11.1 ಪರಿಚಯ

ಮೋಹನ್ ತನಗೆ ಮತ್ತು ಅವನ ಸಹೋದರಿಗೆ ಚಹಾ ತಯಾರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಅವನು $300 mL$ ನೀರು, 2 ಚಮಚ ಸಕ್ಕರೆ, 1 ಚಮಚ ಚಹಾ ಎಲೆಗಳು ಮತ್ತು $50 mL$ ಹಾಲನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾನೆ. ಐದು ಜನರಿಗೆ ಚಹಾ ತಯಾರಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿನ ಎಷ್ಟು ಪ್ರಮಾಣ ಅವನಿಗೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ?

ಒಂದು ಸಭೆಗಾಗಿ ಕುರ್ಚಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಲು ಇಬ್ಬರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು 20 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅದೇ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಐದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ?

ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಇಂತಹ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ತರುವುದನ್ನು ನೋಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

(i) ಖರೀದಿಸಿದ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದರೆ, ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚವೂ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

(ii) ಬ್ಯಾಂಕಿನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಹಣ ಠೇವಣಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಹೆಚ್ಚು ಬಡ್ಡಿ ಸಂಪಾದನೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

(iii) ವಾಹನದ ವೇಗ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಅದೇ ದೂರ ಕ್ರಮಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

(iv) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ, ಕಾರ್ಮಿಕರ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಕೆಲಸವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ ತರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

ಐದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ ತರುತ್ತದೆ.

ಮೋಹನ್ಗೆ ಬೇಕಾಗುವ ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ? ಅಥವಾ, ಐದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕೆಲಸವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವೇನು?

ಇಂತಹ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ನಾವು ಈಗ ಬದಲಾವಣೆಯ ಕೆಲವು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

11.2 ನೇರ ಅನುಪಾತ

$1 kg$ ಸಕ್ಕರೆಯ ಬೆಲೆ ₹ 36 ಆಗಿದ್ದರೆ, $3 kg$ ಸಕ್ಕರೆಯ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು? ಅದು ₹ 108 ಆಗಿದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು $5 kg$ ಅಥವಾ $8 kg$ ಸಕ್ಕರೆಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ.

ಸಕ್ಕರೆಯ ತೂಕ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಅವುಗಳ ಅನುಪಾತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವೆಚ್ಚವೂ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಒಂದು ಕಾರು $60 km$ ದೂರ ಪ್ರಯಾಣಿಸಲು 4 ಲೀಟರ್ ಪೆಟ್ರೋಲ್ ಬಳಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. 12 ಲೀಟರ್ ಬಳಸಿ ಅದು ಎಷ್ಟು ದೂರ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆ? ಉತ್ತರ $180 km$. ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ? ಎರಡನೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ಪೆಟ್ರೋಲ್ 12 ಲೀಟರ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂದರೆ 4 ಲೀಟರ್ಗಳ ಮೂರು ಪಟ್ಟು, ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವೂ $60 km$ ನ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪೆಟ್ರೋಲ್ ಬಳಕೆ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಆದಾಗ, ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವೂ ಹಿಂದಿನದರ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪೆಟ್ರೋಲ್ ಬಳಕೆ $x$ ಲೀಟರ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರ $y km$ ಆಗಿರಲಿ. ಈಗ, ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ:

$x$ ನ ಮೌಲ್ಯ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, $y$ ನ ಮೌಲ್ಯವೂ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\frac{x}{y}$ ಅನುಪಾತ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ($k$ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದು $\frac{1}{15}$ ಆಗಿದೆ (ಪರಿಶೀಲಿಸಿ!).

$x$ ಮತ್ತು $y$ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, $\frac{x}{y}=k$ ಅಥವಾ $x=k y$ ಆಗಿದ್ದರೆ.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, $\frac{4}{60}=\frac{12}{180}$, ಇಲ್ಲಿ 4 ಮತ್ತು 12 ಪೆಟ್ರೋಲ್ ಬಳಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಲೀಟರ್ನಲ್ಲಿ $(x)$ ಮತ್ತು 60 ಮತ್ತು 180 ದೂರಗಳು $(y)$ $km$ ನಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ $x$ ಮತ್ತು $y$ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವಾಗ, ನಾವು $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. $[y_1, y_2.$ ಗಳು $y$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಕ್ರಮವಾಗಿ $x_1$, $x_2$ $x$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ]

ಪೆಟ್ರೋಲ್ ಬಳಕೆ ಮತ್ತು ಕಾರಿನಿಂದ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವು ನೇರ ಅನುಪಾತದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಖರ್ಚು ಮಾಡಿದ ಒಟ್ಟು ಹಣ ಮತ್ತು ಖರೀದಿಸಿದ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ನೇರ ಅನುಪಾತದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ನೇರ ಅನುಪಾತಕ್ಕಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಯೋಚಿಸಿ. ಮೋಹನ್ [ಆರಂಭಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ] ಐದು ಜನರಿಗೆ ಚಹಾ ತಯಾರಿಸಲು $750 mL$ ನೀರು, 5 ಚಮಚ ಸಕ್ಕರೆ, $2 \frac{1}{2}$ ಚಮಚ ಚಹಾ ಎಲೆಗಳು ಮತ್ತು $125 mL$ ಹಾಲನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ! ಕೆಳಗಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ಮೂಲಕ ನೇರ ಅನುಪಾತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

(i)

• ಒಂದು ಗಡಿಯಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರ ನಿಮಿಷದ ಮುಳ್ಳನ್ನು 12 ರಲ್ಲಿ ಸರಿಪಡಿಸಿ.

• ನಿಮಿಷದ ಮುಳ್ಳು ತಿರುಗಿದ ಕೋನ ಮತ್ತು ಕಳೆದುಹೋದ ಸಮಯವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ದಾಖಲಿಸಿ:

$T$ ಮತ್ತು $A$ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ? ಅವು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತವೆಯೇ? $\frac{T}{A}$ ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಒಂದೇ ಆಗಿದೆಯೇ?

ನಿಮಿಷದ ಮುಳ್ಳು ತಿರುಗಿದ ಕೋನವು ಕಳೆದುಹೋದ ಸಮಯಕ್ಕೆ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದೆಯೇ? ಹೌದು!

ಮೇಲಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ, ನೀವು ಇದನ್ನೂ ನೋಡಬಹುದು

$ \begin{aligned} & T_1: T_2=A_1: A_2, \text{ ಏಕೆಂದರೆ } \\ & T_1: T_2=15: 30=1: 2 \\ & A_1: A_2=90: 180=1: 2 \\ & T_2: T_3=A_2: A_3 \text{ ಮತ್ತು } T_3: T_4=A_3: A_4 \end{aligned} $

ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಸಮಯಾವಧಿಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಂಡು ಈ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು.

(ii) ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ತುಂಬಲು ಮತ್ತು ಅವನ ವಯಸ್ಸಿನ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಅವನ ತಾಯಿಯ ಅನುಗುಣವಾದ ವಯಸ್ಸಿಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೇಳಿ.

ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ?

F ಮತ್ತು $M$ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತವೆಯೇ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆಯೇ)? $\frac{F}{M}$ ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಒಂದೇ ಆಗಿದೆಯೇ? ಇಲ್ಲ!

ಈ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಇತರ ಸ್ನೇಹಿತರೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಟ್ಟಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ) ಚರಾಂಕಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

(i) ಮಾನವರಲ್ಲಿ ಭೌತಿಕ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಅವಶ್ಯವಾಗಿ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧಾರಿತ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಲ್ಲ.

(ii) ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ನಡುವೆ ತೂಕ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಯಾವುದೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು

(iii) ಮರದ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೊಂಬೆಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಳೆಯುವ ಎಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ನೇರ ಸಂಬಂಧ ಅಥವಾ ಅನುಪಾತವಿಲ್ಲ. ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಯೋಚಿಸಿ.

ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು $x$ ಮತ್ತು $y$ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

(i)

(ii)

(iii)

2. ಮುಖ್ಯ $=₹ 1000$, ದರ $=8 %$ ವಾರ್ಷಿಕ. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ತುಂಬಿ ಮತ್ತು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಬಡ್ಡಿ (ಸರಳ ಅಥವಾ ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿ) ಸಮಯಾವಧಿಗೆ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

$\Large\frac{P\times r \times t}{100}$

$ \begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{ಸಮಯಾವಧಿ} & 1 \text{ ವರ್ಷ} & 2 \text{ ವರ್ಷ} & 3 \text{ ವರ್ಷ} \\ \hline \text{ಸರಳ ಬಡ್ಡಿ (₹ ನಲ್ಲಿ)} & & \\ \hline \text{ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿ (₹ ನಲ್ಲಿ)} & & \\ \hline \end{array} $

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

ನಾವು ಸಮಯಾವಧಿ ಮತ್ತು ಬಡ್ಡಿದರವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಟ್ಟರೆ, ಸರಳ ಬಡ್ಡಿಯು ಮುಖ್ಯ ಹಣಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಗೆ ಸಮಾನ ಸಂಬಂಧ ಇರುತ್ತದೆಯೇ? ಏಕೆ?

ನೇರ ಅನುಪಾತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಕೆಲವು ಪರಿಹರಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಮಟ್ಟದ 5 ಮೀಟರ್ ಬಟ್ಟೆಯ ಬೆಲೆ ₹ 210 ಆಗಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿಯ 2, 4, 10 ಮತ್ತು 13 ಮೀಟರ್ ಬಟ್ಟೆಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಬಟ್ಟೆಯ ಉದ್ದ $x$ ಮೀಟರ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಬೆಲೆ, ₹ ನಲ್ಲಿ, $y$ ಆಗಿರಲಿ.

ಬಟ್ಟೆಯ ಉದ್ದ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಬಟ್ಟೆಯ ಬೆಲೆಯೂ ಅದೇ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ನೇರ ಅನುಪಾತದ ಸಂದರ್ಭವಾಗಿದೆ.

ನಾವು $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

(i) ಇಲ್ಲಿ $x_1=5, y_1=210$ ಮತ್ತು $x_2=2$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ $\frac{5}{210}=\frac{2}{y_2}$ ಅಥವಾ $5 y_2=2 \times 210$ ಅಥವಾ $y_2=\frac{2 \times 210}{5}=84$ ನೀಡುತ್ತದೆ

(ii) $x_3=4$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $\frac{5}{210}=\frac{4}{y_3}$ ಅಥವಾ $5 y_3=4 \times 210$ ಅಥವಾ $y_3=\frac{4 \times 210}{5}=168$

[ನಾವು ಇಲ್ಲಿ $\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}$ ಬಳಸಬಹುದೇ? ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ!]

(iii) $x_4=10$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $\frac{5}{210}=\frac{10}{y_4}$ ಅಥವಾ $y_4=\frac{10 \times 210}{5}=420$

(iv) $x_5=13$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $\frac{5}{210}=\frac{13}{y_5}$ ಅಥವಾ $y_5=\frac{13 \times 210}{5}=546$

$[.$ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು $.\frac{5}{210}]$ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ $\frac{2}{84}$ ಅಥವಾ $\frac{4}{168}$ ಅಥವಾ $\frac{10}{420}$ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

ಉದಾಹರಣೆ 2 : 14 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರದ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಂಬವು 10 ಮೀಟರ್ ನೆರಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಮಾನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ 15 ಮೀಟರ್ ನೆರಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಮರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಮರದ ಎತ್ತರ $x$ ಮೀಟರ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಾವು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ವಸ್ತುವಿನ ಎತ್ತರ ಹೆಚ್ಚಾದಷ್ಟು, ಅದರ ನೆರಳಿನ ಉದ್ದವೂ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ನೇರ ಅನುಪಾತದ ಸಂದರ್ಭವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$

ನಮಗೆ $\quad \frac{14}{10}=\frac{x}{15}$ ಇದೆ (ಏಕೆ?)

ಅಥವಾ $\quad \frac{14}{10} \times 15=x$

ಅಥವಾ $\quad \frac{14 \times 3}{2}=x$

ಆದ್ದರಿಂದ

$ 21=x $

ಹೀಗಾಗಿ, ಮರದ ಎತ್ತರ 21 ಮೀಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾವು $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ ಅನ್ನು $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು

ಆದ್ದರಿಂದ $x_1:x_2=y_1:y_2$

ಅಥವಾ $14:x=10:15$

ಆದ್ದರಿಂದ, $10 \times x= 15 \times 14$

$ \text{ ಅಥವಾ } \quad x=\frac{15 \times 14}{10}=21 $

ಉದಾಹರಣೆ 3 : 12 ಹಾಳೆಗಳ ದಪ್ಪ ಕಾಗದದ ತೂಕ 40 ಗ್ರಾಂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದೇ ಕಾಗದದ ಎಷ್ಟು ಹಾಳೆಗಳು $2 \frac{1}{2}$ ಕಿಲೋಗ್ರಾಂ ತೂಗುತ್ತವೆ?

ಪರಿಹಾರ:

$2 \frac{1}{2} kg$ ತೂಗುವ ಹಾಳೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $x$ ಆಗಿರಲಿ. ನಾವು ಮೇಲಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ:

$2\frac{1}{2} kilogram = 2500 grams$

ಹಾಳೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದಷ್ಟು, ಅವುಗಳ ತೂಕವೂ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಾಳೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ತೂಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\frac{12}{40}=\frac{x}{2500}$

ಅಥವಾ $\frac{12 \times 2500}{40}=x$

ಅಥವಾ $750=x$

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=750$.

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ:

ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳು $x$ ಮತ್ತು $y$ ಗಳು $x=k y$ ಅಥವಾ $\frac{x}{y}=k$ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ

ಇಲ್ಲಿ,

$ k=\frac{\text{ ಹಾಳೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ }}{\text{ ಹಾಳೆಗಳ ತೂಕ ಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ }}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10} $

ಈಗ $x$ ಎಂಬುದು $2 \frac{1}{2} kg[2500 g]$ ತೂಗುವ ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

$x=k y, x=\frac{3}{10} \times 2500=750$ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿ

ಹೀಗಾಗಿ, 750 ಹಾಳೆಗಳ ಕಾಗದವು $2 \frac{1}{2} kg$ ತೂಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 : ಒಂದು ರೈಲು $75 km / hour$ ಏಕರೂಪದ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ.

(i) ಅದು 20 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ದೂರ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆ?

(ii) $250 km$ ದೂರ ಕ್ರಮಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಮಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: 20 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರ ($km$ ನಲ್ಲಿ) $x$ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $250 km$ ಕ್ರಮಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ (ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ) $y$ ಆಗಿರಲಿ.

1 ಗಂಟೆ = 60 ನಿಮಿಷ

ವೇಗ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರವು ಸಮಯಕ್ಕೆ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

(i) ನಮಗೆ $\frac{75}{60}=\frac{x}{20}$ ಇದೆ

$ \begin{aligned} & \text{ ಅಥವಾ } \quad \frac{75}{60} \times 20=x \\ & \text{ ಅಥವಾ } \quad x=25 \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, ರೈಲು 20 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ $25 km$ ದೂರ ಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ.

(ii) ಮತ್ತು, $\frac{75}{60}=\frac{250}{y}$

ಅಥವಾ $\quad y=\frac{250 \times 60}{75}=200$ ನಿಮಿಷಗಳು ಅಥವಾ 3 ಗಂಟೆಗಳು 20 ನಿಮಿಷಗಳು.

ಆದ್ದರಿಂದ, 250 ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ದೂರ ಕ್ರಮಿಸಲು 3 ಗಂಟೆಗಳು 20 ನಿಮಿಷಗಳು ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, $x$ ತಿಳಿದಿರುವಾಗ, ನಂತರ ಒಬ್ಬರು $\frac{x}{20}=\frac{250}{y}$ ಸಂಬಂಧದಿಂದ $y$ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ನಕ್ಷೆಯು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪ್ರತಿನಿಧಿತ್ವವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಕ್ಷೆಯ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾಪಕವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾಪಕವು ನಿಜವಾದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾದ ಉದ್ದದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಕ್ಷೆಯ ಮಾಪಕವು ನಕ್ಷೆಯ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಜವಾದ ದೂರದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಕ್ಷೆಯ ಮೇಲೆ $1 cm$ ನಿಜವಾದ ದೂರದ $8 km$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ [ಅಂದರೆ, ಮಾಪಕವು $1 cm: 8 km$ ಅಥವಾ $1: 800,000]$ ಆಗಿದೆ] ನಂತರ ಅದೇ ನಕ್ಷೆಯ ಮೇಲೆ $2 cm$ $16 km$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಕ್ಷೆಯ ಮಾಪಕವು ನೇರ ಅನುಪಾತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 5 : ಒಂದು ನಕ್ಷೆಯ ಮಾಪಕವು 1:30000000 ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಎರಡು ನಗರಗಳು ನಕ್ಷೆಯ ಮೇಲೆ $4 cm$ ದೂರದಲ್ಲಿವೆ. ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಜವಾದ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ನಕ್ಷೆಯ ದೂರ $x cm$ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ದೂರ $y cm$ ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ

$ \begin{aligned} & 1: 30000000=x: y \\ & \text { ಅಥವಾ } \quad \frac{1}{3 \times 10^7}=\frac{x}{y} \\ & \text { ಏಕೆಂದರೆ } x=4 \text{ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ } \quad \frac{1}{3 \times 10^7}=\frac{4}{y} \\ & \text { ಅಥವಾ } \quad y=4 \times 3 \times 10^7=12 \times 10^7 \mathrm{~cm}=1200 \mathrm{~km} \text{ . } \\ & \end{aligned} $

ಹೀಗಾಗಿ, ನಕ್ಷೆಯ ಮೇಲೆ $4 cm$ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ನಗರಗಳು ನಿಜವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ $1200 km$ ದೂರದಲ್ಲಿವೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

ನಿಮ್ಮ ರಾಜ್ಯದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ಮಾಪಕವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ರೂಲರ್ ಬಳಸಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನಗರಗಳ ನಡುವಿನ “ನಕ್ಷೆಯ ದೂರ” ಅನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ. ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಜವಾದ ದೂರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.

ಅಭ್ಯಾಸ 11.1

1. ರೈಲು ನಿಲ್ದಾಣದ ಬಳಿ ಕಾರ್ ಪಾರ್ಕಿಂಗ್ ಶುಲ್ಕಗಳು ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ

ಪಾರ್ಕಿಂಗ್ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಪಾರ್ಕಿಂಗ್ ಶುಲ್ಕಗಳು ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

2. 1 ಭಾಗ ಕೆಂಪು ವರ್ಣದ್ರವ್ಯವನ್ನು 8 ಭಾಗ ಬೇಸ್ ನೊಂದಿಗೆ ಮಿಶ್ರಣ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪೇಂಟ್ ಮಿಶ್ರಣವನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ, ಸೇರಿಸಬೇಕಾದ ಬೇಸ್ ನ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.