11.1 ಪರಿಚಯ

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗಿನ ನಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಆಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಇತ್ತು. ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ನಮ್ಮ ಜೀವನದಲ್ಲಿನ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯು ಅಂಕಗಣಿತ ಆಗಿದೆ. ನಾವು ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಆಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯು ರೇಖಾಗಣಿತ ಆಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇನ್ನೊಂದು ಶಾಖೆಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಿರುವ ಹೊಸ ಶಾಖೆಯ ಮುಖ್ಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ ಅಕ್ಷರಗಳ ಬಳಕೆ. ಅಕ್ಷರಗಳ ಬಳಕೆಯು ನಮಗೆ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಅಕ್ಷರಗಳು ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಒಗಟುಗಳು ಮತ್ತು ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಅಕ್ಷರಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾಡುವಂತೆಯೇ ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಬಹುದು. ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಉಪಯುಕ್ತವೆಂದು ಕಾಣುವಿರಿ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಇದು ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

11.2 ಅಂಡೆಸಾಲೆ (ಮ್ಯಾಚ್ಸ್ಟಿಕ್) ಮಾದರಿಗಳು

ಅಮೀನಾ ಮತ್ತು ಸರಿತಾ ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳಿಂದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಅಕ್ಷರಗಳ ಸರಳ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅಮೀನಾ ಎರಡು ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು L ಅಕ್ಷರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತಾಳೆ, ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರ 11.1 (a) ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಂತರ ಸರಿತಾ ಕೂಡ ಎರಡು ಕಡ್ಡಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಇನ್ನೊಂದು ಅಕ್ಷರ $L$ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ, ಅಮೀನಾ ಮಾಡಿದದ್ದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತಾಳೆ [ಚಿತ್ರ 11.1 (b)].

ನಂತರ ಅಮೀನಾ ಇನ್ನೊಂದು $L$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತಾಳೆ ಮತ್ತು ಇದು ಚಿತ್ರ 11.1 (c) ರಲ್ಲಿ ಚುಕ್ಕೆಗಳಿಂದ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ.

ಅವರ ಸ್ನೇಹಿತ ಅಪ್ಪು ಒಳಗೆ ಬರುತ್ತಾನೆ. ಅವನು ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾನೆ. ಅಪ್ಪು ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತಾನೆ. ಅವನು ಹುಡುಗಿಯರನ್ನು ಕೇಳುತ್ತಾನೆ, “ಏಳು L ಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಎಷ್ಟು ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ”? ಅಮೀನಾ ಮತ್ತು ಸರಿತಾ ಕ್ರಮಬದ್ಧರು. ಅವರು 1L, 2Ls, 3Ls, ಇತ್ಯಾದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತಾ ಹೋಗಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ತಯಾರಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 1

ಕೋಷ್ಟಕ 1 ರಿಂದ ಅಪ್ಪು ತನ್ನ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ; 7 L ಗಳಿಗೆ 14 ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ.

ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ, ಅಮೀನಾ ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ರೂಪಿಸಲಾದ L ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡರಷ್ಟು ಎಂದು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾಳೆ.

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=2 \times$ L ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, L ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ $n$ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಒಂದು $\mathrm{L}$ ಮಾಡಿದರೆ, $n=1$; ಎರಡು L ಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ, $n=2$ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ; ಹೀಗಾಗಿ, $n$ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ $1,2,3,4,5, \ldots$ ಆಗಿರಬಹುದು. ನಂತರ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=2 \times n$.

$2 \times n$ ಬರೆಯುವ ಬದಲು, ನಾವು $2 n$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಗಮನಿಸಿ $2 n$ ಯು $2 \times n$ ಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.

ಅಮೀನಾ ತನ್ನ ಸ್ನೇಹಿತರಿಗೆ ತನ್ನ ನಿಯಮವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ L ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾಳೆ.

ಹೀಗೆ, $n=1$ ಗೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=2 \times 1=2$

$n=2$ ಗೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=2 \times 2=4$

$n=3$ ಗೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=2 \times 3=6$ ಇತ್ಯಾದಿ.

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕೋಷ್ಟಕ 1 ರಿಂದ ಬಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ಸರಿತಾ ಹೇಳುತ್ತಾಳೆ, “ನಿಯಮವು ಬಹಳ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿಯಾಗಿದೆ! ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, $100 Ls$ ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾನು ಹೇಳಬಲ್ಲೆ. ನಿಯಮವು ತಿಳಿದ ನಂತರ ನಾನು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಅಥವಾ ಕೋಷ್ಟಕ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ”.

ನೀವು ಸರಿತಾಳೊಂದಿಗೆ ಒಪ್ಪುತ್ತೀರಾ?

11.3 ಚರಾಕ್ಷರದ (ವೇರಿಯೇಬಲ್) ಕಲ್ಪನೆ

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, L ಗಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ನಿಯಮವು ಹೀಗಿತ್ತು:

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=\mathbf{2} \boldsymbol{{}n}$

ಇಲ್ಲಿ, $n$ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ L ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು $n$ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು $1,2,3,4, \ldots$ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕ 1 ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೋಡೋಣ. ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ, $n$ ಯ ಮೌಲ್ಯ ಬದಲಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಬದಲಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ).

$\boldsymbol{n}$ ಚರಾಕ್ಷರದ (ವೇರಿಯೇಬಲ್) ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅದರ ಮೌಲ್ಯ ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ; ಅದು ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $\mathbf{1,2,3,4,} \ldots$ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಚರಾಕ್ಷರ $\boldsymbol{n}$ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ.

‘ಚರಾಕ್ಷರ’ (ವೇರಿಯೇಬಲ್) ಎಂಬ ಪದವು ಬದಲಾಗಬಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಬಲ್ಲದ್ದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಚರಾಕ್ಷರದ ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದು ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ತಿಳಿಯಲು ನಾವು ಅಂಡೆಸಾಲೆ ಮಾದರಿಗಳ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

11.4 ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಡೆಸಾಲೆ ಮಾದರಿಗಳು

ಅಮೀನಾ ಮತ್ತು ಸರಿತಾ ಅಂಡೆಸಾಲೆ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಈಗ ಅವರು $C$ ಅಕ್ಷರದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು $C$ ಮಾಡಲು, ಅವರು ಚಿತ್ರ 11.2(a) ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಮೂರು ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 2 C ಗಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 2

ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ ಬಿಟ್ಟಿರುವ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ನೀವು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬಲ್ಲಿರಾ?

ಸರಿತಾ ಈ ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ ಮುಂದೆ ಬರುತ್ತಾಳೆ:

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=\mathbf{3} \boldsymbol{{}n}$

ಅವಳು C ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ $n$ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದಾಳೆ; $n$ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರವಾಗಿದ್ದು $1,2,3,4, \ldots$ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಸರಿತಾಳೊಂದಿಗೆ ಒಪ್ಪುತ್ತೀರಾ?

ನೆನಪಿಡಿ $3 n$ ಯು $3 \times n$ ಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ಅಮೀನಾ ಮತ್ತು ಸರಿತಾ F ಗಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ಅವರು ಚಿತ್ರ 11.3(a) ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ 4 ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು F ಅನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

$F$ ಗಳ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಈಗ ನೀವು ಬರೆಯಬಲ್ಲಿರಾ?

ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಇತರ ಅಕ್ಷರಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳಿಂದ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಇತರ ಆಕಾರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, U $(\bigsqcup)$, V (\/), ತ್ರಿಕೋನ ($\triangle$), ಚೌಕ ($\square$) ಇತ್ಯಾದಿ. ಯಾವುದೇ ಐದು ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಡೆಸಾಲೆ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

11.5 ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಇನ್ನಷ್ಟು ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ನಾವು $n$ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ರಾಜು ಕೇಳುತ್ತಾನೆ, “$m$ ಏಕೆ ಅಲ್ಲ”? $n$ ಬಗ್ಗೆ ವಿಶೇಷವೇನೂ ಇಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಯಾರಾದರೂ ಯಾವುದೇ ಅಕ್ಷರವನ್ನು $m, l, p, x, y, z$ ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂದು ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ನೆನಪಿಡಿ, ಚರಾಕ್ಷರವು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆ 100 ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಚರಾಕ್ಷರವಲ್ಲ. ಅವುಗಳು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ 3. ಇದು ಚರಾಕ್ಷರವಲ್ಲ. ಚತುರ್ಭುಜದ ಮೂಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (4) ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ; ಇದು ಕೂಡ ಚರಾಕ್ಷರವಲ್ಲ. ಆದರೆ ನಾವು ನೋಡಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿನ $\boldsymbol{{}n}$ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರವಾಗಿದೆ. ಇದು ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು $1,2,3,4, \ldots$ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಶಾಲೆಯ ಪುಸ್ತಕ ಮಳಿಗೆಯಿಂದ ನೋಟ್ಬುಕ್ಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಹೋದರು. ಒಂದು ನೋಟ್ಬುಕ್ನ ಬೆಲೆ ₹ 5. ಮುನ್ನು 5 ನೋಟ್ಬುಕ್ಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತಾನೆ, ಅಪ್ಪು 7 ನೋಟ್ಬುಕ್ಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತಾನೆ, ಸಾರಾ 4 ನೋಟ್ಬುಕ್ಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತಾಳೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ನೋಟ್ಬುಕ್ಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಪುಸ್ತಕ ಮಳಿಗೆಗೆ ಹೋದಾಗ ಎಷ್ಟು ಹಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಹೋಗಬೇಕು?

ಇದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಎಷ್ಟು ನೋಟ್ಬುಕ್ಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತಾನೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ತಯಾರಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 3

$m$ ಅಕ್ಷರವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಖರೀದಿಸಲು ಬಯಸುವ ನೋಟ್ಬುಕ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; $m$ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರವಾಗಿದ್ದು, ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $1,2,3,4, \ldots$ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. $m$ ನೋಟ್ಬುಕ್ಗಳ ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಈ ನಿಯಮದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

ರೂಪಾಯಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚ $=5 \times$ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನೋಟ್ಬುಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

$ =5 m $

ಮುನ್ನು 5 ನೋಟ್ಬುಕ್ಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನಂತರ $m=5$ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಮುನ್ನು ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಶಾಲೆಯ ಪುಸ್ತಕ ಮಳಿಗೆಗೆ $₹ 5 \times 5$ ಅಥವಾ $₹ 25$ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಹೋಗಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಗಣತಂತ್ರ ದಿನಾಚರಣೆಗಾಗಿ, ಮುಖ್ಯ ಅತಿಥಿಯ ಸಮ್ಮುಖದಲ್ಲಿ ಮಕ್ಕಳು ಸಾಮೂಹಿಕ ಡ್ರಿಲ್ ಪ್ರದರ್ಶನ ನೀಡಲಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 10 ಜನರಂತೆ ನಿಲ್ಲುತ್ತಾರೆ (ಚಿತ್ರ 11.4). ಡ್ರಿಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಮಕ್ಕಳು ಇರಬಹುದು?

ಮಕ್ಕಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 11.4 ರಲ್ಲಿ 1 ಸಾಲು ಇದ್ದರೆ, 10 ಮಕ್ಕಳು ಇರುತ್ತಾರೆ. 2 ಸಾಲುಗಳು ಇದ್ದರೆ, $2 \times 10$ ಅಥವಾ 20 ಮಕ್ಕಳು ಇರುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. $r$ ಸಾಲುಗಳು ಇದ್ದರೆ, ಡ್ರಿಲ್‌ನಲ್ಲಿ $10 r$ ಮಕ್ಕಳು ಇರುತ್ತಾರೆ; ಇಲ್ಲಿ, $r$ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಚರಾಕ್ಷರವಾಗಿದ್ದು $1,2,3,4, \ldots$ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನೋಡಿದ ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿದಂತೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಚರಾಕ್ಷರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲ್ಪಡುವ ಅಥವಾ ಕಳೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿಭಿನ್ನ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳೂ ಇರಬಹುದು.

ಸರಿತಾ ತಾನು ಅಮೀನಾಳ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕಿಂತ 10 ಹೆಚ್ಚು ಗೋಲಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾಳೆ. ಅಮೀನಾ ಬಳಿ 20 ಗೋಲಿಗಳಿದ್ದರೆ, ಸರಿತಾ ಬಳಿ 30 ಇರುತ್ತವೆ. ಅಮೀನಾ ಬಳಿ 30 ಗೋಲಿಗಳಿದ್ದರೆ, ಸರಿತಾ ಬಳಿ 40 ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಅಮೀನಾ ಬಳಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಎಷ್ಟು ಗೋಲಿಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಅವಳ ಬಳಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗೋಲಿಗಳು ಇರಬಹುದು.

ಆದರೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಸರಿತಾ ಗೋಲಿಗಳು $=$ ಅಮೀನಾ ಗೋಲಿಗಳು +10.

ನಾವು ಅಮೀನಾ ಗೋಲಿಗಳನ್ನು $x$ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ, $x$ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರವಾಗಿದ್ದು, ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $1,2,3,4, \ldots, 10, \ldots, 20, \ldots, 30, \ldots$ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. $x$ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸರಿತಾ ಗೋಲಿಗಳು $=x+10$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. $(x+10)$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ‘$x$ ಪ್ಲಸ್ ಟೆನ್’ ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ $x$ ಗೆ 10 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. $x$ ಆಗಿದ್ದರೆ $20,(x+10)$ 30 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. $x$ ಆಗಿದ್ದರೆ $30,(x+10)$ 40 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

$(x+10)$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

$x+10$ ನ್ನು $10 x$ ನೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬೇಡಿ, ಅವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ.

$10 x, x$ ರಲ್ಲಿ $(x+10), 10$ ಅನ್ನು 10 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗಿದೆ. $x$ ರಲ್ಲಿ $x$ ಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$x=2,10 x=10 \times 2=20$ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$x+10=2+10=12$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು $x=10,10 x=10 \times 10=100$.

$x+10=10+10=20$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು $x$.

ರಾಜು ಮತ್ತು ಬಾಲು ಸಹೋದರರು. ಬಾಲು ರಾಜುವಿಗಿಂತ 3 ವರ್ಷಗಳಿಂದ ಚಿಕ್ಕವನು. ರಾಜು 12 ವರ್ಷದವನಾಗಿದ್ದಾಗ, ಬಾಲು 9 ವರ್ಷದವನಾಗಿರುತ್ತಾನೆ. ರಾಜು 15 ವರ್ಷದವನಾಗಿದ್ದಾಗ, ಬಾಲು 12 ವರ್ಷದವನಾಗಿರುತ್ತಾನೆ. ರಾಜುವಿನ ವಯಸ್ಸು ನಿಖರವಾಗಿ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಅದು ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ರಾಜುವಿನ ವಯಸ್ಸನ್ನು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ $x$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ, $x$ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರವಾಗಿದೆ. ರಾಜುವಿನ ವಯಸ್ಸು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ $(x-3)$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಬಾಲುವಿನ ವಯಸ್ಸು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ $(x-3)$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. $x$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು $x$ ಮೈನಸ್ ಥ್ರೀ ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಂತೆ, $(x-3)$ 12 ಆಗಿದ್ದಾಗ, $x$ 9 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $15,(x-3)$ ಆಗಿದ್ದಾಗ $T$ 12 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಭ್ಯಾಸ 11.1

1. ಕೆಳಗಿನ ಅಂಡೆಸಾಲೆ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಡೆಸಾಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಿ.

(ಅ) $\substack{— \\ | }$ ಎಂಬಂತೆ $T$ ಅಕ್ಷರದ ಮಾದರಿ
(ಆ) $\substack{— \\ / \\ —}$ ಎಂಬಂತೆ $Z$ ಅಕ್ಷರದ ಮಾದರಿ
(ಇ) $\bigsqcup$ ಎಂಬಂತೆ $U$ ಅಕ್ಷರದ ಮಾದರಿ
(ಈ) $\mathbf{V}$ ಎಂಬಂತೆ $V$ ಅಕ್ಷರದ ಮಾದರಿ
(ಉ) $|\substack{- \\ - \\ -}$ ಎಂಬಂತೆ $E$ ಅಕ್ಷರದ ಮಾದರಿ
(ಊ) $|\substack{- \\ - \\ -}|$ ಎಂಬಂತೆ $S$ ಅಕ್ಷರದ ಮಾದರಿ
(ಋ) $\mathbf{|\substack{- \\ - \\ }|}$ ಎಂಬಂತೆ $A$ ಅಕ್ಷರದ ಮಾದರಿ

2. L, C ಮತ್ತು F ಅಕ್ಷರಗಳ ಮಾದರಿಗಳ ನಿಯಮ ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಪ್ರಶ್ನೆ 1 ರಿಂದ (ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ) ಕೆಲವು ಅಕ್ಷರಗಳು L ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ನಿಯಮದಂತೆಯೇ ನಮಗೆ ನಿಯಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಇವು ಯಾವುವು? ಇದು ಏಕೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ?

3. ಕ್ಯಾಡೆಟ್‌ಗಳು ಮೆರವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಚ್ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 5 ಕ್ಯಾಡೆಟ್‌ಗಳು ಇದ್ದಾರೆ. ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಕ್ಯಾಡೆಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ನಿಯಮ ಯಾವುದು? (ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ $n$ ಬಳಸಿ.)

4. ಒಂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ 50 ಮಾವಿನಕಾಯಿಗಳಿದ್ದರೆ, ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಮಾವಿನಕಾಯಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆಯುವಿರಿ? (ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ $b$ ಬಳಸಿ.)

5. ಶಿಕ್ಷಕರು ಪ್ರತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ 5 ಪೆನ್ಸಿಲುಗಳನ್ನು ವಿತರಿಸುತ್ತಾರೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಎಷ್ಟು ಪೆನ್ಸಿಲುಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ? (ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ $s$ ಬಳಸಿ.)

6. ಒಂದು ಪಕ್ಷಿ ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ 1 ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಹಾರುತ್ತದೆ. ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಹಾರುವ ಸಮಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪಕ್ಷಿ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರವನ್ನು ನೀವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಲ್ಲಿರಾ? (ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಹಾರುವ ಸಮಯಕ್ಕೆ $t$ ಬಳಸಿ.)

7. ರಾಧಾ ಸೀಮೆಸುಣ್ಣದ ಪುಡಿಯಿಂದ ಚುಕ್ಕಿ ರಂಗೋಲಿ (ಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಸುಂದರ ಮಾದರಿ) ಬರೆಯುತ್ತಿದ್ದಾಳೆ. ಅವಳ ಬಳಿ ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 9 ಚುಕ್ಕೆಗಳಿವೆ. $r$ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಅವಳ ರಂಗೋಲಿಗೆ ಎಷ್ಟು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ? 8 ಸಾಲುಗಳಿದ್ದರೆ ಎಷ್ಟು ಚುಕ್ಕೆಗಳಿವೆ? 10 ಸಾಲುಗಳಿದ್ದರೆ ಎಷ್ಟು?

8. ಲೀಲಾ ರಾಧಾಳ ತಂಗಿ. ಲೀಲಾ ರಾಧಾಳಿಗಿಂತ 4 ವರ್ಷಗಳಿಂದ ಚಿಕ್ಕವಳು. ರಾಧಾಳ ವಯಸ್ಸಿನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಲೀಲಾಳ ವಯಸ್ಸನ್ನು ನೀವು ಬರೆಯಬಲ್ಲಿರಾ? ರಾಧಾಳ ವಯಸ್ಸನ್ನು $x$ ವರ್ಷಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

**9