6.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਇਹ ਕਹਾਣੀ ਹੈ ਭਾਰਤ ਦੇ ਮਹਾਨ ਗਣਿਤ-ਪ੍ਰਤਿਭਾਵਾਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ, ਐਸ. ਰਾਮਾਨੁਜਨ ਦੀ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਮਸ਼ਹੂਰ ਗਣਿਤ-ਜੀਐਚ. ਹਾਰਡੀ ਉਸ ਨੂੰ ਮਿਲਣ ਇੱਕ ਟੈਕਸੀ ਵਿੱਚ ਆਏ ਜਿਸ ਦਾ ਨੰਬਰ 1729 ਸੀ। ਰਾਮਾਨੁਜਨ ਨਾਲ ਗੱਲਬਾਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਹਾਰਡੀ ਨੇ ਇਸ ਨੰਬਰ ਨੂੰ “ਇੱਕ ਨੀਰਸ ਨੰਬਰ” ਦੱਸਿਆ। ਰਾਮਾਨੁਜਨ ਨੇ ਤੁਰੰਤ ਦੱਸਿਆ ਕਿ 1729 ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪ ਹੈ। ਉਸ ਨੇ ਕਿਹਾ ਕਿ ਇਹ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਦੋ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

$ \begin{aligned} & 1729=1728+1=12^{3}+1^{3} \\ & 1729=1000+729=10^{3}+9^{3} \end{aligned} $

1729 ਨੂੰ ਉਦੋਂ ਤੋਂ ਹਾਰਡੀ - ਰਾਮਾਨੁਜਨ ਨੰਬਰ ਦੇ ਨਾਂ ਨਾਲ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ 1729 ਦੀ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਰਾਮਾਨੁਜਨ ਤੋਂ 300 ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਸੀ।

ਰਾਮਾਨੁਜਨ ਨੂੰ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਸੀ? ਖੈਰ, ਉਹ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਪਿਆਰ ਕਰਦਾ ਸੀ। ਸਾਰੀ

ਹਾਰਡੀ - ਰਾਮਾਨੁਜਨ ਨੰਬਰ

1729 ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹਾਰਡੀ-ਰਾਮਾਨੁਜਨ ਨੰਬਰ ਹੈ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਨੰਤ ਹਨ। ਕੁਝ ਹਨ 4104 $(2,16 ; 9,15), 13832(18,20$; $2,24)$, ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਨੰਬਰਾਂ ਨਾਲ ਇਸ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਆਪਣੀ ਜ਼ਿੰਦਗੀ ਭਰ, ਉਸ ਨੇ ਨੰਬਰਾਂ ਨਾਲ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕੀਤੇ। ਸੰਭਵ ਹੈ ਉਸ ਨੇ ਉਹ ਨੰਬਰ ਲੱਭੇ ਜੋ ਦੋ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਦੋ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਵੀ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ।

ਘਣਾਂ ਦੇ ਹੋਰ ਵੀ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਦਿਲਚਸਪ ਪੈਟਰਨ ਹਨ। ਆਓ ਘਣਾਂ, ਘਣਮੂਲਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੋਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਦਿਲਚਸਪ ਤੱਥਾਂ ਬਾਰੇ ਸਿੱਖੀਏ।

6.2 ਘਣ

ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ‘ਘਣ’ ਸ਼ਬਦ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਘਣ ਇੱਕ ਠੋਸ ਆਕ੍ਰਿਤੀ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। $1 cm$ ਭੁਜਾ ਵਾਲੇ ਕਿੰਨੇ ਘਣ $2 cm$ ਭੁਜਾ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਣ ਬਣਾਉਣਗੇ?

$1 cm$ ਭੁਜਾ ਵਾਲੇ ਕਿੰਨੇ ਘਣ $3 cm$ ਭੁਜਾ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਣ ਬਣਾਉਣਗੇ?

ਸੰਖਿਆਵਾਂ $1,8,27, \ldots$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ

ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $1=1 \times 1 \times 1=1^{3} ; 8=2 \times 2 \times 2=2^{3} ; 27=3 \times 3 \times 3=3^{3}$.

ਕਿਉਂਕਿ $5^{3}=5 \times 5 \times 5=125$, ਇਸ ਲਈ 125 ਇੱਕ ਘਣ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

ਕੀ 9 ਇੱਕ ਘਣ ਸੰਖਿਆ ਹੈ? ਨਹੀਂ, ਕਿਉਂਕਿ $9=3 \times 3$ ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵਾਰ ਲੈ ਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ 9 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $2 \times 2 \times 2=8$ ਅਤੇ $3 \times 3 \times 3=27$. ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ 9 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਹੇਠਾਂ 1 ਤੋਂ 10 ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਘਣ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।

ਟੇਬਲ 1

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ਸੰਖਿਆਵਾਂ 729, 1000, 1728}\\ \text{ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਵੀ ਹਨ।} \\ \hline \end{array} $

1 ਤੋਂ 1000 ਤੱਕ ਸਿਰਫ਼ ਦਸ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹਨ। (ਇਸ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ)। 1 ਤੋਂ 100 ਤੱਕ ਕਿੰਨੇ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹਨ?

ਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਘਣਾਂ ‘ਤੇ ਧਿਆਨ ਦਿਓ। ਕੀ ਉਹ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮ ਹਨ? ਤੁਸੀਂ ਵਿਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਘਣਾਂ ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਹੇਠਾਂ 11 ਤੋਂ 20 ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਘਣ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।

ਟੇਬਲ 2

ਕੁਝ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਇਕਾਈ ਦਾ ਅੰਕ 1 ਹੈ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦਾ ਘਣ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਤੁਸੀਂ ਉਸ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਘਣ ਦੇ ਇਕਾਈ ਅੰਕ ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜਿਸ ਦਾ ਇਕਾਈ ਅੰਕ 1 ਹੈ?

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਘਣਾਂ ਦੇ ਇਕਾਈ ਅੰਕ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰੋ ਜੋ $2,3,4, \ldots$, ਆਦਿ ‘ਤੇ ਖ਼ਤਮ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਦੇਖੋ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੇ ਘਣ ਦਾ ਇਕਾਈ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।

(i) 3331 $\quad$ (ii) 8888 $\quad$ (iii) 149 (iv) 1005

(v) 1024 (vi) 77 (vii) 5022 (viii) 53

6.2.1 ਕੁਝ ਦਿਲਚਸਪ ਪੈਟਰਨ

1. ਲਗਾਤਾਰ ਵਿਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜੋੜਨਾ

ਵਿਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪੈਟਰਨ ‘ਤੇ ਧਿਆਨ ਦਿਓ।

$ \begin{aligned} & \\ 3+5 & =1=8 \\ 7+9+11 & =27=1^{3} \\ 13+15+17+19 & =64=3^{3} \\ 21+23+25+27+29 & =125=4^{3} \end{aligned} $

ਕੀ ਇਹ ਦਿਲਚਸਪ ਨਹੀਂ ਹੈ? $10^{3}$ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿੰਨੀਆਂ ਲਗਾਤਾਰ ਵਿਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ?

ਇਹ ਕਰਕੇ ਦੇਖੋ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ?

(a) $6^{3}$ $\quad$ (b) $8^{3}$ $\quad$ (c) $7^{3}$

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪੈਟਰਨ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।

$ \begin{aligned} & 2^{3}-1^{3}=1+2 \times 1 \times 3 \\ & 3^{3}-2^{3}=1+3 \times 2 \times 3 \\ & 4^{3}-3^{3}=1+4 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਿਆਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

(i) $7^{3}-6^{3}$ $\quad$ (ii) $12^{3}-11^{3}$ $\quad$ (iii) $20^{3}-19^{3}$ $\quad$ (iv) $51^{3}-50^{3}$

2. ਘਣ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ

ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਘਣਾਂ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।

$\begin{array}{cc} \text{ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ} & \text{ਇਸ ਦੇ ਘਣ ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ} \\ 4 = 2 \times 2 & 4^3 = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \\ 6 = 2 \times 3 & 6^3=216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \\ 15 = 3 \times 5 & 15^3 = 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 3^3 \times 5^3 \\ 12 = 2 \times 2 \times 3 & 12^3 = 1728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 3^3 \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ਹਰ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ}\\ \text{ਆਪਣੇ ਘਣ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵਾਰ}\\ \text{ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ} \\ \hline \end{array} $

ਕੀ 729 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹੈ?

ਹਾਂ, 729 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹੈ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਹਰ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਉਸ ਦੇ ਘਣ ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵਾਰ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਹਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਤਿੰਨ ਵਾਰ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹੈ?

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਯਾਦ ਹੈ ਕਿ}\\ a^m \times b^m = (a \times b)^m \\ \hline \end{array} $

ਇਸ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ। ਕੀ 216 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹੈ?

ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਦੁਆਰਾ, $216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

ਹਰ ਗੁਣਨਖੰਡ 3 ਵਾਰ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। $216=2^{3} \times 3^{3}=(2 \times 3)^{3}$ $=6^{3}$ ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹੈ! $729=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{3 \times 3 \times 3}$

ਹੁਣ ਆਓ 500 ਲਈ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ।

500 ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ $2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, 500 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 1 : ਕੀ 243 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹੈ?

ਹੱਲ: $243=\underline{3 \times 3 \times 3} \times 3 \times 3$

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ }\\ \text{5 ਹਨ ਪਰ } \\ \text{ਸਿਰਫ਼ ਦੋ 2 ਹਨ। } \\ \hline \end{array} $

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿੱਚ $3 \times 3$ ਤਿਕੜੀਆਂ ਵਿੱਚ 3 ‘ਸਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਬਚ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, 243 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਦੇਖੋ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੀਆਂ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹਨ?

1. 400

2. 3375

3. 8000

4. 15625

5. 9000

6. 6859

7. 2025

8. 10648

6.2.2 ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਗੁਣਜ ਜੋ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹੈ

ਰਾਜ ਨੇ ਪਲਾਸਟੀਸੀਨ ਦਾ ਇੱਕ ਘਣਾਵ ਬਣਾਇਆ। ਘਣਾਵ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $15 cm$, $30 cm, 15 cm$ ਹੈ।

ਅਨੁ ਪੁੱਛਦੀ ਹੈ ਕਿ ਉਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਅਜਿਹੇ ਕਿੰਨੇ ਘਣਾਵਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ? ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਰਾਜ ਨੇ ਕਿਹਾ, ਘਣਾਵ ਦਾ ਆਇਤਨ $15 \times 30 \times 15=3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5$ ਹੈ

$ =2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5} $

ਕਿਉਂਕਿ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ 2 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਬਣਾਉਣ ਲਈ $2 \times 2$, ਯਾਨੀ 4 ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਘਣ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ 4 ਅਜਿਹੇ ਘਣਾਵਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 2 : ਕੀ 392 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹੈ? ਜੇ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਉਹ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਨਾਲ 392 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਬਣ ਜਾਵੇ।

ਹੱਲ: $392=\underline{2 \times 2 \times 2} \times 7 \times 7$

ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ 7 ਤਿਕੜੀ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ। ਇਸ ਲਈ, 392 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਘਣ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਹੋਰ 7 ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ

$ 392 \times 7=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2744 $

ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਜਿਸ ਨਾਲ 392 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਉਹ 7 ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 3 : ਕੀ 53240 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹੈ? ਜੇ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਉਹ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਕਿਹੜੀ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ 53240 ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਭਾਗਫਲ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਬਣ ਜਾਵੇ?

ਹੱਲ: $53240=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} \times 5$

ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ 5 ਤਿਕੜੀ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ। ਇਸ ਲਈ, 53240 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿੱਚ 5 ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਵਾਰ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ 5 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ 5 ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਕਰੇਗਾ।

ਇਸ ਲਈ,

$ 53240 \div 5=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} $

ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਜਿਸ ਨਾਲ 53240 ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਉਹ 5 ਹੈ।

ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ $=10648$ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 4 : ਕੀ 1188 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹੈ? ਜੇ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਉਹ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਕਿਹੜੀ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ 1188 ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਭਾਗਫਲ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਬਣ ਜਾਵੇ?

ਹੱਲ: $1188=2 \times 2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times 11$

ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 2 ਅਤੇ 11 ਤਿਕੜੀਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹਾਂ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀਆਂ। ਇਸ ਲਈ, 1188 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਨਹੀਂ ਹੈ। 1188 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿੱਚ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ 2 ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਵਾਰ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ 11 ਇੱਕ ਵਾਰ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 1188 ਨੂੰ $2 \times 2 \times 11=44$ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ 2 ਅਤੇ 11 ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਕਰੇਗਾ।

ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਜਿਸ ਨਾਲ 1188 ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਉਹ 44 ਹੈ।

ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਮਿਲਣ ਵਾਲਾ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ $1188 \div 44=27(=3^{3})$ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 5 : ਕੀ 68600 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹੈ? ਜੇ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਉਹ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਨਾਲ 68600 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ।

ਹੱਲ: ਸਾਡੇ ਕੋਲ, $68600=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$ ਹੈ। ਇਸ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 5 ਦੀ ਕੋਈ ਤਿਕੜੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, 68600 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸ ਨੂੰ 5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,

$ \begin{aligned} 68600 \times 5 & =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 \\ & =343000, \text{ ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹੈ। } \end{aligned} $

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ 343 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 343000 ਵੀ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹੈ।

ਸੋਚੋ, ਚਰਚਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲਿਖੋ

ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੀਆਂ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹਨ।

(i) 2700 $\quad$ (ii) 16000 $\quad$ (iii) 64000 $\quad$ (iv) 900

(v) 125000 $\quad$ (vi) 36000 $\quad$ (vii) 21600 $\quad$(viii) 10,000

(ix) 27000000 (x) 1000.

ਤੁਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿਹੜਾ ਪੈਟਰਨ ਦੇਖਦੇ ਹੋ?

ਅਭਿਆਸ 6.1

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੀਆਂ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਨਹੀਂ ਹਨ?

(i) 216 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 1000 $\quad$ (iv) 100 $\quad$

(v) 46656

2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਕਿਸ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ ਤਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ?

(i) 243 $\quad$ (ii) 256 $\quad$ (iii) 72 $\quad$ (iv) 675 $\quad$

(v) 100

3. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਕਿਸ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ ਤਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ?

(i) 81 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 135 $\quad$ (iv) 192 $\quad$

(v) 704

4. ਪਰਿਕਸ਼ਿਤ ਪਲਾਸਟੀਸੀਨ ਦਾ ਇੱਕ ਘਣਾਵ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ $5 cm, 2 cm, 5 cm$ ਹਨ। ਉਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਘਣ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਅਜਿਹੇ ਕਿੰਨੇ ਘਣਾਵਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ?

6.3 ਘਣਮੂਲ

ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਘਣ ਦਾ ਆਇਤਨ $125 cm^{3}$ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸ ਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੋਵੇਗੀ? ਘਣ ਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਉਸ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਸ ਦਾ ਘਣ 125 ਹੈ।

ਜਿਵੇਂ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ, ਵਰਗਮੂਲ ਲੱਭਣਾ, ਵਰਗ ਕਰਨ ਦਾ ਉਲਟ ਕਾਰਜ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਘਣਮੂਲ ਲੱਭਣਾ, ਘਣ ਲੱਭਣ ਦਾ ਉਲਟ ਕਾਰਜ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $2^{3}=8$; ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 8 ਦਾ ਘਣਮੂਲ 2 ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ $\sqrt[3]{8}=2$. ਚਿੰਨ੍ਹ $\sqrt[3]{ }$ ‘ਘਣਮੂਲ’ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ:

6.3.1 ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਘਣਮੂਲ

3375 ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਦਾ ਘਣਮੂਲ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਦੁਆਰਾ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ:

$ 3375=\underline{3 \times 3 \times 3} \