11.1 भूमिका

अब तक हमारा अध्ययन संख्याओं और आकृतियों के साथ रहा है। हमने संख्याएँ, संख्याओं पर संक्रियाएँ और संख्याओं के गुणधर्म सीखे हैं। हमने संख्याओं के ज्ञान को अपने जीवन की विभिन्न समस्याओं पर लागू किया है। गणित की वह शाखा जिसमें हमने संख्याओं का अध्ययन किया है, अंकगणित है। हमने दो और तीन विमाओं में आकृतियों और उनके गुणधर्मों के बारे में भी सीखा है। गणित की वह शाखा जिसमें हमने आकृतियों का अध्ययन किया है, ज्यामिति है। अब हम गणित की एक अन्य शाखा का अध्ययन प्रारंभ करते हैं। इसे बीजगणित कहते हैं।

इस नई शाखा की मुख्य विशेषता, जिसका हम अध्ययन करने जा रहे हैं, अक्षरों का उपयोग है। अक्षरों के उपयोग से हम नियमों और सूत्रों को एक सामान्य रूप में लिख सकेंगे। अक्षरों का उपयोग करके, हम किसी विशेष संख्या के बारे में ही नहीं, बल्कि किसी भी संख्या के बारे में बात कर सकते हैं। दूसरे, अक्षर अज्ञात राशियों के लिए प्रयुक्त हो सकते हैं। अज्ञात राशियों को ज्ञात करने की विधियाँ सीखकर, हम पहेलियों और दैनिक जीवन की अनेक समस्याओं को हल करने के लिए शक्तिशाली उपकरण विकसित करते हैं। तीसरे, चूँकि अक्षर संख्याओं के लिए प्रयुक्त होते हैं, इसलिए उन पर भी संख्याओं की तरह संक्रियाएँ की जा सकती हैं। इससे बीजीय व्यंजकों और उनके गुणधर्मों का अध्ययन होता है।

आपको बीजगणित रोचक और उपयोगी लगेगा। यह समस्याओं को हल करने में बहुत उपयोगी है। आइए हम सरल उदाहरणों से अपना अध्ययन प्रारंभ करें।

11.2 माचिस की तीलियों के प्रतिरूप

अमीना और सरिता माचिस की तीलियों से प्रतिरूप बना रही हैं। वे अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों के सरल प्रतिरूप बनाने का निर्णय लेती हैं। अमीना दो माचिस की तीलियाँ लेती है और अक्षर L बनाती है जैसा कि चित्र 11.1 (a) में दिखाया गया है।

तब सरिता भी दो तीलियाँ लेती है, एक अन्य अक्षर $L$ बनाती है और इसे अमीना द्वारा बनाए गए अक्षर के बगल में रख देती है [चित्र 11.1 (b)]।

फिर अमीना एक और $L$ जोड़ती है और यह क्रम चित्र 11.1 (c) में बिंदुओं द्वारा दिखाए अनुसार चलता रहता है।

उनकी सहेली अप्पू अंदर आती है। वह प्रतिरूप को देखती है। अप्पू हमेशा प्रश्न पूछती है। वह लड़कियों से पूछती है, “सात L बनाने के लिए कितनी माचिस की तीलियों की आवश्यकता होगी”? अमीना और सरिता व्यवस्थित हैं। वे 1L, 2Ls, 3Ls, इत्यादि के प्रतिरूप बनाती जाती हैं और एक सारणी तैयार करती हैं।

सारणी 1

अप्पू को सारणी 1 से अपने प्रश्न का उत्तर मिल जाता है; 7 Ls के लिए 14 माचिस की तीलियों की आवश्यकता है।

सारणी लिखते समय, अमीना को एहसास होता है कि आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या, बनाए गए Ls की संख्या की दुगुनी है।

आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या $=2 \times$ Ls की संख्या।

सुविधा के लिए, आइए हम Ls की संख्या के लिए अक्षर $n$ लिखें। यदि एक $\mathrm{L}$ बनाया जाता है, तो $n=1$; यदि दो Ls बनाए जाते हैं, तो $n=2$ और इसी तरह; इस प्रकार, $n$ कोई भी प्राकृत संख्या $1,2,3,4,5, \ldots$ हो सकती है। तब हम लिखते हैं, आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या $=2 \times n$।

$2 \times n$ लिखने के बजाय, हम $2 n$ लिखते हैं। ध्यान दें कि $2 n$, $2 \times n$ के समान ही है।

अमीना अपने मित्रों को बताती है कि उसका नियम Ls की किसी भी संख्या को बनाने के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या देता है।

इस प्रकार, $n=1$ के लिए, आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या $=2 \times 1=2$

$n=2$ के लिए, आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या $=2 \times 2=4$

$n=3$ के लिए, आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या $=2 \times 3=6$ इत्यादि।

ये संख्याएँ सारणी 1 से प्राप्त संख्याओं से मेल खाती हैं।

सरिता कहती है, “नियम बहुत शक्तिशाली है! नियम का उपयोग करके, मैं कह सकती हूँ कि $100 Ls$ बनाने के लिए कितनी माचिस की तीलियों की आवश्यकता है। एक बार नियम ज्ञात हो जाने पर, मुझे प्रतिरूप बनाने या सारणी बनाने की आवश्यकता नहीं है”।

क्या आप सरिता से सहमत हैं?

11.3 चर की संकल्पना

उपरोक्त उदाहरण में, हमने Ls का प्रतिरूप बनाने के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या देने वाला एक नियम पाया। नियम था:

आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या $=\mathbf{2} \boldsymbol{{}n}$

यहाँ, $n$ प्रतिरूप में Ls की संख्या है, और $n$ मान $1,2,3,4, \ldots$ लेता है। आइए हम सारणी 1 को एक बार फिर देखें। सारणी में, $n$ का मान बदलता (बढ़ता) जाता है। परिणामस्वरूप, आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या भी बदलती (बढ़ती) जाती है।

$\boldsymbol{n}$ एक चर का उदाहरण है। इसका मान निश्चित नहीं है; यह कोई भी मान $\mathbf{1,2,3,4,} \ldots$ ले सकता है। हमने चर $\boldsymbol{n}$ का उपयोग करके आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या का नियम लिखा।

‘चर’ शब्द का अर्थ है कुछ ऐसा जो परिवर्तनशील हो, अर्थात बदल सके। एक चर का मान निश्चित नहीं होता। यह विभिन्न मान ले सकता है।

हम चर के बारे में और अधिक जानने के लिए माचिस की तीलियों के प्रतिरूपों का एक अन्य उदाहरण देखेंगे।

11.4 माचिस की तीलियों के और प्रतिरूप

अमीना और सरिता को माचिस की तीलियों के प्रतिरूपों में काफी रुचि हो गई है। अब वे अक्षर $C$ का एक प्रतिरूप आजमाना चाहती हैं। एक $C$ बनाने के लिए, वे तीन माचिस की तीलियों का उपयोग करती हैं जैसा कि चित्र 11.2(a) में दिखाया गया है।

सारणी 2, Cs का प्रतिरूप बनाने के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या देती है।

सारणी 2

क्या आप सारणी में खाली छोड़े गए स्थानों को पूरा कर सकते हैं?

सरिता नियम लेकर आती है:

आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या $=\mathbf{3} \boldsymbol{{}n}$

उसने Cs की संख्या के लिए अक्षर $n$ का उपयोग किया है; $n$ एक चर है जो मान $1,2,3,4, \ldots$ लेता है।

क्या आप सरिता से सहमत हैं?

याद रखें $3 n$, $3 \times n$ के समान ही है।

अगला, अमीना और सरिता Fs का एक प्रतिरूप बनाना चाहती हैं। वे 4 माचिस की तीलियों का उपयोग करके एक F बनाती हैं जैसा कि चित्र 11.3(a) में दिखाया गया है।

क्या आप अब $F$ के प्रतिरूप बनाने का नियम लिख सकते हैं?

वर्णमाला के अन्य अक्षरों और अन्य आकृतियों के बारे में सोचें जो माचिस की तीलियों से बनाई जा सकती हैं। उदाहरण के लिए, U $(\bigsqcup)$, V (\/), त्रिभुज ($\triangle$), वर्ग ($\square$) इत्यादि। कोई भी पाँच चुनें और उनके साथ माचिस की तीलियों के प्रतिरूप बनाने के नियम लिखें।

11.5 चर के और उदाहरण

हमने एक चर को दर्शाने के लिए अक्षर $n$ का उपयोग किया है। राजू पूछता है, “$m$ क्यों नहीं”? $n$ में कुछ विशेष नहीं है, कोई भी अक्षर प्रयुक्त किया जा सकता है।

कोई भी अक्षर $m, l, p, x, y, z$ इत्यादि का उपयोग एक चर को दर्शाने के लिए कर सकता है। याद रखें, एक चर एक संख्या है जिसका मान निश्चित नहीं होता। उदाहरण के लिए, संख्या 5 या संख्या 100 या कोई अन्य दी गई संख्या एक चर नहीं है। उनके मान निश्चित हैं। इसी प्रकार, एक त्रिभुज के कोणों की संख्या का एक निश्चित मान अर्थात 3 है। यह एक चर नहीं है। एक चतुर्भुज के शीर्षों की संख्या (4) निश्चित है; यह भी एक चर नहीं है। लेकिन $\boldsymbol{{}n}$ जो उदाहरणों में हमने देखा है, एक चर है। यह विभिन्न मान $1,2,3,4, \ldots$ लेता है।

आइए अब एक अधिक परिचित स्थिति में चरों पर विचार करें।

विद्यार्थी स्कूल बुकस्टोर से नोटबुक खरीदने गए। एक नोटबुक की कीमत ₹ 5 है। मुन्नू 5 नोटबुक खरीदना चाहता है, अप्पू 7 नोटबुक खरीदना चाहता है, सारा 4 नोटबुक खरीदना चाहती है और इसी तरह। एक विद्यार्थी को कितना पैसा ले जाना चाहिए जब वह नोटबुक खरीदने बुकस्टोर जाता है?

यह इस बात पर निर्भर करेगा कि विद्यार्थी कितनी नोटबुक खरीदना चाहता है। विद्यार्थी मिलकर एक सारणी तैयार करते हैं।

सारणी 3

अक्षर $m$ एक विद्यार्थी द्वारा खरीदी जाने वाली नोटबुकों की संख्या के लिए प्रयुक्त हुआ है; $m$ एक चर है, जो कोई भी मान $1,2,3,4, \ldots$ ले सकता है। $m$ नोटबुकों की कुल लागत निम्नलिखित नियम द्वारा दी जाती है:

रुपयों में कुल लागत $=5 \times$ आवश्यक नोटबुकों की संख्या

$ =5 m $

यदि मुन्नू 5 नोटबुक खरीदना चाहता है, तो $m=5$ लेकर, हम कहते हैं कि मुन्नू को स्कूल बुकस्टोर में $₹ 5 \times 5$ या $₹ 25$ ले जाना चाहिए।

आइए एक और उदाहरण लेते हैं। स्कूल में गणतंत्र दिवस समारोह के लिए, बच्चे मुख्य अतिथि की उपस्थिति में सामूहिक ड्रिल प्रदर्शन करने जा रहे हैं। वे एक पंक्ति में 10 खड़े होते हैं (चित्र 11.4)। ड्रिल में कितने बच्चे हो सकते हैं?

बच्चों की संख्या पंक्तियों की संख्या पर निर्भर करेगी। यदि चित्र 11.4 में 1 पंक्ति है, तो 10 बच्चे होंगे। यदि 2 पंक्तियाँ हैं, तो $2 \times 10$ या 20 बच्चे होंगे और इसी तरह। यदि $r$ पंक्तियाँ हैं, तो ड्रिल में $10 r$ बच्चे होंगे; यहाँ, $r$ एक चर है जो पंक्तियों की संख्या के लिए प्रयुक्त हुआ है और इसलिए मान $1,2,3,4, \ldots$ लेता है।

अब तक देखे गए सभी उदाहरणों में, चर को एक संख्या से गुणा किया गया था। विभिन्न स्थितियाँ भी हो सकती हैं जिनमें संख्याओं को चर में जोड़ा या घटाया जाता है, जैसा कि नीचे देखा गया है।

सरिता कहती है कि उसके संग्रह में अमीना से 10 और कंचे हैं। यदि अमीना के पास 20 कंचे हैं, तो सरिता के पास 30 हैं। यदि अमीना के पास 30 कंचे हैं, तो सरिता के पास 40 हैं और इसी तरह। हमें ठीक-ठीक पता नहीं है कि अमीना के पास कितने कंचे हैं। उसके पास कोई भी संख्या हो सकती है।

लेकिन हम जानते हैं कि, सरिता के कंचे $=$ अमीना के कंचे +10।

हम अमीना के कंचों को अक्षर $x$ से निरूपित करेंगे। यहाँ, $x$ एक चर है, जो कोई भी मान $1,2,3,4, \ldots, 10, \ldots, 20, \ldots, 30, \ldots$ ले सकता है। $x$ का उपयोग करके, हम लिखते हैं सरिता के कंचे $=x+10$। व्यंजक $(x+10)$ को ‘$x$ धन दस’ पढ़ा जाता है। इसका अर्थ है $x$ में 10 जोड़ा गया। यदि $x$ है तो $20,(x+10)$ 30 है। यदि $x$ है तो $30,(x+10)$ 40 है और इसी तरह।

व्यंजक $(x+10)$ को और सरल नहीं किया जा सकता।

$x+10$ को $10 x$ के साथ भ्रमित न करें, वे अलग हैं।

$10 x, x$ में, $(x+10), 10$ को 10 से गुणा किया गया है। $x$ में, $x$ को $x=2,10 x=10 \times 2=20$ में जोड़ा गया है।

हम $x+10=2+10=12$ के कुछ मानों के लिए इसे जाँच सकते हैं।

उदाहरण के लिए,

यदि $x=10,10 x=10 \times 10=100$ और $x+10=10+10=20$।

यदि $x$ और $x$।

राजू और बालू भाई हैं। बालू राजू से 3 वर्ष छोटा है। जब राजू 12 वर्ष का है, तब बालू 9 वर्ष का है। जब राजू 15 वर्ष का है, तब बालू 12 वर्ष का है। हमें राजू की आयु ठीक-ठीक पता नहीं है। यह कोई भी मान ले सकती है। मान लीजिए $x$ राजू की आयु वर्षों में निरूपित करता है, $(x-3)$ एक चर है। यदि वर्षों में राजू की आयु $(x-3)$ है, तो वर्षों में बालू की आयु $x$ है। व्यंजक $x$ को $(x-3)$ घटा तीन पढ़ा जाता है। जैसा आप अपेक्षा करेंगे, जब $x$ 12 है, तो $15,(x-3)$ 9 है और जब $T$ $\substack{— \\ | }$ है, तो $Z$ 12 है।

प्रश्नावली 11.1

1. निम्नलिखित माचिस की तीलियों के प्रतिरूप बनाने के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या देने वाला नियम ज्ञात कीजिए। नियम लिखने के लिए एक चर का प्रयोग कीजिए।

(a) अक्षर $T$ का प्रतिरूप $\substack{— \\ | }$ के रूप में
(b) अक्षर $Z$ का प्रतिरूप $\substack{— \\ / \\ —}$ के रूप में
(c) अक्षर $U$ का प्रतिरूप $\bigsqcup$ के रूप में
(d) अक्षर $V$ का प्रतिरूप $\mathbf{V}$ के रूप में
(e) अक्षर $E$ का प्रतिरूप $|\substack{- \\ - \\ -}$ के रूप में
(f) अक्षर $S$ का प्रतिरूप $|\substack{- \\ - \\ -}|$ के रूप में
(g) अक्षर $A$ का प्रतिरूप $\mathbf{|\substack{- \\ - \\ }|}$ के रूप में

2. हम पहले से ही अक्षरों L, C और F के प्रतिरूप के लिए नियम जानते हैं। प्रश्न 1 (ऊपर दिया गया) के कुछ अक्षर हमें वही नियम देते हैं जो L द्वारा दिया गया है। ये कौन से हैं? ऐसा क्यों होता है?

3. कैडेट परेड में मार्च कर रहे हैं। एक पंक्ति में 5 कैडेट हैं। पंक्तियों की संख्या दिए जाने पर कैडेटों की संख्या देने वाला नियम क्या है? (पंक्तियों की संख्या के लिए $n$ का प्रयोग कीजिए।)

4. यदि एक डिब्बे में 50 आम हैं, तो आप डिब्बों की संख्या के पदों में आमों की कुल संख्या कैसे लिखेंगे? (डिब्बों की संख्या के लिए $b$ का प्रयोग कीजिए।)

5. शिक्षक प्रति विद्यार्थी 5 पेंसिल वितरित करते हैं। क्या आप बता सकते हैं कि विद्यार्थियों की संख्या दिए जाने पर कितनी पेंसिलों की आवश्यकता होगी? (विद्यार्थियों की संख्या के लिए $s$ का प्रयोग कीजिए।)

6. एक पक्षी एक मिनट में 1 किलोमीटर उड़ता है। क्या आप मिनटों में उड़ने के समय के पदों में पक्षी द्वारा तय की गई दूरी व्यक्त कर सकते हैं? (मिनटों में उड़ने के समय के लिए $t$ का प्रयोग कीजिए।)

7. राधा चॉक पाउडर से एक बिंदु रंगोली (बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाओं का एक सुंदर प्रतिरूप) बना रही है। उसकी एक पंक्ति में 9 बिंदु हैं। $r$ पंक्तियों के लिए उसकी रंगोली में कितने बिंदु होंगे? यदि 8 पंक्तियाँ हैं तो कितने बिंदु हैं? यदि 10 पंक्तियाँ हैं तो कितने बिंदु हैं?

8. लीला राधा की छोटी बहन है। लीला राधा से 4 वर्ष छोटी है। क्या आप राधा की आयु के पदों में लीला की आयु लिख सकते हैं? राधा की आयु $x$ वर्ष मानिए।

9. माँ ने लड्डू बनाए हैं। वह कुछ लड्डू मेहमानों और परिवार के सदस्यों को देती है; फिर भी 5 लड्डू शेष रह जाते हैं। यदि माँ द्वारा दिए गए लड्डुओं की संख्या $l$ है, तो उसने कितने लड्डू बनाए थे?

10. संतरों को बड़े डिब्बों से छोटे डिब्बों में स्थानांतरित किया जाना है। जब एक बड़ा डिब्बा खाली किया जाता है, तो उसके संतरे दो छोटे डिब्बों को भरते हैं और फिर भी 10 संतरे बाहर रह जाते हैं। यदि एक छोटे डिब्बे में संतरों की संख्या $x$ मान ली जाए, तो बड़े डिब्बे में संतरों की संख्या क्या है?

11. (a) वर्गों के निम्नलिखित माचिस की तीलियों के प्रतिरूप को देखिए (चित्र 11.6)। वर्ग अलग नहीं हैं। दो निकटवर्ती वर्गों में एक उभयनिष्ठ माचिस की तीली होती है। प्रतिरूपों का अवलोकन कीजिए और वर्गों की संख्या के पदों में माचिस की तीलियों की संख्या देने वाला नियम ज्ञात कीजिए।

(संकेत: यदि आप अंत में ऊर्ध्वाधर तीली हटा दें, तो आपको Cs का एक प्रतिरूप प्राप्त होगा।)

(b) चित्र 11.7 त्रिभुजों का एक माचिस की तीलियों का प्रतिरूप देता है। प्रश्न 11 (a) के ऊपर दिए गए प्रश्न के समान, सामान्य नियम ज्ञात कीजिए जो त्रिभुजों की संख्या के पदों में माचिस की तीलियों की संख्या देता है।

हमने क्या चर्चा की?

1. हमने माचिस की तीलियों का उपयोग करके अक्षरों और अन्य आकृतियों के प्रतिरूप बनाने को देखा। हमने एक दी गई आकृति को दोहराने के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या के बीच सामान्य संबंध लिखना सीखा। एक दी गई आकृति को जितनी बार दोहराया जाता है वह परिवर्तनशील है; यह मान 1,2,3,… लेती है। यह एक चर है, जिसे किसी अक्षर जैसे $n$ से निरूपित किया जाता है।

2. एक चर विभिन्न मान लेता है, इसका मान निश्चित नहीं होता। एक वर्ग की भुजा की लंबाई कोई भी मान ले सकती है। यह एक चर है। लेकिन एक त्रिभुज के कोणों की संख्या का एक निश्चित मान 3 है। यह एक चर नहीं है।

3. हम किसी भी अक्षर $n, l, m, p, x, y, z$, इत्यादि का उपयोग एक चर को दर्शाने के लिए कर सकते हैं।

4. एक चर हमें किसी भी व्यावहारिक स्थिति में संबंध व्यक्त करने की अनुमति देता है।

5. चर संख्याएँ हैं, हालाँकि उनका मान निश्चित नहीं होता। हम उन पर जोड़, घटाव, गुणा और भाग की संक्रियाएँ उसी तरह कर सकते हैं जैसे निश्चित संख्याओं के मामले में। विभिन्न संक्रियाओं का उपयोग करके हम चरों के साथ व्यंजक बना सकते हैं जैसे $x-3, x+3,2 n, 5 m, \dfrac{p}{3}, 2 y+3,3 l-5$, इत्यादि।