జ్యామితి & క్షేత్రగణితం
కీలక అంశాలు & సూత్రాలు
జ్యామితి & క్షేత్రగణితం కోసం 5-7 అత్యవసర అంశాలు:
| # | అంశం | సంక్షిప్త వివరణ |
|---|---|---|
| 1 | హెరాన్ సూత్రం | భుజాలు a, b, c గల ఏదైనా త్రిభుజం కోసం: వైశాల్యం = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] ఇక్కడ s = (a+b+c)/2. ఎత్తు తెలియనప్పుడు ఉపయోగించండి. |
| 2 | పైథాగరస్ సిద్ధాంతం | లంబకోణ త్రిభుజంలో: (కర్ణం)² = (భూమి)² + (ఎత్తు)². తప్పిపోయిన భుజాలను కనుగొనడానికి అత్యవసరం. |
| 3 | వృత్తం యొక్క లక్షణాలు | చుట్టుకొలత = 2πr, వైశాల్యం = πr². వ్యాసం = 2r. π ≈ 22/7 లేదా 3.14 గ గుర్తుంచుకోండి. |
| 4 | స్థూపం యొక్క ప్రాథమికాంశాలు | వక్రతల వైశాల్యం = 2πrh, సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2πr(r+h), ఘనపరిమాణం = πr²h. |
| 5 | సరూప త్రిభుజాలు | సదృశ భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి. వైశాల్య నిష్పత్తి = (భుజ నిష్పత్తి)². |
| 6 | చతుర్భుజాల రకాలు | దీర్ఘచతురస్రం: వైశాల్యం = l×b, చుట్టుకొలత = 2(l+b). చతురస్రం: వైశాల్యం = a², చుట్టుకొలత = 4a. |
| 7 | 3D దృశ్యీకరణ | ఉపరితలాలను విప్పడం ద్వారా 3D సమస్యలను 2D గా మార్చండి. స్థూపం/శంకువు సమస్యలకు కీలకం. |
అత్యవసర సూత్రాలు
| సూత్రం | ఉపయోగం |
|---|---|
| త్రిభుజ వైశాల్యం = ½bh | భూమి మరియు ఎత్తు తెలిసినప్పుడు. ఎత్తు భూమికి లంబంగా ఉండాలి. |
| వృత్త వైశాల్యం = πr² | వృత్తాకార ప్లాట్లు, చక్రాలు లేదా ఏదైనా వృత్తాకార క్రాస్-సెక్షన్ కోసం. r = d/2 గ గుర్తుంచుకోండి. |
| స్థూపం ఘనపరిమాణం = πr²h | పైపులు, ట్యాంకులు లేదా స్థూపాకార కంటైనర్ల కోసం. ఎల్లప్పుడూ తెరిచిన/మూసిన చివరలను తనిఖీ చేయండి. |
| స్థూపం యొక్క వక్రతల వైశాల్యం = 2πrh | లేబులింగ్ సమస్యలు లేదా వక్రతల పెయింటింగ్ కోసం. |
| సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం = (√3/4)a² | అన్ని భుజాలు సమానంగా ఉన్నప్పుడు. ఎత్తు = (√3/2)a. |
| శంకువు ఘనపరిమాణం = (1/3)πr²h | స్థూపం వలె ఉంటుంది కానీ 1/3 ఘనపరిమాణం. తరచుగా స్థూపం సమస్యలతో కలిపి ఇస్తారు. |
10 ప్రాక్టీస్ బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలు
Q1. ఒక వృత్తాకార రైల్వే ప్లాట్ఫారమ్ యొక్క వ్యాసార్థం 14m. దాని వైశాల్యం ఎంత? A) 308 m² B) 616 m² C) 154 m² D) 462 m²
సమాధానం: B) 616 m²
పరిష్కారం: వైశాల్యం = πr² = (22/7) × 14 × 14 = 22 × 2 × 14 = 616 m²
శార్ట్కట్: 14 అనేది 7 యొక్క గుణిజం, కాబట్టి 22/7 × 14² = 22 × 2 × 14 = 616
అంశం: జ్యామితి & క్షేత్రగణితం - వృత్త వైశాల్యం
Q2. ఒక రైలు కంపార్ట్మెంట్ 2m వెడల్పు మరియు 3m ఎత్తు కలిగి ఉంది. దాని దీర్ఘచతురస్రాకార నేల యొక్క వైశాల్యం ఎంత? A) 5 m² B) 6 m² C) 8 m² D) 10 m²
సమాధానం: B) 6 m²
పరిష్కారం: వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు = 3 × 2 = 6 m²
శార్ట్కట్: నేరుగా గుణకారం
అంశం: జ్యామితి & క్షేత్రగణితం - దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం
Q3. ఒక రైల్వే ట్రాక్ త్రిభుజం యొక్క భూమి 12m మరియు ఎత్తు 8m. దాని వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. A) 48 m² B) 96 m² C) 24 m² D) 36 m²
సమాధానం: A) 48 m²
పరిష్కారం: వైశాల్యం = ½ × భూమి × ఎత్తు = ½ × 12 × 8 = 48 m²
శార్ట్కట్: ½ × 12 = 6, తర్వాత 6 × 8 = 48
అంశం: జ్యామితి & క్షేత్రగణితం - త్రిభుజ వైశాల్యం
Q4. స్టేషన్ వద్ద ఉన్న స్థూపాకార నీటి ట్యాంక్ యొక్క వ్యాసార్థం 3.5m మరియు ఎత్తు 10m. దాని ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనండి. A) 385 m³ B) 770 m³ C) 1155 m³ D) 154 m³
సమాధానం: A) 385 m³
పరిష్కారం: ఘనపరిమాణం = πr²h = (22/7) × 3.5 × 3.5 × 10 = 22 × 0.5 × 3.5 × 10 = 385 m³
శార్ట్కట్: 3.5 = 7/2, కాబట్టి (22/7) × (7/2)² × 10 = 22 × 7 × 10/4 = 385
అంశం: జ్యామితి & క్షేత్రగణితం - స్థూపం ఘనపరిమాణం
Q5. ఒక రైల్వే సిగ్నల్ బోర్డు త్రిభుజాకారంలో ఉండి దాని భుజాలు 13m, 14m, మరియు 15m. హెరాన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి దాని వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. A) 84 m² B) 42 m² C) 168 m² D) 126 m²
సమాధానం: A) 84 m²
పరిష్కారం: s = (13+14+15)/2 = 21 వైశాల్యం = √[21×(21-13)×(21-14)×(21-15)] = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 m²
శార్ట్కట్: 13-14-15 ను సాధారణ త్రిభుజంగా గుర్తించండి, వైశాల్యం 84
అంశం: జ్యామితి & క్షేత్రగణితం - హెరాన్ సూత్రం
Q6. ఒక రైలు చక్రం యొక్క వ్యాసం 1.4m. అది 500 భ్రమణాలలో ఎంత దూరం ప్రయాణిస్తుంది? A) 2.2 km B) 2.8 km C) 2.2 km D) 1.1 km
సమాధానం: C) 2.2 km
పరిష్కారం: చుట్టుకొలత = πd = (22/7) × 1.4 = 4.4m దూరం = 500 × 4.4 = 2200m = 2.2 km
శార్ట్కట్: 1.4 × 22/7 = 0.2 × 22 = 4.4m ప్రతి భ్రమణానికి
అంశం: జ్యామితి & క్షేత్రగణితం - వృత్త చుట్టుకొలత
Q7. 50m × 30m కొలతలు గల దీర్ఘచతురస్రాకార ప్లాట్ఫారమ్ మధ్యలో 7m వ్యాసార్థం గల వృత్తాకార ఫౌంటెన్ ఉంది. మిగిలిన వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. A) 1500 m² B) 1346 m² C) 1246 m² D) 1446 m²
సమాధానం: B) 1346 m²
పరిష్కారం: ప్లాట్ఫారమ్ వైశాల్యం = 50 × 30 = 1500 m² ఫౌంటెన్ వైశాల్యం = (22/7) × 7 × 7 = 154 m² మిగిలినది = 1500 - 154 = 1346 m²
శార్ట్కట్: 22/7 × 49 = 22 × 7 = 154
అంశం: జ్యామితి & క్షేత్రగణితం - సంయుక్త ఆకృతులు
Q8. ఒక బోలు స్థూపాకార పైపు (బాహ్య వ్యాసార్థం 10cm, అంతర్గత 8cm) 14m పొడవు కలిగి ఉంది. లోహం యొక్క ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనండి. A) 1.584 m³ B) 0.792 m³ C) 1.188 m³ D) 0.396 m³
సమాధానం: A) 1.584 m³
పరిష్కారం: ఘనపరిమాణం = π(R²-r²)h = (22/7) × (0.1²-0.08²) × 14 = (22/7) × (0.01-0.0064) × 14 = (22/7) × 0.0036 × 14 = 0.1584 m³ వేచి: 0.1²-0.08² = 0.01-0.0064 = 0.0036 (22/7) × 0.0036 × 14 = 22 × 0.0036 × 2 = 0.1584 m³ నిజానికి: 14m = 1400cm ఘనపరిమాణం = (22/7) × (100-64) × 1400 = 22 × 36 × 200 = 158400 cm³ = 0.1584 m³
శార్ట్కట్: R²-r² = (R+r)(R-r) = 18×2 = 36 cm²
అంశం: జ్యామితి & క్షేత్రగణితం - బోలు స్థూపం
Q9. రైల్వే వర్క్షాప్ వద్ద ఉన్న శంక్వాకార టెంట్ యొక్క భూవ్యాసార్థం 7m మరియు ఏటవాలు ఎత్తు 25m. అవసరమైన కాన్వాస్ వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. A) 550 m² B) 275 m² C) 440 m² D) 385 m²
సమాధానం: A) 550 m²
పరిష్కారం: వక్రతల వైశాల్యం = πrl = (22/7) × 7 × 25 = 22 × 25 = 550 m²
శార్ట్కట్: 22/7 × 7 = 22, తర్వాత 22 × 25 = 550
అంశం: జ్యామితి & క్షేత్రగణితం - శంకువు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం
Q10. ఒక రైల్వే వంతెన త్రిభుజాకార ట్రస్ కలిగి ఉంది, దీని భుజాల నిష్పత్తి 3:4:5 మరియు చుట్టుకొలత 60m. దాని వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. A) 120 m² B) 60 m² C) 240 m² D) 150 m²
సమాధానం: A) 120 m²
పరిష్కారం: భుజాలు: 3x, 4x, 5x. చుట్టుకొలత = 12x = 60, కాబట్టి x = 5 భుజాలు: 15m, 20m, 25m ఇది లంబకోణ త్రిభుజం (3²+4²=5²) వైశాల్యం = ½ × 15 × 20 = 150 m² వేచి: 3-4-5 నిష్పత్తి, చుట్టుకొలత 60 అంటే భుజాలు 12, 16, 20 వైశాల్యం = ½ × 12 × 16 = 96 m² నిజానికి: 3x+4x+5x = 12x = 60, x = 5 భుజాలు: 15, 20, 25 వైశాల్యం = ½ × 15 × 20 = 150 m²
శార్ట్కట్: 3-4-5 లంబకోణ త్రిభుజం, వైశాల్యం = ½ × 3x × 4x = 6x², x=5, కాబట్టి 6×25=150
అంశం: జ్యామితి & క్షేత్రగణితం - లంబకోణ త్రిభుజం లక్షణాలు
5 మునుపటి సంవత్సర ప్రశ్నలు
PYQ 1. ఒక వృత్తం యొక్క వైశాల్యం 154 cm². దాని చుట్టుకొలతను కనుగొనండి. [RRB NTPC 2021 CBT-1]
సమాధానం: 44 cm
పరిష్కారం: πr² = 154 → (22/7)r² = 154 → r² = 154 × 7/22 = 49 → r = 7 cm చుట్టుకొలత = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 cm
పరీక్ష చిట్కా: 154 = 22 × 7 గ గుర్తుంచుకోండి, కాబట్టి r = 7 తక్షణం వస్తుంది
PYQ 2. 2.1m వ్యాసార్థం మరియు 5m ఎత్తు గల స్థూపాకార ట్యాంక్ నీటితో నిండి ఉంది. అది ఎన్ని లీటర్లు నీటిని హోల్డ్ చేయగలదు? [RRB Group D 2022]
సమాధానం: 69300 లీటర్లు
పరిష్కారం: ఘనపరిమాణం = πr²h = (22/7) × 2.1 × 2.1 × 5 = 69.3 m³ 1 m³ = 1000 లీటర్లు, కాబట్టి 69.3 × 1000 = 69300 లీటర్లు
పరీక్ష చిట్కా: 2.1 = 21/10, కాబట్టి భిన్నాలతో లెక్క సులభం అవుతుంది
PYQ 3. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార ఫీల్డ్ యొక్క చుట్టుకొలత 84m మరియు దాని పొడవు 26m. దాని వెడల్పును కనుగొనండి. [RRB ALP 2018]
సమాధానం: 16m
పరిష్కారం: చుట్టుకొలత = 2(l+b) = 84 → l+b = 42 → 26+b = 42 → b = 16m
పరీక్ష చిట్కా: సగం-చుట్టుకొలత పద్ధతి సమయాన్ని ఆదా చేస్తుంది
PYQ 4. ఒక లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క కర్ణం 25cm మరియు ఒక భుజం 7cm. దాని వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. [RRB JE 2019]
సమాధానం: 84 cm²
పరిష్కారం: మరొక భుజం = √(25²-7²) = √(625-49) = √576 = 24 cm వైశాల్యం = ½ × 7 × 24 = 84 cm²
పరీక్ష చిట్కా: 7-24-25 పైథాగరియన్ ట్రిపుల్, సాధారణ వాటిని గుర్తుంచుకోండి
PYQ 5. ఒక స్థూపం యొక్క వక్రతల వైశాల్యం 1760 cm² మరియు దాని ఎత్తు 35cm. దాని వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి. [RPF SI 2019]
సమాధానం: 8 cm
పరిష్కారం: 2πrh = 1760 → 2 × (22/7) × r × 35 = 1760 → 220r = 1760 → r = 8 cm
పరీక్ష చిట్కా: 2 × 22/7 × 35 = 220, కాబట్టి r = 1760/220 = 8
స్పీడ్ ట్రిక్స్ & శార్ట్కట్లు
| పరిస్థితి | శార్ట్కట్ | ఉదాహరణ |
|---|---|---|
| వైశాల్యం 154 గల వృత్తం | r = 7 (ఎందుకంటే 154 = 22×7) | చుట్టుకొలత = 44 కోసం నేరుగా r=7 ను ఉపయోగించండి |
| r=3.5 గల స్థూపం ఘనపరిమాణం | 11 తో గుణించండి (ఎందుకంటే 22/7 × 3.5² = 38.5) | r=3.5, h=10 → ఘనపరిమాణం = 38.5×10 = 385 |
| 3-4-5 త్రిభుజం | వైశాల్యం = 6x² ఇక్కడ x స్కేలింగ్ ఫ్యాక్టర్ | భుజాలు 30-40-50 → వైశాల్యం = 6×10² = 600 |
| బోలు స్థూపం లోహ ఘనపరిమాణం | π(R+r)(R-r)h ను ఉపయోగించండి | R=10, r=8, h=14 → 22/7×18×2×14 = 1584 |
| సమబాహు త్రిభుజం | వైశాల్యం = 0.433a² (సుమారు) | భుజం=10 → వైశాల్యం ≈ 43.3 (నిజమైన 43.3) |
తప్పు చేయకుండా ఉండటానికి సాధారణ తప్పులు
| తప్పు | విద్యార్థులు ఎందుకు చేస్తారు | సరైన విధానం |
|---|---|---|
| వ్యాసార్థం కు బదులుగా వ్యాసాన్ని ఉపయోగించడం | వృత్త సూత్రాలలో గందరగోళం | ఎల్లప్పుడూ తనిఖీ చేయండి: వైశాల్యానికి r², చుట్టుకొలతకు r అవసరం |
| త్రిభుజ వైశాల్యంలో ½ మర్చిపోవడం | నేరుగా గుణకారం చేసే అలవాటు | గుర్తుంచుకోండి: త్రిభుజం = ½ × భూమి × ఎత్తు |
| మార్పిడిలో తప్పు యూనిట్లు | cm మరియు m లను కలపడం | లెక్కించే ముందు అన్నింటిని ఒకే యూనిట్ గా మార్చండి |
| తెరిచిన vs మూసిన స్థూపం | జాగ్రత్తగా చదవకపోవడం | ఉపరితల వైశాల్యం కోసం రెండు చివరలు చేర్చబడ్డాయా అని తనిఖీ చేయండి |
| ఏటవాలు ఎత్తు vs నిలువు ఎత్తు | శంకువు గందరగోళం | CSA ఏటవాలు ఎత్తు (l) ను ఉపయోగిస్తుంది, ఘనపరిమాణం నిలువు ఎత్తు (h) ను ఉపయోగిస్తుంది |
శీఘ్ర రివిజన్ ఫ్లాష్ కార్డులు
| ముందు భాగం (ప్రశ్న/పదం) | వెనుక భాగం (సమాధానం) |
|---|---|
| π విలువ | 22/7 లేదా 3.14 |
| సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం | (√3/4)a² |
| స్థూపం ఘనపరిమాణం | πr²h |
| శంకువు యొక్క వక్రతల వైశాల్యం | πrl |
| 1 m³ = ? లీటర్లు | 1000 లీటర్లు |
| హెరాన్ సూత్రం | √[s(s-a)(s-b)(s-c)] |
| పైథాగరియన్ ట్రిపుల్ | 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25 |
| సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం | ½ × (సమాంతర భుజాల మొత్తం) × ఎత్తు |
| గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం | 4πr² |
| 1 హెక్టార్ = ? m² | 10000 m² |
అంశాల మధ్య అనుసంధానాలు
జ్యామితి & క్షేత్రగణితం ఇతర ఆర్ఆర్బీ పరీక్ష అంశాలతో ఎలా అనుసంధానించబడింది:
- ప్రత్యక్ష లింక్: త్రికోణమితి - ఎత్తులు మరియు దూరాల సమస్యలు త్రిభుజ వైశాల్యం మరియు పైథాగరస్ ను ఉపయోగిస్తాయి
- ప్రత్యక్ష లింక్: నిరూపక జ్యామితి - దూర సూత్రం మరియు విభాగ సూత్రం జ్యామితీయ సూత్రాలను ఉపయోగిస్తాయి
- సంయుక్త ప్రశ్నలు: వేగం, సమయం & దూరం - రైలు సమస్యలు తరచుగా వృత్తాకార చక్రాలు, వంతెన పొడవులను కలిగి ఉంటాయి
- సంయుక్త ప్రశ్నలు: శాతం & లాభం/నష్టం - స్థూపాలను పెయింట్ చేయడం, ఖర్చు లెక్కలతో ఫీల్డ్లను కంచె వేయడం
- అడ్వాన్స్డ్ మ్యాథ్స్ కోసం పునాది - 3D జ్యామితి, టెక్నికల్ పోస్టుల కోసం ఇంజనీరింగ్ డ్రాయింగ్ భావనలు
BETA
