रामानुजन से बात करते हुए, हार्डी ने इस संख्या को “एक साधारण संख्या” बताया। रामानुजन ने तुरंत बताया कि 1729 वास्तव में दिलचस्प है। उन्होंने कहा कि यह सबसे छोटी संख्या है जिसे दो अलग-अलग तरीकों से दो घनों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$ \begin{aligned} & 1729=1728+1=12^{3}+1^{3} \\ & 1729=1000+729=10^{3}+9^{3} \end{aligned} $

1729 तब से हार्डी - रामानुजन संख्या के रूप में जानी जाती है, यद्यपि 1729 की यह विशेषता रामानुजन से 300 साल पहले भी ज्ञात थी।

रामानुजन को यह कैसे पता था? खैर, उन्हें संख्याओं से प्यार था। सभी

हार्डी - रामानुजन संख्या

1729 सबसे छोटी हार्डीरामानुजन संख्या है। ऐसी अनगिनत संख्याएँ हैं। कुछ हैं 4104 $(2,16 ; 9,15), 13832(18,20$; $2,24)$, कोष्ठकों में दी गई संख्याओं से इसकी जाँच करें। अपने जीवन भर, उन्होंने संख्याओं के साथ प्रयोग किया। उन्होंने संभवतः ऐसी संख्याएँ खोजीं जिन्हें दो वर्गों के योग और दो घनों के योग के रूप में भी व्यक्त किया गया।

घनों के कई अन्य रोचक पैटर्न भी हैं। आइए घनों, घनमूलों और उनसे जुड़ी कई अन्य रोचक बातों के बारे में जानें।

6.2 घन

आप जानते हैं कि ‘घन’ शब्द ज्यामिति में प्रयोग किया जाता है। एक घन एक ठोस आकृति है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। $1 cm$ भुजा के कितने घन मिलकर $2 cm$ भुजा का एक घन बनाएँगे?

$1 cm$ भुजा के कितने घन मिलकर $3 cm$ भुजा का एक घन बनाएँगे?

संख्याओं पर विचार करें $1,8,27, \ldots$

हम देखते हैं कि $1=1 \times 1 \times 1=1^{3} ; 8=2 \times 2 \times 2=2^{3} ; 27=3 \times 3 \times 3=3^{3}$।

चूँकि $5^{3}=5 \times 5 \times 5=125$, इसलिए 125 एक घन संख्या है।

क्या 9 एक घन संख्या है? नहीं, क्योंकि $9=3 \times 3$ और कोई भी प्राकृतिक संख्या ऐसी नहीं है जिसे तीन बार गुणा करने पर 9 प्राप्त हो। हम यह भी देख सकते हैं कि $2 \times 2 \times 2=8$ और $3 \times 3 \times 3=27$। यह दर्शाता है कि 9 एक पूर्ण घन नहीं है।

निम्नलिखित 1 से 10 तक की संख्याओं के घन हैं।

तालिका 1

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{संख्याएँ 729, 1000, 1728}\\ \text{भी पूर्ण घन हैं।} \\ \hline \end{array} $

1 से 1000 तक केवल दस पूर्ण घन हैं। (इसकी जाँच करें)। 1 से 100 तक कितने पूर्ण घन हैं?

सम संख्यों के घनों को देखें। क्या वे सभी सम हैं? आप सम संख्यों के घनों के बारे में क्या कह सकते हैं?

निम्नलिखित 11 से 20 तक की संख्याओं के घन हैं।

तालिका 2

कुछ ऐसी संख्याओं पर विचार कीजिए जिनमें इकाई का अंक 1 है। उनमें से प्रत्येक का घन ज्ञात कीजिए। आप ऐसी संख्या के घन के इकाई के अंक के बारे में क्या कह सकते हैं जिसका इकाई का अंक 1 है?

इसी प्रकार, 2, 3, 4, … आदि पर समाप्त होने वाली संख्याओं के घनों के इकाई के अंक का अन्वेषण कीजिए।

इन्हें आज़माइए

निम्नलिखित प्रत्येक संख्या के घन का इकाई का अंक ज्ञात कीजिए।

(i) 3331 $\quad$ (ii) 8888 $\quad$ (iii) 149 (iv) 1005

(v) 1024 (vi) 77 (vii) 5022 (viii) 53

6.2.1 कुछ रोचक पैटर्न

1. क्रमागत विषम संख्याओं को जोड़ना

विषम संख्याओं के योग के निम्नलिखित पैटर्न को देखिए।

$ \begin{aligned} & \\ 3+5 & =1=8 \\ 7+9+11 & =27=1^{3} \\ 13+15+17+19 & =64=3^{3} \\ 21+23+25+27+29 & =125=4^{3} \end{aligned} $

क्या यह रोचक नहीं है? $10^{3}$ के योग को प्राप्त करने के लिए कितनी क्रमागत विषम संख्याओं की आवश्यकता होगी?

इन्हें आज़माइए

उपरोक्त पैटर्�न का उपयोग करके निम्नलिखित संख्याओं को विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए?

(a) $6^{3}$ $\quad$ (b) $8^{3}$ $\quad$ (c) $7^{3}$

निम्नलिखित पैटर्न पर विचार कीजिए।

$ \begin{aligned} & 2^{3}-1^{3}=1+2 \times 1 \times 3 \\ & 3^{3}-2^{3}=1+3 \times 2 \times 3 \\ & 4^{3}-3^{3}=1+4 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

उपरोक्त पैटर्न का उपयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए।

(i) $7^{3}-6^{3}$ $\quad$ (ii) $12^{3}-11^{3}$ $\quad$ (iii) $20^{3}-19^{3}$ $\quad$ (iv) $51^{3}-50^{3}$

2. घन और उनके अभाज्य गुणनखंड

संख्याओं और उनके घनों के अभाज्य गुणनफलों पर विचार कीजिए।

$\begin{array}{cc} \text{एक संख्या का अभाज्य गुणनफल} & \text{उसके घन का अभाज्य गुणनफल} \\ 4 = 2 \times 2 & 4^3 = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \\ 6 = 2 \times 3 & 6^3=216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \\ 15 = 3 \times 5 & 15^3 = 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 3^3 \times 5^3 \\ 12 = 2 \times 2 \times 3 & 12^3 = 1728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 3^3 \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड}\\ \text{अपने घन में तीन बार}\\ \text{प्रकट होता है}\\ \hline \end{array} $

क्या 729 एक पूर्ण घन है?

हाँ, 729 एक पूर्ण घन है।

ध्यान दीजिए कि किसी संख्या का प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड उसके घन के अभाज्य गुणनफल में तीन बार प्रकट होता है।

किसी भी संख्या के अभाज्य गुणनफल में, यदि प्रत्येक गुणनखंड तीन बार आता है, तो क्या वह संख्या एक पूर्ण घन है?

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{क्या आपको याद है कि}\\ a^m \times b^m = (a \times b)^m \\ \hline \end{array} $

सोचिए। क्या 216 एक पूर्ण घन है?

अभाज्य गुणनफल द्वारा, $216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

प्रत्येक गुणनखंड तीन बार आता है। $216=2^{3} \times 3^{3}=(2 \times 3)^{3}$ $=6^{3}$ जो एक पूर्ण घन है! $729=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{3 \times 3 \times 3}$

अब हम 500 की जाँच करते हैं।

500 का अभाज्य गुणनफल $2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$ है।

इसलिए, 500 एक पूर्ण घन नहीं है।

उदाहरण 1 : क्या 243 एक पूर्ण घन है?

हल: $243=\underline{3 \times 3 \times 3} \times 3 \times 3$

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{गुणनफल में तीन }\\ \text{5 हैं लेकिन } \\ \text{केवल दो 2 हैं। } \\ \hline \end{array} $

उपरोक्त गुणनफल में 3 के त्रिक बनाने के बाद $3 \times 3$ बच जाता है। इसलिए, 243 एक पूर्ण घन नहीं है।

इन्हें आजमाइए

निम्नलिखित में से कौन-कौन पूर्ण घन हैं?

1. 400

2. 3375

3. 8000

4. 15625

5. 9000

6. 6859

7. 2025

8. 10648

6.2.2 सबसे छोटा गुणज जो एक पूर्ण घन हो

राज ने प्लास्टिसिन की एक घनाभ बनाया। घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $15 cm$, $30 cm, 15 cm$ हैं।

अनु पूछती है कि उसे एक पूर्ण घन बनाने के लिए ऐसे कितने घनाभों की आवश्यकता होगी? क्या आप बता सकते हैं?

राज ने कहा, घनाभ का आयतन $15 \times 30 \times 15=3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5$ है

$ =2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5} $

चूँकि अभाज्य गुणनफल में केवल एक 2 है। इसलिए हमें $2 \times 2$, अर्थात् 4 चाहिए ताकि यह एक पूर्ण घन बन सके। इसलिए, एक घन बनाने के लिए हमें ऐसे 4 घनाभ चाहिए।

उदाहरण 2 : क्या 392 एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो वह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 392 को गुणा करने पर गुणनफल एक पूर्ण घन हो।

हल: $392=\underline{2 \times 2 \times 2} \times 7 \times 7$

अभाज्य गुणनखंड 7 तीन-तीन के समूह में नहीं आता है। इसलिए, 392 एक पूर्ण घन नहीं है। इसे घन बनाने के लिए हमें एक और 7 चाहिए। उस स्थिति में

$ 392 \times 7=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2744 $

अतः वह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या जिससे 392 को गुणा करने पर एक पूर्ण घन प्राप्त होता है, 7 है।

उदाहरण 3 : क्या 53240 एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो वह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 53240 को भाग देने पर भागफल एक पूर्ण घन हो।

हल: $53240=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} \times 5$

अभाज्य गुणनखंड 5 तीन-तीन के समूह में नहीं आता है। इसलिए, 53240 एक पूर्ण घन नहीं है। गुणनफल में 5 केवल एक बार आता है। यदि हम संख्या को 5 से भाग दें, तो भागफल का अभाज्य गुणनफल में 5 नहीं होगा।

इसलिए,

$ 53240 \div 5=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} $

अतः वह सबसे छोटी संख्या जिससे 53240 को भाग देने पर यह एक पूर्ण घन बनता है, 5 है।

उस स्थिति में पूर्ण घन $=10648$ है।

We are given four numbers to check whether they are perfect cubes:

(i) 2700
(ii) 16000
(iii) 64000
(iv) 900

Let’s examine each one:

(i) 2700
Factorise:
2700 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2² × 3³ × 5²

A perfect cube must have every prime factor appearing in multiples of 3.
Here, 2 and 5 appear twice (not a multiple of 3).
⇒ 2700 is NOT a perfect cube.

(ii) 16000
16000 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
= 2⁶ × 5³

All prime factors (2 and 5) appear in multiples of 3 (6 and 3 respectively).
⇒ 16000 IS a perfect cube.
(Indeed, 16000 = (2² × 5)³ = 20³.)

(iii) 64000
64000 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
= 2⁷ × 5³

Here, 2 appears 7 times – 7 is not a multiple of 3.
⇒ 64000 is NOT a perfect cube.

(iv) 900
900 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2² × 3² × 5²

None of the primes (2, 3, 5) appear in multiples of 3.
⇒ 900 is NOT a perfect cube.

Final Answer:

(ii) 16000 and (iii) 64000 are not perfect cubes.
Only (ii) 16000 is a perfect cube.

(v) 125000 $\quad$ (vi) 36000 $\quad$ (vii) 21600 $\quad$(viii) 10,000

(ix) 27000000 (x) 1000.

इन पूर्ण घनों में आप कौन-सा नियम देखते हैं?

प्रश्नावली 6.1

1. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ पूर्ण घन नहीं हैं?

(i) 216 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 1000 $\quad$ (iv) 100 $\quad$

(v) 46656

2. निम्नलिखित प्रत्येक संख्या को किस छोटी से छोटी संख्या से गुणा किया जाए ताकि एक पूर्ण घन प्राप्त हो?

(i) 243 $\quad$ (ii) 256 $\quad$ (iii) 72 $\quad$ (iv) 675 $\quad$

(v) 100

3. निम्नलिखित प्रत्येक संख्या को किस छोटी से छोटी संख्या से भाग दिया जाए ताकि एक पूर्ण घन प्राप्त हो?

(i) 81 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 135 $\quad$ (iv) 192 $\quad$

(v) 704

4. परिक्षित प्लास्टिसिन से 5 cm, 2 cm, 5 cm भुजाओं वाला एक घनाभ बनाता है। एक घन बनाने के लिए उसे ऐसे कितने घनाभों की आवश्यकता होगी?

6.3 घन मूल

यदि एक घन का आयतन 125 cm³ है, तो उसकी भुजा की लंबाई कितनी होगी? घन की भुजा की लंबाई जानने के लिए हमें वह संख्या चाहिए जिसका घन 125 है।

जैसा कि आप जानते हैं, वर्गमूल निकालना वर्ग करने का व्युत्क्रम संक्रिया है। इसी प्रकार, घनमूल निकालना घन निकालने की व्युत्क्रम संक्रिया है।

हम जानते हैं कि 2³ = 8; इसलिए हम कहते हैं कि 8 का घनमूल 2 है।

हम लिखते हैं $\sqrt[3]{8}=2$। चिह्न $\sqrt[3]{ }$ ‘घनमूल’ को दर्शाता है।

निम्नलिखित पर विचार कीजिए:

6.3.1 अभाज्य गुणनफल विधि से घनमूल

3375 पर विचार करें। हम इसका घनमूल अभाज्य गुणनफल द्वारा निकालते हैं:

$ 3375=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5}=3^{3} \times 5^{3}=(3 \times 5)^{3} $

इसलिए, 3375 का घनमूल $=\sqrt[3]{3375}=3 \times 5=15$

इसी प्रकार, $\sqrt[3]{74088}$ निकालने के लिए, हमें मिलता है,

$ 74088=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2^{3} \times 3^{3} \times 7^{3}=(2 \times 3 \times 7)^{3} $

इसलिए, $\sqrt[3]{74088}=2 \times 3 \times 7=42$

उदाहरण 6 : 8000 का घनमूल ज्ञात कीजिए।

हल: 8000 का अभाज्य गुणनफल $\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{5 \times 5 \times 5}$ है

अतः,

$ \sqrt[3]{8000}=2 \times 2 \times 5=20 $

उदाहरण 7 : अभाज्य गुणनफल विधि से 13824 का घनमूल ज्ञात कीजिए।

हल:

$ 13824=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3}=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 3^{3} \text{. } $

इसलिए, $\sqrt[3]{13824}=2 \times 2 \times 2 \times 3=24$

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

किसी भी पूर्णांक $m$ के लिए, $m^{2}<m^{3}$ बताइए सत्य है या असत्य। क्यों?

अभ्यास 6.2

1. निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या का घन मूल अभाज्य गुणनफल विधि से ज्ञात कीजिए।

(i) 64 $\quad$ (ii) 512 $\quad$ (iii) 10648 $\quad$ (iv) 27000 $\quad$ (v) 15625

(vi) 13824 $\quad$ (ix) 175616 $\quad$ (x) 91125 $\quad$ (vii) 110592 $\quad$ (viii) 46656

2. सत्य या असत्य बताइए।

(i) किसी भी विषम संख्या का घन सम होता है।

(ii) एक पूर्ण घन दो शून्यों पर समाप्त नहीं होता है।

(iii) यदि किसी संख्या का वर्ग 5 पर समाप्त होता है, तो उसका घन 25 पर समाप्त होता है।

(iv) कोई भी पूर्ण घन 8 पर समाप्त नहीं होता है।

(v) दो अंकों की किसी संख्या का घन तीन अंकों की संख्या हो सकता है।

(vi) दो अंकों की किसी संख्या का घन सात या अधिक अंकों की संख्या हो सकता है।

(vii) एक अंक की किसी संख्या का घन एक अंक की संख्या हो सकता है।

हमने क्या चर्चा की है?

1. $1729,4104,13832$ जैसी संख्याओं को हार्डी-रामानुजन संख्याएँ कहा जाता है। इन्हें दो भिन्न तरीकों से दो घनों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

2. जब कोई संख्या तीन बार स्वयं से गुणा होती है, तो प्राप्त संख्याओं को घन संख्याएँ कहा जाता है। उदाहरण के लिए $1,8,27, \ldots$ आदि।

3. यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनफल में प्रत्येक गुणनखंड तीन बार आता है, तो वह संख्या एक पूर्ण घन होती है।

4. प्रतीक $\sqrt[3]{ }$ घनमूल को दर्शाता है। उदाहरण के लिए $\sqrt[3]{27}=3$।