भूमिती आणि क्षेत्रमापन
मुख्य संकल्पना आणि सूत्रे
भूमिती आणि क्षेत्रमापनासाठी ५-७ आवश्यक संकल्पना:
| # | संकल्पना | झटपट स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| 1 | हेरॉनचे सूत्र | बाजू a, b, c असलेल्या कोणत्याही त्रिकोणासाठी: क्षेत्रफळ = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] जिथे s = (a+b+c)/2. उंची माहित नसल्यास वापरा. |
| 2 | पायथागोरसचे प्रमेय | काटकोन त्रिकोणात: (कर्ण)² = (पाया)² + (उंची)². गहाळ बाजू शोधण्यासाठी आवश्यक. |
| 3 | वर्तुळाचे गुणधर्म | परिघ = 2πr, क्षेत्रफळ = πr². व्यास = 2r. लक्षात ठेवा π ≈ 22/7 किंवा 3.14. |
| 4 | वृत्तचिती मूलतत्त्वे | वक्रपृष्ठफळ = 2πrh, एकूण पृष्ठफळ = 2πr(r+h), घनफळ = πr²h. |
| 5 | समरूप त्रिकोण | संगत बाजू प्रमाणात असतात. क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर = (बाजूच्या गुणोत्तराचा)². |
| 6 | चौकोनाचे प्रकार | आयत: क्षेत्रफळ = l×b, परिमिती = 2(l+b). चौरस: क्षेत्रफळ = a², परिमिती = 4a. |
| 7 | 3D दृश्यीकरण | पृष्ठभाग उलगडून 3D समस्या 2D मध्ये रूपांतरित करा. वृत्तचिती/शंकू समस्यांसाठी महत्त्वाचे. |
आवश्यक सूत्रे
| सूत्र | वापर |
|---|---|
| त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½bh | जेव्हा पाया आणि उंची माहित असते. उंची पायाला लंब असायला हवी. |
| वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = πr² | वर्तुळाकार भूखंड, चाके किंवा कोणत्याही वर्तुळाकार छेदासाठी. लक्षात ठेवा r = d/2. |
| वृत्तचितीचे घनफळ = πr²h | नळ्या, टाक्या किंवा वृत्तचितीय कंटेनरसाठी. नेहमी टोके उघडी/बंद आहेत का ते तपासा. |
| वृत्तचितीचे वक्रपृष्ठफळ = 2πrh | लेबलिंग समस्या किंवा वक्र पृष्ठभाग रंगवण्यासाठी. |
| समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = (√3/4)a² | जेव्हा सर्व बाजू समान असतात. उंची = (√3/2)a. |
| शंकूचे घनफळ = (1/3)πr²h | वृत्तचितीसारखेच पण 1/3 घनफळ. बहुतेक वेळा वृत्तचिती समस्यांसोबत एकत्रित येते. |
10 सराव बहुपर्यायी प्रश्न
Q1. एका वर्तुळाकार रेल्वे प्लॅटफॉर्मची त्रिज्या 14 मीटर आहे. त्याचे क्षेत्रफळ किती? A) 308 मी² B) 616 मी² C) 154 मी² D) 462 मी²
उत्तर: B) 616 मी²
उकल: क्षेत्रफळ = πr² = (22/7) × 14 × 14 = 22 × 2 × 14 = 616 मी²
शॉर्टकट: 14 हा 7 चा गुणाकार आहे, म्हणून 22/7 × 14² = 22 × 2 × 14 = 616
संकल्पना: भूमिती आणि क्षेत्रमापन - वर्तुळाचे क्षेत्रफळ
Q2. एक रेल्वे डबा 2 मीटर रुंद आणि 3 मीटर उंच आहे. त्याच्या आयताकृती मजल्याचे क्षेत्रफळ किती? A) 5 मी² B) 6 मी² C) 8 मी² D) 10 मी²
उत्तर: B) 6 मी²
उकल: क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी = 3 × 2 = 6 मी²
शॉर्टकट: थेट गुणाकार
संकल्पना: भूमिती आणि क्षेत्रमापन - आयताचे क्षेत्रफळ
Q3. एका रेल्वे ट्रॅक त्रिकोणाचा पाया 12 मीटर आणि उंची 8 मीटर आहे. त्याचे क्षेत्रफळ शोधा. A) 48 मी² B) 96 मी² C) 24 मी² D) 36 मी²
उत्तर: A) 48 मी²
उकल: क्षेत्रफळ = ½ × पाया × उंची = ½ × 12 × 8 = 48 मी²
शॉर्टकट: ½ × 12 = 6, नंतर 6 × 8 = 48
संकल्पना: भूमिती आणि क्षेत्रमापन - त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ
Q4. स्टेशनवरील एका वृत्तचितीय पाण्याच्या टाकीची त्रिज्या 3.5 मीटर आणि उंची 10 मीटर आहे. तिचे घनफळ शोधा. A) 385 मी³ B) 770 मी³ C) 1155 मी³ D) 154 मी³
उत्तर: A) 385 मी³
उकल: घनफळ = πr²h = (22/7) × 3.5 × 3.5 × 10 = 22 × 0.5 × 3.5 × 10 = 385 मी³
शॉर्टकट: 3.5 = 7/2, म्हणून (22/7) × (7/2)² × 10 = 22 × 7 × 10/4 = 385
संकल्पना: भूमिती आणि क्षेत्रमापन - वृत्तचितीचे घनफळ
Q5. एक रेल्वे सिग्नल बोर्ड त्रिकोणी आहे ज्याच्या बाजू 13 मीटर, 14 मीटर आणि 15 मीटर आहेत. हेरॉनचे सूत्र वापरून त्याचे क्षेत्रफळ शोधा. A) 84 मी² B) 42 मी² C) 168 मी² D) 126 मी²
उत्तर: A) 84 मी²
उकल: s = (13+14+15)/2 = 21 क्षेत्रफळ = √[21×(21-13)×(21-14)×(21-15)] = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 मी²
शॉर्टकट: 13-14-15 हा सामान्य त्रिकोण आहे ज्याचे क्षेत्रफळ 84 आहे हे ओळखा
संकल्पना: भूमिती आणि क्षेत्रमापन - हेरॉनचे सूत्र
Q6. एका रेल्वे चाकाचा व्यास 1.4 मीटर आहे. 500 आवर्तनांमध्ये ते किती अंतर कापेल? A) 2.2 किमी B) 2.8 किमी C) 2.2 किमी D) 1.1 किमी
उत्तर: C) 2.2 किमी
उकल: परिघ = πd = (22/7) × 1.4 = 4.4 मीटर अंतर = 500 × 4.4 = 2200 मीटर = 2.2 किमी
शॉर्टकट: 1.4 × 22/7 = 0.2 × 22 = 4.4 मीटर प्रति आवर्तन
संकल्पना: भूमिती आणि क्षेत्रमापन - वर्तुळाचा परिघ
Q7. एक आयताकृती प्लॅटफॉर्म 50 मीटर × 30 मीटर आहे ज्याच्या मध्यभागी 7 मीटर त्रिज्येचा वर्तुळाकार फवारा आहे. उरलेले क्षेत्रफळ शोधा. A) 1500 मी² B) 1346 मी² C) 1246 मी² D) 1446 मी²
उत्तर: B) 1346 मी²
उकल: प्लॅटफॉर्मचे क्षेत्रफळ = 50 × 30 = 1500 मी² फवाऱ्याचे क्षेत्रफळ = (22/7) × 7 × 7 = 154 मी² उरलेले = 1500 - 154 = 1346 मी²
शॉर्टकट: 22/7 × 49 = 22 × 7 = 154
संकल्पना: भूमिती आणि क्षेत्रमापन - संयुक्त आकृत्या
Q8. एक पोकळ वृत्तचितीय नळ (बाह्य त्रिज्या 10 सेमी, आतील 8 सेमी) 14 मीटर लांब आहे. धातूचे घनफळ शोधा. A) 1.584 मी³ B) 0.792 मी³ C) 1.188 मी³ D) 0.396 मी³
उत्तर: A) 1.584 मी³
उकल: घनफळ = π(R²-r²)h = (22/7) × (0.1²-0.08²) × 14 = (22/7) × (0.01-0.0064) × 14 = (22/7) × 0.0036 × 14 = 0.1584 मी³ थांबा: 0.1²-0.08² = 0.01-0.0064 = 0.0036 (22/7) × 0.0036 × 14 = 22 × 0.0036 × 2 = 0.1584 मी³ खरेतर: 14 मीटर = 1400 सेमी घनफळ = (22/7) × (100-64) × 1400 = 22 × 36 × 200 = 158400 सेमी³ = 0.1584 मी³
शॉर्टकट: R²-r² = (R+r)(R-r) = 18×2 = 36 सेमी²
संकल्पना: भूमिती आणि क्षेत्रमापन - पोकळ वृत्तचिती
Q9. रेल्वे कारखान्यातील एका शंकूच्या तंबूची पायाची त्रिज्या 7 मीटर आणि तिरकस उंची 25 मीटर आहे. लागणाऱ्या कॅनव्हासचे क्षेत्रफळ शोधा. A) 550 मी² B) 275 मी² C) 440 मी² D) 385 मी²
उत्तर: A) 550 मी²
उकल: वक्रपृष्ठफळ = πrl = (22/7) × 7 × 25 = 22 × 25 = 550 मी²
शॉर्टकट: 22/7 × 7 = 22, नंतर 22 × 25 = 550
संकल्पना: भूमिती आणि क्षेत्रमापन - शंकूचे पृष्ठफळ
Q10. एका रेल्वे पुलाच्या त्रिकोणी ट्रसच्या बाजूंचे गुणोत्तर 3:4:5 आहे आणि परिमिती 60 मीटर आहे. त्याचे क्षेत्रफळ शोधा. A) 120 मी² B) 60 मी² C) 240 मी² D) 150 मी²
उत्तर: A) 120 मी²
उकल: बाजू: 3x, 4x, 5x. परिमिती = 12x = 60, म्हणून x = 5 बाजू: 15 मीटर, 20 मीटर, 25 मीटर हा काटकोन त्रिकोण आहे (3²+4²=5²) क्षेत्रफळ = ½ × 15 × 20 = 150 मी² थांबा: 3-4-5 गुणोत्तर असलेली परिमिती 60 म्हणजे बाजू 12, 16, 20 क्षेत्रफळ = ½ × 12 × 16 = 96 मी² खरेतर: 3x+4x+5x = 12x = 60, x = 5 बाजू: 15, 20, 25 क्षेत्रफळ = ½ × 15 × 20 = 150 मी²
शॉर्टकट: 3-4-5 हा काटकोन त्रिकोण आहे, क्षेत्रफळ = ½ × 3x × 4x = 6x², x=5, म्हणून 6×25=150
संकल्पना: भूमिती आणि क्षेत्रमापन - काटकोन त्रिकोणाचे गुणधर्म
5 मागील वर्षांचे प्रश्न
PYQ 1. एका वर्तुळाचे क्षेत्रफळ 154 सेमी² आहे. त्याचा परिघ शोधा. [RRB NTPC 2021 CBT-1]
उत्तर: 44 सेमी
उकल: πr² = 154 → (22/7)r² = 154 → r² = 154 × 7/22 = 49 → r = 7 सेमी परिघ = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 सेमी
परीक्षा टिप: 154 = 22 × 7, म्हणून r = 7 हे लगेच लक्षात ठेवा
PYQ 2. 2.1 मीटर त्रिज्या आणि 5 मीटर उंचीची एक वृत्तचितीय टाकी पाण्याने भरलेली आहे. ती किती लिटर पाणी साठवू शकते? [RRB Group D 2022]
उत्तर: 69300 लिटर
उकल: घनफळ = πr²h = (22/7) × 2.1 × 2.1 × 5 = 69.3 मी³ 1 मी³ = 1000 लिटर, म्हणून 69.3 × 1000 = 69300 लिटर
परीक्षा टिप: 2.1 = 21/10, म्हणून अपूर्णांकांसह गणना सोपी होते
PYQ 3. एका आयताकृती शेताची परिमिती 84 मीटर आहे आणि त्याची लांबी 26 मीटर आहे. त्याची रुंदी शोधा. [RRB ALP 2018]
उत्तर: 16 मीटर
उकल: परिमिती = 2(l+b) = 84 → l+b = 42 → 26+b = 42 → b = 16 मीटर
परीक्षा टिप: अर्ध-परिमिती पद्धत वेळ वाचवते
PYQ 4. एका काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण 25 सेमी आणि एक बाजू 7 सेमी आहे. त्याचे क्षेत्रफळ शोधा. [RRB JE 2019]
उत्तर: 84 सेमी²
उकल: दुसरी बाजू = √(25²-7²) = √(625-49) = √576 = 24 सेमी क्षेत्रफळ = ½ × 7 × 24 = 84 सेमी²
परीक्षा टिप: 7-24-25 हे पायथागोरस त्रिकूट आहे, सामान्य त्रिकूट लक्षात ठेवा
PYQ 5. एका वृत्तचितीचे वक्रपृष्ठफळ 1760 सेमी² आहे आणि त्याची उंची 35 सेमी आहे. त्याची त्रिज्या शोधा. [RPF SI 2019]
उत्तर: 8 सेमी
उकल: 2πrh = 1760 → 2 × (22/7) × r × 35 = 1760 → 220r = 1760 → r = 8 सेमी
परीक्षा टिप: 2 × 22/7 × 35 = 220, म्हणून r = 1760/220 = 8
गती ट्रिक्स आणि शॉर्टकट्स
| परिस्थिती | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| क्षेत्रफळ 154 असलेले वर्तुळ | r = 7 (कारण 154 = 22×7) | परिघ = 44 साठी थेट r=7 वापरा |
| r=3.5 असलेले वृत्तचितीचे घनफळ | 11 ने गुणाकार करा (कारण 22/7 × 3.5² = 38.5) | r=3.5, h=10 → घनफळ = 38.5×10 = 385 |
| 3-4-5 त्रिकोण | क्षेत्रफळ = 6x² जिथे x हा स्केलिंग फॅक्टर आहे | बाजू 30-40-50 → क्षेत्रफळ = 6×10² = 600 |
| पोकळ वृत्तचितीचे धातूचे घनफळ | π(R+r)(R-r)h वापरा | R=10, r=8, h=14 → 22/7×18×2×14 = 1584 |
| समभुज त्रिकोण | क्षेत्रफळ = 0.433a² (अंदाजे) | बाजू=10 → क्षेत्रफळ ≈ 43.3 (वास्तविक 43.3) |
टाळावयाच्या सामान्य चुका
| चूक | विद्यार्थी ती का करतात | योग्य पद्धत |
|---|---|---|
| त्रिज्येऐवजी व्यास वापरणे | वर्तुळाच्या सूत्रांमध्ये गोंधळ | नेहमी तपासा: क्षेत्रफळासाठी r², परिघासाठी r लागते |
| त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळात ½ विसरणे | थेट गुणाकाराची सवय | लक्षात ठेवा: त्रिकोण = ½ × पाया × उंची |
| रूपांतरणात चुकीची एकके | सेमी आणि मीटर मिसळणे | गणनेपूर्वी सर्व एकाच एककात रूपांतरित करा |
| उघडी बंद वृत्तचिती | काळजीपूर्वक वाचत नाही | पृष्ठफळासाठी दोन्ही टोके समाविष्ट आहेत का ते तपासा |
| तिरकस उंची विरुद्ध उभी उंची | शंकूचा गोंधळ | वक्रपृष्ठफळासाठी तिरकस उंची (l), घनफळासाठी उभी उंची (h) वापरा |
झटपट पुनरावृत्ती फ्लॅशकार्ड
| समोर (प्रश्न/संज्ञा) | मागे (उत्तर) |
|---|---|
| π ची किंमत | 22/7 किंवा 3.14 |
| समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ | (√3/4)a² |
| वृत्तचितीचे घनफळ | πr²h |
| शंकूचे वक्रपृष्ठफळ | πrl |
| 1 मी³ = ? लिटर | 1000 लिटर |
| हेरॉनचे सूत्र | √[s(s-a)(s-b)(s-c)] |
| पायथागोरस त्रिकूट | 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25 |
| समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ | ½ × (समांतर बाजूंची बेरीज) × उंची |
| गोलाचे पृष्ठफळ | 4πr² |
| 1 हेक्टर = ? मी² | 10000 मी² |
विषय कनेक्शन्स
भूमिती आणि क्षेत्रमापन इतर आरआरबी परीक्षा विषयांशी कसे जोडलेले आहे:
- थेट लिंक: त्रिकोणमिती - उंची आणि अंतर समस्या त्रिकोण क्षेत्रफळ आणि पायथागोरस वापरतात
- थेट लिंक: निर्देशक भूमिती - अंतर सूत्र आणि विभाजन सूत्र भूमिती तत्त्वे वापरतात
- एकत्रित प्रश्न: गती, वेळ आणि अंतर - रेल्वे समस्या बहुतेक वेळा वर्तुळाकार चाके, पुलांची लांबी यांचा समावेश करतात
- एकत्रित प्रश्न: टक्केवारी आणि नफा/तोटा - वृत्तचिती रंगवणे, किंमत गणनेसह शेतांना कुंपण घालणे
- पाया: प्रगत गणित - तांत्रिक पदांसाठी 3D भूमिती, अभियांत्रिकी रेखाचित्र संकल्पना
BETA
