11.1 تعارف

موہن اپنے اور اپنی بہن کے لیے چائے بناتا ہے۔ وہ $300 mL$ پانی، 2 چمچ چینی، 1 چمچ چائے کی پتی اور $50 mL$ دودھ استعمال کرتا ہے۔ اگر اسے پانچ افراد کے لیے چائے بنانی ہو تو ہر چیز کی کتنی مقدار درکار ہوگی؟

اگر دو طلبہ اسمبلی کے لیے کرسیاں لگانے میں 20 منٹ لیتے ہیں، تو پانچ طلبہ یہی کام کرنے میں کتنا وقت لیں گے؟

ہم اپنی روزمرہ زندگی میں ایسی بہت سی صورتحال سے دوچار ہوتے ہیں، جہاں ہمیں ایک مقدار میں تبدیلی دوسری مقدار میں تبدیلی لاتی ہوئی دیکھنے کی ضرورت ہوتی ہے۔

مثال کے طور پر:

(i) اگر خریدی گئی اشیاء کی تعداد بڑھتی ہے، تو کل لاگت بھی بڑھتی ہے۔

(ii) بینک میں جتنا زیادہ رقم جمع ہوگی، سود بھی اتنا ہی زیادہ ملے گا۔

(iii) جیسے جیسے گاڑی کی رفتار بڑھتی ہے، ایک ہی فاصلہ طے کرنے میں لگنے والا وقت کم ہوتا جاتا ہے۔

(iv) کسی کام کے لیے، مزدوروں کی تعداد جتنی زیادہ ہوگی، کام مکمل کرنے میں اتنا ہی کم وقت لگے گا۔

غور کریں کہ ایک مقدار میں تبدیلی دوسری مقدار میں تبدیلی کا باعث بنتی ہے۔

پانچ مزید ایسی صورتیں لکھیں جہاں ایک مقدار میں تبدیلی دوسری مقدار میں تبدیلی لاتی ہے۔

ہم موہن کے لیے درکار ہر چیز کی مقدار کیسے معلوم کریں؟ یا، پانچ طلبہ کو کام مکمل کرنے میں کتنا وقت لگے گا؟

ایسے سوالات کے جوابات دینے کے لیے، اب ہم تغیر کے کچھ تصورات کا مطالعہ کرتے ہیں۔

11.2 براہ راست تناسب

اگر $1 kg$ چینی کی قیمت ₹ 36 ہے، تو $3 kg$ چینی کی قیمت کیا ہوگی؟ یہ ₹ 108 ہے۔

اسی طرح، ہم $5 kg$ یا $8 kg$ چینی کی قیمت معلوم کر سکتے ہیں۔ درج ذیل جدول کا مطالعہ کریں۔

غور کریں کہ جیسے جیسے چینی کا وزن بڑھتا ہے، قیمت بھی اسی طرح بڑھتی ہے کہ ان کا تناسب مستقل رہتا ہے۔

ایک اور مثال لیں۔ فرض کریں ایک کار $60 km$ کا فاصلہ طے کرنے کے لیے 4 لیٹر پیٹرول استعمال کرتی ہے۔ وہ 12 لیٹر استعمال کر کے کتنا فاصلہ طے کرے گی؟ جواب ہے $180 km$۔ ہم نے اس کا حساب کیسے لگایا؟ چونکہ دوسری صورت میں پیٹرول کی کھپت 12 لیٹر ہے، یعنی 4 لیٹر کا تین گنا، تو طے ہونے والا فاصلہ بھی $60 km$ کا تین گنا ہوگا۔ دوسرے لفظوں میں، جب پیٹرول کی کھپت تین گنا ہو جاتی ہے، تو طے ہونے والا فاصلہ بھی پہلے والے کا تین گنا ہو جاتا ہے۔ پیٹرول کی کھپت $x$ لیٹر ہونے دیں اور اس کے مطابق طے ہونے والا فاصلہ $y km$ ہو۔ اب، درج ذیل جدول مکمل کریں:

ہم دیکھتے ہیں کہ جیسے $x$ کی قیمت بڑھتی ہے، $y$ کی قیمت بھی اسی طرح بڑھتی ہے کہ تناسب $\frac{x}{y}$ تبدیل نہیں ہوتا؛ یہ مستقل رہتا ہے (فرض کریں $k$ )۔ اس صورت میں، یہ $\frac{1}{15}$ ہے (اس کی پڑتال کریں!)۔

ہم کہتے ہیں کہ $x$ اور $y$ براہ راست تناسب میں ہیں، اگر $\frac{x}{y}=k$ یا $x=k y$۔

اس مثال میں، $\frac{4}{60}=\frac{12}{180}$، جہاں 4 اور 12 لیٹر میں پیٹرول کی کھپت کی مقداریں ہیں $(x)$ اور 60 اور 180 فاصلے ہیں $(y)$ میں $km$۔ لہٰذا جب $x$ اور $y$ براہ راست تناسب میں ہوں، تو ہم لکھ سکتے ہیں $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$۔ $[y_1, y_2.$ کے متعلقہ اقدار ہیں $y$ بالترتیب $x_1$, $x_2$ اقدار کے $x$ کے]

پیٹرول کی کھپت اور کار کے ذریعے طے کردہ فاصلہ براہ راست تناسب کی ایک مثال ہے۔ اسی طرح، خرچ کی گئی کل رقم اور خریدی گئی اشیاء کی تعداد بھی براہ راست تناسب کی ایک مثال ہے۔

براہ راست تناسب کی مزید کچھ مثالیں سوچیں۔ چیک کریں کہ کیا موہن [ابتدائی مثال میں] پانچ افراد کے لیے چائے تیار کرنے کے لیے $750 mL$ پانی، 5 چمچ چینی، $2 \frac{1}{2}$ چمچ چائے کی پتی اور $125 mL$ دودھ لے گا! آئیے درج ذیل سرگرمیوں کے ذریعے براہ راست تناسب کے تصور کو مزید سمجھنے کی کوشش کرتے ہیں۔

یہ کریں

(i)

• ایک گھڑی لیں اور اس کی منٹ والی سوئی کو 12 پر ٹھہرائیں۔

• منٹ والی سوئی کے اپنی اصل پوزیشن سے گھومے ہوئے زاویہ اور گزرے ہوئے وقت کو درج ذیل جدول میں ریکارڈ کریں:

آپ $T$ اور $A$ کے بارے میں کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟ کیا وہ ایک ساتھ بڑھتے ہیں؟ کیا $\frac{T}{A}$ ہر بار ایک جیسا ہے؟

کیا منٹ والی سوئی کا گھومنا گزرے ہوئے وقت کے براہ راست متناسب ہے؟ ہاں!

اوپر دیے گئے جدول سے، آپ یہ بھی دیکھ سکتے ہیں

$ \begin{aligned} & T_1: T_2=A_1: A_2, \text{ کیونکہ } \\ & T_1: T_2=15: 30=1: 2 \\ & A_1: A_2=90: 180=1: 2 \\ & T_2: T_3=A_2: A_3 \text{ اور } T_3: T_4=A_3: A_4 \end{aligned} $

چیک کریں اگر

آپ یہ سرگرمی اپنا وقت کا وقفہ منتخب کر کے دہرا سکتے ہیں۔

(ii) اپنے دوست سے درج ذیل جدول بھرنے کو کہیں اور اس کی عمر کا اس کی ماں کی متعلقہ عمر سے تناسب معلوم کریں۔

آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟

کیا F اور $M$ ایک ساتھ بڑھتے (یا گھٹتے) ہیں؟ کیا $\frac{F}{M}$ ہر بار ایک جیسا ہے؟ نہیں!

آپ یہ سرگرمی دوسرے دوستوں کے ساتھ دہرا سکتے ہیں اور اپنے مشاہدات لکھ سکتے ہیں۔

اس طرح، متغیرات کا ایک ساتھ بڑھنا (یا گھٹنا) ہمیشہ براہ راست تناسب میں نہیں ہوتا۔ مثال کے طور پر:

(i) انسانوں میں جسمانی تبدیلیاں وقت کے ساتھ واقع ہوتی ہیں لیکن ضروری نہیں کہ کسی predetermined تناسب میں ہوں۔

(ii) افراد میں وزن اور قد کی تبدیلیاں کسی معلوم تناسب میں نہیں ہیں اور

(iii) درخت کی اونچائی اور اس کی شاخوں پر اگنے والے پتوں کی تعداد کے درمیان کوئی براہ راست تعلق یا تناسب نہیں ہے۔ اس جیسی مزید مثالیں سوچیں۔

کوشش کریں

1. درج ذیل جدولوں کا مشاہدہ کریں اور معلوم کریں کہ کیا $x$ اور $y$ براہ راست متناسب ہیں۔

(i)

(ii)

(iii)

2. اصل رقم $=₹ 1000$، شرح سود $=8 %$ فی سال۔ درج ذیل جدول بھریں اور معلوم کریں کہ کس قسم کا سود (سادہ یا چکر دار) وقت کی مدت کے ساتھ براہ راست تناسب میں تبدیل ہوتا ہے۔

$\Large\frac{P\times r \times t}{100}$

$ \begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{وقت کی مدت} & 1 \text{ سال} & 2 \text{ سال} & 3 \text{ سال} \\ \hline \text{سادہ سود (₹ میں)} & & \\ \hline \text{چکر دار سود (₹ میں)} & & \\ \hline \end{array} $

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

اگر ہم وقت کی مدت اور سود کی شرح کو مقرر کر دیں، تو سادہ سود اصل رقم کے متناسب طور پر تبدیل ہوتا ہے۔ کیا چکر دار سود کے لیے بھی ایسا ہی تعلق ہوگا؟ کیوں؟

آئیے کچھ حل شدہ مثالیں دیکھتے ہیں جہاں ہم براہ راست تناسب کے تصور کو استعمال کریں گے۔

مثال 1 : ایک خاص قسم کے کپڑے کے 5 میٹر کی قیمت ₹ 210 ہے۔ اسی قسم کے کپڑے کے 2، 4، 10 اور 13 میٹر کی قیمت جدول بندی کریں۔

حل: فرض کریں کپڑے کی لمبائی $x$ میٹر ہے اور اس کی قیمت، ₹ میں، $y$ ہے۔

جیسے جیسے کپڑے کی لمبائی بڑھتی ہے، کپڑے کی قیمت بھی اسی تناسب سے بڑھتی ہے۔ یہ براہ راست تناسب کی ایک صورت ہے۔

ہم $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ قسم کے تعلق کا استعمال کرتے ہیں۔

(i) یہاں $x_1=5, y_1=210$ اور $x_2=2$

لہٰذا، $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ دیتا ہے $\frac{5}{210}=\frac{2}{y_2}$ یا $5 y_2=2 \times 210$ یا $y_2=\frac{2 \times 210}{5}=84$

(ii) اگر $x_3=4$، تو $\frac{5}{210}=\frac{4}{y_3}$ یا $5 y_3=4 \times 210$ یا $y_3=\frac{4 \times 210}{5}=168$

[کیا ہم یہاں $\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}$ استعمال کر سکتے ہیں؟ کوشش کریں!]

(iii) اگر $x_4=10$، تو $\frac{5}{210}=\frac{10}{y_4}$ یا $y_4=\frac{10 \times 210}{5}=420$

(iv) اگر $x_5=13$، تو $\frac{5}{210}=\frac{13}{y_5}$ یا $y_5=\frac{13 \times 210}{5}=546$

$[.$ نوٹ کریں کہ یہاں ہم $.\frac{5}{210}]$ کی جگہ $\frac{2}{84}$ یا $\frac{4}{168}$ یا $\frac{10}{420}$ بھی استعمال کر سکتے ہیں۔

مثال 2 : ایک بجلی کا کھمبا، 14 میٹر اونچا، 10 میٹر کا سایہ ڈالتا ہے۔ ایک درخت کی اونچائی معلوم کریں جو اسی طرح کی شرائط میں 15 میٹر کا سایہ ڈالتا ہے۔

حل: درخت کی اونچائی $x$ میٹر ہونے دیں۔ ہم درج ذیل جدول بناتے ہیں:

نوٹ کریں کہ چیز جتنی اونچی ہوگی، اس کا سایہ اتنا ہی لمبا ہوگا۔

لہٰذا، یہ براہ راست تناسب کی ایک صورت ہے۔ یعنی، $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$

ہمارے پاس ہے $\quad \frac{14}{10}=\frac{x}{15}$ (کیوں؟)

یا $\quad \frac{14}{10} \times 15=x$

یا $\quad \frac{14 \times 3}{2}=x$

تو

$ 21=x $

اس طرح، درخت کی اونچائی 21 میٹر ہے۔

متبادل طور پر، ہم $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ کو $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ کے طور پر لکھ سکتے ہیں۔

تو $x_1:x_2=y_1:y_2$

یا $14:x=10:15$

لہٰذا، $10 \times x= 15 \times 14$

$ \text{ یا } \quad x=\frac{15 \times 14}{10}=21 $

مثال 3 : اگر موٹے کاغذ کے 12 شیٹوں کا وزن 40 گرام ہے، تو اسی کاغذ کے کتنے شیٹ $2 \frac{1}{2}$ کلوگرام وزن کریں گے؟

حل:

فرض کریں وہ شیٹوں کی تعداد جو $2 \frac{1}{2} kg$ وزن کرتی ہیں $x$ ہے۔ ہم اوپر کی معلومات کو درج ذیل جدول کی شکل میں پیش کرتے ہیں:

$2\frac{1}{2} kilogram = 2500 grams$

شیٹوں کی تعداد جتنی زیادہ ہوگی، ان کا وزن بھی اتنا ہی زیادہ ہوگا۔ لہٰذا، شیٹوں کی تعداد اور ان کا وزن ایک دوسرے کے براہ راست متناسب ہیں۔

تو، $\frac{12}{40}=\frac{x}{2500}$

یا $\frac{12 \times 2500}{40}=x$

یا $750=x$

اس طرح، کاغذ کے مطلوبہ شیٹوں کی تعداد $=750$۔

متبادل طریقہ:

دو مقداریں $x$ اور $y$ جو براہ راست تناسب میں تبدیل ہوتی ہیں کا تعلق ہوتا ہے $x=k y$ یا $\frac{x}{y}=k$

یہاں،

$ k=\frac{\text{ شیٹوں کی تعداد }}{\text{ شیٹوں کا وزن گرام میں }}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10} $

اب $x$ وہ شیٹوں کی تعداد ہے جو $2 \frac{1}{2} kg[2500 g]$ وزن کرتی ہیں۔

تعلق $x=k y, x=\frac{3}{10} \times 2500=750$ استعمال کرتے ہوئے

اس طرح، کاغذ کے 750 شیٹ $2 \frac{1}{2} kg$ وزن کریں گے۔

مثال 4 : ایک ٹرین $75 km / hour$ کی یکساں رفتار سے چل رہی ہے۔

(i) یہ 20 منٹ میں کتنا فاصلہ طے کرے گی؟

(ii) $250 km$ کا فاصلہ طے کرنے کے لیے درکار وقت معلوم کریں۔

حل: 20 منٹ میں طے ہونے والا فاصلہ ($km$ میں) $x$ ہونے دیں اور $250 km$ طے کرنے میں لگنے والا وقت (منٹ میں) $y$ ہونے دیں۔

1 گھنٹہ = 60 منٹ

چونکہ رفتار یکساں ہے، لہٰذا، طے ہونے والا فاصلہ وقت کے براہ راست متناسب ہوگا۔

(i) ہمارے پاس ہے $\frac{75}{60}=\frac{x}{20}$

$ \begin{aligned} & \text{ یا } \quad \frac{75}{60} \times 20=x \\ & \text{ یا } \quad x=25 \end{aligned} $

تو، ٹرین 20 منٹ میں $25 km$ کا فاصلہ طے کرے گی۔

(ii) نیز، $\frac{75}{60}=\frac{250}{y}$

یا $\quad y=\frac{250 \times 60}{75}=200$ منٹ یا 3 گھنٹے 20 منٹ۔

لہٰذا، 250 کلومیٹر کا فاصلہ طے کرنے کے لیے 3 گھنٹے 20 منٹ درکار ہوں گے۔

متبادل طور پر، جب $x$ معلوم ہو، تو کوئی $y$ کو تعلق $\frac{x}{20}=\frac{250}{y}$ سے معلوم کر سکتا ہے۔

آپ جانتے ہیں کہ نقشہ ایک بہت بڑے علاقے کی ایک چھوٹی سی نمائندگی ہوتا ہے۔ پیمانہ عام طور پر نقشے کے نیچے دیا جاتا ہے۔ پیمانہ اصل لمبائی اور نقشے پر ظاہر کردہ لمبائی کے درمیان تعلق دکھاتا ہے۔ اس طرح نقشے کا پیمانہ نقشے پر دو نقاط کے درمیان فاصلے اور بڑے علاقے پر دو نقاط کے درمیان اصل فاصلے کا تناسب ہے۔

مثال کے طور پر، اگر نقشے پر $1 cm$ اصل فاصلے کے $8 km$ کی نمائندگی کرتا ہے [یعنی، پیمانہ $1 cm: 8 km$ یا $1: 800,000]$ ہے تو اسی نقشے پر $2 cm$ $16 km$ کی نمائندگی کرے گا۔ لہٰذا، ہم کہہ سکتے ہیں کہ نقشے کا پیمانہ براہ راست تناسب کے تصور پر مبنی ہے۔

مثال 5 : ایک نقشے کا پیمانہ 1:30000000 دیا گیا ہے۔ دو شہر نقشے پر $4 cm$ کے فاصلے پر ہیں۔ ان کے درمیان اصل فاصلہ معلوم کریں۔

حل: نقشے کا فاصلہ $x cm$ ہونے دیں اور اصل فاصلہ $y cm$ ہو، تو

$ \begin{aligned} & 1: 30000000=x: y \\ & \text { یا } \quad \frac{1}{3 \times 10^7}=\frac{x}{y} \\ & \text { چونکہ } x=4 \text { لہٰذا، } \quad \frac{1}{3 \times 10^7}=\frac{4}{y} \\ & \text { یا } \quad y=4 \times 3 \times 10^7=12 \times 10^7 \mathrm{~cm}=1200 \mathrm{~km} \text {. } \\ & \end{aligned} $

اس طرح، دو شہر، جو نقشے پر $4 cm$ کے فاصلے پر ہیں، درحقیقت ایک دوسرے سے $1200 km$ دور ہیں۔

یہ کریں

اپنے صوبے کا ایک نقشہ لیں۔ وہاں استعمال ہونے والے پیمانے کو نوٹ کریں۔ ایک پیمانے (رولر) کا استعمال کرتے ہوئے، کسی بھی دو شہروں کے درمیان “نقشے کا فاصلہ” ناپیں۔ ان کے درمیان اصل فاصلہ حساب کریں۔

مشق 11.1

1. ریلوے اسٹیشن کے قریب کار پارکنگ کے اخراجات درج ذیل ہیں:

چیک کریں کہ آیا پارکنگ کے اخراجات پارکنگ کے وقت کے براہ راست متناسب ہیں۔

2. پینٹ کا ایک مرکب 1 حصہ سرخ رنگ کے ساتھ 8 حصے بیس ملا کر تیار کیا جاتا ہے۔ درج ذیل جدول میں، وہ بیس کے حصے معلوم کریں جنہیں ملانے کی ضرورت ہے۔

3. سوال 2 میں، اگر سرخ رنگ کے 1 حصے کے لیے $75 mL$ بیس درکار ہے، تو ہمیں $1800 mL$ بیس کے ساتھ کتنا سرخ رنگ ملانا چاہیے؟

4. ایک مشین سافٹ ڈرنک فیکٹری میں چھ گھنٹے میں 840 بوتلیں بھرتی ہے۔ یہ پانچ گھنٹے میں کتنی بوتلیں بھرے گی؟

5. بیکٹیریا کی ایک تصویر 50,000 گنا بڑھانے پر $5 cm$ لمبائی حاصل کرتی ہے جیسا کہ ڈایاگرام میں دکھایا گیا ہے۔ بیکٹیریا کی اصل لمبائی کیا ہے؟ اگر تصویر صرف 20,000 گنا بڑھائی جائے، تو اس کی بڑھی ہوئی لمبائی کیا ہوگی؟

6. جہاز کے ایک ماڈل میں، مست $9 cm$ اونچا ہے، جبکہ اصل جہاز کا مست $12 mhigh$ ہے۔ اگر جہاز کی لمبائی $28 m$ ہے، تو ماڈل جہاز کتنا لمبا ہے؟

7. فرض کریں $2 kg$ چینی میں $9 \times 10^{6}$ کرسٹل ہوتے ہیں۔

(i) $5 kg$ چینی میں کتنے چینی کے کرسٹل ہوں گے؟ (ii) $1.2 kg$ چینی میں؟

8. رشمی کے پاس ایک روڈ میپ ہے جس کا پیمانہ $1 cm$ ہے جو $18 km$ کی نمائندگی کرتا ہے۔ وہ سڑک پر $72 km$ تک گاڑی چلاتی ہے۔ نقشے میں اس کا طے کردہ فاصلہ کیا ہوگا؟

9. ایک $5 m 60 cm$ اونچا عمودی کھمبا $3 m 20 cm$ لمبا سایہ ڈالتا ہے۔ اسی وقت معلوم کریں (i) دوسرے $10 m 50 cm$ اونچے کھمبے کے ذریعے ڈالے گئے سایے کی لمبائی (ii) اس کھمبے کی اونچائی جو $5 m$ لمبا سایہ ڈالتا ہے۔

10. ایک لدی ہوئی ٹرک 25 منٹ میں $14 km$ سفر کرتی ہے۔ اگر رفتار ایک جیسی رہے، تو یہ 5 گھنٹے میں کتنا دور جا سکتی ہے؟

یہ کریں

1. مربع کاغذ پر، مختلف اطراف کے پانچ مربع بنائیں۔ درج ذیل معلومات جدولی شکل میں لکھیں۔

معلوم کریں کہ آیا ایک ضلع کی لمبائی مندرجہ ذیل کے ساتھ براہ راست تناسب میں ہے:

(الف) مربع کے محیط کے ساتھ۔

(ب) مربع کے رقبے کے ساتھ۔

2. پانچ افراد کے لیے حلوہ بنانے کے لیے درج ذیل اجزاء درکار ہیں:

سوجی/راوہ $=250 g$، چینی $=300 g$،

گھی $=200 g$، پانی $=500 mL$۔

تناسب کے تصور کا استعمال کرتے ہوئے، اپنی کلاس کے لیے حلوہ تیار کرنے کے لیے، اجزاء کی مقدار میں تبدیلیوں کا تخمینہ لگائیں۔

3. ایک پیمانہ منتخب کریں اور اپنی کلاس روم کا نقشہ بنائیں، جس میں کھڑکیاں، دروازے، بلیک بورڈ وغیرہ دکھائیں۔ (ایک مثال یہاں دی گئی ہے)۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

‘براہ راست تغیر’ کے تحت اب تک زیر بحث چند مسائل لیں۔ کیا آپ کے خیال میں انہیں ‘اکائی کا طریقہ’ سے حل کیا جا سکتا ہے؟

11.3 معکوس تناسب

دو مقداریں اس طرح تبدیل ہو سکتی ہیں کہ اگر ایک مقدار بڑھتی ہے، تو دوسری مقدار کم ہوتی ہے اور اس کے برعکس۔ مثال کے طور پر، جیسے جیسے مزدوروں کی تعداد بڑھتی ہے، کام ختم کرنے میں لگنے والا وقت کم ہوتا جاتا ہے۔ اسی طرح، اگر ہم رفتار بڑھاتے ہیں، تو ایک مقررہ فاصلہ طے کرنے میں لگنے والا وقت کم ہو جاتا ہے۔

اسے سمجھنے کے لیے، آئیے درج ذیل صورتحال پر نظر ڈالتے ہیں۔

زاہدہ اپنے اسکول چار مختلف طریقوں سے جا سکتی ہے۔ وہ چل سکتی ہے، دوڑ سکتی ہے، سائیکل چلا سکتی ہے یا کار سے جا سکتی ہے۔ درج ذیل جدول کا مطالعہ کریں۔

غور کریں کہ جیسے جیسے رفتار بڑھتی ہے، ایک ہی فاصلہ طے کرنے میں لگنے والا وقت کم ہوتا جاتا ہے۔

جیسے زاہدہ دوڑ کر اپنی رفتار دوگنا کرتی ہے، وقت آدھا رہ جاتا ہے۔ جیسے وہ سائیکل چلا کر اپنی رفتار تین گنا کرتی ہے، وقت ایک تہائی رہ جاتا ہے۔ اسی طرح، جیسے وہ اپنی رفتار 15 گنا کرتی ہے، وقت پندرہواں حصہ رہ جاتا ہے۔ (یا، دوسرے الفاظ میں وقت میں کمی کا تناسب متعلقہ رفتار میں اضافے کے تناسب کا معکوس ہوتا ہے)۔ کیا ہم کہہ سکتے ہیں کہ رفتار اور وقت معکوس تناسب میں تبدیل ہوتے ہیں؟

کسی عدد کا ضربی معکوس اس کا متبادل (reciprocal) ہوتا ہے۔ اس طرح، $\frac{1}{2}$ 2 کا معکوس ہے اور اس کے برعکس۔ (نوٹ کریں کہ $2 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \times 2=1$ )۔ تناسب میں؟

آئیے ایک اور مثال پر غور کرتے ہیں۔ ایک اسکول ریاضی کی نصابی کتابوں پر ₹ 6000 خرچ کرنا چاہتا ہے۔ ₹ 40 فی کتاب کی قیمت پر کتنی کتابیں خریدی جا سکتی ہیں؟ واضح ہے کہ 150 کتابیں خریدی جا سکتی ہیں۔ اگر ایک نصابی کتاب کی قیمت ₹ 40 سے زیادہ ہے، تو اسی رقم سے خریدی جا سکنے والی کتابوں کی تعداد 150 سے کم ہوگی۔ درج ذیل جدول کا مشاہدہ کریں۔

آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟ آپ محسوس کریں گے کہ جیسے جیسے کتابوں کی قیمت بڑھتی ہے، فنڈ کو مستقل رکھتے ہوئے، خریدی جا سکنے والی کتابوں