११.१ प्रस्तावना

मोहन स्वतःसाठी आणि त्याच्या बहिणीसाठी चहा तयार करतो. तो $300 mL$ पाणी, 2 चमचे साखर, 1 चमचा चहापाना आणि $50 mL$ दूध वापरतो. जर त्याला पाच व्यक्तींसाठी चहा करायचा असेल, तर प्रत्येक वस्तूची किती मात्रा त्याला लागेल?

जर दोन विद्यार्थ्यांना एका सभेसाठी खुर्च्या मांडायला २० मिनिटे लागतात, तर पाच विद्यार्थ्यांना तेच काम करायला किती वेळ लागेल?

आपल्या दैनंदिन जीवनात अशा अनेक परिस्थिती आपल्याला भेटतात, जिथे एका राशीतील बदलामुळे दुसऱ्या राशीत बदल घडवून आणतो हे आपल्याला पाहावे लागते.

उदाहरणार्थ:

(i) जर खरेदी केलेल्या वस्तूंची संख्या वाढली, तर एकूण खर्चही वाढतो.

(ii) बँकेत जितके जास्त पैसे ठेवले जातील, तितके जास्त व्याज मिळते.

(iii) वाहनाचा वेग वाढल्याने, समान अंतर कापण्यासाठी लागणारा वेळ कमी होतो.

(iv) दिलेल्या कामासाठी, कामगारांची संख्या जितकी जास्त, तितक्या कमी वेळात काम पूर्ण होईल.

लक्षात घ्या की एका राशीतील बदलामुळे दुसऱ्या राशीत बदल होतो.

अशा आणखी पाच परिस्थिती लिहा जिथे एका राशीतील बदलामुळे दुसऱ्या राशीत बदल होतो.

मोहनला प्रत्येक वस्तूची किती मात्रा लागेल हे आपल्याला कसे काढायचे? किंवा, पाच विद्यार्थ्यांना काम पूर्ण करायला किती वेळ लागेल?

अशा प्रश्नांची उत्तरे देण्यासाठी, आता आपण बदलाच्या काही संकल्पनांचा अभ्यास करू.

११.२ थेट गुणोत्तर

जर $1 kg$ साखरेची किंमत ₹ ३६ असेल, तर $3 kg$ साखरेची किंमत किती असेल? ती ₹ १०८ आहे.

त्याचप्रमाणे, आपण $5 kg$ किंवा $8 kg$ साखरेची किंमत काढू शकतो. खालील सारणीचा अभ्यास करा.

लक्षात घ्या की साखरेचे वजन वाढल्याने, किंमतही अशा प्रकारे वाढते की त्यांचे गुणोत्तर स्थिर राहते.

आणखी एक उदाहरण घ्या. समजा एका कारला $60 km$ अंतर कापण्यासाठी ४ लिटर पेट्रोल लागते. १२ लिटर वापरल्यास ती किती अंतर कापेल? उत्तर $180 km$ आहे. आपण ते कसे काढले? दुसऱ्या प्रसंगी वापरलेले पेट्रोल १२ लिटर आहे, म्हणजेच ४ लिटरच्या तिप्पट, त्यामुळे कापलेले अंतरही $60 km$ च्या तिप्पट असेल. दुसऱ्या शब्दांत, जेव्हा पेट्रोल वापर तिप्पट होतो, तेव्हा कापलेले अंतरही मागील अंतराच्या तिप्पट होते. पेट्रोलचा वापर $x$ लिटर आणि त्यानुसार कापलेले अंतर $y km$ असू द्या. आता, खालील सारणी पूर्ण करा:

आपल्याला असे आढळते की $x$ ची किंमत वाढल्याने, $y$ ची किंमतही अशा प्रकारे वाढते की गुणोत्तर $\frac{x}{y}$ बदलत नाही; ते स्थिर राहते (समजा $k$). या प्रकरणात, ते $\frac{1}{15}$ आहे (तपासा!).

आपण म्हणतो की $x$ आणि $y$ थेट गुणोत्तरात आहेत, जर $\frac{x}{y}=k$ किंवा $x=k y$.

या उदाहरणात, $\frac{4}{60}=\frac{12}{180}$, जिथे ४ आणि १२ हे लिटरमध्ये वापरलेल्या पेट्रोलचे प्रमाण आहेत $(x)$ आणि ६० आणि १८० ही अंतरे आहेत $(y)$ मध्ये $km$. म्हणून जेव्हा $x$ आणि $y$ थेट गुणोत्तरात असतात, तेव्हा आपण $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ लिहू शकतो. $[y_1, y_2.$ ही $y$ ची मूल्ये आहेत जी अनुक्रमे $x_1$, $x_2$ या $x$ च्या मूल्यांशी संबंधित आहेत]

पेट्रोलचा वापर आणि कारने कापलेले अंतर हे थेट गुणोत्तराचे उदाहरण आहे. त्याचप्रमाणे, खर्च केलेली एकूण रक्कम आणि खरेदी केलेल्या वस्तूंची संख्या हे देखील थेट गुणोत्तराचे उदाहरण आहे.

थेट गुणोत्तरासाठी आणखी काही उदाहरणे विचारात घ्या. मोहन [सुरुवातीच्या उदाहरणात] पाच व्यक्तींसाठी चहा तयार करण्यासाठी $750 mL$ पाणी, ५ चमचे साखर, $2 \frac{1}{2}$ चमचे चहापाना आणि $125 mL$ दूध घेईल का ते तपासा! खालील क्रियाकलापांद्वारे थेट गुणोत्तराची संकल्पना पुढे समजून घेण्याचा प्रयत्न करूया.

हे करा

(i)

• एक घड्याळ घ्या आणि त्याचा मिनिट काटा १२ वर निश्चित करा.

• मिनिट काट्याने त्याच्या मूळ स्थानापासून फिरलेला कोन आणि गेलेला वेळ खालील सारणीमध्ये नोंदवा:

$T$ आणि $A$ बद्दल तुम्हाला काय आढळते? ते एकत्र वाढतात का? $\frac{T}{A}$ प्रत्येक वेळी सारखेच आहे का?

मिनिट काट्याने फिरलेला कोन हा गेलेल्या वेळेच्या थेट प्रमाणात आहे का? होय!

वरील सारणीवरून तुम्ही हे देखील पाहू शकता

$ \begin{aligned} & T_1: T_2=A_1: A_2, \text{ कारण } \\ & T_1: T_2=15: 30=1: 2 \\ & A_1: A_2=90: 180=1: 2 \\ & T_2: T_3=A_2: A_3 \text{ आणि } T_3: T_4=A_3: A_4 \end{aligned} $

तपासा की

तुम्ही तुमचा स्वतःचा वेळ मध्यांतर निवडून हा क्रियाकलाप पुन्हा करू शकता.

(ii) तुमच्या मित्राला खालील सारणी भरण्यास सांगा आणि त्याचे वय आणि त्याच्या आईचे संबंधित वय यांचे गुणोत्तर काढा.

तुम्हाला काय आढळते?

F आणि $M$ एकत्र वाढतात (किंवा कमी होतात) का? $\frac{F}{M}$ प्रत्येक वेळी सारखेच आहे का? नाही!

तुम्ही हा क्रियाकलाप इतर मित्रांसोबत पुन्हा करू शकता आणि तुमची निरीक्षणे लिहून ठेवू शकता.

अशाप्रकारे, एकत्र वाढणाऱ्या (किंवा कमी होणाऱ्या) चल नेहमीच थेट गुणोत्तरात नसतात. उदाहरणार्थ:

(i) मानवातील शारीरिक बदल वेळेसोबत होतात परंतु ते निश्चित गुणोत्तरात असणे आवश्यक नाही.

(ii) व्यक्तींमधील वजन आणि उंचीतील बदल कोणत्याही ज्ञात प्रमाणात नसतात आणि

(iii) झाडाची उंची आणि त्याच्या फांद्यांवर वाढणाऱ्या पानांच्या संख्येमध्ये कोणताही थेट संबंध किंवा गुणोत्तर नसते. अशी आणखी काही उदाहरणे विचारात घ्या.

हे प्रयत्न करा

1. खालील सारण्या पाहा आणि $x$ आणि $y$ थेट प्रमाणात आहेत का ते शोधा.

(i)

(ii)

(iii)

2. मुद्दल $=₹ 1000$, दर $=8 %$ दर वर्षी. खालील सारणी भरा आणि कोणत्या प्रकारचे व्याज (सरळ किंवा चक्रवाढ) कालावधीच्या थेट प्रमाणात बदलते ते शोधा.

$\Large\frac{P\times r \times t}{100}$

$ \begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{कालावधी} & 1 \text{ वर्ष} & 2 \text{ वर्ष} & 3 \text{ वर्ष} \\ \hline \text{सरळ व्याज (₹ मध्ये)} & & \\ \hline \text{चक्रवाढ व्याज (₹ मध्ये)} & & \\ \hline \end{array} $

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

जर आपण कालावधी आणि व्याजदर निश्चित केला, तर सरळ व्याज मुद्दलाच्या प्रमाणात बदलते. चक्रवाढ व्याजासाठी असेच संबंध असतील का? का?

आता आपण काही सोडवलेली उदाहरणे पाहू जिथे आपण थेट गुणोत्तराची संकल्पना वापरू.

उदाहरण १ : एका विशिष्ट प्रकारच्या कापडाच्या ५ मीटरची किंमत ₹ २१० आहे. त्याच प्रकारच्या कापडाच्या २, ४, १० आणि १३ मीटरची किंमत सारणीबद्ध करा.

उकल: समजा कापडाची लांबी $x$ मीटर आहे आणि त्याची किंमत, ₹ मध्ये, $y$ आहे.

कापडाची लांबी वाढल्याने, कापडाची किंमतही त्याच गुणोत्तरात वाढते. हे थेट गुणोत्तराचे उदाहरण आहे.

आपण $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ प्रकारचा संबंध वापरतो

(i) इथे $x_1=5, y_1=210$ आणि $x_2=2$

म्हणून, $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ देते $\frac{5}{210}=\frac{2}{y_2}$ किंवा $5 y_2=2 \times 210$ किंवा $y_2=\frac{2 \times 210}{5}=84$

(ii) जर $x_3=4$, तर $\frac{5}{210}=\frac{4}{y_3}$ किंवा $5 y_3=4 \times 210$ किंवा $y_3=\frac{4 \times 210}{5}=168$

[आपण $\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}$ इथे वापरू शकतो का? प्रयत्न करा!]

(iii) जर $x_4=10$, तर $\frac{5}{210}=\frac{10}{y_4}$ किंवा $y_4=\frac{10 \times 210}{5}=420$

(iv) जर $x_5=13$, तर $\frac{5}{210}=\frac{13}{y_5}$ किंवा $y_5=\frac{13 \times 210}{5}=546$

$[.$ लक्षात घ्या की इथे आपण $\frac{2}{84}$ किंवा $\frac{4}{168}$ किंवा $\frac{10}{420}$ च्या जागी $.\frac{5}{210}]$ देखील वापरू शकतो

उदाहरण २ : एका १४ मीटर उंच विजेच्या खांबाची सावली १० मीटर पडते. समान परिस्थितीत १५ मीटर सावली टाकणाऱ्या झाडाची उंची शोधा.

उकल: झाडाची उंची $x$ मीटर असू द्या. आपण खालीलप्रमाणे सारणी तयार करतो:

लक्षात घ्या की वस्तू जितकी उंच, तिची सावलीही तितकीच लांब असेल.

म्हणून, हे थेट गुणोत्तराचे उदाहरण आहे. म्हणजेच, $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$

आपल्याकडे $\quad \frac{14}{10}=\frac{x}{15}$ आहे (का?)

किंवा $\quad \frac{14}{10} \times 15=x$

किंवा $\quad \frac{14 \times 3}{2}=x$

म्हणून

$ 21=x $

अशाप्रकारे, झाडाची उंची २१ मीटर आहे.

पर्यायी पद्धतीने, आपण $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ ला $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ असे लिहू शकतो

म्हणून $x_1:x_2=y_1:y_2$

किंवा $14:x=10:15$

म्हणून, $10 \times x= 15 \times 14$

$ \text{ किंवा } \quad x=\frac{15 \times 14}{10}=21 $

उदाहरण ३ : जर १२ जाड कागदाच्या पत्र्यांचे वजन ४० ग्रॅम असेल, तर त्याच कागदाचे किती पत्रे $2 \frac{1}{2}$ किलोग्रॅम वजनाची असतील?

उकल:

समजा $2 \frac{1}{2} kg$ वजनाच्या पत्र्यांची संख्या $x$ आहे. आपण वरील माहिती खालीलप्रमाणे सारणीच्या रूपात ठेवतो:

$2\frac{1}{2} kilogram = 2500 grams$

पत्र्यांची संख्या जितकी जास्त, त्यांचे वजनही तितके जास्त असेल. म्हणून, पत्र्यांची संख्या आणि त्यांचे वजन एकमेकांच्या थेट प्रमाणात आहेत.

म्हणून, $\frac{12}{40}=\frac{x}{2500}$

किंवा $\frac{12 \times 2500}{40}=x$

किंवा $750=x$

अशाप्रकारे, आवश्यक कागदाच्या पत्र्यांची संख्या $=750$ आहे.

पर्यायी पद्धत:

दोन राशी $x$ आणि $y$ ज्या थेट प्रमाणात बदलतात त्यांचा संबंध $x=k y$ किंवा $\frac{x}{y}=k$ असतो

इथे,

$ k=\frac{\text{ पत्र्यांची संख्या }}{\text{ पत्र्यांचे वजन ग्रॅममध्ये }}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10} $

आता $x$ ही कागदाच्या पत्र्यांची संख्या आहे ज्यांचे वजन $2 \frac{1}{2} kg[2500 g]$ आहे.

$x=k y, x=\frac{3}{10} \times 2500=750$ हा संबंध वापरून

अशाप्रकारे, ७५० कागदाच्या पत्र्यांचे वजन $2 \frac{1}{2} kg$ असेल.

उदाहरण ४ : एक ट्रेन एकसमान गतीने $75 km / hour$ वेगाने चालत आहे.

(i) ती २० मिनिटांत किती अंतर कापेल?

(ii) $250 km$ अंतर कापण्यासाठी लागणारा वेळ शोधा.

उकल: समजा २० मिनिटांत कापलेले अंतर ($km$ मध्ये) $x$ आहे आणि $250 km$ अंतर कापण्यासाठी लागणारा वेळ (मिनिटांमध्ये) $y$ आहे.

१ तास = ६० मिनिटे

गती एकसमान असल्याने, म्हणून, कापलेले अंतर वेळेच्या थेट प्रमाणात असेल.

(i) आपल्याकडे $\frac{75}{60}=\frac{x}{20}$ आहे

$ \begin{aligned} & \text{ किंवा } \quad \frac{75}{60} \times 20=x \\ & \text{ किंवा } \quad x=25 \end{aligned} $

म्हणून, ट्रेन २० मिनिटांत $25 km$ अंतर कापेल.

(ii) तसेच, $\frac{75}{60}=\frac{250}{y}$

किंवा $\quad y=\frac{250 \times 60}{75}=200$ मिनिटे किंवा ३ तास २० मिनिटे.

म्हणून, २५० किलोमीटर अंतर कापण्यासाठी ३ तास २० मिनिटे लागतील.

पर्यायी पद्धतीने, जेव्हा $x$ ज्ञात असेल, तेव्हा $y$ हे $\frac{x}{20}=\frac{250}{y}$ या संबंधावरून ठरवता येते.

तुम्हाला माहित आहे की नकाशा हे एका खूप मोठ्या प्रदेशाचे लघु प्रतिनिधित्व असते. नकाशाच्या तळाशी स्केल दिलेले असते. स्केल वास्तविक लांबी आणि नकाशावर दर्शविलेली लांबी यांच्यातील संबंध दर्शवते. अशाप्रकारे नकाशाचे प्रमाण म्हणजे नकाशावरील दोन बिंदूंमधील अंतर आणि मोठ्या प्रदेशावरील दोन बिंदूंमधील वास्तविक अंतर यांचे गुणोत्तर होय.

उदाहरणार्थ, जर नकाशावरील $1 cm$ हे वास्तविक अंतराचे $8 km$ दर्शविते [म्हणजेच, स्केल $1 cm: 8 km$ किंवा $1: 800,000]$ आहे] तर त्याच नकाशावरील $2 cm$ हे $16 km$ दर्शवेल. म्हणून, आपण असे म्हणू शकतो की नकाशाचे प्रमाण थेट गुणोत्तराच्या संकल्पनेवर आधारित आहे.

उदाहरण ५ : एका नकाशाचे प्रमाण १:३००००००० असे दिले आहे. दोन शहरे नकाशावर $4 cm$ अंतरावर आहेत. त्यांच्यातील वास्तविक अंतर शोधा.

उकल: समजा नकाशावरील अंतर $x cm$ आहे आणि वास्तविक अंतर $y cm$ आहे, तर

$ \begin{aligned} & 1: 30000000=x: y \\ & \text { किंवा } \quad \frac{1}{3 \times 10^7}=\frac{x}{y} \\ & \text { कारण } x=4 \text{ म्हणून, } \quad \frac{1}{3 \times 10^7}=\frac{4}{y} \\ & \text { किंवा } \quad y=4 \times 3 \times 10^7=12 \times 10^7 \mathrm{~cm}=1200 \mathrm{~km} \text{ . } \\ & \end{aligned} $

अशाप्रकारे, दोन शहरे, जी नकाशावर $4 cm$ अंतरावर आहेत, ती प्रत्यक्षात एकमेकांपासून $1200 km$ अंतरावर आहेत.

हे करा

तुमच्या राज्याचा नकाशा घ्या. तिथे वापरलेले प्रमाण लक्षात घ्या. रुलर वापरून, कोणत्याही दोन शहरांमधील “नकाशावरील अंतर” मोजा. त्यांच्यातील वास्तविक अंतर काढा.

उदाहरणे ११.१

1. रेल्वे स्थानकाजवळ कार पार्किंग शुल्क खालीलप्रमाणे आहे

पार्किंग शुल्क हे पार्किंग वेळेच्या थेट प्रमाणात आहे का ते तपासा.

2. रंगाचे मिश्रण १ भाग लाल रंगद्रव्य आणि ८ भाग बेस मिसळून तयार केले जाते. खालील सारणीमध्ये, मिसळण्यासाठी लागणाऱ्या बेसचे भाग शोधा.

3. वरील प्रश्न २ मध्ये, जर १ भाग लाल रंगद्रव्यासाठी $75 mL$ बेस लागत असेल, तर $1800 mL$ बेसशी आपण किती लाल रंगद्रव्य मिसळावे?

4. एका सॉफ्ट ड्रिंक फॅक्टरीमधील मशीन सहा तासात ८४० बाटल्या भरते. पाच तासात ती किती बाटल्या भरेल?

5. एका जीवाणूचा ५०,००० पट मोठा केलेला फोटो $5 cm$ लांबीचा होतो जसा आकृतीत दाखवले आहे. जीवाणूची वास्तविक लांबी किती आहे? जर फोटो केवळ २०,००० पट मोठा केला, तर त्याची वाढलेली लांबी किती असेल?

6. एका जहाजाच्या मॉडेलमध्ये, मस्तूल $9 cm$ उंच आहे, तर वास्तविक जहाजाचा मस्तूल $12 mhigh$ उंच आहे. जर जहाजाची लांबी $28 m$ असेल, तर मॉडेल जहाज किती लांब असेल?

7. समजा $2 kg$ साखरेमध्ये $9 \times 10^{6}$ स्फटिक असतात.

(i) $5 kg$ साखरेमध्ये किती साखरेचे स्फटिक असतील? (ii) $1.2 kg$ साखरेमध्ये किती स्फटिक असतील?

8. रश्मीकडे एक रोड मॅप आहे ज्याचे प्रमाण $1 cm$ आहे जे $18 km$ दर्शवते. ती एका रस्त्यावर $72 km$ चालवते. नकाशामध्ये तिचे कापलेले अंतर किती असेल?

9. एक $5 m 60 cm$ उंच उभा खांब $3 m 20 cm$ लांबीची सावली टाकतो. त्याच वेळी शोधा (i) दुसऱ्या $10 m 50 cm$ उंचीच्या खांबाने टाकलेल्या सावलीची लांबी (ii) एका खांबाची उंची जो $5 m$ लांबीची सावली टाकतो.

10. एक भरलेला ट्रक २५ मिनिटांत $14 km$ प्रवास करतो. जर गती तशीच राहिली, तर तो ५ तासात किती अंतर प्रवास करू शकतो?

हे करा

1. चौरस कागदावर, भिन्न बाजूंचे पाच चौरस काढा. खालील माहिती सारणीच्या रूपात लिहा.

बाजूची लांबी ही खालील गोष्टींच्या थेट प्रमाणात आहे का ते शोधा:

(अ) चौरसाची परिमिती.

(ब) चौरसाचे क्षेत्रफळ.

2. ५ व्यक्तींसाठी हलवा तयार करण्यासाठी खालील साहित्य आवश्यक आहे:

सूजी/रवा $=250 g$, साखर $=300 g$,

तूप $=200 g$, पाणी $=500 mL$.

प्रमाणाची संकल्पना वापरून, तुमच्या वर्गासाठी हलवा तयार करण्यासाठी, साहित्याच्या प्रमाणात होणारे बदल अंदाजे काढा.

3. एक प्रमाण निवडा आणि तुमच्या वर्गखोलीचा नकाशा तयार करा, ज्यामध्ये खिडक्या, दरवाजे, ब्लॅकबोर्ड इ