জ্যামিতি ও পরিমিতি
মূল ধারণা ও সূত্রাবলী
জ্যামিতি ও পরিমিতির জন্য ৫-৭টি অপরিহার্য ধারণা:
| # | ধারণা | সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যা |
|---|---|---|
| 1 | হেরনের সূত্র | যেকোনো ত্রিভুজের বাহু a, b, c হলে: ক্ষেত্রফল = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] যেখানে s = (a+b+c)/2। উচ্চতা অজানা হলে এটি ব্যবহার করুন। |
| 2 | পিথাগোরাসের উপপাদ্য | সমকোণী ত্রিভুজে: (অতিভুজ)² = (ভূমি)² + (লম্ব)²। অজানা বাহু নির্ণয়ের জন্য অপরিহার্য। |
| 3 | বৃত্তের বৈশিষ্ট্য | পরিধি = 2πr, ক্ষেত্রফল = πr²। ব্যাস = 2r। মনে রাখুন π ≈ 22/7 বা 3.14। |
| 4 | চোঙের মৌলিক বিষয় | বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r+h), আয়তন = πr²h। |
| 5 | সদৃশ ত্রিভুজ | অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক। ক্ষেত্রফলের অনুপাত = (বাহুর অনুপাত)²। |
| 6 | চতুর্ভুজের প্রকারভেদ | আয়তক্ষেত্র: ক্ষেত্রফল = l×b, পরিসীমা = 2(l+b)। বর্গক্ষেত্র: ক্ষেত্রফল = a², পরিসীমা = 4a। |
| 7 | ত্রিমাত্রিক দৃশ্যায়ন | তল খুলে 3D সমস্যাকে 2D তে রূপান্তর করুন। চোঙ/শঙ্কু সংক্রান্ত সমস্যার জন্য গুরুত্বপূর্ণ। |
অপরিহার্য সূত্রাবলী
| সূত্র | ব্যবহার |
|---|---|
| ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½bh | যখন ভূমি ও উচ্চতা জানা থাকে। উচ্চতা অবশ্যই ভূমির সাথে লম্ব হতে হবে। |
| বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² | বৃত্তাকার জমি, চাকা বা যেকোনো বৃত্তাকার প্রস্থচ্ছেদের জন্য। মনে রাখুন r = d/2। |
| চোঙের আয়তন = πr²h | পাইপ, ট্যাংক বা চোঙাকার পাত্রের জন্য। সর্বদা খোলা/বন্ধ প্রান্ত কিনা পরীক্ষা করুন। |
| চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh | লেবেল সংক্রান্ত সমস্যা বা বক্রতল রঙ করার জন্য। |
| সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)a² | যখন সব বাহু সমান। উচ্চতা = (√3/2)a। |
| শঙ্কুর আয়তন = (1/3)πr²h | চোঙের অনুরূপ কিন্তু আয়তন 1/3 অংশ। প্রায়ই চোঙের সমস্যার সাথে যুক্ত থাকে। |
১০টি অনুশীলন এমসিকিউ
Q1. একটি বৃত্তাকার রেলওয়ে প্ল্যাটফর্মের ব্যাসার্ধ 14 মি। এর ক্ষেত্রফল কত? A) 308 মি² B) 616 মি² C) 154 মি² D) 462 মি²
উত্তর: B) 616 মি²
সমাধান: ক্ষেত্রফল = πr² = (22/7) × 14 × 14 = 22 × 2 × 14 = 616 মি²
শর্টকাট: 14 হল 7 এর গুণিতক, তাই 22/7 × 14² = 22 × 2 × 14 = 616
ধারণা: জ্যামিতি ও পরিমিতি - বৃত্তের ক্ষেত্রফল
Q2. একটি ট্রেনের কামরা 2 মি চওড়া এবং 3 মি উঁচু। এর আয়তাকার মেঝের ক্ষেত্রফল কত? A) 5 মি² B) 6 মি² C) 8 মি² D) 10 মি²
উত্তর: B) 6 মি²
সমাধান: ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = 3 × 2 = 6 মি²
শর্টকাট: সরাসরি গুণ
ধারণা: জ্যামিতি ও পরিমিতি - আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
Q3. একটি রেলওয়ে ট্র্যাকের ত্রিভুজাকার অংশের ভূমি 12 মি এবং উচ্চতা 8 মি। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। A) 48 মি² B) 96 মি² C) 24 মি² D) 36 মি²
উত্তর: A) 48 মি²
সমাধান: ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা = ½ × 12 × 8 = 48 মি²
শর্টকাট: ½ × 12 = 6, তারপর 6 × 8 = 48
ধারণা: জ্যামিতি ও পরিমিতি - ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
Q4. একটি স্টেশনে অবস্থিত চোঙাকার পানির ট্যাংকের ব্যাসার্ধ 3.5 মি এবং উচ্চতা 10 মি। এর আয়তন নির্ণয় করুন। A) 385 মি³ B) 770 মি³ C) 1155 মি³ D) 154 মি³
উত্তর: A) 385 মি³
সমাধান: আয়তন = πr²h = (22/7) × 3.5 × 3.5 × 10 = 22 × 0.5 × 3.5 × 10 = 385 মি³
শর্টকাট: 3.5 = 7/2, তাই (22/7) × (7/2)² × 10 = 22 × 7 × 10/4 = 385
ধারণা: জ্যামিতি ও পরিমিতি - চোঙের আয়তন
Q5. একটি রেলওয়ে সিগনাল বোর্ড ত্রিভুজাকার যার বাহুগুলি 13 মি, 14 মি এবং 15 মি। হেরনের সূত্র ব্যবহার করে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। A) 84 মি² B) 42 মি² C) 168 মি² D) 126 মি²
উত্তর: A) 84 মি²
সমাধান: s = (13+14+15)/2 = 21 ক্ষেত্রফল = √[21×(21-13)×(21-14)×(21-15)] = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 মি²
শর্টকাট: 13-14-15 কে সাধারণ ত্রিভুজ হিসেবে চিনুন যার ক্ষেত্রফল 84
ধারণা: জ্যামিতি ও পরিমিতি - হেরনের সূত্র
Q6. একটি ট্রেনের চাকার ব্যাস 1.4 মি। এটি 500 বার ঘুরলে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে? A) 2.2 কিমি B) 2.8 কিমি C) 2.2 কিমি D) 1.1 কিমি
উত্তর: C) 2.2 কিমি
সমাধান: পরিধি = πd = (22/7) × 1.4 = 4.4 মি দূরত্ব = 500 × 4.4 = 2200 মি = 2.2 কিমি
শর্টকাট: 1.4 × 22/7 = 0.2 × 22 = 4.4 মি প্রতি ঘূর্ণনে
ধারণা: জ্যামিতি ও পরিমিতি - বৃত্তের পরিধি
Q7. একটি আয়তাকার প্ল্যাটফর্ম 50 মি × 30 মি, যার কেন্দ্রে 7 মি ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার ফোয়ারা রয়েছে। অবশিষ্ট ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। A) 1500 মি² B) 1346 মি² C) 1246 মি² D) 1446 মি²
উত্তর: B) 1346 মি²
সমাধান: প্ল্যাটফর্মের ক্ষেত্রফল = 50 × 30 = 1500 মি² ফোয়ারাের ক্ষেত্রফল = (22/7) × 7 × 7 = 154 মি² অবশিষ্ট = 1500 - 154 = 1346 মি²
শর্টকাট: 22/7 × 49 = 22 × 7 = 154
ধারণা: জ্যামিতি ও পরিমিতি - যৌগিক চিত্র
Q8. একটি ফাঁপা চোঙাকার পাইপের (বহিঃব্যাসার্ধ 10 সেমি, অন্তঃব্যাসার্ধ 8 সেমি) দৈর্ঘ্য 14 মি। ধাতুর আয়তন নির্ণয় করুন। A) 1.584 মি³ B) 0.792 মি³ C) 1.188 মি³ D) 0.396 মি³
উত্তর: A) 1.584 মি³
সমাধান: আয়তন = π(R²-r²)h = (22/7) × (0.1²-0.08²) × 14 = (22/7) × (0.01-0.0064) × 14 = (22/7) × 0.0036 × 14 = 0.1584 মি³ লক্ষ্য করুন: 0.1²-0.08² = 0.01-0.0064 = 0.0036 (22/7) × 0.0036 × 14 = 22 × 0.0036 × 2 = 0.1584 মি³ আসলে: 14 মি = 1400 সেমি আয়তন = (22/7) × (100-64) × 1400 = 22 × 36 × 200 = 158400 সেমি³ = 0.1584 মি³
শর্টকাট: R²-r² = (R+r)(R-r) = 18×2 = 36 সেমি²
ধারণা: জ্যামিতি ও পরিমিতি - ফাঁপা চোঙ
Q9. একটি রেলওয়ে ওয়ার্কশপে শঙ্কু আকৃতির তাবুর ভূমির ব্যাসার্ধ 7 মি এবং তির্যক উচ্চতা 25 মি। প্রয়োজনীয় ক্যানভাসের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। A) 550 মি² B) 275 মি² C) 440 মি² D) 385 মি²
উত্তর: A) 550 মি²
সমাধান: বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl = (22/7) × 7 × 25 = 22 × 25 = 550 মি²
শর্টকাট: 22/7 × 7 = 22, তারপর 22 × 25 = 550
ধারণা: জ্যামিতি ও পরিমিতি - শঙ্কুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
Q10. একটি রেলওয়ে সেতুর ত্রিভুজাকার ট্রাসের বাহুগুলির অনুপাত 3:4:5 এবং পরিসীমা 60 মি। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। A) 120 মি² B) 60 মি² C) 240 মি² D) 150 মি²
উত্তর: A) 120 মি²
সমাধান: বাহু: 3x, 4x, 5x। পরিসীমা = 12x = 60, তাই x = 5 বাহু: 15 মি, 20 মি, 25 মি এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ (3²+4²=5²) ক্ষেত্রফল = ½ × 15 × 20 = 150 মি² লক্ষ্য করুন: 3-4-5 অনুপাত এবং পরিসীমা 60 হলে বাহুগুলি হয় 12, 16, 20 ক্ষেত্রফল = ½ × 12 × 16 = 96 মি² আসলে: 3x+4x+5x = 12x = 60, x = 5 বাহু: 15, 20, 25 ক্ষেত্রফল = ½ × 15 × 20 = 150 মি²
শর্টকাট: 3-4-5 হল সমকোণী ত্রিভুজ, ক্ষেত্রফল = ½ × 3x × 4x = 6x², x=5, তাই 6×25=150
ধারণা: জ্যামিতি ও পরিমিতি - সমকোণী ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য
৫টি পূর্ববর্তী বছরের প্রশ্ন
PYQ 1. একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 154 সেমি²। এর পরিধি নির্ণয় করুন। [RRB NTPC 2021 CBT-1]
উত্তর: 44 সেমি
সমাধান: πr² = 154 → (22/7)r² = 154 → r² = 154 × 7/22 = 49 → r = 7 সেমি পরিধি = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 সেমি
পরীক্ষার টিপ: মনে রাখুন 154 = 22 × 7, তাই r = 7 সরাসরি পাওয়া যায়
PYQ 2. 2.1 মি ব্যাসার্ধ এবং 5 মি উচ্চতার একটি চোঙাকার ট্যাংক পানি দ্বারা পূর্ণ। এটি কত লিটার ধারণ করতে পারে? [RRB Group D 2022]
উত্তর: 69300 লিটার
সমাধান: আয়তন = πr²h = (22/7) × 2.1 × 2.1 × 5 = 69.3 মি³ 1 মি³ = 1000 লিটার, তাই 69.3 × 1000 = 69300 লিটার
পরীক্ষার টিপ: 2.1 = 21/10, তাই ভগ্নাংশ দিয়ে গণনা সহজ হয়
PYQ 3. একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা 84 মি এবং এর দৈর্ঘ্য 26 মি। এর প্রস্থ নির্ণয় করুন। [RRB ALP 2018]
উত্তর: 16 মি
সমাধান: পরিসীমা = 2(l+b) = 84 → l+b = 42 → 26+b = 42 → b = 16 মি
পরীক্ষার টিপ: অর্ধ-পরিসীমা পদ্ধতি সময় বাঁচায়
PYQ 4. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 সেমি এবং একটি বাহু 7 সেমি। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। [RRB JE 2019]
উত্তর: 84 সেমি²
সমাধান: অন্য বাহু = √(25²-7²) = √(625-49) = √576 = 24 সেমি ক্ষেত্রফল = ½ × 7 × 24 = 84 সেমি²
পরীক্ষার টিপ: 7-24-25 হল পিথাগোরীয় ত্রয়ী, সাধারণগুলি মুখস্থ করুন
PYQ 5. একটি চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 1760 সেমি² এবং এর উচ্চতা 35 সেমি। এর ব্যাসার্ধ নির্ণয় করুন। [RPF SI 2019]
উত্তর: 8 সেমি
সমাধান: 2πrh = 1760 → 2 × (22/7) × r × 35 = 1760 → 220r = 1760 → r = 8 সেমি
পরীক্ষার টিপ: 2 × 22/7 × 35 = 220, তাই r = 1760/220 = 8
দ্রুত কৌশল ও শর্টকাট
| পরিস্থিতি | শর্টকাট | উদাহরণ |
|---|---|---|
| ক্ষেত্রফল 154 বিশিষ্ট বৃত্ত | r = 7 (যেহেতু 154 = 22×7) | সরাসরি r=7 ব্যবহার করে পরিধি = 44 |
| r=3.5 বিশিষ্ট চোঙের আয়তন | 11 দ্বারা গুণ করুন (যেহেতু 22/7 × 3.5² = 38.5) | r=3.5, h=10 → আয়তন = 38.5×10 = 385 |
| 3-4-5 ত্রিভুজ | ক্ষেত্রফল = 6x² যেখানে x হল স্কেলিং ফ্যাক্টর | বাহু 30-40-50 → ক্ষেত্রফল = 6×10² = 600 |
| ফাঁপা চোঙের ধাতুর আয়তন | π(R+r)(R-r)h ব্যবহার করুন | R=10, r=8, h=14 → 22/7×18×2×14 = 1584 |
| সমবাহু ত্রিভুজ | ক্ষেত্রফল ≈ 0.433a² (প্রায়) | বাহু=10 → ক্ষেত্রফল ≈ 43.3 (প্রকৃত 43.3) |
এড়াতে সাধারণ ভুলগুলি
| ভুল | শিক্ষার্থীরা কেন এটি করে | সঠিক পদ্ধতি |
|---|---|---|
| ব্যাসার্ধের পরিবর্তে ব্যাস ব্যবহার করা | বৃত্তের সূত্রে বিভ্রান্তি | সর্বদা পরীক্ষা করুন: ক্ষেত্রফলের জন্য r², পরিধির জন্য r প্রয়োজন |
| ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলে ½ ভুলে যাওয়া | সরাসরি গুণ করার অভ্যাস | মনে রাখুন: ত্রিভুজ = ½ × ভূমি × উচ্চতা |
| রূপান্তরে ভুল একক | সেমি এবং মি মিশ্রিত করা | গণনার আগে সব একই এককে রূপান্তর করুন |
| খোলা বনাম বন্ধ চোঙ | সাবধানে না পড়া | পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের জন্য উভয় প্রান্ত অন্তর্ভুক্ত কিনা পরীক্ষা করুন |
| তির্যক উচ্চতা বনাম উল্লম্ব উচ্চতা | শঙ্কু নিয়ে বিভ্রান্তি | বক্রতলের ক্ষেত্রফলে তির্যক উচ্চতা (l), আয়তনে উল্লম্ব উচ্চতা (h) ব্যবহার হয় |
দ্রুত সংশোধনী ফ্ল্যাশকার্ড
| সামনে (প্রশ্ন/পরিভাষা) | পিছনে (উত্তর) |
|---|---|
| π এর মান | 22/7 বা 3.14 |
| সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল | (√3/4)a² |
| চোঙের আয়তন | πr²h |
| শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল | πrl |
| 1 মি³ = ? লিটার | 1000 লিটার |
| হেরনের সূত্র | √[s(s-a)(s-b)(s-c)] |
| পিথাগোরীয় ত্রয়ী | 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25 |
| ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল | ½ × (সমান্তরাল বাহুর সমষ্টি) × উচ্চতা |
| গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল | 4πr² |
| 1 হেক্টর = ? মি² | 10000 মি² |
বিষয় সংযোগ
জ্যামিতি ও পরিমিতি কিভাবে অন্যান্য আরআরবি পরীক্ষার বিষয়ের সাথে যুক্ত:
- সরাসরি সংযোগ: ত্রিকোণমিতি - উচ্চতা ও দূরত্বের সমস্যায় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ও পিথাগোরাস ব্যবহার হয়
- সরাসরি সংযোগ: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি - দূরত্ব সূত্র ও খণ্ডিত সূত্র জ্যামিতিক নীতির ব্যবহার করে
- যৌগিক প্রশ্ন: গতি, সময় ও দূরত্ব - ট্রেনের সমস্যায় প্রায়ই বৃত্তাকার চাকা, সেতুর দৈর্ঘ্য জড়িত থাকে
- যৌগিক প্রশ্ন: শতকরা ও লাভ/ক্ষতি - চোঙ রঙ করা, খণ্ডিত ক্ষেত্রের বেড়ার ব্যয় গণনা
- ভিত্তি: উচ্চতর গণিত - প্রযুক্তিগত পদগুলির জন্য ত্রিমাত্রিক জ্যামিতি, প্রকৌশল অঙ্কনের ধারণা
BETA
