11.1 પ્રસ્તાવના

અત્યાર સુધીનો અમારો અભ્યાસ સંખ્યાઓ અને આકારો સાથે રહ્યો છે. અમે સંખ્યાઓ, સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓ અને સંખ્યાઓના ગુણધર્મો શીખ્યા છે. અમે જીવનની વિવિધ સમસ્યાઓમાં સંખ્યાઓનું જ્ઞાન લાગુ પાડ્યું છે. ગણિતની જે શાખામાં આપણે સંખ્યાઓનો અભ્યાસ કર્યો છે તે અંકગણિત છે. આપણે બે અને ત્રણ પરિમાણોમાં આકૃતિઓ અને તેમના ગુણધર્મો વિશે પણ શીખ્યા છીએ. ગણિતની જે શાખામાં આપણે આકારોનો અભ્યાસ કર્યો છે તે ભૂમિતિ છે. હવે આપણે ગણિતની બીજી શાખાનો અભ્યાસ શરૂ કરીએ છીએ. તેને બીજગણિત કહેવામાં આવે છે.

આપણે જે નવી શાખાનો અભ્યાસ કરવા જઈ રહ્યા છીએ તેની મુખ્ય વિશેષતા અક્ષરોનો ઉપયોગ છે. અક્ષરોનો ઉપયોગ આપણને નિયમો અને સૂત્રોને સામાન્ય રીતે લખવાની મંજૂરી આપશે. અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે કોઈપણ સંખ્યા વિશે વાત કરી શકીએ છીએ અને માત્ર કોઈ ચોક્કસ સંખ્યા વિશે જ નહીં. બીજું, અક્ષરો અજ્ઞાત માત્રાઓ માટે ઊભા રહી શકે છે. અજ્ઞાત નક્કી કરવાની પદ્ધતિઓ શીખીને, આપણે કોયડાઓ અને રોજિંદા જીવનની ઘણી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે શક્તિશાળી સાધનો વિકસાવીએ છીએ. ત્રીજું, કારણ કે અક્ષરો સંખ્યાઓ માટે ઊભા રહે છે, તેમના પર સંખ્યાઓની જેમ ક્રિયાઓ કરી શકાય છે. આ બીજગણિતીય સમીકરણો અને તેમના ગુણધર્મોના અભ્યાસ તરફ દોરી જાય છે.

તમને બીજગણિત રસપ્રદ અને ઉપયોગી લાગશે. સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં તે ખૂબ જ ઉપયોગી છે. ચાલો સરળ ઉદાહરણો સાથે અમારો અભ્યાસ શરૂ કરીએ.

11.2 સળગતી કાચડીની આકૃતિઓ

અમીના અને સરિતા સળગતી કાચડીઓ સાથે આકૃતિઓ બનાવી રહ્યાં છે. તેઓએ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરના અક્ષરોની સરળ આકૃતિઓ બનાવવાનું નક્કી કર્યું છે. અમીના બે સળગતી કાચડીઓ લે છે અને અક્ષર L બનાવે છે જેમ કે આકૃતિ 11.1 (a) માં બતાવ્યા પ્રમાણે.

પછી સરિતા પણ બે કાચડીઓ લે છે, બીજો અક્ષર $L$ બનાવે છે અને તેને અમીના દ્વારા બનાવેલીની બાજુમાં મૂકે છે [આકૃતિ 11.1 (b)].

પછી અમીના વધુ એક $L$ ઉમેરે છે અને આ આકૃતિ 11.1 (c) માં બિંદુઓ દ્વારા બતાવ્યા પ્રમાણે ચાલુ રહે છે.

તેમના મિત્ર અપ્પુ અંદર આવે છે. તે આકૃતિ જુએ છે. અપ્પુ હંમેશા પ્રશ્નો પૂછે છે. તે છોકરીઓને પૂછે છે, “સાત L બનાવવા માટે કેટલી સળગતી કાચડીઓની જરૂર પડશે”? અમીના અને સરિતા વ્યવસ્થિત છે. તેઓ 1L, 2Ls, 3Ls, અને તેથી આગળની આકૃતિઓ બનાવવાનું ચાલુ રાખે છે અને એક કોષ્ટક તૈયાર કરે છે.

કોષ્ટક 1

અપ્પુને કોષ્ટક 1 માંથી તેના પ્રશ્નનો જવાબ મળે છે; 7 L બનાવવા માટે 14 સળગતી કાચડીઓની જરૂર છે.

કોષ્ટક લખતી વખતે, અમીનાને ખ્યાલ આવે છે કે જરૂરી સળગતી કાચડીઓની સંખ્યા બનેલા L ની સંખ્યા કરતા બમણી છે.

સળગતી કાચડીઓની જરૂરી સંખ્યા $=2 \times$ L ની સંખ્યા.

સગવડ માટે, ચાલો L ની સંખ્યા માટે અક્ષર $n$ લખીએ. જો એક $\mathrm{L}$ બનાવવામાં આવે, તો $n=1$; જો બે L બનાવવામાં આવે, તો $n=2$ અને તેથી આગળ; આમ, $n$ કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $1,2,3,4,5, \ldots$ હોઈ શકે છે. આપણે પછી લખીએ છીએ, સળગતી કાચડીઓની જરૂરી સંખ્યા $=2 \times n$.

$2 \times n$ લખવાને બદલે, આપણે $2 n$ લખીએ છીએ. નોંધ કરો કે $2 n$ એ $2 \times n$ જેવું જ છે.

અમીના તેના મિત્રોને કહે છે કે તેનો નિયમ કોઈપણ સંખ્યામાં L બનાવવા માટે જરૂરી સળગતી કાચડીઓની સંખ્યા આપે છે.

આમ, $n=1$ માટે, જરૂરી સળગતી કાચડીઓની સંખ્યા $=2 \times 1=2$

$n=2$ માટે, જરૂરી સળગતી કાચડીઓની સંખ્યા $=2 \times 2=4$

$n=3$ માટે, જરૂરી સળગતી કાચડીઓની સંખ્યા $=2 \times 3=6$ વગેરે.

આ સંખ્યાઓ કોષ્ટક 1 માંથી મેળવેલી સંખ્યાઓ સાથે સંમત છે.

સરિતા કહે છે, “નિયમ ખૂબ શક્તિશાળી છે! નિયમનો ઉપયોગ કરીને, હું કહી શકું છું કે $100 Ls$ બનાવવા માટે કેટલી સળગતી કાચડીઓની જરૂર છે. એકવાર નિયમ જાણી લીધા પછી, મારે આકૃતિ દોરવાની અથવા કોષ્ટક બનાવવાની જરૂર નથી.”

શું તમે સરિતા સાથે સહમત છો?

11.3 ચલનો વિચાર

ઉપરના ઉદાહરણમાં, આપણે L ની આકૃતિ બનાવવા માટે જરૂરી સળગતી કાચડીઓની સંખ્યા આપવા માટે એક નિયમ શોધ્યો. નિયમ હતો:

સળગતી કાચડીઓની જરૂરી સંખ્યા $=\mathbf{2} \boldsymbol{{}n}$

અહીં, $n$ એ આકૃતિમાં L ની સંખ્યા છે, અને $n$ $1,2,3,4, \ldots$ મૂલ્યો લે છે. ચાલો કોષ્ટક 1 ને ફરી એકવાર જોઈએ. કોષ્ટકમાં, $n$ નું મૂલ્ય બદલાતું રહે છે (વધતું જાય છે). પરિણામે, જરૂરી સળગતી કાચડીઓની સંખ્યા પણ બદલાતી રહે છે (વધતી જાય છે).

$\boldsymbol{n}$ એ ચલનું ઉદાહરણ છે. તેનું મૂલ્ય સ્થિર નથી; તે કોઈપણ મૂલ્ય $\mathbf{1,2,3,4,} \ldots$ લઈ શકે છે. આપણે ચલ $\boldsymbol{n}$ નો ઉપયોગ કરીને જરૂરી સળગતી કાચડીઓની સંખ્યા માટેનો નિયમ લખ્યો.

‘ચલ’ શબ્દનો અર્થ એવી કોઈ વસ્તુ છે જે બદલાઈ શકે, એટલે કે પરિવર્તન થઈ શકે. ચલનું મૂલ્ય સ્થિર નથી. તે વિવિધ મૂલ્યો લઈ શકે છે.

ચલ વિશે વધુ જાણવા માટે આપણે સળગતી કાચડીની આકૃતિઓનું બીજું ઉદાહરણ જોઈશું.

11.4 સળગતી કાચડીની વધુ આકૃતિઓ

અમીના અને સરિતા સળગતી કાચડીની આકૃતિઓમાં ખૂબ રસ લેતા થઈ ગયા છે. હવે તેઓ અક્ષર $C$ ની આકૃતિ અજમાવવા માંગે છે. એક $C$ બનાવવા માટે, તેઓ ત્રણ સળગતી કાચડીઓનો ઉપયોગ કરે છે જેમ કે આકૃતિ 11.2(a) માં બતાવ્યા પ્રમાણે.

કોષ્ટક 2 C ની આકૃતિ બનાવવા માટે જરૂરી સળગતી કાચડીઓની સંખ્યા આપે છે.

કોષ્ટક 2

શું તમે કોષ્ટકમાં ખાલી છોડેલી એન્ટ્રીઓ પૂર્ણ કરી શકો છો?

સરિતા નિયમ સાથે આવે છે:

સળગતી કાચડીઓની જરૂરી સંખ્યા $=\mathbf{3} \boldsymbol{{}n}$

તેણે C ની સંખ્યા માટે અક્ષર $n$ નો ઉપયોગ કર્યો છે; $n$ એ એક ચલ છે જે $1,2,3,4, \ldots$ મૂલ્યો લે છે

શું તમે સરિતા સાથે સહમત છો?

યાદ રાખો $3 n$ એ $3 \times n$ જેવું જ છે.

આગળ, અમીના અને સરિતા F ની આકૃતિ બનાવવા માંગે છે. તેઓ 4 સળગતી કાચડીઓનો ઉપયોગ કરીને એક F બનાવે છે જેમ કે આકૃતિ 11.3(a) માં બતાવ્યા પ્રમાણે.

શું તમે હવે $F$ ની આકૃતિઓ બનાવવાનો નિયમ લખી શકો છો?

મૂળાક્ષરના અન્ય અક્ષરો અને સળગતી કાચડીઓથી બનાવી શકાય તેવા અન્ય આકારો વિશે વિચારો. ઉદાહરણ તરીકે, U $(\bigsqcup)$, V (\/), ત્રિકોણ ($\triangle$), ચોરસ ($\square$) વગેરે. કોઈપણ પાંચ પસંદ કરો અને તેમની સાથે સળગતી કાચડીની આકૃતિઓ બનાવવાના નિયમો લખો.

11.5 ચલોના વધુ ઉદાહરણો

આપણે ચલ બતાવવા માટે અક્ષર $n$ નો ઉપયોગ કર્યો છે. રાજુ પૂછે છે, “$m$ કેમ નહીં”? $n$ માં કંઈ ખાસ નથી, કોઈપણ અક્ષરનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

કોઈપણ અક્ષર $m, l, p, x, y, z$ વગેરેનો ઉપયોગ ચલ બતાવવા માટે કરી શકાય છે. યાદ રાખો, ચલ એ એક સંખ્યા છે જેનું નિશ્ચિત મૂલ્ય નથી. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા 5 અથવા સંખ્યા 100 અથવા કોઈપણ અન્ય આપેલ સંખ્યા ચલ નથી. તેમનાં નિશ્ચિત મૂલ્યો છે. તે જ રીતે, ત્રિકોણના ખૂણાઓની સંખ્યાનું નિશ્ચિત મૂલ્ય છે એટલે કે 3. તે ચલ નથી. ચતુષ્કોણ (4) ના ખૂણાઓની સંખ્યા નિશ્ચિત છે; તે પણ ચલ નથી. પરંતુ $\boldsymbol{{}n}$ આપણે જોયેલા ઉદાહરણોમાં એક ચલ છે. તે વિવિધ મૂલ્યો $1,2,3,4, \ldots$ લે છે.

ચાલો હવે વધુ પરિચિત પરિસ્થિતિમાં ચલોને ધ્યાનમાં લઈએ.

વિદ્યાર્થીઓએ શાળાના પુસ્તકાલયમાંથી નોટબુક ખરીદવા જવું હતું. એક નોટબુકની કિંમત ₹ 5 છે. મુન્નુ 5 નોટબુક ખરીદવા માંગે છે, અપ્પુ 7 નોટબુક ખરીદવા માંગે છે, સારા 4 નોટબુક ખરીદવા માંગે છે અને તેથી આગળ. જ્યારે તે અથવા તે નોટબુક ખરીદવા પુસ્તકાલયમાં જાય ત્યારે વિદ્યાર્થીને કેટલા પૈસા સાથે લઈ જવા જોઈએ?

આ વિદ્યાર્થી કેટલી નોટબુક ખરીદવા માંગે છે તેના પર આધાર રાખશે. વિદ્યાર્થીઓ મળીને કોષ્ટક તૈયાર કરવા માટે કામ કરે છે.

કોષ્ટક 3

અક્ષર $m$ એ વિદ્યાર્થી જેટલી નોટબુક ખરીદવા માંગે છે તે સંખ્યા માટે ઊભો રહે છે; $m$ એક ચલ છે, જે કોઈપણ મૂલ્ય $1,2,3,4, \ldots$ લઈ શકે છે. $m$ નોટબુકની કુલ કિંમત નીચેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:

રૂપિયામાં કુલ કિંમત $=5 \times$ જરૂરી નોટબુકની સંખ્યા

$ =5 m $

જો મુન્નુ 5 નોટબુક ખરીદવા માંગે છે, તો $m=5$ લઈને, આપણે કહીશું કે મુન્નુએ શાળાના પુસ્તકાલયમાં $₹ 5 \times 5$ અથવા $₹ 25$ સાથે લઈ જવા જોઈએ.

ચાલો એક વધુ ઉદાહરણ લઈએ. શાળામાં ગણતંત્ર દિવસની ઉજવણી માટે, બાળકો મુખ્ય અતિથિની હાજરીમાં માસ ડ્રિલ કરવાના છે. તેઓ એક હારમાં 10 ઊભા રહે છે (આકૃતિ 11.4). ડ્રિલમાં કેટલા બાળકો હોઈ શકે?

બાળકોની સંખ્યા હારની સંખ્યા પર આધારિત હશે. જો આકૃતિ 11.4 માં 1 હાર હોય, તો 10 બાળકો હશે. જો 2 હાર હોય, તો $2 \times 10$ અથવા 20 બાળકો હશે અને તેથી આગળ. જો $r$ હાર હોય, તો ડ્રિલમાં $10 r$ બાળકો હશે; અહીં, $r$ એ એક ચલ છે જે હારની સંખ્યા માટે ઊભો રહે છે અને તેથી $1,2,3,4, \ldots$ મૂલ્યો લે છે.

અત્યાર સુધી જોયેલા તમામ ઉદાહરણોમાં, ચલને એક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. ત્યાં વિવિધ પરિસ્થિતિઓ પણ હોઈ શકે છે જેમાં સંખ્યાઓ ચલમાં ઉમેરવામાં અથવા બાદ કરવામાં આવે છે જેમ કે નીચે જોયા મુજબ.

સરિતા કહે છે કે તેના સંગ્રહમાં અમીના કરતાં 10 વધુ ગોટા છે. જો અમીનાની પાસે 20 ગોટા હોય, તો સરિતાની પાસે 30 છે. જો અમીનાની પાસે 30 ગોટા હોય, તો સરિતાની પાસે 40 છે અને તેથી આગળ. આપણને ચોક્કસ ખબર નથી કે અમીનાની પાસે કેટલા ગોટા છે. તેણીની પાસે કોઈપણ સંખ્યામાં ગોટા હોઈ શકે છે.

પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે, સરિતાના ગોટા $=$ અમીનાના ગોટા +10.

અમે અમીનાના ગોટાઓને અક્ષર $x$ દ્વારા દર્શાવીશું. અહીં, $x$ એક ચલ છે, જે કોઈપણ મૂલ્ય $1,2,3,4, \ldots, 10, \ldots, 20, \ldots, 30, \ldots$ લઈ શકે છે. $x$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે સરિતાના ગોટા $=x+10$ લખીએ છીએ. સમીકરણ $(x+10)$ ને ‘$x$ વત્તા દસ’ તરીકે વાંચવામાં આવે છે. તેનો અર્થ $x$ માં 10 ઉમેરવામાં આવ્યા છે. જો $x$ $20,(x+10)$ છે તો 30 છે. જો $x$ $30,(x+10)$ છે તો 40 છે અને તેથી આગળ.

સમીકરણ $(x+10)$ આગળ સરળ બનાવી શકાતું નથી.

$x+10$ ને $10 x$ સાથે ગૂંચવશો નહીં, તે અલગ છે.

$10 x, x$ માં 10 વડે ગુણાકાર થાય છે. $(x+10), 10$ માં $x$ માં ઉમેરવામાં આવે છે.

આપણે $x$ ના કેટલાક મૂલ્યો માટે આ તપાસી શકીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે,

જો $x=2,10 x=10 \times 2=20$ અને $x+10=2+10=12$.

જો $x=10,10 x=10 \times 10=100$ અને $x+10=10+10=20$.

રાજુ અને બાલુ ભાઈઓ છે. બાલુ રાજુ કરતાં 3 વર્ષ નાનો છે. જ્યારે રાજુ 12 વર્ષનો હોય ત્યારે બાલુ 9 વર્ષનો હોય છે. જ્યારે રાજુ 15 વર્ષનો હોય ત્યારે બાલુ 12 વર્ષનો હોય છે. આપણને રાજુની ઉંમર ચોક્કસ ખબર નથી. તે કોઈપણ મૂલ્ય ધરાવી શકે છે. ચાલો $x$ વર્ષમાં રાજુની ઉંમર દર્શાવે, $x$ એક ચલ છે. જો વર્ષોમાં રાજુની ઉંમર $x$ હોય, તો વર્ષોમાં બાલુની ઉંમર $(x-3)$ છે. સમીકરણ $(x-3)$ ને $x$ ઓછા ત્રણ તરીકે વાંચવામાં આવે છે. જેમ તમે અપેક્ષા રાખશો, જ્યારે $x$ 12 હોય, $(x-3)$ 9 હોય અને જ્યારે $x$ $15,(x-3)$ હોય ત્યારે 12 હોય.

કસરત 11.1

1. નીચેની સળગતી કાચડીની આકૃતિઓ બનાવવા માટે જરૂરી સળગતી કાચડીઓની સંખ્યા આપતો નિયમ શોધો. નિયમ લખવા માટે ચલનો ઉપયોગ કરો.

(a) અક્ષર $T$ ની આકૃતિ $\substack{— \\ | }$ તરીકે
(b) અક્ષર $Z$ ની આકૃતિ $\substack{— \\ / \\ —}$ તરીકે
(c) અક્ષર $U$ ની આકૃતિ $\bigsqcup$ તરીકે
(d) અક્ષર $V$ ની આકૃતિ $\mathbf{V}$ તરીકે
(e) અક્ષર $E$ ની આકૃતિ $|\substack{- \\ - \\ -}$ તરીકે
(f) અક્ષર $S$ ની આકૃતિ $|\substack{- \\ - \\ -}|$ તરીકે
(g) અક્ષર $A$ ની આકૃતિ $\mathbf{|\substack{- \\ - \\ }|}$ તરીકે

2. અક્ષરો L, C અને F ની આકૃતિ માટેનો નિયમ આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ. પ્રશ્ન 1 (ઉપર આપેલ) માંથી કેટલાક અક્ષરો આપણને L દ્વારા આપેલ જેવો જ નિયમ આપે છે. આ કયા છે? આવું કેમ થાય છે?

3. કેડેટો કૂચમાં માર્ચ કરી રહ્યા છે. એક હારમાં 5 કેડેટો છે. હારની સંખ્યા આપેલ હોય ત્યારે કેડેટોની સંખ્યા આપતો નિયમ શું છે? (હારની સંખ્યા માટે $n$ નો ઉપયોગ કરો.)

4. જો એક બોક્સમાં 50 કેરી હોય, તો તમે બોક્સની સંખ્યાના સંદર્ભમાં કેરીની કુલ સંખ્યા કેવી રીતે લખશો? (બોક્સની સંખ્યા માટે $b$ નો ઉપયોગ કરો.)

5. શિક્ષક પ્રતિ વિદ્યાર્થી 5 પેંસિલ વહેંચે છે. શું તમે વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા આપેલ હોય ત્યારે કેટલી પેંસિલની જરૂર છે તે કહી શકો છો? (વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા માટે $s$ નો ઉપયોગ કરો.)

6. એક પક્ષી એક મિનિટમાં 1 કિલોમીટર ઉડે છે. શું તમે મિનિટોમાં ઉડવાના સમયના સંદર્ભમાં પક્ષી દ્વારા કાપેલું અંતર વ્યક્ત કરી શકો છો? (મિનિટોમાં ઉડવાના સમય માટે $t$ નો ઉપયોગ કરો.)

7. રાધા ચાક પાવડરથી ડોટ રંગોળી (બિંદુઓને જોડતી રેખાઓની સુંદર આકૃતિ) દોરી રહી છે. તેની પાસે એક હારમાં 9 બિંદુઓ છે. $r$ હાર માટે તેની રંગોળીમાં કેટલા બિંદુઓ હશે? જો 8 હાર હોય તો કેટલા બિંદુઓ છે? જો 10 હાર હોય તો?

8. લીલા રાધાની નાની બહેન છે. લીલા રાધા કરતાં 4 વર્ષ નાની છે. શું તમે રાધાની ઉ