11.1 परिचय

मोहन अपने लिए और अपनी बहन के लिए चाय तैयार करता है। वह $300 mL$ पानी, 2 चम्मच चीनी, 1 चम्मच चाय पत्ती और $50 mL$ दूध का उपयोग करता है। प्रत्येक वस्तु की कितनी मात्रा चाहिएगी, यदि उसे पाँच व्यक्तियों के लिए चाय बनानी हो?

यदि दो विद्यार्थी सभा के लिए कुर्सियाँ व्यवस्थित करने में 20 मिनट लेते हैं, तो पाँच विद्यार्थी उसी कार्य को करने में कितना समय लेंगे?

हम अपने दैनिक जीवन में ऐसी अनेक स्थितियों का सामना करते हैं, जहाँ हम देखते हैं कि एक मात्रा में परिवर्तन दूसरी मात्रा में परिवर्तन लाता है।

उदाहरण के लिए:

(i) यदि खरीदे गए वस्तुओं की संख्या बढ़ती है, तो कुल लागत भी बढ़ती है।

(ii) बैंक में जितना अधिक धन जमा किया जाता है, उतना अधिक ब्याज अर्जित होता है।

(iii) जैसे-जैसे किसी वाहन की चाल बढ़ती है, समान दूरी को तय करने में लिया गया समय घटता है।

(iv) किसी दिए गए कार्य के लिए, जितने अधिक श्रमिक होंगे, कार्य को पूरा करने में उतना ही कम समय लगेगा।

ध्यान दीजिए कि एक मात्रा में परिवर्तन दूसरी मात्रा में परिवर्तन लाता है।

ऐसी पाँच और स्थितियाँ लिखिए जहाँ एक मात्रा में परिवर्तन दूसरी मात्रा में परिवर्तन लाता है।

हम मोहन को प्रत्येक वस्तु की आवश्यक मात्रा कैसे ज्ञात करेंगे? या, पाँच विद्यार्थी कार्य को पूरा करने में कितना समय लेंगे?

इस प्रकार के प्रश्नों के उत्तर देने के लिए, हम अब परिवर्तन की कुछ संकल्पनाओं का अध्ययन करेंगे।

11.2 प्रत्यक्ष अनुपात

यदि $1 kg$ चीनी की कीमत ₹ 36 है, तो $3 kg$ चीनी की कीमत क्या होगी? यह ₹ 108 है।

इसी प्रकार, हम $5 kg$ या $8 kg$ चीनी की कीमत ज्ञात कर सकते हैं। निम्नलिखित सारणी का अध्ययन कीजिए।

ध्यान दीजिए कि जैसे-जैसे चीनी का भार बढ़ता है, लागत भी इस प्रकार बढ़ती है कि उनका अनुपात स्थिर बना रहता है।

एक और उदाहरण लीजिए। मान लीजिए एक कार 4 लीटर पेट्रोल का उपयोग कर 60 km की दूरी तय करती है। 12 लीटर पेट्रोल का उपयोग कर वह कितनी दूरी तय करेगी? उत्तर है 180 km। हमने इसे कैसे गणना किया? चूँकि दूसरी बार उपयोग हुआ पेट्रोल 12 लीटर है, अर्थात् 4 लीटर का तीन गुना, इसलिए तय की गई दूरी भी 60 km का तीन गुना होगी। दूसरे शब्दों में, जब पेट्रोल की खपत तीन गुनी हो जाती है, तो तय की गई दूरी भी पिछली दूरी का तीन गुना हो जाती है। मान लीजिए पेट्रोल की खपत x लीटर है और संगत तय की गई दूरी y km है। अब निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए:

हम पाते हैं कि जैसे-जैसे x का मान बढ़ता है, y का मान भी इस प्रकार बढ़ता है कि अनुपात $\frac{x}{y}$ नहीं बदलता; वह स्थिर रहता है (मान लीजिए k)। इस स्थिति में वह $\frac{1}{15}$ है (जाँचिए!)

हम कहते हैं कि x और y सीधे अनुपात में हैं, यदि $\frac{x}{y}=k$ या $x=k y$।

इस उदाहरण में, $\frac{4}{60}=\frac{12}{180}$, जहाँ 4 और 12 पेट्रोल की मात्रा लीटर में $(x)$ हैं और 60 और 180 दूरी $(y)$ किलोमीटर में हैं। इसलिए जब $x$ और $y$ सीधे अनुपात में हों, तो हम $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ लिख सकते हैं। $[y_1, y_2.$ क्रमशः $x$ के मानों $x_1$, $x_2$ के अनुरूप $y$ के मान हैं]

पेट्रोल की खपत और कार द्वारा तय की गई दूरी सीधे अनुपात का एक मामला है। इसी प्रकार, कुल खर्च की गई राशि और खरीदे गए वस्तुओं की संख्या भी सीधे अनुपात का एक उदाहरण है।

सीधे अनुपात के लिए कुछ और उदाहरण सोचिए। जाँचिए कि मोहन [प्रारंभिक उदाहरण में] पाँच व्यक्तियों के लिए चाय बनाने में $750 mL$ पानी, 5 चम्मच चीनी, $2 \frac{1}{2}$ चम्मच चाय पत्ती और $125 mL$ दूध लेगा या नहीं! आइए निम्नलिखित गतिविधियों के माध्यम से सीधे अनुपात की अवधारणा को और बेहतर ढंग से समझने का प्रयास करें।

इसे करें

(i)

• एक घड़ी लें और उसकी मिनट की सुई को 12 पर लगाएं।

• मिनट की सुई द्वारा अपनी मूल स्थिति से घूमा गया कोण और बीता हुआ समय निम्नलिखित सारणी में दर्ज करें:

आप $T$ और $A$ के बारे में क्या देखते हैं? क्या ये साथ-साथ बढ़ते हैं? क्या $\frac{T}{A}$ हर बार समान है?

क्या मिनट की सुई द्वारा घूमा गया कोण बीते समय के सीधे अनुपात में है? हाँ!

उपरोक्त सारणी से आप यह भी देख सकते हैं

$ \begin{aligned} & T_1: T_2=A_1: A_2, \text{ क्योंकि } \\ & T_1: T_2=15: 30=1: 2 \\ & A_1: A_2=90: 180=1: 2 \\ & T_2: T_3=A_2: A_3 \text{ और } T_3: T_4=A_3: A_4 \end{aligned} $

जाँचिए कि

आप यह गतिविधि अपना स्वयं का समय अंतराल चुनकर दोहरा सकते हैं।

(ii) अपने मित्र से निम्नलिखित सारणी भरने को कहिए और उसकी उम्र की संगत उम्र के साथ उसकी माँ की उम्र का अनुपात ज्ञात कीजिए।

आप क्या देखते हैं?

क्या F और $M$ साथ-साथ बढ़ती (या घटती) हैं? क्या $\frac{F}{M}$ हर बार समान है? नहीं!

आप यह गतिविधि अन्य मित्रों के साथ दोहरा सकते हैं और अपनी प्रेक्षणों को लिख सकते हैं।

इस प्रकार, साथ-साथ बढ़ने वाली (या घटने वाली) चर हमेशा सीधे अनुपात में नहीं होतीं। उदाहरण के लिए:

(i) मानवों में शारीरिक परिवर्तन समय के साथ होते हैं परंतु पूर्वनिर्धारित अनुपात में नहीं।

(ii) व्यक्तियों के बीच वजन और ऊँचाई में परिवर्तन किसी ज्ञात अनुपात में नहीं होते और

(iii) किसी वृक्ष की ऊँचाई और उसकी शाखाओं पर उगने वाले पत्तों की संख्या के बीच कोई सीधा संबंध या अनुपात नहीं होता। कुछ और ऐसे ही उदाहरणों के बारे में सोचिए।

इन्हें आज़माइए

1. निम्नलिखित सारणियों को देखिए और ज्ञात कीजिए कि क्या $x$ और $y$ सीधे समानुपाती हैं।

(i)

(ii)

(iii)

2. मूलधन $=₹ 1000$, दर $=8 %$ प्रति वर्ष। निम्नलिखित सारणी को भरिए और ज्ञात कीजिए कि किस प्रकार का ब्याज (साधारण या चक्रवृद्धि) समय अवधि के साथ सीधे समानुपात में बदलता है।

$\Large\frac{P\times r \times t}{100}$

$ \begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{समय अवधि} & 1 \text{ वर्ष} & 2 \text{ वर्ष} & 3 \text{ वर्ष} \\ \hline \text{साधारण ब्याज (₹ में)} & & \\ \hline \text{चक्रवृद्धि ब्याज (₹ में)} & & \\ \hline \end{array} $

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

यदि हम समय अवधि और ब्याज दर को स्थिर रखें, तो साधारण ब्याज मूलधन के साथ समानुपातिक रूप से बदलता है। क्या चक्रवृद्धि ब्याज के लिए भी ऐसा संबंध होगा? क्यों?

आइए कुछ हल किए गए उदाहरणों पर विचार करें जहाँ हम सीधे समानुपात की अवधारणा का उपयोग करेंगे।

उदाहरण 1 : एक विशेष गुणवत्ता के 5 मीटर कपड़े की लागत ₹ 210 है। समान प्रकार के 2, 4, 10 और 13 मीटर कपड़े की लागत सारणीबद्ध कीजिए।

हल: मान लीजिए कपड़े की लंबाई $x$ मीटर है और इसकी लागत, ₹ में, $y$ है।

जैसे-जैसे कपड़े की लंबाई बढ़ती है, कपड़े की लागत भी उसी अनुपात में बढ़ती है। यह सीधे अनुपात का मामला है।

हम $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ प्रकार के संबंध का उपयोग करते हैं

(i) यहाँ $x_1=5, y_1=210$ और $x_2=2$

इसलिए, $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ देता है $\frac{5}{210}=\frac{2}{y_2}$ या $5 y_2=2 \times 210$ या $y_2=\frac{2 \times 210}{5}=84$

(ii) यदि $x_3=4$, तो $\frac{5}{210}=\frac{4}{y_3}$ या $5 y_3=4 \times 210$ या $y_3=\frac{4 \times 210}{5}=168$

[क्या हम यहाँ $\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}$ का उपयोग कर सकते हैं? कोशिश करें!]

(iii) यदि $x_4=10$, तो $\frac{5}{210}=\frac{10}{y_4}$ या $y_4=\frac{10 \times 210}{5}=420$

(iv) यदि $x_5=13$, तो $\frac{5}{210}=\frac{13}{y_5}$ या $y_5=\frac{13 \times 210}{5}=546$

$[.$ ध्यान दें कि यहाँ हम $\frac{5}{210}$ के स्थान पर $\frac{2}{84}$ या $\frac{4}{168}$ या $\frac{10}{420}$ का भी उपयोग कर सकते हैं $]$

उदाहरण 2 : एक 14 मीटर ऊँचा बिजली का खंभा 10 मीटर की छाया डालता है। समान परिस्थितियों में 15 मीटर की छाया डालने वाले पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल: मान लीजिए पेड़ की ऊँचाई $x$ मीटर है। हम नीचे दिखाए अनुसार एक सारणी बनाते हैं:

ध्यान दें कि वस्तु की ऊँचाई जितनी अधिक होगी, उसकी छाया की लंबाई भी उतनी ही अधिक होगी।

इसलिए, यह सीधे अनुपात का मामला है। अर्थात्, $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$

हमारे पास $\quad \frac{14}{10}=\frac{x}{15}$ (क्यों?)

या $\quad \frac{14}{10} \times 15=x$

या $\quad \frac{14 \times 3}{2}=x$

इसलिए

$ 21=x $

इस प्रकार, पेड़ की ऊँचाई 21 मीटर है।

वैकल्पिक रूप से, हम $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ को $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ के रूप में लिख सकते हैं

इसलिए $x_1:x_2=y_1:y_2$

या $14:x=10:15$

इसलिए, $10 \times x= 15 \times 14$

$ \text{ या } \quad x=\frac{15 \times 14}{10}=21 $

उदाहरण 3 : यदि मोटे कागज़ की 12 शीटों का वज़न 40 ग्राम है, तो उसी कागज़ की कितनी शीटें $2 \frac{1}{2}$ किलोग्राम वज़न करेंगी?

हल:

मान लीजिए वह शीटों की संख्या $x$ है जो $2 \frac{1}{2} kg$ वज़न करती हैं। हम उपरोक्त जानकारी को नीचे दिखाए गए सारणी के रूप में रखते हैं:

$2\frac{1}{2} किलोग्राम = 2500 ग्राम$

जितनी अधिक शीटें, उतना अधिक वज़न। इसलिए, शीटों की संख्या और उनका वज़न एक-दूसरे के साथ सीधे अनुपात में हैं।

इसलिए, $\frac{12}{40}=\frac{x}{2500}$

या $\frac{12 \times 2500}{40}=x$

या $750=x$

इस प्रकार, आवश्यक कागज़ की शीटों की संख्या $=750$ है।

वैकल्पिक विधि:

दो मात्राएँ $x$ और $y$ जो सीधे अनुपात में बदलती हैं, उनका सम्बन्ध $x=k y$ या $\frac{x}{y}=k$ होता है।

यहाँ,

$ k=\frac{\text{ sheets की संख्या }}{\text{ sheets का भार ग्राम में }}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10} $

अब $x$ वह paper की sheets की संख्या है जिसका भार $2 \frac{1}{2} kg[2500 g]$ है।

सम्बन्ध $x=k y$ का प्रयोग करने पर, $x=\frac{3}{10} \times 2500=750$

इस प्रकार, 750 sheets का भार $2 \frac{1}{2} kg$ होगा।

उदाहरण 4 : एक train एक समान चाल $75 km / hour$ से चल रही है।

(i) यह 20 मिनट में कितनी दूरी तय करेगी?

(ii) $250 km$ की दूरी तय करने में कितना समय लगेगा?

हल: मान लीजिए 20 मिनट में तय की गई दूरी (किमी में) $x$ है और $250 km$ तय करने में लिया गया समय (मिनट में) $y$ है।

1 घंटा = 60 मिनट

चूँकि चाल समान है, इसलिए तय की गई दूरी समय के सीधे अनुपात में होगी।

(i) हमारे पास $\frac{75}{60}=\frac{x}{20}$

$ \begin{aligned} & \text{ या } \quad \frac{75}{60} \times 20=x \\ & \text{ या } \quad x=25 \end{aligned} $

अतः, train 20 मिनट में $25 km$ की दूरी तय करेगी।

(ii) साथ ही, $\frac{75}{60}=\frac{250}{y}$

या $\quad y=\frac{250 \times 60}{75}=200$ मिनट या 3 घंटे 20 मिनट।

इसलिए, 250 किलोमीटर की दूरी तय करने में 3 घंटे 20 मिनट का समय लगेगा।

वैकल्पिक रूप से, जब $x$ ज्ञात हो, तो सम्बन्ध $\frac{x}{20}=\frac{250}{y}$ से $y$ निर्धारित किया जा सकता है।

आप जानते हैं कि एक नक्शा बहुत बड़े क्षेत्र का सूक्ष्म प्रतिनिधित्व होता है। आमतौर पर नक्शे के नीचे एक पैमाना दिया जाता है। यह पैमाना वास्तविक लंबाई और नक्शे पर दर्शाई गई लंबाई के बीच सम्बन्ध दिखाता है। इस प्रकार नक्शे का पैमाना नक्शे पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी और बड़े क्षेत्र में उन बिंदुओं के बीच की वास्तविक दूरी का अनुपात होता है।

उदाहरण के लिए, यदि नक्शे पर $1 cm$ वास्तविक दूरी के $8 km$ को दर्शाता है [अर्थात् पैमाना $1 cm: 8 km$ या $1: 800,000$ है], तो उसी नक्शे पर $2 cm$ की दूरी $16 km$ को दर्शाएगी। इसलिए हम कह सकते हैं कि नक्शे का पैमाना सीधे अनुपात की संकल्पना पर आधारित होता है।

उदाहरण 5 : एक नक्शे का पैमाना 1:30000000 दिया गया है। दो शहर नक्शे पर $4 cm$ की दूरी पर हैं। उनके बीच की वास्तविक दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: मान लीजिए नक्शे की दूरी $x cm$ है और वास्तविक दूरी $y cm$ है, तब

$ \begin{aligned} & 1: 30000000=x: y \\ & \text { या } \quad \frac{1}{3 \times 10^7}=\frac{x}{y} \\ & \text { चूँकि } x=4 \text { है, इसलिए } \quad \frac{1}{3 \times 10^7}=\frac{4}{y} \\ & \text { या } \quad y=4 \times 3 \times 10^7=12 \times 10^7 \mathrm{~cm}=1200 \mathrm{~km} \text {. } \\ & \end{aligned} $

इस प्रकार, दो शहर, जो नक्शे पर 4 cm दूर हैं, वास्तव में एक-दूसरे से 1200 km दूर हैं।

यह करें

अपने राज्य का नक्शा लें। वहाँ प्रयुक्त पैमाने को नोट करें। एक रूलर का प्रयोग करके, किन्हीं दो शहरों के बीच “नक्शे की दूरी” मापें। उनके बीच की वास्तविक दूरी की गणना करें।

व्यायाम 11.1

1. निम्नलिखित रेलवे स्टेशन के पास कार पार्किंग शुल्क हैं

जाँच करें कि क्या पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के अनुक्रमानुपाती हैं।

2. पेंट का मिश्रण तैयार किया जाता है 1 भाग लाल रंग को आठ भाग आधार के साथ मिलाकर। निम्नलिखित सारणी में, जोड़े जाने वाले आधार के भाग ज्ञात करें।

3. प्रश्न 2 में, यदि 1 भाग लाल रंग को 75 mL आधार की आवश्यकता है, तो 1800 mL आधार के साथ कितना लाल रंग मिलाना चाहिए?

4. एक सॉफ्ट ड्रिंक फैक्ट्री की मशीन छह घंटे में 840 बोतलें भरती है। वह पाँच घंटे में कितनी बोतलें भरेगी?

५. एक बैक्टीरिया की फोटो को ५०,००० गुना बड़ा करने पर यह ५ सेमी लंबी हो जाती है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई क्या है? यदि फोटो को केवल २०,००० गुना बड़ा किया जाए तो इसकी बड़ी हुई लंबाई क्या होगी?

६. एक जहाज़ के मॉडल में मस्तूल ९ सेमी ऊँचा है, जबकि असली जहाज़ का मस्तूल १२ मी ऊँचा है। यदि जहाज़ की लंबाई २८ मी है, तो मॉडल जहाज़ कितना लंबा है?

७. मान लीजिए २ किग्रा चीनी में ९ × १०⁶ क्रिस्टल होते हैं।

(i) ५ किग्रा चीनी में कितने चीनी क्रिस्टल होंगे? (ii) १.२ किग्रा चीनी में कितने चीनी क्रिस्टल होंगे?

८. रश्मि के पास एक रोड मैप है जिसमें १ सेमी १८ किमी को दर्शाता है। वह एक सड़क पर ७२ किमी चलती है। मानचित्र में उसकी तय दूरी क्या होगी?

९. एक ५ मी ६० सेमी ऊँचा खंभा ३ मी २० सेमी लंबी छाया डालता है। उसी समय (i) १० मी ५० सेमी ऊँचे दूसरे खंभे की छाया की लंबाई ज्ञात कीजिए (ii) वह खंभा कितना ऊँचा होगा जो ५ मी लंबी छाया डाले?

१०. एक लदा हुआ ट्रक २५ मिनट में १४ किमी चलता है। यदि चाल समान रहे तो वह ५ घंटे में कितनी दूरी तय कर सकता है?

इसे कीजिए

१. एक वर्गाकार कागज़ पर पाँच अलग-अलग भुजाओं के वर्ग बनाइए। निम्न जानकारी सारणीबद्ध रूप में लिखिए।

जाँचें कि क्या भुजा की लंबाई सीधे समानुपात में है:

(a) वर्ग के परिमाप से।

(b) वर्ग के क्षेत्रफल से।

2. 5 व्यक्तियों के लिए हलवा बनाने के लिए निम्न सामग्री आवश्यक है:

सूजी/रवा = 250 g, चीनी = 300 g,

घी = 200 g, पानी = 500 mL.

अनुपात की अवधारणा का उपयोग करते हुए, अपनी कक्षा के लिए हलवा तैयार करने में सामग्री की मात्रा में होने वाले परिवर्तन का अनुमान लगाएँ।

3. एक पैमाना चुनें और अपनी कक्षा का नक्शा बनाएँ, जिसमें खिड़कियाँ, दरवाजे, ब्लैकबोर्ड आदि दिखाएँ। (यहाँ एक उदाहरण दिया गया है)।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

‘सीधे परिवर्तन’ के अंतर्गत अब तक चर्चा किए गए कुछ प्रश्न लीजिए। क्या आपको लगता है कि उन्हें ‘इकाई विधि’ द्वारा हल किया जा सकता है?

11.3 व्युत्क्रम अनुपात

दो मात्राएँ इस प्रकार बदल सकती हैं कि यदि एक मात्रा बढ़ती है, तो दूसरी मात्रा घटती है और इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, जैसे-जैसे श्रमिकों की संख्या बढ़ती है, काम को समाप्त करने में लगने वाला समय घटता है। इसी प्रकार, यदि हम गति बढ़ाते हैं, तो दी गई दूरी को तय करने में लगने वाला समय घटता है।

इसे समझने के लिए, आइए निम्नलिखित स्थिति को देखें।

ज़हीदा अपने स्कूल चार अलग-अलग तरीकों से जा सकती है। वह चल सकती है, दौड़ सकती है, साइकिल चला सकती है या कार से जा सकती है। निम्नलिखित सारणी का अध्ययन करें।

ध्यान दीजिए कि जैसे-जैसे गति बढ़ती है, समान दूरी को तय करने में लगने वाला समय घटता है।

जैसे ही ज़हीदा दौड़कर अपनी गति दोगुनी करती है, समय आधा हो जाता है। जैसे ही वह साइकिल चलाकर अपनी गति तीन गुनी करती है, समय एक-तिहाई हो जाता है। इसी प्रकार, जैसे ही वह अपनी गति 15 गुनी बढ़ाती है, समय एक-पंद्रहवाँ हो जाता है। (या, दूरे शब्दों में, समय जिस अनुपात में घटता है, वह संगत गति जिस अनुपात में बढ़ती है, उसका व्युत्क्रम होता है)। क्या हम कह सकते हैं कि गति और समय व्युत्क्रम रूप से बदलते हैं?

किसी संख्या का गुणनात्मक व्युत्क्रम उसका पारस्परिक होता है। इस प्रकार, $\frac{1}{2}$ संख्या 2 का व्युत्क्रम है और इसके विपरीत। (ध्यान दें कि $2 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \times 2=1$ )। क्या ये समानुपात में हैं?

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। एक स्कूल गणित की पाठ्यपुस्तकों पर ₹ 6000 खर्च करना चाहता है। ₹ 40 प्रति पुस्तक की दर से कितनी पुस्तकें खरीदी जा सकती हैं? स्पष्ट है कि 150 पुस्तकें खरीदी जा सकती हैं। यदि पाठ्यपुस्तक की कीमत ₹ 40 से अधिक हो, तो उतनी ही राशि से खरीदी जा सकने वाली पुस्तकों की संख्या 150 से कम होगी। निम्नलिखित सारणी को देखिए।

आप क्या देखते हैं? आप समझेंगे कि जैसे-जैसे पुस्तकों की कीमत बढ़ती है, वैसे-वैसे निधि को स्थिर रखते हुए खरीदी जा सकने वाली पुस्तकों की संख्या घटती है।

जब पुस्तकों की कीमत 40 से बढ़कर 50 हो जाती है, तो वह अनुपात $4:5$ है, और जब संगत पुस्तकों की संख्या 150 से घटकर 120 हो जाती है, तो वह अनुपात $5:4$ है। इसका अर्थ है कि ये दोनों अनुपात एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं।

ध्यान दीजिए कि दोनों मात्राओं की संगत मानों का गुणनफल स्थिर है; अर्थात्, $40 \times 150 = 50 \times 120 = 6000$।

यदि हम एक पुस्तक की कीमत को $x$ और खरीदी गई पुस्तकों की संख्या को $y$ द्वारा दर्शाते हैं, तो जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है $y$ घटता है और इसके विपरीत। यह ध्यान देना महत्वपूर्ण है कि गुणनफल $x y$ स्थिर रहता है। हम कहते हैं कि $x$, $y$ के साथ व्युत्क्रमानुपाती बदलता है और $y$, $x$ के साथ व्युत्क्रमानुपाती बदलता है। इस प्रकार दो राशियाँ $x$ और $y$ व्युत्क्रमानुपाती कही जाती हैं, यदि उनके बीच $x y=k$ प्रकार का संबंध हो, जहाँ $k$ एक स्थिरांक है। यदि $y_1, y_2$, $y$ के मान हों

जो क्रमशः $x$ के मानों $x_1, x_2$ के अनुरूप हैं, तो $x_1 y_1=x_2 y_2(=k)$, या $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$। हम कहते हैं कि $x$ और $y$ व्युत्क्रमानुपाती हैं।

अतः, इस उदाहरण में, एक पुस्तक की लागत और निश्चित राशि में खरीदी गई पुस्तकों की संख्या व्युत्क्रमानुपाती हैं। इसी प्रकार, एक वाहन की चाल और निश्चित दूरी तय करने में लिया गया समय व्युत्क्रमानुपाती रूप से बदलते हैं।

व्युत्क्रमानुपाती बदलने वाली राशियों के और ऐसे युग्मों के उदाहरण सोचिए। अब आप इस अध्याय के प्रारंभिक भाग में दिए गए फर्नीचर-व्यवस्था संबंधी समस्या पर एक नज़र डाल सकते हैं।

यहाँ व्युत्क्रमानुपात की बेहतर समझ के लिए एक गतिविधि है।

इसे करें

एक वर्गाकृत कागज़ लीजिए और उस पर 48 काउंटरों को नीचे दिखाए अनुसार विभिन्न पंक्तियों में व्यवस्थित कीजिए।

4 पंक्तियाँ, 12 स्तंभ

6 पंक्तियाँ, 8 स्तंभ

आप क्या देखते हैं? जैसे-जैसे $R$ बढ़ता है, $C$ घटता है।

(i) क्या $R_1: R_2=C_2: C_1$ है?

(ii) क्या $R_3: R_4=C_4: C_3$ है?

(iii) क्या $R$ और $C$ एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती हैं?

इस गतिविधि को 36 काउंटरों के साथ आज़माएँ।

इन्हें आज़माएँ

निम्नलिखित सारणियों को देखें और पता लगाएँ कि चरों के कौन-से युग्म (यहाँ $x$ और $y$) व्युत्क्रमानुपाती हैं।

(i)

(ii)

(iii)

आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें जहाँ हम व्युत्क्रमानुपात की संकल्पना का उपयोग करते हैं।

जब दो मात्राएँ $x$ और $y$ सीधे अनुपात में होती हैं (या सीधे परिवर्तित होती हैं) तो उन्हें $x \propto y$ भी लिखा जाता है।

जब दो मात्राएँ $x$ और $y$ व्युत्क्रमानुपात में हों (या व्युत्क्रमतः परिवर्तित हों) तो उन्हें $x \propto \frac{1}{y}$ के रूप में भी लिखा जाता है।

उदाहरण 7 : एक टैंक को 1 घंटा 20 मिनट में भरने के लिए 6 पाइपों की आवश्यकता है। यदि केवल 5 समान प्रकार के पाइप प्रयुक्त हों तो इसमें कितना समय लगेगा?

हल:

मान लीजिए टैंक को भरने के लिए अभीष्ट समय $x$ मिनट है। इस प्रकार हमारे पास निम्नलिखित सारणी है।

पाइपों की संख्या कम होने पर टैंक को भरने में अधिक समय लगेगा। अतः यह व्युत्क्रमानुपात का एक उदाहरण है।

अतः, $\quad 80 \times 6=x \times 5 \quad[x_1 y_1=x_2 y_2]$

$ \begin{aligned} & \text{ या } \quad \frac{80 \times 6}{5}=x \\ & \text{ या } \quad x=96 \end{aligned} $

इस प्रकार, 5 पाइपों द्वारा टैंक को भरने में लगा समय 96 मिनट या 1 घंटा 36 मिनट है।

उदाहरण 8 : एक छात्रावास में 100 छात्र हैं। उनके लिए खाद्य आपूर्ति 20 दिनों की है। यदि 25 और छात्र समूह में शामिल हो जाएँ तो यह आपूर्ति कितने दिनों तक चलेगी?

हल: मान लीजिए जब छात्रों की संख्या 125 हो तो आपूर्ति $y$ दिनों तक चले। हमारे पास निम्नलिखित सारणी है।

ध्यान दीजिए कि छात्रों की संख्या अधिक होने पर आपूर्ति जल्दी समाप्त होगी। इसलिए यह व्युत्क्रमानुपात का एक उदाहरण है।

अतः,

$ \begin{aligned} & 100 \times 20=125 \times y \\ & \frac{100 \times 20}{125}=y \quad \text{ या } \quad 16=y \end{aligned} $

इस प्रकार, यदि 25 और छात्र हॉस्टल में शामिल हो जाते हैं तो राशन 16 दिनों तक चलेगा।

वैकल्पिक रूप से, हम $x_1 y_1=x_2 y_2$ को $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$ के रूप में लिख सकते हैं।

अर्थात्,

$ x_1: x_2=y_2: y_1 $

या

$ \begin{aligned} & 100: 125=y: 20 \\ & y=\frac{100 \times 20}{125}=16 \end{aligned} $

उदाहरण 9 : यदि 15 मजदूर 48 घंटे में एक दीवार बना सकते हैं, तो उसी काम को 30 घंटे में करने के लिए कितने मजदूरों की आवश्यकता होगी?

हल:

मान लीजिए 30 घंटे में दीवार बनाने के लिए नियोजित मजदूरों की संख्या $y$ है।

हमारे पास निम्न सारणी है।

स्पष्ट है कि जितने अधिक मजदूर होंगे, वे दीवार को उतनी ही तेजी से बनाएंगे। इसलिए, घंटों की संख्या और मजदूरों की संख्या व्युत्क्रमानुपात में बदलती है।

इसलिए

$ 48 \times 15=30 \times y $

अतः, $\quad \frac{48 \times 15}{30}=y \quad$ या $\quad y=24$

अर्थात्, काम को 30 घंटे में समाप्त करने के लिए 24 मजदूरों की आवश्यकता है।

प्रश्नावली 11.2

1. निम्नलिखित में से कौन-से व्युत्क्रमानुपात में हैं?

(i) एक काम पर कार्यरत मजदूरों की संख्या और काम को पूरा करने में लगा समय।

(ii) एक यात्रा में लगा समय और एक समान चाल से तय की गई दूरी।

(iii) खेती की गई भूमि का क्षेत्रफल और प्राप्त फसल।

(iv) एक निश्चित यात्रा में लगा समय और वाहन की चाल।

(v) किसी देश की जनसंख्या और प्रति व्यक्ति भूमि का क्षेत्रफल।

२. एक टेलीविज़न गेम शो में, ₹ 1,00,000 का इनाम धनराशि विजेताओं के बीच समान रूप से विभाजित की जानी है। निम्नलिखित तालिका को पूरा करें और ज्ञात करें कि क्या एक व्यक्तिगत विजेता को दी गई इनाम राशि विजेताओं की संख्या के साथ सीधे या व्युत्क्रमानुपाती है?

३. रहमान एक पहिया बना रहा है जिसमें वह समान स्पोक्स लगाना चाहता है ताकि किसी भी दो क्रमागत स्पोक्स के बीच का कोण समान हो। निम्नलिखित तालिका को पूरा करके उसकी मदद करें।

(i) क्या स्पोक्स की संख्या और क्रमागत स्पोक्स के जोड़े के बीच बने कोण व्युत्क्रमानुपाती हैं?

(ii) 15 स्पोक्स वाले पहिए पर क्रमागत स्पोक्स के जोड़े के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

(iii) यदि क्रमागत स्पोक्स के जोड़े के बीच का कोण $40^{\circ}$ हो, तो कितने स्पोक्स की आवश्यकता होगी?

4. यदि मिठाइयों के एक डिब्बे को 24 बच्चों में बाँटा जाए, तो उन्हें प्रत्येक को 5 मिठाइयाँ मिलेंगी। यदि बच्चों की संख्या को 4 कम कर दिया जाए, तो प्रत्येक को कितनी मिठाइयाँ मिलेंगी?

5. एक किसान के पास अपने मवेशियों में 20 जानवरों को 6 दिनों तक खिलाने के लिए पर्याप्त भोजन है। यदि उसके मवेशियों में 10 और जानवर होते, तो भोजन कितने दिनों तक चलता?

6. एक ठेकेदार का अनुमान है कि 3 व्यक्ति जसमिंदर के घर की री-वायरिंग 4 दिनों में कर सकते हैं। यदि वह 3 के बजाय 4 व्यक्तियों का उपयोग करता है, तो उन्हें काम पूरा करने में कितना समय लगना चाहिए?

7. बोतलों के एक बैच को 25 डिब्बों में पैक किया गया था, प्रत्येक डिब्बे में 12 बोतलें थीं। यदि उसी बैच को प्रत्येक डिब्बे में 20 बोतलें रखकर पैक किया जाए, तो कितने डिब्बे भरे जाएँगे?

8. एक कारखाने को एक निश्चित संख्या में वस्तुएँ उत्पन्न करने के लिए 42 मशीनों की आवश्यकता होती है, जिसमें 63 दिन लगते हैं। उसी संख्या में वस्तुएँ उत्पन्न करने के लिए 54 दिनों में कितनी मशीनों की आवश्यकता होगी?

9. एक कार 60 km/h की गति से चलकर किसी गंतव्य तक पहुँचने में 2 घंटे लेती है। जब कार 80 km/h की गति से चलेगी, तो उसे कितना समय लगेगा?

10. दो व्यक्ति एक घर में नई खिड़कियाँ लगाने का काम 3 दिनों में कर सकते हैं।

(i) काम शुरू होने से पहले एक व्यक्ति बीमार हो गया। अब काम में कितना समय लगेगा?

(ii) एक दिन में खिड़कियाँ लगाने के लिए कितने व्यक्तियों की आवश्यकता होगी?

११. एक विद्यालय में प्रतिदिन ८ पीरियड होते हैं और प्रत्येक पीरियड ४५ मिनट का होता है। यदि विद्यालय में प्रतिदिन ९ पीरियड हों, तो प्रत्येक पीरियड कितने समय का होगा, यह मानते हुए कि विद्यालय के कुल घंटे वही हैं?

यह करो

१. एक कागज़ का टुकड़ा लो। इसे चित्र में दिखाए अनुसार मोड़ो। प्रत्येक स्थिति में भागों की संख्या और एक भाग का क्षेत्रफल गिनो।

अपने प्रेक्षणों को सारणीबद्ध करो और अपने मित्रों से चर्चा करो। क्या यह व्युत्क्रम अनुपात का मामला है? क्यों?

२. विभिन्न आकारों के कुछ बर्तन लो जिनके आधार गोलाकार हों। प्रत्येक बर्तन में समान मात्रा में पानी भरो। प्रत्येक बर्तन का व्यास और उसमें पानी की सतह जिस ऊँचाई पर है, नोट करो। अपने प्रेक्षणों को सारणीबद्ध करो। क्या यह व्युत्क्रम अनुपात का मामला है?

हमने क्या चर्चा की है??

1. दो मात्राएँ $x$ और $y$ सीधे अनुपात में कही जाती हैं यदि वे एक साथ बढ़ती (घटती) हैं इस प्रकार कि उनके संगत मानों का अनुपात स्थिर रहता है। अर्थात् यदि $\frac{x}{y}=k[k$ एक धनात्मक संख्या है], तो $x$ और $y$ सीधे परिवर्तित होते हैं। ऐसी स्थिति में यदि $y_1, y_2$ उन मानों के अनुरूप $y$ के मान हैं जब $x$ के मान क्रमशः $x_1, x_2$ हैं, तो $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$।

2. दो मात्राएँ $x$ और $y$ व्युत्क्रम अनुपात में कही जाती हैं यदि $x$ में वृद्धि से $y$ में समानुपातिक कमी आती है (और इसके विपरीत) इस प्रकार कि उनके संगत मानों का गुणनफल स्थिर रहता है। अर्थात्, यदि $x y=k$, तो $x$ और $y$ व्युत्क्रम रूप से परिवर्तित होते हैं। इस स्थिति में यदि $y_1, y_2$ उन मानों के अनुरूप $y$ के मान हैं जब $x$ के मान क्रमशः $x_1, x_2$ हैं, तो $x_1 y_1=x_2 y_2$ या $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$।