জ্যামিতি আৰু ক্ষেত্ৰফল গণনা
মূল ধাৰণা আৰু সূত্ৰসমূহ
জ্যামিতি আৰু ক্ষেত্ৰফল গণনাৰ বাবে ৫-৭টা অতি প্ৰয়োজনীয় ধাৰণা:
| # | ধাৰণা | চমু ব্যাখ্যা |
|---|---|---|
| 1 | হেৰ’নৰ সূত্ৰ | a, b, c বাহু বিশিষ্ট যিকোনো ত্ৰিভূজৰ বাবে: ক্ষেত্ৰফল = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] য’ত s = (a+b+c)/2৷ উচ্চতা নাজানিলে ব্যৱহাৰ কৰক৷ |
| 2 | পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য | সমকোণী ত্ৰিভূজত: (অতিভূজ)² = (ভূমি)² + (উচ্চতা)²৷ বাকী থকা বাহু উলিওৱাৰ বাবে অতি প্ৰয়োজনীয়৷ |
| 3 | বৃত্তৰ ধৰ্ম | পৰিধি = 2πr, ক্ষেত্ৰফল = πr²৷ ব্যাস = 2r৷ মনত ৰাখিব: π ≈ 22/7 বা 3.14৷ |
| 4 | চিলিণ্ডাৰৰ মৌলিক কথা | বক্ৰ পৃষ্ঠৰ ক্ষেত্ৰফল = 2πrh, মুঠ পৃষ্ঠৰ ক্ষেত্ৰফল = 2πr(r+h), আয়তন = πr²h৷ |
| 5 | সদৃশ ত্ৰিভূজ | অনৰূপ বাহুসমূহ সমানুপাতিক৷ ক্ষেত্ৰফলৰ অনুপাত = (বাহুৰ অনুপাত)²৷ |
| 6 | চতুৰ্ভূজৰ প্ৰকাৰ | আয়ত: ক্ষেত্ৰফল = l×b, পৰিসীমা = 2(l+b)৷ বৰ্গ: ক্ষেত্ৰফল = a², পৰিসীমা = 4a৷ |
| 7 | ত্ৰিমাত্ৰিক দৃশ্যায়ন | পৃষ্ঠসমূহ মেলি 3D সমস্যাক 2D লৈ ৰূপান্তৰিত কৰক৷ চিলিণ্ডাৰ/শংকুৰ সমস্যাৰ বাবে গুৰুত্বপূৰ্ণ৷ |
অতি প্ৰয়োজনীয় সূত্ৰসমূহ
| সূত্ৰ | ব্যৱহাৰ |
|---|---|
| ত্ৰিভূজৰ ক্ষেত্ৰফল = ½bh | যেতিয়া ভূমি আৰু উচ্চতা জনা থাকে৷ উচ্চতা ভূমিৰ লম্ব হ’ব লাগিব৷ |
| বৃত্তৰ ক্ষেত্ৰফল = πr² | বৃত্তাকাৰ প্লট, চকা বা যিকোনো বৃত্তাকাৰ ছেদৰ বাবে৷ মনত ৰাখিব: r = d/2৷ |
| চিলিণ্ডাৰৰ আয়তন = πr²h | নলী, টেংকী বা চিলিণ্ডাৰাকাৰ পাত্ৰৰ বাবে৷ সদায় মুকলি/বন্ধ মূৰ পৰীক্ষা কৰক৷ |
| চিলিণ্ডাৰৰ বক্ৰ পৃষ্ঠৰ ক্ষেত্ৰফল = 2πrh | লেবেলিং সমস্যা বা বক্ৰ পৃষ্ঠ ৰং কৰাৰ বাবে৷ |
| সমবাহু ত্ৰিভূজৰ ক্ষেত্ৰফল = (√3/4)a² | যেতিয়া সকলো বাহু সমান৷ উচ্চতা = (√3/2)a৷ |
| শংকুৰ আয়তন = (1/3)πr²h | চিলিণ্ডাৰৰ সৈতে সাদৃশ্যপূৰ্ণ কিন্তু 1/3 আয়তন৷ সঘনাই চিলিণ্ডাৰৰ সমস্যাৰ সৈতে সংযুক্ত কৰা হয়৷ |
১০টা অনুশীলন বহুবিকল্পী প্ৰশ্ন (MCQs)
Q1. এটা বৃত্তাকাৰ ৰে’লৱে প্লেটফৰ্মৰ ব্যাসাৰ্ধ ১৪ মি৷ ইয়াৰ ক্ষেত্ৰফল কিমান? A) 308 m² B) 616 m² C) 154 m² D) 462 m²
উত্তৰ: B) 616 m²
সমাধান: ক্ষেত্ৰফল = πr² = (22/7) × 14 × 14 = 22 × 2 × 14 = 616 m²
চমু পথ: 14, 7ৰ গুণিতক, গতিকে 22/7 × 14² = 22 × 2 × 14 = 616
ধাৰণা: জ্যামিতি আৰু ক্ষেত্ৰফল গণনা - বৃত্তৰ ক্ষেত্ৰফল
Q2. ৰেলৰ এটা ডবাৰ বহল ২ মি আৰু উচ্চতা ৩ মি৷ ইয়াৰ আয়তাকাৰ তলপৃষ্ঠৰ ক্ষেত্ৰফল কিমান? A) 5 m² B) 6 m² C) 8 m² D) 10 m²
উত্তৰ: B) 6 m²
সমাধান: ক্ষেত্ৰফল = দৈৰ্ঘ্য × প্ৰস্থ = 3 × 2 = 6 m²
চমু পথ: পোনপটীয়া পূৰণ
ধাৰণা: জ্যামিতি আৰু ক্ষেত্ৰফল গণনা - আয়তৰ ক্ষেত্ৰফল
Q3. ৰে’লৱে ট্ৰেকৰ এটা ত্ৰিভূজৰ ভূমি ১২ মি আৰু উচ্চতা ৮ মি৷ ইয়াৰ ক্ষেত্ৰফল নিৰ্ণয় কৰক৷ A) 48 m² B) 96 m² C) 24 m² D) 36 m²
উত্তৰ: A) 48 m²
সমাধান: ক্ষেত্ৰফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা = ½ × 12 × 8 = 48 m²
চমু পথ: ½ × 12 = 6, তাৰ পিছত 6 × 8 = 48
ধাৰণা: জ্যামিতি আৰু ক্ষেত্ৰফল গণনা - ত্ৰিভূজৰ ক্ষেত্ৰফল
Q4. ষ্টেচনত থকা এটা চিলিণ্ডাৰাকাৰ পানীৰ টেংকীৰ ব্যাসাৰ্ধ ৩.৫ মি আৰু উচ্চতা ১০ মি৷ ইয়াৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰক৷ A) 385 m³ B) 770 m³ C) 1155 m³ D) 154 m³
উত্তৰ: A) 385 m³
সমাধান: আয়তন = πr²h = (22/7) × 3.5 × 3.5 × 10 = 22 × 0.5 × 3.5 × 10 = 385 m³
চমু পথ: 3.5 = 7/2, গতিকে (22/7) × (7/2)² × 10 = 22 × 7 × 10/4 = 385
ধাৰণা: জ্যামিতি আৰু ক্ষেত্ৰফল গণনা - চিলিণ্ডাৰৰ আয়তন
Q5. ৰে’লৱে সংকেত বৰ্ডটো ত্ৰিভূজাকাৰ যিৰ বাহু ১৩ মি, ১৪ মি, আৰু ১৫ মি৷ হেৰ’নৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি ইয়াৰ ক্ষেত্ৰফল নিৰ্ণয় কৰক৷ A) 84 m² B) 42 m² C) 168 m² D) 126 m²
উত্তৰ: A) 84 m²
সমাধান: s = (13+14+15)/2 = 21 ক্ষেত্ৰফল = √[21×(21-13)×(21-14)×(21-15)] = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 m²
চমু পথ: 13-14-15 ক সাধাৰণ ত্ৰিভূজ হিচাপে চিনাক্ত কৰক যাৰ ক্ষেত্ৰফল 84
ধাৰণা: জ্যামিতি আৰু ক্ষেত্ৰফল গণনা - হেৰ’নৰ সূত্ৰ
Q6. ৰেলৰ চকাটোৰ ব্যাস ১.৪ মি৷ ৫০০ পৰিভ্ৰমণত ই কিমান দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিব? A) 2.2 km B) 2.8 km C) 2.2 km D) 1.1 km
উত্তৰ: C) 2.2 km
সমাধান: পৰিধি = πd = (22/7) × 1.4 = 4.4m দূৰত্ব = 500 × 4.4 = 2200m = 2.2 km
চমু পথ: 1.4 × 22/7 = 0.2 × 22 = 4.4m প্ৰতি পৰিভ্ৰমণত
ধাৰণা: জ্যামিতি আৰু ক্ষেত্ৰফল গণনা - বৃত্তৰ পৰিধি
Q7. ৫০ মি × ৩০ মিৰ এটা আয়তাকাৰ প্লেটফৰ্মৰ কেন্দ্ৰত ৭ মি ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তাকাৰ ফোৱনা আছে৷ বাকী থকা ক্ষেত্ৰফল নিৰ্ণয় কৰক৷ A) 1500 m² B) 1346 m² C) 1246 m² D) 1446 m²
উত্তৰ: B) 1346 m²
সমাধান: প্লেটফৰ্মৰ ক্ষেত্ৰফল = 50 × 30 = 1500 m² ফোৱনাৰ ক্ষেত্ৰফল = (22/7) × 7 × 7 = 154 m² বাকী = 1500 - 154 = 1346 m²
চমু পথ: 22/7 × 49 = 22 × 7 = 154
ধাৰণা: জ্যামিতি আৰু ক্ষেত্ৰফল গণনা - সংযুক্ত আকৃতি
Q8. এটা ফোপোলা চিলিণ্ডাৰাকাৰ নলী (বাহ্যিক ব্যাসাৰ্ধ ১০ ছে.মি., আভ্যন্তৰীণ ৮ ছে.মি.) ১৪ মি দীঘল৷ ধাতুৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰক৷ A) 1.584 m³ B) 0.792 m³ C) 1.188 m³ D) 0.396 m³
উত্তৰ: A) 1.584 m³
সমাধান: আয়তন = π(R²-r²)h = (22/7) × (0.1²-0.08²) × 14 = (22/7) × (0.01-0.0064) × 14 = (22/7) × 0.0036 × 14 = 0.1584 m³ অপেক্ষা কৰক: 0.1²-0.08² = 0.01-0.0064 = 0.0036 (22/7) × 0.0036 × 14 = 22 × 0.0036 × 2 = 0.1584 m³ প্ৰকৃততে: 14m = 1400cm আয়তন = (22/7) × (100-64) × 1400 = 22 × 36 × 200 = 158400 cm³ = 0.1584 m³
চমু পথ: R²-r² = (R+r)(R-r) = 18×2 = 36 cm²
ধাৰণা: জ্যামিতি আৰু ক্ষেত্ৰফল গণনা - ফোপোলা চিলিণ্ডাৰ
Q9. ৰে’লৱে কাৰখানাত থকা শংকু আকৃতিৰ তম্বুটোৰ ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ ৭ মি আৰু চেঁকা উচ্চতা ২৫ মি৷ প্ৰয়োজনীয় কেৰাচিনৰ ক্ষেত্ৰফল নিৰ্ণয় কৰক৷ A) 550 m² B) 275 m² C) 440 m² D) 385 m²
উত্তৰ: A) 550 m²
সমাধান: বক্ৰ পৃষ্ঠৰ ক্ষেত্ৰফল = πrl = (22/7) × 7 × 25 = 22 × 25 = 550 m²
চমু পথ: 22/7 × 7 = 22, তাৰ পিছত 22 × 25 = 550
ধাৰণা: জ্যামিতি আৰু ক্ষেত্ৰফল গণনা - শংকুৰ পৃষ্ঠৰ ক্ষেত্ৰফল
Q10. ৰে’লৱে সেতুৰ ত্ৰিভূজাকাৰ ট্ৰাছৰ বাহুৰ অনুপাত ৩:৪:৫ আৰু পৰিসীমা ৬০ মি৷ ইয়াৰ ক্ষেত্ৰফল নিৰ্ণয় কৰক৷ A) 120 m² B) 60 m² C) 240 m² D) 150 m²
উত্তৰ: A) 120 m²
সমাধান: বাহু: 3x, 4x, 5x. পৰিসীমা = 12x = 60, গতিকে x = 5 বাহু: 15m, 20m, 25m ইয়াক সমকোণী ত্ৰিভূজ (3²+4²=5²) ক্ষেত্ৰফল = ½ × 15 × 20 = 150 m² অপেক্ষা কৰক: ৩-৪-৫ অনুপাত আৰু পৰিসীমা ৬০ মানে বাহু ১২, ১৬, ২০ ক্ষেত্ৰফল = ½ × 12 × 16 = 96 m² প্ৰকৃততে: 3x+4x+5x = 12x = 60, x = 5 বাহু: 15, 20, 25 ক্ষেত্ৰফল = ½ × 15 × 20 = 150 m²
চমু পথ: ৩-৪-৫ সমকোণী ত্ৰিভূজ, ক্ষেত্ৰফল = ½ × 3x × 4x = 6x², x=5, গতিকে 6×25=150
ধাৰণা: জ্যামিতি আৰু ক্ষেত্ৰফল গণনা - সমকোণী ত্ৰিভূজৰ ধৰ্ম
৫টা পূৰ্বৰ বছৰৰ প্ৰশ্ন
PYQ 1. বৃত্ত এটাৰ ক্ষেত্ৰফল 154 cm²৷ ইয়াৰ পৰিধি নিৰ্ণয় কৰক৷ [RRB NTPC 2021 CBT-1]
উত্তৰ: 44 cm
সমাধান: πr² = 154 → (22/7)r² = 154 → r² = 154 × 7/22 = 49 → r = 7 cm পৰিধি = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 cm
পৰীক্ষাৰ টিপ: মনত ৰাখিব 154 = 22 × 7, গতিকে r = 7 পোনপটীয়াভাৱে পোৱা যায়
PYQ 2. ২.১ মি ব্যাসাৰ্ধ আৰু ৫ মি উচ্চতাৰ চিলিণ্ডাৰাকাৰ টেংকীটো পানীৰে পূৰ্ণ৷ ই কিমান লিটাৰ ধৰিব পাৰে? [RRB Group D 2022]
উত্তৰ: 69300 লিটাৰ
সমাধান: আয়তন = πr²h = (22/7) × 2.1 × 2.1 × 5 = 69.3 m³ 1 m³ = 1000 লিটাৰ, গতিকে 69.3 × 1000 = 69300 লিটাৰ
পৰীক্ষাৰ টিপ: 2.1 = 21/10, গতিকে ভগ্নাংশৰ সৈতে গণনা সহজ হয়
PYQ 3. আয়তাকাৰ পথাৰৰ পৰিসীমা ৮৪ মি আৰু ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্য ২৬ মি৷ ইয়াৰ প্ৰস্থ নিৰ্ণয় কৰক৷ [RRB ALP 2018]
উত্তৰ: 16m
সমাধান: পৰিসীমা = 2(l+b) = 84 → l+b = 42 → 26+b = 42 → b = 16m
পৰীক্ষাৰ টিপ: অৰ্ধ-পৰিসীমা পদ্ধতিয়ে সময় বচায়
PYQ 4. সমকোণী ত্ৰিভূজ এটাৰ অতিভূজ ২৫ ছে.মি. আৰু এটা বাহু ৭ ছে.মি.৷ ইয়াৰ ক্ষেত্ৰফল নিৰ্ণয় কৰক৷ [RRB JE 2019]
উত্তৰ: 84 cm²
সমাধান: অন্য বাহু = √(25²-7²) = √(625-49) = √576 = 24 cm ক্ষেত্ৰফল = ½ × 7 × 24 = 84 cm²
পৰীক্ষাৰ টিপ: ৭-২৪-২৫ পাইথাগোৰিয়ান ট্ৰিপল, সাধাৰণবোৰ মুখস্থ কৰক
PYQ 5. চিলিণ্ডাৰ এটাৰ বক্ৰ পৃষ্ঠৰ ক্ষেত্ৰফল ১৭৬০ cm² আৰু ইয়াৰ উচ্চতা ৩৫ ছে.মি.৷ ইয়াৰ ব্যাসাৰ্ধ নিৰ্ণয় কৰক৷ [RPF SI 2019]
উত্তৰ: 8 cm
সমাধান: 2πrh = 1760 → 2 × (22/7) × r × 35 = 1760 → 220r = 1760 → r = 8 cm
পৰীক্ষাৰ টিপ: 2 × 22/7 × 35 = 220, গতিকে r = 1760/220 = 8
দ্ৰুত কৌশল আৰু চমু পথ
| পৰিস্থিতি | চমু পথ | উদাহৰণ |
|---|---|---|
| ক্ষেত্ৰফল ১৫৪ থকা বৃত্ত | r = 7 (কাৰণ 154 = 22×7) | পোনপটীয়াকৈ r=7 ব্যৱহাৰ কৰি পৰিধি = 44 পোৱা যায় |
| r=3.5 থকা চিলিণ্ডাৰৰ আয়তন | ১১ৰে পূৰণ কৰক (কাৰণ 22/7 × 3.5² = 38.5) | r=3.5, h=10 → আয়তন = 38.5×10 = 385 |
| ৩-৪-৫ ত্ৰিভূজ | ক্ষেত্ৰফল = 6x² য’ত x স্কেলিং ফেক্টৰ | বাহু ৩০-৪০-৫০ → ক্ষেত্ৰফল = 6×10² = 600 |
| ফোপোলা চিলিণ্ডাৰৰ ধাতুৰ আয়তন | π(R+r)(R-r)h ব্যৱহাৰ কৰক | R=10, r=8, h=14 → 22/7×18×2×14 = 1584 |
| সমবাহু ত্ৰিভূজ | ক্ষেত্ৰফল = 0.433a² (প্ৰায়) | বাহু=10 → ক্ষেত্ৰফল ≈ 43.3 (প্ৰকৃত 43.3) |
সাধাৰণ ভুলবোৰৰ পৰা বাচি থাকক
| ভুল | ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে কিয় কৰে | শুদ্ধ পদ্ধতি |
|---|---|---|
| ব্যাসাৰ্ধৰ সলনি ব্যাস ব্যৱহাৰ কৰা | বৃত্তৰ সূত্ৰত বিভ্ৰান্তি | সদায় পৰীক্ষা কৰক: ক্ষেত্ৰফলৰ বাবে r², পৰিধিৰ বাবে r লাগে |
| ত্ৰিভূজৰ ক্ষেত্ৰফলত ½ পাহৰা | পোনপটীয়া পূৰণ কৰাৰ অভ্যাস | মনত ৰাখিব: ত্ৰিভূজ = ½ × ভূমি × উচ্চতা |
| ৰূপান্তৰত ভুল একক | ছে.মি. আৰু মি. মিহলি কৰা | গণনা কৰাৰ আগতে সকলো একে এককলৈ ৰূপান্তৰ কৰক |
| মুক্ত বনাম বন্ধ চিলিণ্ডাৰ | সাৱধানে পঢ়া নাই | পৃষ্ঠৰ ক্ষেত্ৰফলৰ বাবে দুয়োটা মূৰ অন্তৰ্ভুক্ত নে নাই পৰীক্ষা কৰক |
| চেঁকা উচ্চতা বনাম উলম্ব উচ্চতা | শংকুত বিভ্ৰান্তি | বক্ৰ পৃষ্ঠৰ ক্ষেত্ৰফল (CSA)য়ে চেঁকা উচ্চতা (l) ব্যৱহাৰ কৰে, আয়তনে উলম্ব উচ্চতা (h) ব্যৱহাৰ কৰে |
দ্ৰুত পুনৰীক্ষণ ফ্লেচকাৰ্ড
| সন্মুখভাগ (প্ৰশ্ন/পদ) | পিঠিভাগ (উত্তৰ) |
|---|---|
| πৰ মান | 22/7 বা 3.14 |
| সমবাহু ত্ৰিভূজৰ ক্ষেত্ৰফল | (√3/4)a² |
| চিলিণ্ডাৰৰ আয়তন | πr²h |
| শংকুৰ বক্ৰ পৃষ্ঠৰ ক্ষেত্ৰফল | πrl |
| 1 m³ = ? লিটাৰ | 1000 লিটাৰ |
| হেৰ’নৰ সূত্ৰ | √[s(s-a)(s-b)(s-c)] |
| পাইথাগোৰিয়ান ট্ৰিপল | ৩-৪-৫, ৫-১২-১৩, ৭-২৪-২৫ |
| ট্ৰেপিজিয়ামৰ ক্ষেত্ৰফল | ½ × (সমান্তৰাল বাহুৰ যোগফল) × উচ্চতা |
| গোলকৰ পৃষ্ঠৰ ক্ষেত্ৰফল | 4πr² |
| 1 হেক্টৰ = ? m² | 10000 m² |
বিষয় সংযোগ
জ্যামিতি আৰু ক্ষেত্ৰফল গণনা আন RRB পৰীক্ষাৰ বিষয়বোৰৰ সৈতে কেনেকৈ সংযুক্ত হয়:
- প্ৰত্যক্ষ সংযোগ: ত্ৰিকোণমিতি - উচ্চতা আৰু দূৰত্বৰ সমস্যাই ত্ৰিভূজৰ ক্ষেত্ৰফল আৰু পাইথাগোৰাছ ব্যৱহাৰ কৰে
- প্ৰত্যক্ষ সংযোগ: স্থানাংক জ্যামিতি - দূৰত্ব সূত্ৰ আৰু খণ্ড সূত্ৰই জ্যামিতিক নীতি ব্যৱহাৰ কৰে
- সংযুক্ত প্ৰশ্ন: গতি, সময় আৰু দূৰত্ব - ৰেলৰ সমস্যাত সঘনাই বৃত্তাকাৰ চকা, সেতুৰ দৈৰ্ঘ্য জড়িত থাকে
- সংযুক্ত প্ৰশ্ন: শতকৰা হাৰ আৰু লাভ/লোকচান - চিলিণ্ডাৰ ৰং কৰা, খৰচ গণনা কৰি পথাৰত বেৰা দিয়া
- ভেটি: উচ্চতৰ গণিত - কাৰিকৰী পদৰ বাবে ত্ৰিমাত্ৰিক জ্যামিতি, অভিযান্ত্ৰিক অংকন ধাৰণা
BETA
