১১.১ ভূমিকা

মোহন নিজের ও তার বোনের জন্য চা তৈরি করে। সে $300 mL$ জল, ২ চামচ চিনি, ১ চামচ চা পাতা এবং $50 mL$ দুধ ব্যবহার করে। পাঁচ জনের জন্য চা তৈরি করতে হলে প্রতিটি জিনিসের কত পরিমাণ তার প্রয়োজন হবে?

যদি দুজন শিক্ষার্থীকে এক সমাবেশের জন্য চেয়ার সাজাতে ২০ মিনিট সময় লাগে, তবে একই কাজ করতে পাঁচজন শিক্ষার্থীর কত সময় লাগবে?

আমরা আমাদের দৈনন্দিন জীবনে এমন অনেক পরিস্থিতির সম্মুখীন হই, যেখানে আমাদের একটি রাশির পরিবর্তন অন্য রাশিতে পরিবর্তন আনছে তা দেখতে হয়।

উদাহরণস্বরূপ:

(i) যদি ক্রয়কৃত দ্রব্যের সংখ্যা বৃদ্ধি পায়, মোট খরচও বৃদ্ধি পায়।

(ii) ব্যাংকে যত বেশি টাকা জমা রাখা হয়, উপার্জিত সুদ তত বেশি হয়।

(iii) যানবাহনের গতি বৃদ্ধি পেলে, একই দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময় হ্রাস পায়।

(iv) একটি নির্দিষ্ট কাজের জন্য, শ্রমিকের সংখ্যা যত বেশি হবে, কাজটি শেষ করতে প্রয়োজনীয় সময় তত কম হবে।

লক্ষ্য করুন, একটি রাশির পরিবর্তন অন্য রাশির পরিবর্তন ঘটায়।

আরও পাঁচটি এমন পরিস্থিতি লেখ যেখানে একটি রাশির পরিবর্তন অন্য রাশির পরিবর্তন ঘটায়।

মোহনের প্রতিটি জিনিসের প্রয়োজনীয় পরিমাণ আমরা কীভাবে বের করব? অথবা, পাঁচজন শিক্ষার্থীর কাজটি শেষ করতে কত সময় লাগবে?

এই ধরনের প্রশ্নের উত্তর দিতে, আমরা এখন পরিবর্তনের কিছু ধারণা অধ্যয়ন করব।

১১.২ সরল সমানুপাত

যদি $1 kg$ চিনির দাম ₹ ৩৬ হয়, তবে $3 kg$ চিনির দাম কত হবে? এটি ₹ ১০৮।

একইভাবে, আমরা $5 kg$ বা $8 kg$ চিনির দাম বের করতে পারি। নিচের সারণিটি অধ্যয়ন করুন।

লক্ষ্য করুন, চিনির ওজন বৃদ্ধি পেলে, খরচও এমনভাবে বৃদ্ধি পায় যে তাদের অনুপাত স্থির থাকে।

আরও একটি উদাহরণ নিন। মনে করুন একটি গাড়ি $60 km$ দূরত্ব যেতে ৪ লিটার পেট্রোল ব্যবহার করে। ১২ লিটার ব্যবহার করে এটি কত দূর যাবে? উত্তর হল $180 km$। আমরা এটি কীভাবে গণনা করলাম? যেহেতু দ্বিতীয় ক্ষেত্রে পেট্রোল খরচ ১২ লিটার, অর্থাৎ ৪ লিটারের তিন গুণ, অতিক্রান্ত দূরত্বও $60 km$ এর তিন গুণ হবে। অন্য কথায়, যখন পেট্রোল খরচ তিন গুণ হয়, অতিক্রান্ত দূরত্বও পূর্বের তিন গুণ হয়। ধরা যাক পেট্রোল খরচ $x$ লিটার এবং সংশ্লিষ্ট অতিক্রান্ত দূরত্ব $y km$। এখন, নিচের সারণিটি পূর্ণ করুন:

আমরা দেখতে পাই যে $x$ এর মান বৃদ্ধি পেলে, $y$ এর মানও এমনভাবে বৃদ্ধি পায় যে অনুপাত $\frac{x}{y}$ পরিবর্তিত হয় না; এটি স্থির থাকে (ধরা যাক $k$)। এই ক্ষেত্রে, এটি $\frac{1}{15}$ (যাচাই করুন!)।

আমরা বলি যে $x$ এবং $y$ সরল সমানুপাতে আছে, যদি $\frac{x}{y}=k$ বা $x=k y$।

এই উদাহরণে, $\frac{4}{60}=\frac{12}{180}$, যেখানে ৪ এবং ১২ হল লিটারে পেট্রোল খরচের পরিমাণ $(x)$ এবং ৬০ ও ১৮০ হল দূরত্ব $(y)$ $km$ এ। সুতরাং যখন $x$ এবং $y$ সরল সমানুপাতে থাকে, আমরা লিখতে পারি $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$। $[y_1, y_2.$ হল $y$ এর মান যা $x_1$, $x_2$ মানগুলির $x$ এর অনুরূপ]

পেট্রোল খরচ এবং একটি গাড়ি দ্বারা অতিক্রান্ত দূরত্ব সরল সমানুপাতের একটি উদাহরণ। একইভাবে, মোট ব্যয় করা অর্থ এবং ক্রয়কৃত দ্রব্যের সংখ্যাও সরল সমানুপাতের আরেকটি উদাহরণ।

সরল সমানুপাতের আরও কয়েকটি উদাহরণ চিন্তা করুন। যাচাই করুন মোহন [প্রাথমিক উদাহরণে] পাঁচজনের জন্য চা তৈরি করতে $750 mL$ জল, ৫ চামচ চিনি, $2 \frac{1}{2}$ চামচ চা পাতা এবং $125 mL$ দুধ নেবে কিনা! নিচের ক্রিয়াকলাপগুলির মাধ্যমে সরল সমানুপাতের ধারণাটি আরও বুঝতে চেষ্টা করি।

এটি করো

(i)

• একটি ঘড়ি নিন এবং এর মিনিটের কাঁটাটি ১২-এ স্থির করুন।

• মিনিটের কাঁটা দ্বারা তার মূল অবস্থান থেকে ঘুরে আসা কোণ এবং অতিবাহিত সময় নিচের সারণিতে লিপিবদ্ধ করুন:

$T$ এবং $A$ সম্পর্কে তুমি কী লক্ষ্য কর? তারা কি একসাথে বৃদ্ধি পায়? $\frac{T}{A}$ কি প্রতিবার একই থাকে?

মিনিটের কাঁটা দ্বারা ঘূর্ণিত কোণ কি অতিবাহিত সময়ের সাথে সরল সমানুপাতে থাকে? হ্যাঁ!

উপরের সারণি থেকে, তুমি দেখতে পাবে

$ \begin{aligned} & T_1: T_2=A_1: A_2, \text{ কারণ } \\ & T_1: T_2=15: 30=1: 2 \\ & A_1: A_2=90: 180=1: 2 \\ & T_2: T_3=A_2: A_3 \text{ এবং } T_3: T_4=A_3: A_4 \end{aligned} $

যাচাই করো যদি

তুমি নিজের পছন্দের সময় ব্যবধান নির্বাচন করে এই ক্রিয়াকলাপটি পুনরাবৃত্তি করতে পারো।

(ii) তোমার বন্ধুকে নিচের সারণিটি পূরণ করতে বলো এবং তার বয়সের সাথে তার মায়ের সংশ্লিষ্ট বয়সের অনুপাত নির্ণয় করো।

তুমি কী লক্ষ্য কর?

F এবং $M$ কি একসাথে বৃদ্ধি (বা হ্রাস) পায়? $\frac{F}{M}$ কি প্রতিবার একই থাকে? না!

তুমি অন্যান্য বন্ধুদের সাথে এই ক্রিয়াকলাপটি পুনরাবৃত্তি করতে পারো এবং তোমার পর্যবেক্ষণ লিখে রাখতে পারো।

সুতরাং, একসাথে বৃদ্ধি (বা হ্রাস) পাওয়া চলরাশিগুলি সর্বদা সরল সমানুপাতে নাও থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ:

(i) মানুষের দৈহিক পরিবর্তন সময়ের সাথে ঘটে কিন্তু অগত্যা একটি পূর্বনির্ধারিত অনুপাতে নয়।

(ii) ব্যক্তিবিশেষের ওজন ও উচ্চতার পরিবর্তন কোনো জানা অনুপাতে থাকে না এবং

(iii) একটি গাছের উচ্চতা এবং তার ডালে গজানো পাতার সংখ্যার মধ্যে কোনো সরল সম্পর্ক বা অনুপাত নেই। এই ধরনের আরও কিছু উদাহরণ চিন্তা করো।

এগুলি চেষ্টা করো

1. নিচের সারণিগুলি লক্ষ্য করো এবং নির্ণয় করো $x$ এবং $y$ সরল সমানুপাতে আছে কিনা।

(i)

(ii)

(iii)

2. আসল $=₹ 1000$, বার্ষিক হার $=8 %$। নিচের সারণিটি পূরণ করো এবং নির্ণয় করো কোন ধরনের সুদ (সরল না চক্রবৃদ্ধি) সময়কালের সাথে সরল সমানুপাতে পরিবর্তিত হয়।

$\Large\frac{P\times r \times t}{100}$

$ \begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{সময়কাল} & 1 \text{ বছর} & 2 \text{ বছর} & 3 \text{ বছর} \\ \hline \text{সরল সুদ (₹ তে)} & & \\ \hline \text{চক্রবৃদ্ধি সুদ (₹ তে)} & & \\ \hline \end{array} $

চিন্তা করো, আলোচনা করো এবং লেখো

যদি আমরা সময়কাল এবং সুদের হার স্থির রাখি, সরল সুদ আসলের সাথে সমানুপাতে পরিবর্তিত হয়। চক্রবৃদ্ধি সুদের জন্যও কি একই ধরনের সম্পর্ক থাকবে? কেন?

আসুন আমরা কিছু সমাধানকৃত উদাহরণ বিবেচনা করি যেখানে আমরা সরল সমানুপাতের ধারণা ব্যবহার করব।

উদাহরণ 1 : একটি নির্দিষ্ট মানের ৫ মিটার কাপড়ের দাম ₹ ২১০। একই ধরনের ২, ৪, ১০ এবং ১৩ মিটার কাপড়ের দাম সারণিবদ্ধ করো।

সমাধান: ধরা যাক কাপড়ের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং তার দাম, ₹ তে, হল $y$।

কাপড়ের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পেলে, কাপড়ের দামও একই অনুপাতে বৃদ্ধি পায়। এটি সরল সমানুপাতের একটি ক্ষেত্র।

আমরা $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ ধরনের সম্পর্ক ব্যবহার করি।

(i) এখানে $x_1=5, y_1=210$ এবং $x_2=2$

অতএব, $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ দেয় $\frac{5}{210}=\frac{2}{y_2}$ বা $5 y_2=2 \times 210$ বা $y_2=\frac{2 \times 210}{5}=84$

(ii) যদি $x_3=4$, তবে $\frac{5}{210}=\frac{4}{y_3}$ বা $5 y_3=4 \times 210$ বা $y_3=\frac{4 \times 210}{5}=168$

[আমরা কি এখানে $\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}$ ব্যবহার করতে পারি? চেষ্টা করো!]

(iii) যদি $x_4=10$, তবে $\frac{5}{210}=\frac{10}{y_4}$ বা $y_4=\frac{10 \times 210}{5}=420$

(iv) যদি $x_5=13$, তবে $\frac{5}{210}=\frac{13}{y_5}$ বা $y_5=\frac{13 \times 210}{5}=546$

$[.$ লক্ষ্য করো যে এখানে আমরা $\frac{2}{84}$ বা $\frac{4}{168}$ বা $\frac{10}{420}$ এর স্থানে $.\frac{5}{210}]$ ও ব্যবহার করতে পারি।

উদাহরণ 2 : একটি ১৪ মিটার উঁচু বৈদ্যুতিক খুঁটি ১০ মিটার দৈর্ঘ্যের ছায়া সৃষ্টি করে। একই অবস্থায় ১৫ মিটার দৈর্ঘ্যের ছায়া সৃষ্টিকারী একটি গাছের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরা যাক গাছের উচ্চতা $x$ মিটার। আমরা নিচের মত একটি সারণি তৈরি করি:

লক্ষ্য করো, বস্তুর উচ্চতা যত বেশি হবে, তার ছায়ার দৈর্ঘ্যও তত বেশি হবে।

সুতরাং, এটি সরল সমানুপাতের একটি ক্ষেত্র। অর্থাৎ, $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$

আমাদের আছে $\quad \frac{14}{10}=\frac{x}{15}$ (কেন?)

বা $\quad \frac{14}{10} \times 15=x$

বা $\quad \frac{14 \times 3}{2}=x$

তাই

$ 21=x $

অতএব, গাছের উচ্চতা ২১ মিটার।

বিকল্পভাবে, আমরা $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ কে $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ হিসাবে লিখতে পারি।

সুতরাং $x_1:x_2=y_1:y_2$

বা $14:x=10:15$

অতএব, $10 \times x= 15 \times 14$

$ \text{ বা } \quad x=\frac{15 \times 14}{10}=21 $

উদাহরণ 3 : যদি ১২টি মোটা কাগজের ওজন ৪০ গ্রাম হয়, তবে একই কাগজের কতগুলি শীটের ওজন $2 \frac{1}{2}$ কিলোগ্রাম হবে?

সমাধান:

ধরা যাক $2 \frac{1}{2} kg$ ওজনবিশিষ্ট শীটের সংখ্যা $x$। আমরা উপরের তথ্যগুলি নিচের মত একটি সারণির আকারে সাজাই:

$2\frac{1}{2} kilogram = 2500 grams$

শীটের সংখ্যা যত বেশি হবে, তাদের ওজনও তত বেশি হবে। সুতরাং, শীটের সংখ্যা এবং তাদের ওজন পরস্পরের সাথে সরল সমানুপাতে আছে।

সুতরাং, $\frac{12}{40}=\frac{x}{2500}$

বা $\frac{12 \times 2500}{40}=x$

বা $750=x$

অতএব, প্রয়োজনীয় কাগজের শীটের সংখ্যা $=750$।

বিকল্প পদ্ধতি:

দুটি রাশি $x$ এবং $y$ যা সরল সমানুপাতে পরিবর্তিত হয়, তাদের সম্পর্ক $x=k y$ বা $\frac{x}{y}=k$

এখানে,

$ k=\frac{\text{ শীটের সংখ্যা }}{\text{ শীটের ওজন গ্রামে }}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10} $

এখন $x$ হল সেই কাগজের শীটের সংখ্যা যার ওজন $2 \frac{1}{2} kg[2500 g]$।

সম্পর্ক $x=k y, x=\frac{3}{10} \times 2500=750$ ব্যবহার করে

অতএব, ৭৫০টি কাগজের শীটের ওজন হবে $2 \frac{1}{2} kg$।

উদাহরণ 4 : একটি ট্রেন $75 km / hour$ সমবেগে চলছে।

(i) এটি ২০ মিনিটে কত দূর যাবে?

(ii) $250 km$ দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময় নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরা যাক ২০ মিনিটে অতিক্রান্ত দূরত্ব ($km$ এ) $x$ এবং $250 km$ অতিক্রম করতে গৃহীত সময় (মিনিটে) $y$।

১ ঘন্টা = ৬০ মিনিট

যেহেতু গতি সমবেগ, সুতরাং, অতিক্রান্ত দূরত্ব সময়ের সাথে সরল সমানুপাতে থাকবে।

(i) আমাদের আছে $\frac{75}{60}=\frac{x}{20}$

$ \begin{aligned} & \text{ বা } \quad \frac{75}{60} \times 20=x \\ & \text{ বা } \quad x=25 \end{aligned} $

সুতরাং, ট্রেনটি ২০ মিনিটে $25 km$ দূরত্ব অতিক্রম করবে।

(ii) আবার, $\frac{75}{60}=\frac{250}{y}$

বা $\quad y=\frac{250 \times 60}{75}=200$ মিনিট বা ৩ ঘন্টা ২০ মিনিট।

অতএব, ২৫০ কিলোমিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে ৩ ঘন্টা ২০ মিনিট সময় প্রয়োজন হবে।

বিকল্পভাবে, যখন $x$ জানা থাকে, তখন সম্পর্ক $\frac{x}{20}=\frac{250}{y}$ থেকে কেউ $y$ নির্ণয় করতে পারে।

তুমি জানো যে একটি মানচিত্র একটি অত্যন্ত বৃহৎ অঞ্চলের ক্ষুদ্রায়িত নকশা। সাধারণত মানচিত্রের নিচে একটি স্কেল দেওয়া থাকে। স্কেলটি প্রকৃত দৈর্ঘ্য এবং মানচিত্রে উপস্থাপিত দৈর্ঘ্যের মধ্যে একটি সম্পর্ক দেখায়। সুতরাং মানচিত্রের স্কেল হল মানচিত্রের দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব এবং বৃহৎ অঞ্চলের দুটি বিন্দুর মধ্যে প্রকৃত দূরত্বের অনুপাত।

উদাহরণস্বরূপ, যদি মানচিত্রে $1 cm$ প্রকৃত দূরত্বের $8 km$ উপস্থাপন করে [অর্থাৎ, স্কেলটি হল $1 cm: 8 km$ বা $1: 800,000]$ তবে একই মানচিত্রে $2 cm$ উপস্থাপন করবে $16 km$। সুতরাং, আমরা বলতে পারি যে একটি মানচিত্রের স্কেল সরল সমানুপাতের ধারণার উপর ভিত্তি করে।

উদাহরণ 5 : একটি মানচিত্রের স্কেল দেওয়া আছে ১:৩০০০০০০০। মানচিত্রে দুটি শহর $4 cm$ দূরে অবস্থিত। তাদের মধ্যে প্রকৃত দূরত্ব নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরা যাক মানচিত্রের দূরত্ব $x cm$ এবং প্রকৃত দূরত্ব $y cm$, তাহলে

$ \begin{aligned} & 1: 30000000=x: y \\ & \text { বা } \quad \frac{1}{3 \times 10^7}=\frac{x}{y} \\ & \text { যেহেতু } x=4 \text{ সুতরাং, } \quad \frac{1}{3 \times 10^7}=\frac{4}{y} \\ & \text { বা } \quad y=4 \times 3 \times 10^7=12 \times 10^7 \mathrm{~cm}=1200 \mathrm{~km} \text{। } \\ & \end{aligned} $

সুতরাং, দুটি শহর, যা মানচিত্রে $4 cm$ দূরে অবস্থিত, প্রকৃতপক্ষে একে অপরের থেকে $1200 km$ দূরে।

এটি করো

তোমার রাজ্যের একটি মানচিত্র নাও। সেখানে ব্যবহৃত স্কেলটি লক্ষ্য করো। একটি রুলার ব্যবহার করে, যেকোনো দুটি শহরের মধ্যে “মানচিত্র দূরত্ব” পরিমাপ করো। তাদের মধ্যে প্রকৃত দূরত্ব গণনা করো।

অনুশীলনী ১১.১

1. একটি রেলওয়ে স্টেশনের কাছে গাড়ি পার্কিং চার্জ নিম্নরূপ:

পার্কিং সময়ের সাথে পার্কিং চার্জ সরল সমানুপাতে আছে কিনা যাচাই করো।

2. ১ অংশ লাল রঞ্জক পদার্থ ৮ অংশ বেসের সাথে মিশিয়ে একটি রং তৈরি করা হয়। নিচের সারণিতে, যে পরিমাণ বেস যোগ করতে হবে তা নির্ণয় করো।

3. উপরের প্রশ্ন ২-এ, যদি ১ অংশ লাল রঞ্জক পদার্থের জন্য $75 mL$ বেসের প্রয়োজন হয়, তবে $1800 mL$ বেসের সাথে কতটা লাল রঞ্জক পদার্থ মিশাবো?

4. একটি কোমল পানীয় কারখানার একটি মেশিন ছয় ঘন্টায় ৮৪০টি বোতল পূর্ণ করে। পাঁচ ঘন্টায় এটি কতগুলি বোতল পূর্ণ করবে?

5. একটি ব্যাকটেরিয়ার ৫০,০০০ গুণ বর্ধিত ফটোগ্রাফের দৈর্ঘ্য $5 cm$ হয়, যেমন চিত্রে দেখানো হয়েছে। ব্যাকটেরিয়াটির প্রকৃত দৈর্ঘ্য কত? যদি ফটোগ্রাফটি মাত্র ২০,০০০ গুণ বর্ধিত করা হয়, তবে তার বর্ধিত দৈর্ঘ্য কত হবে?

6. একটি জাহাজের মডেলে, মাস্তুলটি $9 cm$ উঁচু, যেখানে প্রকৃত জাহাজের মাস্তুল $12 mhigh$ উঁচু। যদি জাহাজটির দৈর্ঘ্য $28 m$ হয়, তবে মডেল জাহাজটির দৈর্ঘ্য কত?

7. মনে করো $2 kg$ চিনিতে $9 \times 10^{6}$ ক্রিস্টাল আছে।

(i) $5 kg$ চিনিতে কতগুলি চিনির ক্রিস্টাল আছে? (ii) $1.2 kg$ চিনিতে কতগুলি চিনির ক্রিস্টাল আছে?

8. রশ্মির কাছে একটি রোড ম্যাপ আছে যার স্কেল $1 cm$ $18 km$ উপস্থাপন করে। সে একটি রাস্তায় $72 km$ গাড়ি চালায়। মানচিত্রে তার অতিক্রান্ত দূরত্ব কত হবে?

9. একটি $5 m 60 cm$ উঁচু উল্লম্ব খুঁটি $3 m 20 cm$ দীর্ঘ ছায়া সৃষ্টি করে। একই সময়ে নির্ণয় করো (i) আরেকটি $10 m 50 cm$ উঁচু খুঁটির দ্বারা সৃষ্ট ছায়ার দৈর্ঘ্য (ii) একটি খুঁটির উচ্চতা যা $5 m$ দীর্ঘ ছায়া সৃষ্টি করে।

10. একটি বোঝাই ট্রাক ২৫ মিনিটে $14 km$ যায়। যদি গতি একই থাকে, তবে ৫ ঘন্টায় এটি কত দূর যেতে পারে?

এটি করো

1. একটি স্কোয়ার কাগজে, বিভিন্ন বাহুবিশিষ্ট পাঁচটি বর্গ আঁকো। নিচের তথ্যগুলি একটি সারণির আকারে লেখো।

নির্ণয় করো একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কি নিম্নলিখিতগুলির সাথে সরল সমানুপাতে আছে:

(ক) বর্গের পরিসীমার সাথে।

(খ) বর্গের ক্ষেত্রফলের সাথে।

2. ৫ জনের জন্য হালুয়া তৈরি করতে নিম্নলিখিত উপাদানগুলির প্রয়োজন:

সুজি/রাওয়া $=250 g$, চিনি $=300 g$,

ঘি $=200 g$, জল $=500 mL$।

সমানুপাতের ধারণা ব্যবহার করে, তোমার শ্রেণির জন্য হালুয়া প্রস্তুত করতে উপাদানগুলির পরিমাণে আনুমানিক পরিবর্তন অনুমান করো।

3. একটি স্কেল নির্বাচন করো এবং তোমার শ্রেণিকক্ষের একটি মানচিত্র তৈরি করো, জানালা, দরজা, ব্ল্যাকবোর্ড ইত্যাদি দেখিয়ে। (একটি উদাহরণ এখানে দেওয়া হল)।

চিন্তা করো, আলোচনা করো এবং লেখো

এখন পর্যন্ত ‘সরল সমানুপাত’ এর অধীনে আলোচিত কয়েকটি সমস্যা নাও। তোমার কি মনে হয় সেগুলি ‘একক পদ্ধতি’ দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে?

১১.৩ ব্যস্ত সমানুপাত

দুটি রাশি এমনভাবে পরিবর্তিত হতে পারে যে যদি একটি রাশি বৃদ্ধি পায়, অন্য রাশিটি হ্রাস পায় এবং তদ্বিপরীত। উদাহরণস্বরূপ, শ্রমিকের সংখ্যা বৃদ্ধি পেলে, কাজ শেষ করতে প্রয়োজনীয় সময় হ্রাস পায়। একইভাবে, যদি আমরা গতি বৃদ্ধি করি, একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময় হ্রাস পায়।

এটি বুঝতে, আসুন নিচের পরিস্থিতিটি দেখি।

জাহিদা চারটি ভিন্ন উপায়ে তার স্কুলে যেতে পারে। সে হেঁটে, দৌড়ে, সাইকেলে চড়ে বা গাড়িতে যেতে পারে। নিচের সারণিটি অধ্যয়ন করুন।

লক্ষ্য করো, গতি বৃদ্ধি পেলে, একই দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময় হ্রাস পায়।

জাহিদা দৌড়ে তার গতি দ্বিগুণ করলে, সময় অর্ধেক হয়ে যায়। সে সাইকেল চালিয়ে তার গতি তিন গুণ করলে, সময় এক তৃতীয়াংশ হয়ে যায়। একইভাবে, সে তার গতি ১৫ গুণ করলে, সময় এক পঞ্চদশাংশ হয়ে যায়। (অথবা, অন্য কথায়, সময় যে অনুপাতে হ্রাস পায় তা সংশ্লিষ্ট গতি যে অনুপাতে বৃদ্ধি পায় তার বিপরীত)। আমরা কি বলতে পারি যে গতি এবং সময় ব্যস্ত সমানুপাতে পরিবর্তিত হয়?

একটি সংখ্যার গুণাত্মক বিপরীত হল তার বিপ্রতীপ। সুতরাং, $\frac{1}{2}$ হল ২-এর বিপরীত এবং তদ্বিপরীত। (লক্ষ্য করো যে $2 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \times 2=1$)। সমানুপাতে?

আসুন আমরা আরেকটি উদাহরণ বিবেচনা করি। একটি স্কুল গণিত পাঠ্যপুস্তকের উপর ₹ ৬০০০ ব্যয় করতে চায়। ₹ ৪০ প্রতি বই দিয়ে কতগুলি বই কেনা যেতে পারে? স্পষ্টতই ১৫০টি বই কেনা যেতে পারে। যদি একটি পাঠ্যপুস্তকের দাম ₹ ৪০-এর বেশি হয়, তবে একই পরিমাণ টাকা দিয়ে যে সংখ্যক বই কেনা যেতে পারে তা ১৫০-এর কম হবে। নিচের সারণিটি লক্ষ্য করো।

তুমি কী লক্ষ্য কর? তুমি উপলব্ধি করবে যে বইয়ের দাম বৃদ্ধি পেলে, তহবিল স্থির রেখে কেনা যেতে পারে এমন বইয়ের সংখ্যা হ্রাস পায়।

৪০ থেকে ৫০-এ যাওয়ার সময় বইয়ের দাম যে অনুপাতে বৃদ্ধি পায় তা হল $4: 5$, এবং সংশ্লিষ্ট বইয়ের সংখ্যা ১৫০ থেকে ১২০-এ যে অনুপাতে হ্রাস পায় তা হল $5: 4$। এর অর্থ হল দুটি অনুপাত পরস্পরের বিপরীত।

লক্ষ্য করো যে দুটি রাশির সংশ্লিষ্ট মানগুলির গুণফল স্থির; অর্থাৎ, $40 \times 150=50 \times 120=6000$।

যদি আমরা একটি বইয়ের দামকে $x$ এবং কেনা বইয়ের সংখ্যাকে $y$ হিসাবে উপস্থাপন করি, তবে যখন $x$ বৃদ্ধি পায় $y$ হ্রাস পায় এবং তদ্বিপরীত। এটি লক্ষ্য করা গুরুত্বপূর্ণ যে গুণফল $x y$ স্থির থাকে। আমরা বলি যে $x$ $y$ এর সাথে ব্যস্ত সমানুপাতে পরিবর্তিত হয় এবং $y$ $x$ এর সাথে ব্যস্ত সমানুপাতে পরিবর্তিত হয়। সুতরাং দুটি রাশি $x$ এবং $y$ ব্যস্ত সমানুপাতে পরিবর্তিত হয় বলা হয়, যদি তাদের মধ্যে $x y=k$ ধরনের একটি সম্পর্ক থাকে, $k$ একটি ধ্রুবক। যদি $y_1, y_2$ হল $y$ এর মান

যথাক্রমে $x_1, x_2$ মানগুলির $x$ এর অনুরূপ তবে $x_1 y_1=x_2 y_2(=k)$, বা $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$। আমরা বলি যে $x$ এবং $y$ ব্যস্ত সমানুপাতে আছে।

সুতরাং, এই উদাহরণে, একটি বইয়ের দাম এবং একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকায় কেনা বইয়ের সংখ্যা ব্যস্ত সমানুপাতে থাকে। একইভাবে, একটি যানবাহনের গতি এবং একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময় ব্যস্ত সমানুপাতে পরিবর্তিত হয়।

ব্যস্ত সমানুপাতে পরিবর্তিত হওয়া রাশি জোড়ার আরও কিছু উদাহরণ চিন্তা করো। তুমি এখন এই অধ্যায়ের ভূমিকা অংশে উল্লিখিত আসবাবপত্র সাজানোর সমস্যাটি দেখতে পারো।

ব্যস্ত সমানুপাতের ধারণা ভালোভাবে বুঝতে এখানে একটি ক্রিয়াকলাপ রয়েছে।

এটি করো

একটি স্কোয়ার কাগজ নাও এবং তাতে ৪৮টি কাউন্টার বিভিন্ন সংখ্যক সারিতে নিচের মত সাজাও।

৪ সারি, ১২ কলাম

৬ সারি, ৮ কলাম

তুমি কী লক্ষ্য কর? $R$ বৃদ্ধি পেলে, $C$ হ্রাস পায়।

(i) $R_1: R_2=C_2: C_1$ ?

(ii) $R_3: R_4=C_4: C_3$ ?