6.1 పరిచయం

ఇది భారతదేశపు గొప్ప గణిత ప్రతిభాశాలి, ఎస్. రామానుజన్ గురించిన కథ. ఒకసారి మరొక ప్రసిద్ధ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ప్రొఫెసర్ జి. హెచ్. హార్డీ అతన్ని సందర్శించడానికి 1729 నంబర్ ఉన్న టాక్సీలో వచ్చారు. రామానుజన్తో మాట్లాడుతూ, హార్డీ ఈ సంఖ్యను “సాదాసీదా సంఖ్య"గా వర్ణించారు. రామానుజన్ వెంటనే 1729 నిజంగా ఆసక్తికరమైనదని సూచించారు. అతను ఇది రెండు వేర్వేరు విధాలుగా రెండు ఘనాల మొత్తంగా వ్యక్తీకరించబడే చిన్న సంఖ్య అని చెప్పారు:

$ \begin{aligned} & 1729=1728+1=12^{3}+1^{3} \\ & 1729=1000+729=10^{3}+9^{3} \end{aligned} $

1729 ను అప్పటి నుండి హార్డీ - రామానుజన్ సంఖ్యగా పిలుస్తారు, అయినప్పటికీ 1729 యొక్క ఈ లక్షణం రామానుజన్ కంటే 300 సంవత్సరాల ముందు నుండి తెలుసు.

రామానుజన్ దీన్ని ఎలా తెలుసుకున్నారు? సరే, అతను సంఖ్యలను ప్రేమించేవారు. అన్ని

హార్డీ - రామానుజన్ సంఖ్య

1729 అతి చిన్న హార్డీ-రామానుజన్ సంఖ్య. అలాంటి సంఖ్యలు అనంతంగా ఉన్నాయి. కొన్ని 4104 $(2,16 ; 9,15), 13832(18,20$; $2,24)$, బ్రాకెట్లలో ఇవ్వబడిన సంఖ్యలతో దీన్ని తనిఖీ చేయండి. తన జీవితం అంతటా, అతను సంఖ్యలతో ప్రయోగాలు చేశాడు. అతను రెండు వర్గాల మొత్తంగా మరియు రెండు ఘనాల మొత్తంగా వ్యక్తీకరించబడిన సంఖ్యలను కూడా కనుగొని ఉండవచ్చు.

ఘనాల యొక్క అనేక ఇతర ఆసక్తికరమైన నమూనాలు ఉన్నాయి. ఘనాలు, ఘనమూలాలు మరియు వాటికి సంబంధించిన అనేక ఇతర ఆసక్తికరమైన వాస్తవాల గురించి తెలుసుకుందాం.

6.2 ఘనాలు

‘ఘనం’ అనే పదం జ్యామితిలో ఉపయోగించబడుతుందని మీకు తెలుసు. ఘనం అనేది దాని అన్ని భుజాలు సమానంగా ఉండే ఘన పటం. $1 cm$ భుజం ఉన్న ఎన్ని ఘనాలు $2 cm$ భుజం ఉన్న ఘనాన్ని తయారు చేస్తాయి?

$1 cm$ భుజం ఉన్న ఎన్ని ఘనాలు $3 cm$ భుజం ఉన్న ఘనాన్ని తయారు చేస్తాయి?

సంఖ్యలను పరిగణించండి $1,8,27, \ldots$

మేము గమనించాము $1=1 \times 1 \times 1=1^{3} ; 8=2 \times 2 \times 2=2^{3} ; 27=3 \times 3 \times 3=3^{3}$.

$5^{3}=5 \times 5 \times 5=125$ కాబట్టి, 125 ఒక ఘన సంఖ్య.

9 ఒక ఘన సంఖ్యా? కాదు, ఎందుకంటే $9=3 \times 3$ మరియు మూడు సార్లు తీసుకొని గుణించినప్పుడు 9 ని ఇచ్చే సహజ సంఖ్య లేదు. మనం $2 \times 2 \times 2=8$ మరియు $3 \times 3 \times 3=27$ అని కూడా చూడవచ్చు. ఇది 9 ఖచ్చితమైన ఘనం కాదని చూపిస్తుంది.

1 నుండి 10 వరకు ఉన్న సంఖ్యల ఘనాలు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి.

పట్టిక 1

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{సంఖ్యలు 729, 1000, 1728}\\ \text{కూడా ఖచ్చితమైన ఘనాలు.} \\ \hline \end{array} $

1 నుండి 1000 వరకు కేవలం పది ఖచ్చితమైన ఘనాలు మాత్రమే ఉన్నాయి. (దీన్ని తనిఖీ చేయండి). 1 నుండి 100 వరకు ఎన్ని ఖచ్చితమైన ఘనాలు ఉన్నాయి?

సరి సంఖ్యల ఘనాలను గమనించండి. అవన్నీ సరిసంఖ్యలేనా? బేసి సంఖ్యల ఘనాల గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలరు?

11 నుండి 20 వరకు ఉన్న సంఖ్యల ఘనాలు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి.

పట్టిక 2

ఒకట్ల స్థానంలో (లేదా ఏకక స్థానంలో) 1 ఉన్న కొన్ని సంఖ్యలను పరిగణించండి. వాటిలో ప్రతి ఒక్కదాని ఘనాన్ని కనుగొనండి. ఒకట్ల స్థానంలో 1 ఉన్న సంఖ్య యొక్క ఘనం యొక్క ఒకట్ల స్థానం గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలరు?

అదేవిధంగా, $2,3,4, \ldots$ మొదలైన వాటితో ముగిసే సంఖ్యల ఘనాల యొక్క ఒకట్ల స్థానాన్ని అన్వేషించండి.

ప్రయత్నించండి

క్రింది సంఖ్యలలో ప్రతి ఒక్కదాని ఘనం యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెను కనుగొనండి.

(i) 3331 $\quad$ (ii) 8888 $\quad$ (iii) 149 (iv) 1005

(v) 1024 (vi) 77 (vii) 5022 (viii) 53

6.2.1 కొన్ని ఆసక్తికరమైన నమూనాలు

1. వరుస బేసి సంఖ్యలను కూడటం

బేసి సంఖ్యల మొత్తాల క్రింది నమూనాను గమనించండి.

$ \begin{aligned} & \\ 3+5 & =1=8 \\ 7+9+11 & =27=1^{3} \\ 13+15+17+19 & =64=3^{3} \\ 21+23+25+27+29 & =125=4^{3} \end{aligned} $

ఇది ఆసక్తికరంగా లేదా? మొత్తం $10^{3}$ గా పొందడానికి ఎన్ని వరుస బేసి సంఖ్యలు అవసరం?

ప్రయత్నించండి

పై నమూనాను ఉపయోగించి క్రింది సంఖ్యలను బేసి సంఖ్యల మొత్తంగా వ్యక్తపరచండి?

(a) $6^{3}$ $\quad$ (b) $8^{3}$ $\quad$ (c) $7^{3}$

క్రింది నమూనాను పరిగణించండి.

$ \begin{aligned} & 2^{3}-1^{3}=1+2 \times 1 \times 3 \\ & 3^{3}-2^{3}=1+3 \times 2 \times 3 \\ & 4^{3}-3^{3}=1+4 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

పై నమూనాను ఉపయోగించి, క్రింది వాటి విలువను కనుగొనండి.

(i) $7^{3}-6^{3}$ $\quad$ (ii) $12^{3}-11^{3}$ $\quad$ (iii) $20^{3}-19^{3}$ $\quad$ (iv) $51^{3}-50^{3}$

2. ఘనాలు మరియు వాటి ప్రధాన కారణాంకాలు

సంఖ్యలు మరియు వాటి ఘనాల యొక్క క్రింది ప్రధాన కారణాంక విభజనను పరిగణించండి.

$\begin{array}{cc} \text{సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంక విభజన} & \text{దాని ఘనం యొక్క ప్రధాన కారణాంక విభజన} \\ 4 = 2 \times 2 & 4^3 = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \\ 6 = 2 \times 3 & 6^3=216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \\ 15 = 3 \times 5 & 15^3 = 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 3^3 \times 5^3 \\ 12 = 2 \times 2 \times 3 & 12^3 = 1728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 3^3 \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ప్రతి ప్రధాన కారణాంకం}\\ \text{దాని ఘనంలో మూడు సార్లు}\\ \text{కనిపిస్తుంది} \\ \hline \end{array} $

729 ఖచ్చితమైన ఘనమా?

అవును, 729 ఖచ్చితమైన ఘనం.

ఒక సంఖ్య యొక్క ప్రతి ప్రధాన కారణాంకం దాని ఘనం యొక్క ప్రధాన కారణాంక విభజనలో మూడు సార్లు కనిపిస్తుందని గమనించండి.

ఏదైనా సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంక విభజనలో, ప్రతి కారణాంకం మూడు సార్లు కనిపిస్తే, అప్పుడు, ఆ సంఖ్య ఖచ్చితమైన ఘనమా?

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{మీరు గుర్తుంచుకుంటారా}\\ a^m \times b^m = (a \times b)^m \\ \hline \end{array} $

దాని గురించి ఆలోచించండి. 216 ఖచ్చితమైన ఘనమా?

ప్రధాన కారణాంక విభజన ద్వారా, $216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

ప్రతి కారణాంకం 3 సార్లు కనిపిస్తుంది. $216=2^{3} \times 3^{3}=(2 \times 3)^{3}$ $=6^{3}$ ఇది ఖచ్చితమైన ఘనం! $729=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{3 \times 3 \times 3}$

ఇప్పుడు 500 కోసం తనిఖీ చేద్దాం.

500 యొక్క ప్రధాన కారణాంక విభజన $2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$.

కాబట్టి, 500 ఖచ్చితమైన ఘనం కాదు.

ఉదాహరణ 1 : 243 ఖచ్చితమైన ఘనమా?

పరిష్కారం: $243=\underline{3 \times 3 \times 3} \times 3 \times 3$

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{గుణకారంలో మూడు }\\ \text{5’s ఉన్నాయి కానీ } \\ \text{కేవలం రెండు 2’s మాత్రమే ఉన్నాయి. } \\ \hline \end{array} $

పై కారణాంక విభజనలో $3 \times 3$ మూడింటి సమూహాలలో 3 లను సమూహపరచిన తర్వాత మిగిలిపోతుంది. కాబట్టి, 243 ఖచ్చితమైన ఘనం కాదు.

ప్రయత్నించండి

క్రింది వాటిలో ఏవి ఖచ్చితమైన ఘనాలు?

1. 400

2. 3375

3. 8000

4. 15625

5. 9000

6. 6859

7. 2025

8. 10648

6.2.2 ఖచ్చితమైన ఘనం అయ్యే చిన్న గుణిజం

రాజ్ ప్లాస్టిసిన్ తో ఒక దీర్ఘఘనాన్ని తయారు చేశాడు. దీర్ఘఘనం యొక్క పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తు వరుసగా $15 cm$, $30 cm, 15 cm$.

అను ఒక ఖచ్చితమైన ఘనాన్ని తయారు చేయడానికి అతనికి అలాంటి ఎన్ని దీర్ఘఘనాలు అవసరమో అడుగుతుంది? మీరు చెప్పగలరా?

రాజ్ చెప్పాడు, దీర్ఘఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం $15 \times 30 \times 15=3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5$

$ =2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5} $

ప్రధాన కారణాంక విభజనలో ఒకే ఒక్క 2 ఉన్నందున. కాబట్టి మనకు $2 \times 2$ అవసరం, అంటే, దాన్ని ఖచ్చితమైన ఘనంగా మార్చడానికి 4. కాబట్టి, ఘనం తయారు చేయడానికి మనకు 4 అలాంటి దీర్ఘఘనాలు అవసరం.

ఉదాహరణ 2 : 392 ఖచ్చితమైన ఘనమా? కాకపోతే, లబ్ధం ఖచ్చితమైన ఘనం కావడానికి 392 ని గుణించవలసిన అతి చిన్న సహజ సంఖ్యను కనుగొనండి.

పరిష్కారం: $392=\underline{2 \times 2 \times 2} \times 7 \times 7$

ప్రధాన కారణాంకం 7 మూడింటి సమూహంలో కనిపించదు. కాబట్టి, 392 ఖచ్చితమైన ఘనం కాదు. దాన్ని ఘనంగా మార్చడానికి, మనకు మరో 7 అవసరం. అలా అయితే

$ 392 \times 7=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2744 $

కాబట్టి ఖచ్చితమైన ఘనంగా మార్చడానికి 392 ని గుణించవలసిన అతి చిన్న సహజ సంఖ్య 7.

ఉదాహరణ 3 : 53240 ఖచ్చితమైన ఘనమా? కాకపోతే, భాగఫలం ఖచ్చితమైన ఘనం కావడానికి 53240 ని ఏ అతి చిన్న సహజ సంఖ్యతో భాగించాలి?

పరిష్కారం: $53240=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} \times 5$

ప్రధాన కారణాంకం 5 మూడింటి సమూహంలో కనిపించదు. కాబట్టి, 53240 ఖచ్చితమైన ఘనం కాదు. కారణాంక విభజనలో 5 ఒకేసారి మాత్రమే కనిపిస్తుంది. మనం సంఖ్యను 5 తో భాగిస్తే, అప్పుడు భాగఫలం యొక్క ప్రధాన కారణాంక విభజనలో 5 ఉండదు.

కాబట్టి,

$ 53240 \div 5=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} $

కాబట్టి దాన్ని ఖచ్చితమైన ఘనంగా మార్చడానికి 53240 ని భాగించవలసిన అతి చిన్న సంఖ్య 5.

ఆ సందర్భంలో ఖచ్చితమైన ఘనం $=10648$.

ఉదాహరణ 4 : 1188 ఖచ్చితమైన ఘనమా? కాకపోతే, భాగఫలం ఖచ్చితమైన ఘనం కావడానికి 1188 ని ఏ అతి చిన్న సహజ సంఖ్యతో భాగించాలి?

పరిష్కారం: $1188=2 \times 2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times 11$

ప్రధాన సంఖ్యలు 2 మరియు 11 మూడింటి సమూహాలలో కనిపించవు. కాబట్టి, 1188 ఖచ్చితమైన ఘనం కాదు. 1188 యొక్క కారణాంక విభజనలో ప్రధాన సంఖ్య 2 రెండు సార్లు మాత్రమే కనిపిస్తుంది మరియు ప్రధాన సంఖ్య 11 ఒకసారి కనిపిస్తుంది. కాబట్టి, మనం 1188 ని $2 \times 2 \times 11=44$ తో భాగిస్తే, అప్పుడు భాగఫలం యొక్క ప్రధాన కారణాంక విభజనలో 2 మరియు 11 ఉండవు.

కాబట్టి దాన్ని ఖచ్చితమైన ఘనంగా మార్చడానికి 1188 ని భాగించవలసిన అతి చిన్న సహజ సంఖ్య 44.

మరియు ఫలితంగా వచ్చే ఖచ్చితమైన ఘనం $1188 \div 44=27(=3^{3})$.

ఉదాహరణ 5 : 68600 ఖచ్చితమైన ఘనమా? కాకపోతే, ఖచ్చితమైన ఘనం పొందడానికి 68600 ని గుణించవలసిన అతి చిన్న సంఖ్యను కనుగొనండి.

పరిష్కారం: మన దగ్గర ఉంది, $68600=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$. ఈ కారణాంక విభజనలో, 5 యొక్క త్రికం లేదని మనం కనుగొంటాము.

కాబట్టి, 68600 ఖచ్చితమైన ఘనం కాదు. దాన్ని ఖచ్చితమైన ఘనంగా మార్చడానికి మనం దాన్ని 5 తో గుణిస్తాము. అందువలన,

$ \begin{aligned} 68600 \times 5 & =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 \\ & =343000, \text{ ఇది ఖచ్చితమైన ఘనం. } \end{aligned} $

343 ఖచ్చితమైన ఘనం అని గమనించండి. ఉదాహరణ 5 నుండి 343000 కూడా ఖచ్చితమైన ఘనం అని మనకు తెలుసు.

ఆలోచించండి, చర్చించండి మరియు వ్రాయండి

క్రింది వాటిలో ఏవి ఖచ్చితమైన ఘనాలు అని తనిఖీ చేయండి.

(i) 2700 $\quad$ (ii) 16000 $\quad$ (iii) 64000 $\quad$ (iv) 900

(v) 125000 $\quad$ (vi) 36000 $\quad$ (vii) 21600 $\quad$(viii) 10,000

(ix) 27000000 (x) 1000.

ఈ ఖచ్చితమైన ఘనాలలో మీరు ఏ నమూనాను గమనించారు?

అభ్యాసం 6.1

1. క్రింది సంఖ్యలలో ఏవి ఖచ్చితమైన ఘనాలు కావు?

(i) 216 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 1000 $\quad$ (iv) 100 $\quad$

(v) 46656

2. ఖచ్చితమైన ఘనం పొందడానికి క్రింది ప్రతి సంఖ్యను గుణించవలసిన అతి చిన్న సంఖ్యను కనుగొనండి.

(i) 243 $\quad$ (ii) 256 $\quad$ (iii) 72 $\quad$ (iv) 675 $\quad$

(v) 100

3. ఖచ్చితమైన ఘనం పొందడానికి క్రింది ప్రతి సంఖ్యను భాగించవలసిన అతి చిన్న సంఖ్యను కనుగొనండి.

(i) 81 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 135 $\quad$ (iv) 192 $\quad$

(v) 704

4. పరీక్షిత్ $5 cm, 2 cm, 5 cm$ భుజాలు ఉన్న ప్లాస్టిసిన్ దీర్ఘఘనాన్ని తయారు చేస్తాడు. ఘనం ఏర్పరచడానికి అతనికి అలాంటి ఎన్ని దీర్ఘఘనాలు అవసరం?

6.3 ఘనమూలాలు

ఒక ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం $125 cm^{3}$ అయితే, దాని భుజం పొడవు ఎంత ఉంటుంది? ఘనం యొక్క భుజం పొడవును పొందడానికి, దీని ఘనం 125 అయ్యే సంఖ్యను తెలుసుకోవాలి.

వర్గమూలాన్ని కనుగొనడం, మీకు తెలిసినట్లుగా, వర్గీకరణకు విలోమ క్రియ. అదేవిధంగా, ఘనమూలాన్ని కనుగొనడం ఘనాన్ని కనుగొనడానికి విలోమ క్రియ.

మనకు తెలుసు $2^{3}=8$; కాబట్టి 8 యొక్క ఘనమూలం 2 అని మనం చెప్తాము.

మనం వ్రాస్తాము $\sqrt[3]{8}=2$. చిహ్నం $\sqrt[3]{ }$ ‘ఘనమూలం’ని సూచిస్తుంది.

క్రింది వాటిని పరిగణించండి:

6.3.1 ప్రధాన కారణాంక విభజన పద్ధతి ద్వారా ఘనమూలం

3375 ను పరిగణించండి. మేము దాని ఘనమూలాన్ని ప్రధాన కారణాంక విభజన ద్వారా కనుగొంటాము:

$ 3375=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5}=3^{3} \times 5^{3}=(3 \times 5)^{3} $

కాబట్టి, $3375=\sqrt[3]{3375}=3 \times 5=15$ యొక్క ఘనమూలం

అదేవిధంగా, $\sqrt[3]{74088}$ ను కనుగొనడానికి, మన దగ్గర ఉంది,

$ 74088=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2^{3} \times 3^{3} \times 7^{3}=(2 \times 3 \times 7)^{3} $

కాబట్టి, $\sqrt[3]{74088}=2 \times 3 \times 7=42$

ఉదాహరణ 6 : 8000 యొక్క ఘనమూలాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం: 8000 యొక్క ప్రధాన కారణాంక విభజన $\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{5 \times 5 \times 5}$

కాబట్టి,

$ \sqrt[3]{8000}=2 \times 2 \times 5=20 $

ఉదాహరణ 7 : ప్రధాన కారణాంక విభజన పద్ధతి ద్వారా 13824 యొక్క ఘనమూలాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

$ 13824=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3}=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 3^{3} \text{. } $

కాబట్టి, $\sqrt[3]{13824}=2 \times 2 \times 2 \times 3=24$

ఆలోచించండి, చర్చించండి మరియు వ్రాయండి

సత్యమో అసత్యమో తెలియచేయండి: ఏదైనా పూర్ణాంకం $m, m^{2}<m^{3}$. ఎందుకు?

అభ్యాసం 6.2

1. ప్రధాన కారణాంక విభజన పద్ధతి ద్వారా క్రింది ప్రతి సంఖ్య యొక్క ఘనమూలాన్ని కనుగొనండి.

(i) 64 $\quad$ (ii) 512 $\quad$ (iii) 10648 $\quad$ (iv) 27000 $\quad$ (v) 15625

(vi) 13824 $\quad$ (ix) 175616 $\quad$ (x) 91125 $\quad$ (vii) 110592 $\quad$ (viii) 46656

2. సత్యమో అసత్యమో తెలియచేయండి.

(i) ఏదైనా బేసి సంఖ్య యొక్క ఘనం సరిసంఖ్య.

(ii) ఖచ్చితమైన ఘనం రెండు సున్నాలతో ముగియదు.

(iii) ఒక సంఖ్య యొక్క వర్గం 5 తో ముగిస్తే, అప్పుడు దాని ఘనం 25 తో ముగుస్తుంది.

(iv) 8 తో ముగిసే ఖచ్చితమైన ఘనం లేదు.

(v) రెండు అంకెల సంఖ్య యొక్క ఘనం మూడు అంకెల సంఖ్య కావచ్చు.

(vi) రెండు అంకెల సంఖ్య యొక్క ఘనం ఏడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అంకెలను కలిగి ఉండవచ్చు.

(vii) ఒక అంకె సంఖ్య యొక్క ఘనం ఒక అంకె సంఖ్య