11.1 परिचय

आतापर्यंतचा आपला अभ्यास संख्या आणि आकार यांचा आहे. आपण संख्या, संख्यांवरील क्रिया आणि संख्यांचे गुणधर्म शिकलो आहोत. आपण आपले संख्यांचे ज्ञान आपल्या जीवनातील विविध समस्यांवर लागू केले. गणिताची जी शाखा आपण संख्यांचा अभ्यास करतो ती अंकगणित आहे. आपण द्विमितीय आणि त्रिमितीय आकृत्यांबद्दल आणि त्यांच्या गुणधर्मांबद्दल देखील शिकलो आहोत. गणिताची जी शाखा आपण आकारांचा अभ्यास करतो ती भूमिती आहे. आता आपण गणिताच्या दुसर्या शाखेचा अभ्यास सुरू करतो. त्याला बीजगणित म्हणतात.

ज्या नवीन शाखेचा आपण अभ्यास करणार आहोत त्याची मुख्य वैशिष्ट्ये म्हणजे अक्षरे वापरणे. अक्षरे वापरून आपण नियम आणि सूत्रे सामान्य पद्धतीने लिहू शकतो. अक्षरे वापरून, आपण कोणत्याही संख्येबद्दल बोलू शकतो आणि फक्त एका विशिष्ट संख्येबद्दल नाही. दुसरे म्हणजे, अक्षरे अज्ञात राशींसाठी उभी राहू शकतात. अज्ञात ठरवण्याच्या पद्धती शिकून, आपण कोडी आणि दैनंदिन जीवनातील अनेक समस्या सोडवण्यासाठी शक्तिशाली साधने विकसित करतो. तिसरे म्हणजे, अक्षरे संख्यांचे प्रतिनिधित्व करत असल्याने, त्यांवर संख्यांप्रमाणेच क्रिया केल्या जाऊ शकतात. यामुळे बीजगणितीय समीकरणे आणि त्यांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास होतो.

तुम्हाला बीजगणित मनोरंजक आणि उपयुक्त वाटेल. समस्या सोडवण्यात ते खूप उपयुक्त आहे. चला, सोप्या उदाहरणांसह आपला अभ्यास सुरू करूया.

11.2 काडीचे नमुने

आमिना आणि सरिता काड्या वापरून नमुने बनवत आहेत. त्यांनी इंग्रजी वर्णमालेतील अक्षरांचे साधे नमुने बनवण्याचा निर्णय घेतला आहे. आमिना दोन काड्या घेते आणि अक्षर L अंजीर 11.1 (a) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे तयार करते.

मग सरिता देखील दोन काड्या घेते, दुसरे अक्षर $L$ तयार करते आणि ते आमिनाने बनवलेल्या अक्षराच्या पुढे ठेवते [अंजीर 11.1 (b)].

मग आमिना आणखी एक $L$ जोडते आणि हे अंजीर 11.1 (c) मधील बिंदूंद्वारे दाखवल्याप्रमाणे चालू राहते.

त्यांचा मित्र अप्पू आत येतो. तो नमुना पाहतो. अप्पू नेहमी प्रश्न विचारतो. तो मुलींना विचारतो, “सात L बनवण्यासाठी किती काड्या लागतील”? आमिना आणि सरिता पद्धतशीर आहेत. त्या 1L, 2L, 3L, इत्यादी बनवून नमुने तयार करतात आणि एक सारणी तयार करतात.

सारणी 1

अप्पूला सारणी 1 वरून त्याच्या प्रश्नाचे उत्तर मिळते; 7 L बनवण्यासाठी 14 काड्या लागतात.

सारणी लिहिताना, आमिनाला समजते की लागणाऱ्या काड्यांची संख्या तयार केलेल्या L च्या संख्येच्या दुप्पट आहे.

लागणाऱ्या काड्यांची संख्या $=2 \times$ L ची संख्या.

सोयीसाठी, L च्या संख्येसाठी $n$ हे अक्षर लिहू. जर एक $\mathrm{L}$ बनवले तर $n=1$; जर दोन L बनवले तर $n=2$ आणि असेच; अशाप्रकारे, $n$ कोणतीही नैसर्गिक संख्या $1,2,3,4,5, \ldots$ असू शकते. मग आपण लिहू, लागणाऱ्या काड्यांची संख्या $=2 \times n$.

$2 \times n$ लिहिण्याऐवजी, आपण $2 n$ लिहू. लक्षात ठेवा $2 n$ हे $2 \times n$ सारखेच आहे.

आमिना तिच्या मित्रांना सांगते की तिचा नियम कोणत्याही संख्येचे L बनवण्यासाठी लागणाऱ्या काड्यांची संख्या देतो.

अशाप्रकारे, $n=1$ साठी, लागणाऱ्या काड्यांची संख्या $=2 \times 1=2$

$n=2$ साठी, लागणाऱ्या काड्यांची संख्या $=2 \times 2=4$

$n=3$ साठी, लागणाऱ्या काड्यांची संख्या $=2 \times 3=6$ इत्यादी.

ही संख्या सारणी 1 मधील संख्यांशी जुळतात.

सरिता म्हणते, “नियम खूप शक्तिशाली आहे! नियम वापरून, मी अगदी $100 Ls$ बनवण्यासाठी किती काड्या लागतील ते सांगू शकते. एकदा नियम माहित झाला की, मला नमुना काढण्याची किंवा सारणी बनवण्याची गरज नाही.”

तुम्ही सरिताशी सहमत आहात का?

11.3 चलाची संकल्पना

वरील उदाहरणात, आपल्याला L चा नमुना बनवण्यासाठी लागणाऱ्या काड्यांची संख्या देणारा नियम सापडला. नियम होता:

लागणाऱ्या काड्यांची संख्या $=\mathbf{2} \boldsymbol{{}n}$

येथे, $n$ ही नमुन्यातील L ची संख्या आहे, आणि $n$ ही मूल्ये $1,2,3,4, \ldots$ घेते. चला, सारणी 1 पुन्हा एकदा पाहू. सारणीमध्ये, $n$ चे मूल्य बदलत राहते (वाढत राहते). परिणामी, लागणाऱ्या काड्यांची संख्या देखील बदलत राहते (वाढत राहते).

$\boldsymbol{n}$ हे चलाचे एक उदाहरण आहे. त्याचे मूल्य निश्चित नाही; ते कोणतेही मूल्य $\mathbf{1,2,3,4,} \ldots$ घेऊ शकते. आपण चल $\boldsymbol{n}$ वापरून लागणाऱ्या काड्यांच्या संख्येसाठी नियम लिहिला.

‘चल’ या शब्दाचा अर्थ असा काहीतरी आहे जो बदलू शकतो, म्हणजेच परिवर्तनशील असतो. चलाचे मूल्य निश्चित नसते. ते वेगवेगळी मूल्ये घेऊ शकते.

आपण चलांबद्दल अधिक जाणून घेण्यासाठी काडीच्या नमुन्यांचे दुसरे उदाहरण पाहू.

11.4 आणखी काडीचे नमुने

आमिना आणि सरिता काडीच्या नमुन्यांमध्ये खूपच रस घेऊ लागल्या आहेत. आता त्यांना अक्षर $C$ चा नमुना करायचा आहे. एक $C$ बनवण्यासाठी, त्या अंजीर 11.2(a) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे तीन काड्या वापरतात.

सारणी 2 मध्ये C चा नमुना बनवण्यासाठी लागणाऱ्या काड्यांची संख्या दिली आहे.

सारणी 2

तुम्ही सारणीतील रिकाम्या जागा भरू शकता का?

सरिता नियमासह पुढे येते:

लागणाऱ्या काड्यांची संख्या $=\mathbf{3} \boldsymbol{{}n}$

तिने C च्या संख्येसाठी $n$ हे अक्षर वापरले आहे; $n$ हे एक चल आहे जे मूल्ये $1,2,3,4, \ldots$ घेते

तुम्ही सरिताशी सहमत आहात का?

लक्षात ठेवा $3 n$ हे $3 \times n$ सारखेच आहे.

पुढे, आमिना आणि सरिता F चा नमुना बनवू इच्छितात. त्या अंजीर 11.3(a) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे 4 काड्या वापरून एक F बनवतात.

तुम्ही आता $F$ चे नमुने बनवण्याचा नियम लिहू शकता का?

वर्णमालेतील इतर अक्षरे आणि काड्यांपासून बनवता येणारे इतर आकार विचारात घ्या. उदाहरणार्थ, U $(\bigsqcup)$, V (\/), त्रिकोण ($\triangle$), चौरस ($\square$) इत्यादी. कोणतेही पाच निवडा आणि त्यांच्यासह काडीचे नमुने बनवण्याचे नियम लिहा.

11.5 चलांची आणखी उदाहरणे

आपण चल दर्शवण्यासाठी $n$ हे अक्षर वापरले आहे. राजू विचारतो, “$m$ का नाही”? $n$ मध्ये काहीही विशेष नाही, कोणतेही अक्षर वापरता येते.

चल दर्शवण्यासाठी कोणतेही अक्षर $m, l, p, x, y, z$ इत्यादी वापरता येते. लक्षात ठेवा, चल ही अशी संख्या आहे जिचे मूल्य निश्चित नसते. उदाहरणार्थ, संख्या 5 किंवा संख्या 100 किंवा इतर कोणतीही दिलेली संख्या ही चल नाही. त्यांची मूल्ये निश्चित आहेत. त्याचप्रमाणे, त्रिकोणाच्या कोनांची संख्या हे एक निश्चित मूल्य आहे म्हणजेच 3. ती चल नाही. चौकोनाच्या कोपऱ्यांची संख्या (4) निश्चित आहे; ती देखील चल नाही. पण $\boldsymbol{{}n}$ आपण पाहिलेल्या उदाहरणांमध्ये एक चल आहे. ते विविध मूल्ये $1,2,3,4, \ldots$ घेते.

चला आता एका अधिक परिचित परिस्थितीत चलांचा विचार करूया.

विद्यार्थी शाळेच्या पुस्तकाच्या दुकानातून नोटबुक खरेदी करण्यासाठी गेले. एका नोटबुकची किंमत ₹ 5 आहे. मुन्नूला 5 नोटबुक खरेदी करायच्या आहेत, अप्पूला 7 नोटबुक खरेदी करायच्या आहेत, सराला 4 नोटबुक खरेदी करायच्या आहेत आणि असेच. विद्यार्थ्याने नोटबुक खरेदी करण्यासाठी पुस्तकाच्या दुकानात जाताना किती पैसे घेऊन जावे?

हे विद्यार्थ्याला किती नोटबुक खरेदी करायच्या आहेत यावर अवलंबून असेल. विद्यार्थी मिळून एक सारणी तयार करतात.

सारणी 3

$m$ हे अक्षर विद्यार्थ्याला खरेदी करायच्या असलेल्या नोटबुकच्या संख्येसाठी उभे आहे; $m$ हे एक चल आहे, जे कोणतेही मूल्य $1,2,3,4, \ldots$ घेऊ शकते. $m$ नोटबुकची एकूण किंमत खालील नियमाने दिली जाते:

एकूण किंमत रुपयांमध्ये $=5 \times$ लागणाऱ्या नोटबुकची संख्या

$ =5 m $

जर मुन्नूला 5 नोटबुक खरेदी करायच्या असतील, तर $m=5$ घेऊन, आपण असे म्हणू शकतो की मुन्नूने शाळेच्या पुस्तकाच्या दुकानात $₹ 5 \times 5$ किंवा $₹ 25$ घेऊन जावे.

चला आणखी एक उदाहरण घेऊ. शाळेतील प्रजासत्ताक दिनाच्या उत्सवासाठी, मुख्य पाहुण्याच्या उपस्थितीत मुले सामूहिक ड्रिल करणार आहेत. त्या एका रांगेत 10 उभी राहतात (अंजीर 11.4). ड्रिलमध्ये किती मुले असू शकतात?

मुलांची संख्या रांगांच्या संख्येवर अवलंबून असेल. अंजीर 11.4 मध्ये जर 1 रांग असेल तर 10 मुले असतील. जर 2 रांगा असतील तर $2 \times 10$ किंवा 20 मुले असतील आणि असेच. जर $r$ रांगा असतील तर ड्रिलमध्ये $10 r$ मुले असतील; येथे, $r$ हे एक चल आहे जे रांगांच्या संख्येसाठी उभे आहे आणि म्हणून $1,2,3,4, \ldots$ मूल्ये घेते.

आतापर्यंत पाहिलेल्या सर्व उदाहरणांमध्ये, चलाचा एका संख्येने गुणाकार केला जात होता. खाली पाहिल्याप्रमाणे, संख्या चलामध्ये जोडल्या जातात किंवा वजा केल्या जातात अशा वेगवेगळ्या परिस्थिती देखील असू शकतात.

सरिता म्हणते की तिच्याकडे आमिनापेक्षा 10 मार्बल्स जास्त आहेत. जर आमिनाकडे 20 मार्बल्स असतील तर सरिताकडे 30 आहेत. जर आमिनाकडे 30 मार्बल्स असतील तर सरिताकडे 40 आहेत आणि असेच. आमिनाकडे नक्की किती मार्बल्स आहेत हे आपल्याला माहीत नाही. तिच्याकडे कोणतीही संख्या असू शकते.

पण आपल्याला माहीत आहे की, सरिताचे मार्बल्स $=$ आमिनाचे मार्बल्स +10.

आमिनाचे मार्बल्स आपण $x$ या अक्षराने दर्शवू. येथे, $x$ हे एक चल आहे, जे कोणतेही मूल्य $1,2,3,4, \ldots, 10, \ldots, 20, \ldots, 30, \ldots$ घेऊ शकते. $x$ वापरून, आपण सरिताचे मार्बल्स $=x+10$ असे लिहू. $(x+10)$ ही अभिव्यक्ती ‘$x$ अधिक दहा’ अशी वाचली जाते. याचा अर्थ $x$ मध्ये 10 मिळवले जातात. जर $x$ असेल तर $20,(x+10)$ हे 30 आहे. जर $x$ असेल तर $30,(x+10)$ हे 40 आहे आणि असेच.

$(x+10)$ ही अभिव्यक्ती पुढे सोपी करता येत नाही.

$x+10$ आणि $10 x$ यांच्यात गोंधळ करू नका, ते वेगळे आहेत.

$10 x, x$ मध्ये 10 ने गुणाकार केला जातो. $(x+10), 10$ मध्ये $x$ मध्ये मिळवले जाते.

आपण हे $x$ च्या काही मूल्यांसाठी तपासू शकतो.

उदाहरणार्थ,

जर $x=2,10 x=10 \times 2=20$ आणि $x+10=2+10=12$.

जर $x=10,10 x=10 \times 10=100$ आणि $x+10=10+10=20$.

राजू आणि बालू हे भाऊ आहेत. बालू राजूपेक्षा 3 वर्षांनी लहान आहे. जेव्हा राजू 12 वर्षांचा असतो तेव्हा बालू 9 वर्षांचा असतो. जेव्हा राजू 15 वर्षांचा असतो तेव्हा बालू 12 वर्षांचा असतो. आपल्याला राजूचे वय नक्की माहीत नाही. त्याचे कोणतेही मूल्य असू शकते. $x$ हे राजूचे वय वर्षांमध्ये दर्शवू द्या, $x$ हे एक चल आहे. जर राजूचे वय वर्षांमध्ये $x$ असेल तर बालूचे वय वर्षांमध्ये $(x-3)$ आहे. $(x-3)$ ही अभिव्यक्ती $x$ वजा तीन अशी वाचली जाते. जसे तुमची अपेक्षा असेल, जेव्हा $x$ हे 12 असेल तेव्हा $(x-3)$ हे 9 आहे आणि जेव्हा $x$ हे $15,(x-3)$ हे 12 आहे.

उपक्रम 11.1

1. खालील काडीचे नमुने बनवण्यासाठी लागणाऱ्या काड्यांची संख्या देणारा नियम शोधा. नियम लिहिण्यासाठी चल वापरा.

(a) अक्षर $T$ चा नमुना $\substack{— \\ | }$ म्हणून
(b) अक्षर $Z$ चा नमुना $\substack{— \\ / \\ —}$ म्हणून
(c) अक्षर $U$ चा नमुना $\bigsqcup$ म्हणून
(d) अक्षर $V$ चा नमुना $\mathbf{V}$ म्हणून
(e) अक्षर $E$ चा नमुना $|\substack{- \\ - \\ -}$ म्हणून
(f) अक्षर $S$ चा नमुना $|\substack{- \\ - \\ -}|$ म्हणून
(g) अक्षर $A$ चा नमुना $\mathbf{|\substack{- \\ - \\ }|}$ म्हणून

2. आपल्याला आधीच L, C आणि F अक्षरांच्या नमुन्याचा नियम माहित आहे. प्रश्न 1 मधील काही अक्षरे आपल्याला L द्वारे दिलेल्या नियमासारखाच नियम देतात. ती कोणती आहेत? हे का घडते?

3. कॅडेट्स परेडमध्ये मार्च करत आहेत. एका रांगेत 5 कॅडेट्स आहेत. रांगांची संख्या दिल्यास कॅडेट्सची संख्या देणारा नियम काय आहे? (रांगांच्या संख्येसाठी $n$ वापरा.)

4. जर एका बॉक्समध्ये 50 आंबे असतील तर बॉक्सच्या संख्येच्या दृष्टीने आपण एकूण आंब्यांची संख्या कशी लिहाल? (बॉक्सच्या संख्येसाठी $b$ वापरा.)

5. शिक्षक प्रत्येक विद्यार्थ्याला 5 पेन्सिल वितरीत करतात. विद्यार्थ्यांची संख्या दिल्यास किती पेन्सिल लागतील ते तुम्ही सांगू शकता का? (विद्यार्थ्यांच्या संख्येसाठी $s$ वापरा.)

6. एक पक्षी एका मिनिटात 1 किलोमीटर उडतो. पक्ष्याने कापलेले अंतर त्याच्या उडण्याच्या वेळेच्या मिनिटांमध्ये तुम्ही व्यक्त करू शकता का? (उडण्याच्या वेळेसाठी मिनिटांमध्ये $t$ वापरा.)

7. राधा खडू पावडरने ठिपके रांगोळी (ठिपके जोडणाऱ्या रेषांचा एक सुंदर नमुना) काढत आहे. तिच्याकडे एका रांगेत 9 ठिपके आहेत. $r$ रांगांसाठी तिच्या रांगोळीत किती ठिपके असतील? जर 8 रांगा असतील तर किती ठिपके आहेत? जर 10 रांगा असतील तर?

8. लीला ही राधाची धाकटी बहीण आहे. लीला राधापेक्षा 4 वर्षांनी लहान आहे. तुम्ही राधाच्या वयाच्या दृष्टीने लीलाचे वय लिहू शकता का? राधाचे वय $x$ वर्षे माना.

9. आईने लाडू बनवले आहेत. ती काही लाडू पाहुण्यांना आणि कुटुंबातील सदस्यांना देते; तरीही 5 लाडू शिल्लक राहतात. जर आईने दिलेल्या लाडूंची संख्या $l$ असेल तर तिने किती लाडू बनवले?

10. संत्री मोठ्या बॉक्समधून लहान बॉक्समध्ये हस्तांतरित करायची आहेत. जेव्हा एक मोठा बॉक्स रिकामा केला जातो तेव्हा त्यातील संत्री दोन लहान बॉक्स भरतात आणि तरीही 10 संत्री बाहेर राहतात. जर लहान बॉक्समधील संत्र्यांची संख्या $x$ मानली तर मोठ्या बॉक्समध्ये किती संत्री आहेत?

11. (a) खालील चौरसांचा काडीचा नमुना पहा (अंजीर 11.6). चौरस वेगळे नाहीत. दोन शेजारील चौरसांमध्ये एक सामाईक काडी असते. नमुने पाहा आणि चौरसांच्या संख्येच्या दृष्टीने काड्यांची संख्या देणारा नियम शोधा. (सूचना: जर तुम्ही शेवटची उभी काडी काढली तर तुम्हाला C चा नमुना मिळेल.)

(b) अंजीर 11.7 त्रिकोणांचा काडीचा नमुना देतो. वरील उपक्रम 11 (a) प्रमाणेच, त्रिकोणांच्या संख्येच्या दृष्टीने काड्यांची संख्या देणारा सामान्य नियम शोधा.

आपण काय चर्चा केली?

1. आपण काड्या वापरून अक्षरे आणि इतर आकार बनवण्याचे नमुने पाहिले. दिलेला आकार पुनरावृत्ती करण्यासाठी लागणाऱ्या काड्यांच्या संख्येमधील सामान्य संबंध कसा लिहायचा ते आपण शिकलो. दिलेला आकार किती वेळा पुनरावृत्ती केला जातो हे बदलते; ते 1,2,3,.. ही मूल्ये घेते. ते एक चल आहे, जे $n$ सारख्या काही अक्षराने दर्शविले जाते.

2. एक चल वेगवेगळी मूल्ये घेते, त्याचे मूल्य निश्चित नसते. चौरसाची लांबी कोणतेही मूल्य घेऊ शकते. ती एक चल आहे. पण त्रिकोणाच्या कोनांची संख्या हे एक निश्चित मूल्य 3 आहे. ती चल नाही.

3. चल दर्शवण्यासाठी आपण कोणतेही अक्षर $n, l, m, p, x, y, z$, इत्यादी वापरू शकतो.

4. चल आपल्याला कोणत्याही व्यावहारिक परिस्थितीत संबंध व्यक्त करण्यास अनुमती देते.

5. चल हे संख्या आहेत, जरी त्यांचे मूल्य निश्चित नसले तरीही. निश्चित संख्यांप्रमाणेच आपण त्यांवर बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार या क्रिया करू शकतो. वेगवेगळ्या क्रिया वापरून आपण $x-3, x+3,2 n, 5 m, \dfrac{p}{3}, 2 y+3,3 l-5$, इत्यादी सारख्या चलांसह अभिव्यक्ती तयार करू शकतो.