11.1 تعارف

اب تک ہماری تعلیم اعداد اور اشکال کے ساتھ رہی ہے۔ ہم نے اعداد، اعداد پر عمل اور اعداد کی خصوصیات سیکھی ہیں۔ ہم نے اعداد کے علم کو اپنی زندگی کے مختلف مسائل پر لاگو کیا۔ ریاضی کی وہ شاخ جس میں ہم نے اعداد کا مطالعہ کیا ہے حساب ہے۔ ہم نے دو اور تین جہتی اشکال اور ان کی خصوصیات کے بارے میں بھی سیکھا ہے۔ ریاضی کی وہ شاخ جس میں ہم نے اشکال کا مطالعہ کیا ہے ہندسہ ہے۔ اب ہم ریاضی کی ایک اور شاخ کا مطالعہ شروع کرتے ہیں۔ اسے الجبرا کہتے ہیں۔

نئی شاخ کی بنیادی خصوصیت جو ہم مطالعہ کرنے جا رہے ہیں وہ حروف کا استعمال ہے۔ حروف کا استعمال ہمیں قواعد اور فارمولوں کو عمومی طور پر لکھنے کی اجازت دے گا۔ حروف کا استعمال کرتے ہوئے، ہم کسی بھی عدد کے بارے میں بات کر سکتے ہیں نہ کہ صرف ایک مخصوص عدد کے بارے میں۔ دوسرا، حروف نامعلوم مقداروں کے لیے استعمال ہو سکتے ہیں۔ نامعلوم مقداروں کو معلوم کرنے کے طریقے سیکھ کر، ہم پہیلیوں اور روزمرہ زندگی کے بہت سے مسائل کو حل کرنے کے لیے طاقتور اوزار تیار کرتے ہیں۔ تیسرا، چونکہ حروف اعداد کے لیے کھڑے ہوتے ہیں، ان پر اعداد کی طرح عمل کیا جا سکتا ہے۔ اس سے الجبرائی اظہار اور ان کی خصوصیات کا مطالعہ ہوتا ہے۔

آپ کو الجبرا دلچسپ اور مفید لگے گا۔ یہ مسائل حل کرنے میں بہت مفید ہے۔ آئیے ہم اپنا مطالعہ سادہ مثالوں سے شروع کریں۔

11.2 ماچس کی تیلیوں کے نمونے

امینہ اور سارہ ماچس کی تیلیوں سے نمونے بنا رہی ہیں۔ وہ انگریزی حروف تہجی کے حروف کے سادہ نمونے بنانے کا فیصلہ کرتی ہیں۔ امینہ دو ماچس کی تیلیاں لیتی ہے اور حرف L بناتی ہے جیسا کہ شکل 11.1 (a) میں دکھایا گیا ہے۔

پھر سارہ بھی دو تیلیاں اٹھاتی ہے، ایک اور حرف $L$ بناتی ہے اور اسے امینہ کے بنائے ہوئے کے ساتھ رکھتی ہے [شکل 11.1 (b)]۔

پھر امینہ ایک اور $L$ شامل کرتی ہے اور یہ سلسلہ جاری رہتا ہے جیسا کہ شکل 11.1 (c) میں نقطوں سے دکھایا گیا ہے۔

ان کی دوست اپّو اندر آتی ہے۔ وہ نمونے کو دیکھتی ہے۔ اپّو ہمیشہ سوالات پوچھتی ہے۔ وہ لڑکیوں سے پوچھتی ہے، “سات L بنانے کے لیے کتنی ماچس کی تیلیوں کی ضرورت ہوگی”؟ امینہ اور سارہ منظم ہیں۔ وہ 1L، 2Ls، 3Ls، وغیرہ کے ساتھ نمونے بناتی رہتی ہیں اور ایک جدول تیار کرتی ہیں۔

جدول 1

اپّو کو جدول 1 سے اپنے سوال کا جواب مل جاتا ہے؛ 7Ls کے لیے 14 ماچس کی تیلیوں کی ضرورت ہے۔

جدول لکھتے وقت، امینہ کو احساس ہوتا ہے کہ درکار ماچس کی تیلیوں کی تعداد بنائے گئے Ls کی تعداد سے دوگنی ہے۔

ماچس کی تیلیوں کی درکار تعداد $=2 \times$ Ls کی تعداد۔

سہولت کے لیے، آئیے Ls کی تعداد کے لیے حرف $n$ لکھیں۔ اگر ایک $\mathrm{L}$ بنایا جائے، $n=1$؛ اگر دو Ls بنائے جائیں، $n=2$ اور اسی طرح؛ اس طرح، $n$ کوئی بھی قدرتی عدد $1,2,3,4,5, \ldots$ ہو سکتا ہے۔ پھر ہم لکھتے ہیں، ماچس کی تیلیوں کی درکار تعداد $=2 \times n$۔

$2 \times n$ لکھنے کے بجائے، ہم $2 n$ لکھتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ $2 n$ $2 \times n$ کے برابر ہے۔

امینہ اپنی دوستوں کو بتاتی ہے کہ اس کا قاعدہ کسی بھی تعداد میں Ls بنانے کے لیے درکار ماچس کی تیلیوں کی تعداد دیتا ہے۔

اس طرح، $n=1$ کے لیے، ماچس کی تیلیوں کی درکار تعداد $=2 \times 1=2$

$n=2$ کے لیے، ماچس کی تیلیوں کی درکار تعداد $=2 \times 2=4$

$n=3$ کے لیے، ماچس کی تیلیوں کی درکار تعداد $=2 \times 3=6$ وغیرہ۔

یہ اعداد جدول 1 سے ملن والے اعداد سے مطابقت رکھتے ہیں۔

سارہ کہتی ہے، “قاعدہ بہت طاقتور ہے! قاعدہ استعمال کرتے ہوئے، میں بتا سکتی ہوں کہ $100 Ls$ بنانے کے لیے کتنی ماچس کی تیلیوں کی ضرورت ہے۔ ایک بار قاعدہ معلوم ہونے کے بعد، مجھے نمونہ بنانے یا جدول بنانے کی ضرورت نہیں ہے”۔

کیا آپ سارہ سے متفق ہیں؟

11.3 متغیر کا تصور

اوپر کی مثال میں، ہمیں Ls کے نمونے بنانے کے لیے درکار ماچس کی تیلیوں کی تعداد دینے کا ایک قاعدہ ملا۔ قاعدہ یہ تھا:

ماچس کی تیلیوں کی درکار تعداد $=\mathbf{2} \boldsymbol{{}n}$

یہاں، $n$ نمونے میں Ls کی تعداد ہے، اور $n$ قدریں لیتا ہے $1,2,3,4, \ldots$۔ آئیے ہم جدول 1 کو ایک بار پھر دیکھیں۔ جدول میں، $n$ کی قدر بدلتی (بڑھتی) رہتی ہے۔ نتیجے کے طور پر، ماچس کی تیلیوں کی درکار تعداد بھی بدلتی (بڑھتی) رہتی ہے۔

$\boldsymbol{n}$ ایک متغیر کی مثال ہے۔ اس کی قدر مقرر نہیں ہے؛ یہ کوئی بھی قدر $\mathbf{1,2,3,4,} \ldots$ لے سکتا ہے۔ ہم نے متغیر $\boldsymbol{n}$ کا استعمال کرتے ہوئے ماچس کی تیلیوں کی درکار تعداد کا قاعدہ لکھا۔

لفظ ‘متغیر’ کا مطلب ہے ایسی چیز جو مختلف ہو سکتی ہے، یعنی بدل سکتی ہے۔ متغیر کی قدر مقرر نہیں ہوتی۔ یہ مختلف قدریں لے سکتا ہے۔

ہم متغیر کے بارے میں مزید سیکھنے کے لیے ماچس کی تیلیوں کے نمونوں کی ایک اور مثال دیکھیں گے۔

11.4 ماچس کی تیلیوں کے مزید نمونے

امینہ اور سارہ ماچس کی تیلیوں کے نمونوں میں کافی دلچسپی لینے لگی ہیں۔ اب وہ حرف $C$ کا نمونہ آزمانا چاہتی ہیں۔ ایک $C$ بنانے کے لیے، وہ تین ماچس کی تیلیاں استعمال کرتی ہیں جیسا کہ شکل 11.2(a) میں دکھایا گیا ہے۔

جدول 2 Cs کا نمونہ بنانے کے لیے درکار ماچس کی تیلیوں کی تعداد دیتا ہے۔

جدول 2

کیا آپ جدول میں خالی چھوڑی گئی اندراجات مکمل کر سکتے ہیں؟

سارہ قاعدہ لے کر آتی ہے:

ماچس کی تیلیوں کی درکار تعداد $=\mathbf{3} \boldsymbol{{}n}$

اس نے Cs کی تعداد کے لیے حرف $n$ استعمال کیا ہے؛ $n$ ایک متغیر ہے جو قدریں لیتا ہے $1,2,3,4, \ldots$

کیا آپ سارہ سے متفق ہیں؟

یاد رکھیں $3 n$ $3 \times n$ کے برابر ہے۔

اگلا، امینہ اور سارہ Fs کا نمونہ بنانا چاہتی ہیں۔ وہ ایک F بناتی ہیں جو 4 ماچس کی تیلیوں کا استعمال کرتی ہیں جیسا کہ شکل 11.3(a) میں دکھایا گیا ہے۔

کیا آپ اب $F$ کے نمونے بنانے کا قاعدہ لکھ سکتے ہیں؟

حروف تہجی کے دوسرے حروف اور دوسری اشکال کے بارے میں سوچیں جو ماچس کی تیلیوں سے بنائی جا سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، U $(\bigsqcup)$، V (\/)، مثلث ($\triangle$)، مربع ($\square$) وغیرہ۔ کوئی بھی پانچ منتخب کریں اور ان کے ساتھ ماچس کی تیلیوں کے نمونے بنانے کے قواعد لکھیں۔

11.5 متغیر کی مزید مثالیں

ہم نے متغیر دکھانے کے لیے حرف $n$ استعمال کیا ہے۔ راجو پوچھتا ہے، “$m$ کیوں نہیں”؟ $n$ میں کچھ خاص نہیں ہے، کوئی بھی حرف استعمال کیا جا سکتا ہے۔

کوئی بھی متغیر دکھانے کے لیے کوئی بھی حرف $m, l, p, x, y, z$ وغیرہ استعمال کر سکتا ہے۔ یاد رکھیں، متغیر ایک عدد ہے جس کی کوئی مقررہ قدر نہیں ہوتی۔ مثال کے طور پر، عدد 5 یا عدد 100 یا کوئی دوسرا دیا گیا عدد متغیر نہیں ہے۔ ان کی مقررہ قدریں ہیں۔ اسی طرح، مثلث کے زاویوں کی تعداد کی ایک مقررہ قدر ہوتی ہے یعنی 3۔ یہ متغیر نہیں ہے۔ چوکور (4) کے کونوں کی تعداد مقرر ہے؛ یہ بھی متغیر نہیں ہے۔ لیکن $\boldsymbol{{}n}$ ہماری دیکھی گئی مثالوں میں ایک متغیر ہے۔ یہ مختلف قدریں لیتا ہے $1,2,3,4, \ldots$۔

آئیے اب ایک زیادہ مانوس صورت حال میں متغیر پر غور کریں۔

طلباء اسکول کی کتابوں کی دکان سے نوٹ بک خریدنے گئے۔ ایک نوٹ بک کی قیمت ₹ 5 ہے۔ منّو 5 نوٹ بک خریدنا چاہتا ہے، اپّو 7 نوٹ بک خریدنا چاہتا ہے، سارہ 4 نوٹ بک خریدنا چاہتی ہے اور اسی طرح۔ ایک طالب علم کو کتنی رقم لے کر جانا چاہیے جب وہ نوٹ بک خریدنے کتابوں کی دکان جاتا ہے؟

یہ اس بات پر منحصر ہوگا کہ طالب علم کتنی نوٹ بک خریدنا چاہتا ہے۔ طلباء مل کر ایک جدول تیار کرتے ہیں۔

جدول 3

حرف $m$ اس بات کے لیے کھڑا ہے کہ ایک طالب علم کتنی نوٹ بک خریدنا چاہتا ہے؛ $m$ ایک متغیر ہے، جو کوئی بھی قدر $1,2,3,4, \ldots$ لے سکتا ہے۔ $m$ نوٹ بک کی کل لاگت قاعدے کے ذریعے دی جاتی ہے:

روپے میں کل لاگت $=5 \times$ نوٹ بک کی درکار تعداد

$ =5 m $

اگر منّو 5 نوٹ بک خریدنا چاہتا ہے، تو $m=5$ لے کر، ہم کہتے ہیں کہ منّو کو اسکول کی کتابوں کی دکان پر $₹ 5 \times 5$ یا $₹ 25$ لے کر جانا چاہیے۔

آئیے ایک اور مثال لیتے ہیں۔ اسکول میں یوم جمہوریہ کی تقریب کے لیے، بچے مہمان خصوصی کی موجودگی میں اجتماعی ڈرل کرنے جا رہے ہیں۔ وہ ایک قطار میں 10 کھڑے ہوتے ہیں (شکل 11.4)۔ ڈرل میں کتنے بچے ہو سکتے ہیں؟

بچوں کی تعداد قطاروں کی تعداد پر منحصر ہوگی۔ اگر شکل 11.4 میں 1 قطار ہے، تو 10 بچے ہوں گے۔ اگر 2 قطاریں ہیں، تو $2 \times 10$ یا 20 بچے ہوں گے اور اسی طرح۔ اگر $r$ قطاریں ہیں، تو ڈرل میں $10 r$ بچے ہوں گے؛ یہاں، $r$ ایک متغیر ہے جو قطاروں کی تعداد کے لیے کھڑا ہے اور اس طرح قدریں لیتا ہے $1,2,3,4, \ldots$۔

اب تک دیکھی گئی تمام مثالوں میں، متغیر کو ایک عدد سے ضرب دیا گیا تھا۔ مختلف حالات بھی ہو سکتے ہیں جن میں اعداد کو متغیر میں جمع یا اس سے منہا کیا جاتا ہے جیسا کہ نیچے دیکھا گیا ہے۔

سارہ کہتی ہے کہ اس کے پاس امینہ کے مجموعے سے 10 زیادہ گولے ہیں۔ اگر امینہ کے پاس 20 گولے ہیں، تو سارہ کے پاس 30 ہیں۔ اگر امینہ کے پاس 30 گولے ہیں، تو سارہ کے پاس 40 ہیں اور اسی طرح۔ ہم نہیں جانتے کہ امینہ کے پاس بالکل کتنے گولے ہیں۔ اس کے پاس کوئی بھی تعداد ہو سکتی ہے۔

لیکن ہم جانتے ہیں کہ، سارہ کے گولے $=$ امینہ کے گولے +10۔

ہم امینہ کے گولے کو حرف $x$ سے ظاہر کریں گے۔ یہاں، $x$ ایک متغیر ہے، جو کوئی بھی قدر $1,2,3,4, \ldots, 10, \ldots, 20, \ldots, 30, \ldots$ لے سکتا ہے۔ $x$ کا استعمال کرتے ہوئے، ہم لکھتے ہیں سارہ کے گولے $=x+10$۔ اظہار $(x+10)$ کو ‘$x$ جمع دس’ پڑھا جاتا ہے۔ اس کا مطلب ہے $x$ میں 10 جمع کیا گیا۔ اگر $x$ ہے $20,(x+10)$ ہے 30۔ اگر $x$ ہے $30,(x+10)$ ہے 40 اور اسی طرح۔

اظہار $(x+10)$ کو مزید آسان نہیں کیا جا سکتا۔

$x+10$ کو $10 x$ کے ساتھ الجھائیں نہیں، وہ مختلف ہیں۔

$10 x, x$ میں $(x+10), 10$ کو 10 سے ضرب دیا جاتا ہے۔ $x$ میں $x$ جمع کیا جاتا ہے۔

ہم اسے $x=2,10 x=10 \times 2=20$ کی کچھ قدروں کے لیے چیک کر سکتے ہیں۔

مثال کے طور پر،

اگر $x+10=2+10=12$ اور $x=10,10 x=10 \times 10=100$۔

اگر $x+10=10+10=20$ اور $x$۔

راجو اور بالو بھائی ہیں۔ بالو راجو سے 3 سال چھوٹا ہے۔ جب راجو 12 سال کا ہے، بالو 9 سال کا ہے۔ جب راجو 15 سال کا ہے، بالو 12 سال کا ہے۔ ہم راجو کی عمر بالکل نہیں جانتے۔ اس کی کوئی بھی قدر ہو سکتی ہے۔ $x$ سالوں میں راجو کی عمر کو ظاہر کرتا ہے، $x$ ایک متغیر ہے۔ اگر سالوں میں راجو کی عمر $(x-3)$ ہے، تو سالوں میں بالو کی عمر $(x-3)$ ہے۔ اظہار $x$ کو ‘$x$ منفی تین’ پڑھا جاتا ہے۔ جیسا کہ آپ توقع کریں گے، جب $(x-3)$ 12 ہے، $x$ 9 ہے اور جب $15,(x-3)$ ہے $T$ ہے 12۔

مشق 11.1

1. وہ قاعدہ تلاش کریں جو درج ذیل ماچس کی تیلیوں کے نمونے بنانے کے لیے درکار ماچس کی تیلیوں کی تعداد دیتا ہے۔ قاعدہ لکھنے کے لیے ایک متغیر استعمال کریں۔

(الف) حرف $\substack{— \\ | }$ کا نمونہ جیسا کہ $Z$
(ب) حرف $\substack{— \\ / \\ —}$ کا نمونہ جیسا کہ $U$
(ج) حرف $\bigsqcup$ کا نمونہ جیسا کہ $V$
(د) حرف $\mathbf{V}$ کا نمونہ جیسا کہ $E$
(ہ) حرف $|\substack{- \\ - \\ -}$ کا نمونہ جیسا کہ $S$
(و) حرف $|\substack{- \\ - \\ -}|$ کا نمونہ جیسا کہ $A$
(ز) حرف $\mathbf{|\substack{- \\ - \\ }|}$ کا نمونہ جیسا کہ $n$

2. ہم پہلے ہی حروف L، C اور F کے نمونے کا قاعدہ جانتے ہیں۔ سوال 1 (اوپر دیے گئے) میں سے کچھ حروف ہمیں وہی قاعدہ دیتے ہیں جو L نے دیا ہے۔ یہ کون سے ہیں؟ ایسا کیوں ہوتا ہے؟

3. کیڈٹ پریڈ میں مارچ کر رہے ہیں۔ ایک قطار میں 5 کیڈٹ ہیں۔ وہ قاعدہ کیا ہے جو قطاروں کی تعداد دیے جانے پر کیڈٹوں کی تعداد دیتا ہے؟ (قطاروں کی تعداد کے لیے $b$ استعمال کریں۔)

4. اگر ایک ڈبے میں 50 آم ہیں، تو آپ ڈبوں کی تعداد کے لحاظ سے آم کی کل تعداد کیسے لکھیں گے؟ (ڈبوں کی تعداد کے لیے $s$ استعمال کریں۔)

5. استاد ہر طالب علم کو 5 پنسلیں تقسیم کرتا ہے۔ کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ طلباء کی تعداد دیے جانے پر کتنی پنسلوں کی ضرورت ہے؟ (طلباء کی تعداد کے لیے $t$ استعمال کریں۔)

6. ایک پرندہ ایک منٹ میں 1 کلومیٹر اڑتا ہے۔ کیا آپ منٹوں میں اڑنے کے وقت کے لحاظ سے پرندے کے طے کردہ فاصلے کا اظہار کر سکتے ہیں؟ (منٹوں میں اڑنے کے وقت کے لیے $r$ استعمال کریں۔)

7. رادھا چاک پاؤڈر سے ایک نقطہ رنگولی (نقطوں کو جوڑنے والی لائنوں کا خوبصورت نمونہ) بنا رہی ہے۔ اس کی ایک قطار میں 9 نقطے ہیں۔ $x$ قطاروں کے لیے اس کی رنگولی میں کتنے نقطے ہوں گے؟ اگر 8 قطاریں ہیں تو کتنے نقطے ہیں؟ اگر 10 قطاریں ہیں؟

8. لیلا رادھا کی چھوٹی بہن ہے۔ لیلا رادھا سے 4 سال چھوٹی ہے۔ کیا آپ رادھا کی عمر کے لحاظ سے لیلا کی عمر لکھ سکتے ہیں؟ رادھا کی عمر $l$ سال لیں۔

9. ماں نے لڈو بنائے ہیں۔ وہ کچھ لڈو مہمانوں اور خاندان کے افراد کو دیتی ہے؛ پھر بھی 5 لڈو باقی رہتے ہیں۔ اگر ماں کے دیے گئے لڈو کی تعداد $x$ ہے، تو اس نے کتنے لڈو بنائے تھے؟

10. آم کو بڑے ڈبوں سے چھوٹے ڈبوں میں منتقل کیا جانا ہے۔ جب ایک بڑا ڈبا خالی کیا جاتا ہے، تو اس سے آم دو چھوٹے ڈبوں کو بھرتے ہیں اور پھر بھی 10 آم باہر رہ جاتے ہیں۔ اگر ایک چھوٹے ڈبے میں آم کی تعداد $n$ لی جائے، تو بڑے ڈبے میں آم کی تعداد کیا ہے؟

11. (الف) مربعات کے درج ذیل ماچس کی تیلیوں کے نمونے کو دیکھیں (شکل 11.6)۔ مربع الگ نہیں ہیں۔ دو پڑوسی مربعات میں ایک مشترکہ ماچس کی تیلی ہوتی ہے۔ نمونوں کا مشاہدہ کریں اور وہ قاعدہ تلاش کریں جو مربعات کی تعداد کے لحاظ سے ماچس کی تیلیوں کی تعداد دیتا ہے۔

(اشارہ: اگر آپ آخر میں عمودی تیلی ہٹا دیں، تو آپ کو Cs کا نمونہ ملے گا۔)

(ب) شکل 11.7 مثلثوں کا ماچس کی تیلیوں کا نمونہ دیتی ہے۔ مشق 11 (الف) کی طرح، وہ عمومی قاعدہ تلاش کریں جو مثلثوں کی تعداد کے لحاظ سے ماچس کی تیلیوں کی تعداد دیتا ہے۔

ہم نے کیا بحث کی؟

1. ہم نے ماچس کی تیلیوں کا استعمال کرتے ہوئے حروف اور دوسری اشکال بنانے کے نمونے دیکھے۔ ہم نے ایک دی گئی شکل کو دہرانے کے لیے درکار ماچس کی تیلیوں کی تعداد کے درمیان عمومی تعلق لکھنا سیکھا۔ ایک دی گئی شکل کو دہرانے کی تعداد مختلف ہوتی ہے؛ یہ قدریں 1,2,3,.. لیتی ہے۔ یہ ایک متغیر ہے، جسے کسی حرف جیسے $n, l, m, p, x, y, z$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

2. ایک متغیر مختلف قدریں لیتا ہے، اس کی قدر مقرر نہیں ہوتی۔ ایک مربع کی لمبائی کوئی بھی قدر لے سکتی ہے۔ یہ ایک متغیر ہے۔ لیکن مثلث کے زاویوں کی تعداد کی ایک مقررہ قدر 3 ہے۔ یہ متغیر نہیں ہے۔

3. ہم متغیر دکھانے کے لیے کوئی بھی حرف $x-3, x+3,2 n, 5 m, \dfrac{p}{3}, 2 y+3,3 l-5$، وغیرہ استعمال کر سکتے ہیں۔

4. ایک متغیر ہمیں کسی بھی عملی صورت حال میں تعلقات کا اظہار کرنے کی اجازت دیتا ہے۔

5. متغیر اعداد ہیں، اگرچہ ان کی قدر مقرر نہیں ہوتی۔ ہم ان پر جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے عمل کر سکتے ہیں بالکل اسی طرح جیسے مقرر اعداد کے معاملے میں۔ مختلف عمل استعمال کرتے ہوئے ہم متغیر کے ساتھ اظہار بنا سکتے ہیں جیسے https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_snip_images_eqY5N-brFT0t_cdwsRLJhroWxdrt_-vjvYdBmcNOVgo_original_fullsize_png.jpg"، وغیرہ۔