11.1 ആമുഖം

ഇതുവരെയുള്ള നമ്മുടെ പഠനം സംഖ്യകളുമായും രൂപങ്ങളുമായുമായിരുന്നു. നമ്മൾ സംഖ്യകളും, സംഖ്യകളിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളും, സംഖ്യകളുടെ ഗുണങ്ങളും പഠിച്ചു. ജീവിതത്തിലെ വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് നമ്മുടെ സംഖ്യാജ്ഞാനം പ്രയോഗിച്ചു. സംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ പഠിച്ച ഗണിതശാഖ അങ്കഗണിതം ആണ്. രണ്ടും മൂന്നും മാനങ്ങളിലുള്ള രൂപങ്ങളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും നമ്മൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. രൂപങ്ങളെക്കുറിച്ച് പഠിച്ച ഗണിതശാഖ രേഖാഗണിതം ആണ്. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ മറ്റൊരു ഗണിതശാഖയുടെ പഠനം ആരംഭിക്കുന്നു. അതിനെ ബീജഗണിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നമ്മൾ പഠിക്കാൻ പോകുന്ന പുതിയ ശാഖയുടെ പ്രധാന സവിശേഷത അക്ഷരങ്ങളുടെ ഉപയോഗമാണ്. അക്ഷരങ്ങളുടെ ഉപയോഗം നിയമങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും പൊതുവായ രീതിയിൽ എഴുതാൻ നമ്മെ അനുവദിക്കും. അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു പ്രത്യേക സംഖ്യ മാത്രമല്ല, ഏത് സംഖ്യയെക്കുറിച്ചും നമുക്ക് സംസാരിക്കാനാകും. രണ്ടാമതായി, അക്ഷരങ്ങൾ അജ്ഞാത അളവുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. അജ്ഞാതങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്ന രീതികൾ പഠിച്ചുകൊണ്ട്, നമ്മൾ പസിലുകളും ദൈനംദിന ജീവിതത്തിലെ നിരവധി പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ശക്തമായ ഉപകരണങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുന്നു. മൂന്നാമതായി, അക്ഷരങ്ങൾ സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിനാൽ, സംഖ്യകളിലെന്നപോലെ അവയിലും പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം. ഇത് ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങളുടെയും അവയുടെ ഗുണങ്ങളുടെയും പഠനത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

ബീജഗണിതം നിങ്ങൾക്ക് രസകരവും ഉപയോഗപ്രദവുമാണെന്ന് കണ്ടെത്തും. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഇത് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്. ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങളുമായി നമുക്ക് നമ്മുടെ പഠനം ആരംഭിക്കാം.

11.2 തീപ്പൊരി രൂപങ്ങൾ

അമീനയും സരിതയും തീപ്പൊരികൾ കൊണ്ട് രൂപങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു. ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ അക്ഷരങ്ങളുടെ ലളിതമായ രൂപങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാൻ അവർ തീരുമാനിക്കുന്നു. അമീന രണ്ട് തീപ്പൊരികൾ എടുത്ത് L അക്ഷരം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു, ചിത്രം 11.1 (a) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ.

പിന്നെ സരിതയും രണ്ട് കമ്പികൾ എടുത്ത്, മറ്റൊരു അക്ഷരം $L$ രൂപപ്പെടുത്തി അമീന ഉണ്ടാക്കിയതിന് അടുത്തായി വയ്ക്കുന്നു [ചിത്രം 11.1 (b)].

പിന്നെ അമീന ഒരു $L$ കൂടി ചേർക്കുന്നു, ഇത് ചിത്രം 11.1 (c) ൽ ചുകപ്പുകൾ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ തുടരുന്നു.

അവരുടെ സുഹൃത്ത് അപ്പു വരുന്നു. അവൻ രൂപം നോക്കുന്നു. അപ്പു എപ്പോഴും ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കുന്നു. അവൻ പെൺകുട്ടികളോട് ചോദിക്കുന്നു, “ഏഴ് L-കൾ ഉണ്ടാക്കാൻ എത്ര തീപ്പൊരികൾ ആവശ്യമാണ്”? അമീനയും സരിതയും ക്രമപ്പെടുത്തിയവരാണ്. അവർ 1L, 2Ls, 3Ls എന്നിവയുമായി രൂപങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നത് തുടരുകയും ഒരു പട്ടിക തയ്യാറാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

പട്ടിക 1

പട്ടിക 1 ൽ നിന്ന് അപ്പുവിന് തന്റെ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നു; 7 L-കൾക്ക് 14 തീപ്പൊരികൾ ആവശ്യമാണ്.

പട്ടിക എഴുതുമ്പോൾ, ആവശ്യമായ തീപ്പൊരികളുടെ എണ്ണം രൂപപ്പെടുത്തിയ L-കളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണെന്ന് അമീന മനസ്സിലാക്കുന്നു.

ആവശ്യമായ തീപ്പൊരികളുടെ എണ്ണം $=2 \times$ L-കളുടെ എണ്ണം.

സൗകര്യത്തിനായി, L-കളുടെ എണ്ണത്തിന് $n$ എന്ന അക്ഷരം എഴുതാം. ഒരു $\mathrm{L}$ ഉണ്ടാക്കിയാൽ, $n=1$; രണ്ട് L-കൾ ഉണ്ടാക്കിയാൽ, $n=2$ എന്നിങ്ങനെ; അങ്ങനെ, $n$ ഏത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും $1,2,3,4,5, \ldots$ ആകാം. അപ്പോൾ നമ്മൾ എഴുതുന്നു, ആവശ്യമായ തീപ്പൊരികളുടെ എണ്ണം $=2 \times n$.

$2 \times n$ എഴുതുന്നതിന് പകരം, നമ്മൾ $2 n$ എഴുതുന്നു. $2 n$ എന്നത് $2 \times n$ എന്നതിന് തുല്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഏത് എണ്ണം L-കൾ രൂപപ്പെടുത്താനും ആവശ്യമായ തീപ്പൊരികളുടെ എണ്ണം അവളുടെ നിയമം നൽകുന്നുവെന്ന് അമീന അവളുടെ സുഹൃത്തുക്കളോട് പറയുന്നു.

അങ്ങനെ, $n=1$ ന്, ആവശ്യമായ തീപ്പൊരികളുടെ എണ്ണം $=2 \times 1=2$

$n=2$ ന്, ആവശ്യമായ തീപ്പൊരികളുടെ എണ്ണം $=2 \times 2=4$

$n=3$ ന്, ആവശ്യമായ തീപ്പൊരികളുടെ എണ്ണം $=2 \times 3=6$ എന്നിങ്ങനെ.

ഈ സംഖ്യകൾ പട്ടിക 1 ൽ നിന്നുള്ളവയുമായി യോജിക്കുന്നു.

സരിത പറയുന്നു, “നിയമം വളരെ ശക്തമാണ്! നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, $100 Ls$ പോലും രൂപപ്പെടുത്താൻ എത്ര തീപ്പൊരികൾ ആവശ്യമാണെന്ന് എനിക്ക് പറയാനാകും. ഒരിക്കൽ നിയമം അറിയപ്പെട്ടാൽ, രൂപം വരയ്ക്കുകയോ പട്ടിക ഉണ്ടാക്കുകയോ ചെയ്യേണ്ടതില്ല”.

നിങ്ങൾ സരിതയോട് യോജിക്കുന്നുണ്ടോ?

11.3 ഒരു ചരത്തിന്റെ ആശയം

മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിൽ, L-കളുടെ ഒരു രൂപം ഉണ്ടാക്കാൻ ആവശ്യമായ തീപ്പൊരികളുടെ എണ്ണം നൽകുന്ന ഒരു നിയമം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. നിയമം ഇതായിരുന്നു:

ആവശ്യമായ തീപ്പൊരികളുടെ എണ്ണം $=\mathbf{2} \boldsymbol{{}n}$

ഇവിടെ, $n$ എന്നത് രൂപത്തിലെ L-കളുടെ എണ്ണമാണ്, കൂടാതെ $n$ $1,2,3,4, \ldots$ എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. നമുക്ക് പട്ടിക 1 ഒരിക്കൽ കൂടി നോക്കാം. പട്ടികയിൽ, $n$ ന്റെ മൂല്യം മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നു (വർദ്ധിക്കുന്നു). അതിന്റെ ഫലമായി, ആവശ്യമായ തീപ്പൊരികളുടെ എണ്ണവും മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നു (വർദ്ധിക്കുന്നു).

$\boldsymbol{n}$ ഒരു ചരത്തിന്റെ ഉദാഹരണമാണ്. അതിന്റെ മൂല്യം നിശ്ചിതമല്ല; അതിന് ഏത് മൂല്യവും $\mathbf{1,2,3,4,} \ldots$ എടുക്കാം. ചരം $\boldsymbol{n}$ ഉപയോഗിച്ച് ആവശ്യമായ തീപ്പൊരികളുടെ എണ്ണത്തിനുള്ള നിയമം ഞങ്ങൾ എഴുതി.

‘ചരം’ എന്ന വാക്കിനർത്ഥം മാറ്റം വരുത്താനാകുന്ന എന്തെങ്കിലും, അതായത് മാറ്റം. ഒരു ചരത്തിന്റെ മൂല്യം നിശ്ചിതമല്ല. അതിന് വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം.

ചരങ്ങളെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ അറിയാൻ തീപ്പൊരി രൂപങ്ങളുടെ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

11.4 കൂടുതൽ തീപ്പൊരി രൂപങ്ങൾ

അമീനയും സരിതയും തീപ്പൊരി രൂപങ്ങളിൽ വളരെ താൽപ്പര്യം കാണിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ അവർ $C$ അക്ഷരത്തിന്റെ ഒരു രൂപം പരീക്ഷിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഒരു $C$ ഉണ്ടാക്കാൻ, അവർ ചിത്രം 11.2(a) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ മൂന്ന് തീപ്പൊരികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പട്ടിക 2 C-കളുടെ ഒരു രൂപം ഉണ്ടാക്കാൻ ആവശ്യമായ തീപ്പൊരികളുടെ എണ്ണം നൽകുന്നു.

പട്ടിക 2

പട്ടികയിൽ ശൂന്യമായി വിട്ടിരിക്കുന്ന എൻട്രികൾ നിങ്ങൾക്ക് പൂർത്തിയാക്കാമോ?

സരിത ഈ നിയമം മുന്നോട്ട് വയ്ക്കുന്നു:

ആവശ്യമായ തീപ്പൊരികളുടെ എണ്ണം $=\mathbf{3} \boldsymbol{{}n}$

C-കളുടെ എണ്ണത്തിനായി അവൾ $n$ എന്ന അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ചു; $n$ ഒരു ചരമാണ്, അത് $1,2,3,4, \ldots$ എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു

നിങ്ങൾ സരിതയോട് യോജിക്കുന്നുണ്ടോ?

$3 n$ എന്നത് $3 \times n$ എന്നതിന് തുല്യമാണെന്ന് ഓർക്കുക.

അടുത്തതായി, അമീനയും സരിതയും F-കളുടെ ഒരു രൂപം ഉണ്ടാക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. അവർ ചിത്രം 11.3(a) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ 4 തീപ്പൊരികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു F ഉണ്ടാക്കുന്നു.

$F$ എന്നിവയുടെ രൂപങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാനുള്ള നിയമം ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാമോ?

മറ്റ് അക്ഷരമാലാ അക്ഷരങ്ങളെയും തീപ്പൊരികളിൽ നിന്ന് ഉണ്ടാക്കാവുന്ന മറ്റ് രൂപങ്ങളെയും കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, U $(\bigsqcup)$, V (\/), ത്രികോണം ($\triangle$), ചതുരം ($\square$) മുതലായവ. ഏതെങ്കിലും അഞ്ച് തിരഞ്ഞെടുത്ത് അവയുമായി തീപ്പൊരി രൂപങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാനുള്ള നിയമങ്ങൾ എഴുതുക.

11.5 ചരങ്ങളുടെ കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഒരു ചരം കാണിക്കാൻ $n$ എന്ന അക്ഷരം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട്. രാജു ചോദിക്കുന്നു, “എന്തുകൊണ്ട് $m$ അല്ല”? $n$ ന് പ്രത്യേകതയൊന്നുമില്ല, ഏത് അക്ഷരവും ഉപയോഗിക്കാം.

ഒരു ചരം കാണിക്കാൻ ആർക്കും ഏത് അക്ഷരവും $m, l, p, x, y, z$ മുതലായവ ഉപയോഗിക്കാം. ഓർക്കുക, ഒരു ചരം എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യമില്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യ 5 അല്ലെങ്കിൽ സംഖ്യ 100 അല്ലെങ്കിൽ മറ്റേതെങ്കിലും നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യ ഒരു ചരമല്ല. അവയ്ക്ക് നിശ്ചിത മൂല്യങ്ങളുണ്ട്. അതുപോലെ, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകളുടെ എണ്ണത്തിന് ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യമുണ്ട്, അതായത് 3. അതൊരു ചരമല്ല. ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ (4) കോണുകളുടെ എണ്ണം നിശ്ചിതമാണ്; അതും ഒരു ചരമല്ല. പക്ഷേ $\boldsymbol{{}n}$ ഞങ്ങൾ നോക്കിയ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഒരു ചരമാണ്. അത് വിവിധ മൂല്യങ്ങൾ $1,2,3,4, \ldots$ എടുക്കുന്നു.

ഇനി നമുക്ക് കൂടുതൽ പരിചിതമായ സാഹചര്യത്തിൽ ചരങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം.

വിദ്യാർത്ഥികൾ സ്കൂൾ ബുക്ക്സ്റ്റോറിൽ നിന്ന് നോട്ട്ബുക്കുകൾ വാങ്ങാൻ പോയി. ഒരു നോട്ട്ബുക്കിന്റെ വില ₹ 5 ആണ്. മുന്നുവിന് 5 നോട്ട്ബുക്കുകൾ വാങ്ങണം, അപ്പുവിന് 7 നോട്ട്ബുക്കുകൾ വാങ്ങണം, സാരയ്ക്ക് 4 നോട്ട്ബുക്കുകൾ വാങ്ങണം എന്നിങ്ങനെ. ഒരു വിദ്യാർത്ഥി നോട്ട്ബുക്കുകൾ വാങ്ങാൻ ബുക്ക്സ്റ്റോറിലേക്ക് പോകുമ്പോൾ എത്ര പണം കൊണ്ടുപോകണം?

ഇത് വിദ്യാർത്ഥി എത്ര നോട്ട്ബുക്കുകൾ വാങ്ങാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. വിദ്യാർത്ഥികൾ ഒരു പട്ടിക തയ്യാറാക്കാൻ ഒരുമിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

പട്ടിക 3

$m$ എന്ന അക്ഷരം ഒരു വിദ്യാർത്ഥി വാങ്ങാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന നോട്ട്ബുക്കുകളുടെ എണ്ണത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു; $m$ ഒരു ചരമാണ്, അതിന് ഏത് മൂല്യവും $1,2,3,4, \ldots$ എടുക്കാം. $m$ നോട്ട്ബുക്കുകളുടെ ആകെ ചെലവ് ഈ നിയമം നൽകുന്നു:

രൂപയിലെ ആകെ ചെലവ് $=5 \times$ ആവശ്യമായ നോട്ട്ബുക്കുകളുടെ എണ്ണം

$ =5 m $

മുന്നുവിന് 5 നോട്ട്ബുക്കുകൾ വാങ്ങണമെങ്കിൽ, $m=5$ എടുക്കുമ്പോൾ, മുന്നു സ്കൂൾ ബുക്ക്സ്റ്റോറിലേക്ക് $₹ 5 \times 5$ അല്ലെങ്കിൽ $₹ 25$ കൊണ്ടുപോകണമെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു.

ഇനി ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി എടുക്കാം. സ്കൂളിലെ റിപ്പബ്ലിക് ദിനാഘോഷത്തിന്, ചീഫ് ഗെസ്റ്റിന്റെ സാന്നിധ്യത്തിൽ കുട്ടികൾ മാസ് ഡ്രിൽ അവതരിപ്പിക്കാൻ പോകുന്നു. അവർ ഒരു വരിയിൽ 10 പേർ നിൽക്കുന്നു (ചിത്രം 11.4). ഡ്രില്ലിൽ എത്ര കുട്ടികൾ ഉണ്ടാകാം?

കുട്ടികളുടെ എണ്ണം വരികളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. ചിത്രം 11.4 ൽ 1 വരിയാണെങ്കിൽ, 10 കുട്ടികൾ ഉണ്ടാകും. 2 വരികളാണെങ്കിൽ, $2 \times 10$ അല്ലെങ്കിൽ 20 കുട്ടികൾ ഉണ്ടാകും എന്നിങ്ങനെ. $r$ വരികളാണെങ്കിൽ, ഡ്രില്ലിൽ $10 r$ കുട്ടികൾ ഉണ്ടാകും; ഇവിടെ, $r$ എന്നത് വരികളുടെ എണ്ണത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു ചരമാണ്, അതിനാൽ $1,2,3,4, \ldots$ എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു.

ഇതുവരെ കണ്ട എല്ലാ ഉദാഹരണങ്ങളിലും, ചരത്തെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചിരുന്നു. താഴെ കാണുന്നതുപോലെ സംഖ്യകൾ ചരത്തിലേക്ക് ചേർക്കുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുന്ന വ്യത്യസ്ത സാഹചര്യങ്ങളും ഉണ്ടാകാം.

തന്റെ ശേഖരത്തിൽ അമീനയുടേതിനേക്കാൾ 10 കൂടുതൽ മാർബിളുകൾ ഉണ്ടെന്ന് സരിത പറയുന്നു. അമീനയ്ക്ക് 20 മാർബിളുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, സരിതയ്ക്ക് 30 ഉണ്ട്. അമീനയ്ക്ക് 30 മാർബിളുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, സരിതയ്ക്ക് 40 ഉണ്ട് എന്നിങ്ങനെ. അമീനയ്ക്ക് കൃത്യമായി എത്ര മാർബിളുകൾ ഉണ്ടെന്ന് നമുക്കറിയില്ല. അവൾക്ക് ഏത് സംഖ്യയിലുള്ള മാർബിളുകളും ഉണ്ടാകാം.

പക്ഷേ, സരിതയുടെ മാർബിളുകൾ $=$ അമീനയുടെ മാർബിളുകൾ +10 എന്ന് നമുക്കറിയാം.

അമീനയുടെ മാർബിളുകൾ $x$ എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കാം. ഇവിടെ, $x$ ഒരു ചരമാണ്, അതിന് ഏത് മൂല്യവും $1,2,3,4, \ldots, 10, \ldots, 20, \ldots, 30, \ldots$ എടുക്കാം. $x$ ഉപയോഗിച്ച്, നമ്മൾ സരിതയുടെ മാർബിളുകൾ $=x+10$ എന്ന് എഴുതുന്നു. $(x+10)$ എന്ന പദപ്രയോഗം ‘$x$ പ്ലസ് പത്ത്’ എന്ന് വായിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം $x$ ലേക്ക് 10 ചേർത്തതാണ്. $x$ ആണെങ്കിൽ $20,(x+10)$ 30 ആണ്. $x$ ആണെങ്കിൽ $30,(x+10)$ 40 ആണ് എന്നിങ്ങനെ.

$(x+10)$ എന്ന പദപ്രയോഗം കൂടുതൽ ലഘൂകരിക്കാൻ കഴിയില്ല.

$x+10$ നെ $10 x$ ഉപയോഗിച്ച് ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്, അവ വ്യത്യസ്തമാണ്.

$10 x, x$ ൽ, $(x+10), 10$ നെ 10 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു. $x$ ൽ, $x$ ലേക്ക് 10 ചേർത്തിരിക്കുന്നു.

$x=2,10 x=10 \times 2=20$ ന്റെ ചില മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ ഇത് പരിശോധിച്ചേക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്,

$x+10=2+10=12$ ആണെങ്കിൽ $x=10,10 x=10 \times 10=100$.

$x+10=10+10=20$ ആണെങ്കിൽ $x$.

രാജുവും ബാലുവും സഹോദരന്മാരാണ്. രാജുവിനേക്കാൾ 3 വയസ്സ് ഇളയവനാണ് ബാലു. രാജുവിന് 12 വയസ്സാകുമ്പോൾ, ബാലുവിന് 9 വയസ്സാണ്. രാജുവിന് 15 വയസ്സാകുമ്പോൾ, ബാലുവിന് 12 വയസ്സാണ്. രാജുവിന്റെ പ്രായം കൃത്യമായി നമുക്കറിയില്ല. അതിന് ഏത് മൂല്യവും ഉണ്ടാകാം. $x$ വർഷങ്ങളിലെ രാജുവിന്റെ പ്രായത്തെ സൂചിപ്പിക്കട്ടെ, $x$ ഒരു ചരമാണ്. വർഷങ്ങളിലെ രാജുവിന്റെ പ്രായം $(x-3)$ ആണെങ്കിൽ, വർഷങ്ങളിലെ ബാലുവിന്റെ പ്രായം $(x-3)$ ആണ്. $x$ എന്ന പദപ്രയോഗം $x$ മൈനസ് ത്രീ എന്ന് വായിക്കുന്നു. നിങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നതുപോലെ, $(x-3)$ 12 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, $x$ 9 ആണ്, $15,(x-3)$ ആയിരിക്കുമ്പോൾ $T$ 12 ആണ്.

അഭ്യാസം 11.1

1. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന തീപ്പൊരി രൂപങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാൻ ആവശ്യമായ തീപ്പൊരികളുടെ എണ്ണം നൽകുന്ന നിയമം കണ്ടെത്തുക. നിയമം എഴുതാൻ ഒരു ചരം ഉപയോഗിക്കുക.

(a) $\substack{— \\ | }$ ആയി $T$ അക്ഷരത്തിന്റെ ഒരു രൂപം
(b) $\substack{— \\ / \\ —}$ ആയി $Z$ അക്ഷരത്തിന്റെ ഒരു രൂപം
(c) $\bigsqcup$ ആയി $U$ അക്ഷരത്തിന്റെ ഒരു രൂപം
(d) $\mathbf{V}$ ആയി $V$ അക്ഷരത്തിന്റെ ഒരു രൂപം
(e) $|\substack{- \\ - \\ -}$ ആയി $E$ അക്ഷരത്തിന്റെ ഒരു രൂപം
(f) $|\substack{- \\ - \\ -}|$ ആയി $S$ അക്ഷരത്തിന്റെ ഒരു രൂപം
(g) $\mathbf{|\substack{- \\ - \\ }|}$ ആയി $A$ അക്ഷരത്തിന്റെ ഒരു രൂപം

2. L, C, F എന്നീ അക്ഷരങ്ങളുടെ രൂപത്തിനുള്ള നിയമം നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാം. ചോദ്യം 1 ൽ നിന്നുള്ള ചില അക്ഷരങ്ങൾ L നൽകുന്ന അതേ നിയമം തന്നെ നമുക്ക് നൽകുന്നു. ഇവ ഏതാണ്? ഇത് എന്തുകൊണ്ട് സംഭവ