11.1 પ્રસ્તાવના

મોહન પોતા માટે અને તેની બહેન માટે ચા બનાવે છે. તે $300 mL$ પાણી, 2 ચમચી ખાંડ, 1 ચમચી ચાના પાન અને $50 mL$ દૂધનો ઉપયોગ કરે છે. જો તેને પાંચ વ્યક્તિઓ માટે ચા બનાવવી હોય, તો તેને દરેક વસ્તુની કેટલી માત્રા જોઈએ?

જો બે વિદ્યાર્થીઓને એસેમ્બલી માટે ખુરશીઓ ગોઠવવામાં 20 મિનિટ લાગે, તો પાંચ વિદ્યાર્થીઓને તે જ કામ કરવામાં કેટલો સમય લાગશે?

આપણે આપણા રોજબરોજના જીવનમાં આવી ઘણી પરિસ્થિતિઓ જોઈએ છીએ, જ્યાં આપણે એક જથ્થામાં ફેરફાર બીજા જથ્થામાં ફેરફાર લાવે છે તે જોવાની જરૂર પડે છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

(i) જો ખરીદેલી વસ્તુઓની સંખ્યા વધે, તો કુલ ખર્ચ પણ વધે છે.

(ii) બેંકમાં વધુ પૈસા જમા કરવામાં આવે, તો વધુ વ્યાજ મળે.

(iii) વાહનની ઝડપ વધે તેમ, સમાન અંતર કાપવામાં લાગતો સમય ઘટે છે.

(iv) આપેલ કામ માટે, કામદારોની સંખ્યા વધુ હોય, તો કામ પૂર્ણ કરવામાં લાગતો સમય ઓછો થશે.

નોંધો કે એક જથ્થામાં ફેરફાર બીજા જથ્થામાં ફેરફાર લાવે છે.

પાંચ વધુ એવી પરિસ્થિતિઓ લખો જ્યાં એક જથ્થામાં ફેરફાર બીજા જથ્થામાં ફેરફાર લાવે છે.

મોહનને દરેક વસ્તુની કેટલી માત્રા જોઈએ તે આપણે કેવી રીતે શોધી શકીએ? અથવા, પાંચ વિદ્યાર્થીઓને કામ પૂર્ણ કરવામાં કેટલો સમય લાગશે?

આવા પ્રશ્નોના જવાબ આપવા માટે, હવે આપણે પ્રમાણના કેટલાક ખ્યાલોનો અભ્યાસ કરીએ છીએ.

11.2 સમપ્રમાણ

જો $1 kg$ ખાંડની કિંમત ₹ 36 હોય, તો $3 kg$ ખાંડની કિંમત કેટલી હશે? તે ₹ 108 છે.

તેવી જ રીતે, આપણે $5 kg$ અથવા $8 kg$ ખાંડની કિંમત શોધી શકીએ છીએ. નીચેનું કોષ્ટક અભ્યાસો.

નોંધો કે ખાંડનું વજન વધે તેમ, કિંમત પણ એવી રીતે વધે છે કે તેમનો ગુણોત્તર અચળ રહે છે.

એક વધુ ઉદાહરણ લો. ધારો કે એક કાર $60 km$ અંતર કાપવા માટે 4 લિટર પેટ્રોલનો ઉપયોગ કરે છે. તે 12 લિટરનો ઉપયોગ કરીને કેટલું અંતર કાપશે? જવાબ છે $180 km$. આપણે તેની ગણતરી કેવી રીતે કરી? કારણ કે બીજી વખતે વપરાયેલ પેટ્રોલ 12 લિટર છે, એટલે કે 4 લિટરનો ત્રણ ગણો, તો કાપેલું અંતર પણ $60 km$ નો ત્રણ ગણો થશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યારે પેટ્રોલનો વપરાશ ત્રણ ગણો થાય છે, ત્યારે કાપેલું અંતર પણ પહેલાના કરતાં ત્રણ ગણું થાય છે. પેટ્રોલનો વપરાશ $x$ લિટર અને તેને અનુરૂપ કાપેલું અંતર $y km$ થવા દો. હવે, નીચેનું કોષ્ટક પૂર્ણ કરો:

આપણે જોઈએ છીએ કે $x$ ની કિંમત વધે તેમ, $y$ ની કિંમત પણ એવી રીતે વધે છે કે ગુણોત્તર $\frac{x}{y}$ બદલાતો નથી; તે અચળ રહે છે (ધારો કે $k$). આ કિસ્સામાં, તે $\frac{1}{15}$ છે (તપાસો!).

આપણે કહીએ છીએ કે $x$ અને $y$ સમપ્રમાણમાં છે, જો $\frac{x}{y}=k$ અથવા $x=k y$.

આ ઉદાહરણમાં, $\frac{4}{60}=\frac{12}{180}$, જ્યાં 4 અને 12 એ લિટરમાં પેટ્રોલના વપરાશની માત્રા $(x)$ છે અને 60 અને 180 એ અંતર $(y)$ $km$ માં છે. તેથી જ્યારે $x$ અને $y$ સમપ્રમાણમાં હોય, તો આપણે $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ લખી શકીએ છીએ. $[y_1, y_2.$ એ $y$ ના મૂલ્યો છે જે $x_1$, $x_2$ $x$ ના મૂલ્યોને અનુરૂપ છે]

પેટ્રોલનો વપરાશ અને કાર દ્વારા કાપેલું અંતર એ સમપ્રમાણનો કિસ્સો છે. તેવી જ રીતે, ખર્ચવામાં આવેલી કુલ રકમ અને ખરીદેલી વસ્તુઓની સંખ્યા પણ સમપ્રમાણનું ઉદાહરણ છે.

સમપ્રમાણ માટે વધુ કેટલાક ઉદાહરણો વિચારો. તપાસો કે શું મોહન [પ્રારંભિક ઉદાહરણમાં] પાંચ વ્યક્તિઓ માટે ચા તૈયાર કરવા માટે $750 mL$ પાણી, 5 ચમચી ખાંડ, $2 \frac{1}{2}$ ચમચી ચાના પાન અને $125 mL$ દૂધ લેશે! ચાલો નીચેની પ્રવૃત્તિઓ દ્વારા સમપ્રમાણની વિભાવના વધુ સમજવાનો પ્રયાસ કરીએ.

આ કરો

(i)

• એક ઘડિયાળ લો અને તેની મિનિટની સૂઈને 12 પર સેટ કરો.

• મિનિટની સૂઈ દ્વારા તેની મૂળ સ્થિતિમાંથી ફેરવાયેલો કોણ અને વીતી ગયેલો સમય નીચેના કોષ્ટકમાં રેકોર્ડ કરો:

તમે $T$ અને $A$ વિશે શું અવલોકન કરો છો? શું તેઓ એકસાથે વધે છે? શું $\frac{T}{A}$ દરેક વખતે સમાન છે?

શું મિનિટની સૂઈ દ્વારા ફેરવાયેલો કોણ વીતી ગયેલા સમયના સમપ્રમાણમાં છે? હા!

ઉપરના કોષ્ટક પરથી, તમે આ પણ જોઈ શકો છો

$ \begin{aligned} & T_1: T_2=A_1: A_2, \text{ કારણ કે } \\ & T_1: T_2=15: 30=1: 2 \\ & A_1: A_2=90: 180=1: 2 \\ & T_2: T_3=A_2: A_3 \text{ અને } T_3: T_4=A_3: A_4 \end{aligned} $

તપાસો કે શું

તમે તમારો પોતાનો સમય અંતરાલ પસંદ કરીને આ પ્રવૃત્તિ પુનરાવર્તિત કરી શકો છો.

(ii) તમારા મિત્રને નીચેનું કોષ્ટક ભરવા અને તેની ઉંમર અને તેની માતાની અનુરૂપ ઉંમરનો ગુણોત્તર શોધવા કહો.

તમે શું અવલોકન કરો છો?

શું F અને $M$ એકસાથે વધે છે (અથવા ઘટે છે)? શું $\frac{F}{M}$ દરેક વખતે સમાન છે? ના!

તમે આ પ્રવૃત્તિ અન્ય મિત્રો સાથે પુનરાવર્તિત કરી શકો છો અને તમારા અવલોકનો લખી શકો છો.

આમ, એકસાથે વધતા (અથવા ઘટતા) ચલો હંમેશા સમપ્રમાણમાં હોવા જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે:

(i) માનવમાં શારીરિક ફેરફાર સમય સાથે થાય છે પરંતુ જરૂરી નથી કે તે કોઈ પૂર્વનિર્ધારિત ગુણોત્તરમાં થાય.

(ii) વ્યક્તિઓમાં વજન અને ઊંચાઈમાં ફેરફાર કોઈ જાણીતા પ્રમાણમાં નથી અને

(iii) વૃક્ષની ઊંચાઈ અને તેની ડાળીઓ પર ઉગતાં પાંદડાઓની સંખ્યા વચ્ચે કોઈ સીધો સંબંધ અથવા ગુણોત્તર નથી. આવા વધુ ઉદાહરણો વિચારો.

આ પ્રયાસ કરો

1. નીચેના કોષ્ટકો જુઓ અને તપાસો કે શું $x$ અને $y$ સમપ્રમાણમાં છે.

(i)

(ii)

(iii)

2. મુદ્દલ $=₹ 1000$, દર $=8 %$ વાર્ષિક. નીચેનું કોષ્ટક ભરો અને શોધો કે કયા પ્રકારનું વ્યાજ (સાદું અથવા ચક્રવૃદ્ધિ) સમયગાળા સાથે સમપ્રમાણમાં બદલાય છે.

$\Large\frac{P\times r \times t}{100}$

$ \begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{સમયગાળો} & 1 \text{ વર્ષ} & 2 \text{ વર્ષ} & 3 \text{ વર્ષ} \\ \hline \text{સાદું વ્યાજ (₹ માં)} & & \\ \hline \text{ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ (₹ માં)} & & \\ \hline \end{array} $

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

જો આપણે સમયગાળો અને વ્યાજનો દર નિશ્ચિત કરીએ, તો સાદું વ્યાજ મુદ્દલ સાથે સમપ્રમાણમાં બદલાય છે. શું ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટે સમાન સંબંધ હશે? શા માટે?

ચાલો કેટલાક હલ કરેલા ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ જ્યાં આપણે સમપ્રમાણની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીશું.

ઉદાહરણ 1 : ચોક્કસ ગુણવત્તાના 5 મીટર કપડાની કિંમત ₹ 210 છે. સમાન પ્રકારના 2, 4, 10 અને 13 મીટર કપડાની કિંમત કોષ્ટકમાં દર્શાવો.

ઉકેલ: ધારો કે કપડાની લંબાઈ $x$ મીટર છે અને તેની કિંમત, ₹ માં, $y$ છે.

કપડાની લંબાઈ વધે તેમ, કપડાની કિંમત પણ સમાન ગુણોત્તરમાં વધે છે. તે સમપ્રમાણનો કિસ્સો છે.

આપણે $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ પ્રકારના સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

(i) અહીં $x_1=5, y_1=210$ અને $x_2=2$

તેથી, $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ આપે છે $\frac{5}{210}=\frac{2}{y_2}$ અથવા $5 y_2=2 \times 210$ અથવા $y_2=\frac{2 \times 210}{5}=84$

(ii) જો $x_3=4$, તો $\frac{5}{210}=\frac{4}{y_3}$ અથવા $5 y_3=4 \times 210$ અથવા $y_3=\frac{4 \times 210}{5}=168$

[શું આપણે અહીં $\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ? પ્રયાસ કરો!]

(iii) જો $x_4=10$, તો $\frac{5}{210}=\frac{10}{y_4}$ અથવા $y_4=\frac{10 \times 210}{5}=420$

(iv) જો $x_5=13$, તો $\frac{5}{210}=\frac{13}{y_5}$ અથવા $y_5=\frac{13 \times 210}{5}=546$

$[.$ નોંધો કે અહીં આપણે $.\frac{5}{210}]$ ની જગ્યાએ $\frac{2}{84}$ અથવા $\frac{4}{168}$ અથવા $\frac{10}{420}$ નો પણ ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ

ઉદાહરણ 2 : 14 મીટર ઊંચો એક વિદ્યુત થાંભલો 10 મીટર પડછાયો નાખે છે. સમાન પરિસ્થિતિઓમાં 15 મીટર પડછાયો નાખતા વૃક્ષની ઊંચાઈ શોધો.

ઉકેલ: વૃક્ષની ઊંચાઈ $x$ મીટર થવા દો. આપણે નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે કોષ્ટક બનાવીએ છીએ:

નોંધો કે વસ્તુની ઊંચાઈ જેટલી વધુ હશે, તેના પડછાયાની લંબાઈ પણ તેટલી વધુ હશે.

તેથી, આ સમપ્રમાણનો કિસ્સો છે. એટલે કે, $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$

આપણી પાસે $\quad \frac{14}{10}=\frac{x}{15}$ છે (શા માટે?)

અથવા $\quad \frac{14}{10} \times 15=x$

અથવા $\quad \frac{14 \times 3}{2}=x$

તેથી

$ 21=x $

આમ, વૃક્ષની ઊંચાઈ 21 મીટર છે.

વૈકલ્પિક રીતે, આપણે $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ ને $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ

તેથી $x_1:x_2=y_1:y_2$

અથવા $14:x=10:15$

તેથી, $10 \times x= 15 \times 14$

$ \text{ અથવા } \quad x=\frac{15 \times 14}{10}=21 $

ઉદાહરણ 3 : જો 12 શીટ જાડા કાગળનું વજન 40 ગ્રામ હોય, તો સમાન કાગળની કેટલી શીટનું વજન $2 \frac{1}{2}$ કિલોગ્રામ થશે?

ઉકેલ:

ધારો કે જે શીટનું વજન $2 \frac{1}{2} kg$ હોય તેની સંખ્યા $x$ છે. આપણે ઉપરની માહિતી નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે કોષ્ટકના રૂપમાં મૂકીએ છીએ:

$2\frac{1}{2} kilogram = 2500 grams$

શીટની સંખ્યા જેટલી વધુ હશે, તેનું વજન પણ તેટલું વધુ હશે. તેથી, શીટની સંખ્યા અને તેનું વજન એકબીજા સાથે સમપ્રમાણમાં છે.

તેથી, $\frac{12}{40}=\frac{x}{2500}$

અથવા $\frac{12 \times 2500}{40}=x$

અથવા $750=x$

આમ, જરૂરી કાગળની શીટની સંખ્યા $=750$ છે.

વૈકલ્પિક પદ્ધતિ:

બે જથ્થાઓ $x$ અને $y$ જે સમપ્રમાણમાં બદલાય છે તેમનો સંબંધ $x=k y$ અથવા $\frac{x}{y}=k$ છે

અહીં,

$ k=\frac{\text{ શીટની સંખ્યા }}{\text{ શીટનું વજન ગ્રામમાં }}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10} $

હવે $x$ એ કાગળની શીટની સંખ્યા છે જેનું વજન $2 \frac{1}{2} kg[2500 g]$ છે.

સંબંધ $x=k y, x=\frac{3}{10} \times 2500=750$ નો ઉપયોગ કરીને

આમ, 750 શીટ કાગળનું વજન $2 \frac{1}{2} kg$ થશે.

ઉદાહરણ 4 : એક ટ્રેન $75 km / hour$ ની એકસમાન ઝડપથી ચાલી રહી છે.

(i) તે 20 મિનિટમાં કેટલું અંતર કાપશે?

(ii) $250 km$ અંતર કાપવા માટે જરૂરી સમય શોધો.

ઉકેલ: ધારો કે 20 મિનિટમાં કાપેલું અંતર ($km$ માં) $x$ છે અને $250 km$ કાપવા માટે લાગતો સમય (મિનિટમાં) $y$ છે.

1 કલાક = 60 મિનિટ

ઝડપ એકસમાન હોવાથી, તેથી, કાપેલું અંતર સમયના સમપ્રમાણમાં હશે.

(i) આપણી પાસે $\frac{75}{60}=\frac{x}{20}$ છે

$ \begin{aligned} & \text{ અથવા } \quad \frac{75}{60} \times 20=x \\ & \text{ અથવા } \quad x=25 \end{aligned} $

તેથી, ટ્રેન 20 મિનિટમાં $25 km$ અંતર કાપશે.

(ii) તેમજ, $\frac{75}{60}=\frac{250}{y}$

અથવા $\quad y=\frac{250 \times 60}{75}=200$ મિનિટ અથવા 3 કલાક 20 મિનિટ.

તેથી, 250 કિલોમીટર અંતર કાપવા માટે 3 કલાક 20 મિનિટ જરૂરી થશે.

વૈકલ્પિક રીતે, જ્યારે $x$ જાણીતું હોય, તો સંબંધ $\frac{x}{20}=\frac{250}{y}$ પરથી $y$ નક્કી કરી શકાય છે.

તમે જાણો છો કે નકશો એ ખૂબ મોટા પ્રદેશનું લઘુરૂપ પ્રતિનિધિત્વ છે. સામાન્ય રીતે નકશાના તળિયે સ્કેલ આપવામાં આવે છે. સ્કેલ વાસ્તવિક લંબાઈ અને નકશા પર દર્શાવેલ લંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે. આમ, નકશાનો સ્કેલ એ નકશા પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર અને મોટા પ્રદેશ પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેના વાસ્તવિક અંતરનો ગુણોત્તર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો $1 cm$ નકશા પર $8 km$ વાસ્તવિક અંતર દર્શાવે છે [એટલે કે, સ્કેલ $1 cm: 8 km$ અથવા $1: 800,000]$ છે તો તે જ નકશા પર $2 cm$ $16 km$ નું પ્રતિનિધિત્વ કરશે. તેથી, આપણે કહી શકીએ કે નકશાનો સ્કેલ સમપ્રમાણની વિભાવના પર આધારિત છે.

ઉદાહરણ 5 : એક નકશાનો સ્કેલ 1:30000000 આપવામાં આવ્યો છે. બે શહેરો નકશા પર $4 cm$ દૂર છે. તેમની વચ્ચેનું વાસ્તવિક અંતર શોધો.

ઉકેલ: ધારો કે નકશાનું અંતર $x cm$ અને વાસ્તવિક અંતર $y cm$ છે, તો

$ \begin{aligned} & 1: 30000000=x: y \\ & \text { અથવા } \quad \frac{1}{3 \times 10^7}=\frac{x}{y} \\ & \text { કારણ કે } x=4 \text{ તેથી, } \quad \frac{1}{3 \times 10^7}=\frac{4}{y} \\ & \text { અથવા } \quad y=4 \times 3 \times 10^7=12 \times 10^7 \mathrm{~cm}=1200 \mathrm{~km} \text{ છે. } \\ & \end{aligned} $

આમ, બે શહેરો, જે નકશા પર $4 cm$ દૂર છે, વાસ્તવમાં એકબીજાથી $1200 km$ દૂર છે.

આ કરો

તમારા રાજ્યનો નકશો લો. ત્યાં વપરાયેલ સ્કેલ નોંધો. રૂલરનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ પણ બે શહેરો વચ્ચેનું “નકશાનું અંતર” માપો. તેમની વચ્ચેનું વાસ્તવિક અંતર ગણો.

કસરત 11.1

1. રેલવે સ્ટેશન પાસે કાર પાર્કિંગ ચાર્જ નીચે મુજબ છે

તપાસો કે શું પાર્કિંગ ચાર્જ પાર્કિંગ સમય