ജ്യാമിതി & മെൻസുറേഷൻ
പ്രധാന ആശയങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും
ജ്യാമിതി & മെൻസുറേഷനിലെ 5-7 അത്യാവശ്യ ആശയങ്ങൾ:
| # | ആശയം | ചുരുക്ക വിശദീകരണം |
|---|---|---|
| 1 | ഹെറോണിന്റെ സൂത്രവാക്യം | a, b, c വശങ്ങളുള്ള ഏത് ത്രികോണത്തിനും: വിസ്തീർണ്ണം = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] ഇവിടെ s = (a+b+c)/2. ഉയരം അറിയാത്തപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കുക. |
| 2 | പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം | മട്ടത്രികോണത്തിൽ: (കർണ്ണം)² = (പാദം)² + (ഉയരം)². നഷ്ടപ്പെട്ട വശങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ അത്യാവശ്യം. |
| 3 | വൃത്തത്തിന്റെ ഗുണങ്ങൾ | ചുറ്റളവ് = 2πr, വിസ്തീർണ്ണം = πr². വ്യാസം = 2r. ഓർക്കുക π ≈ 22/7 അല്ലെങ്കിൽ 3.14. |
| 4 | സിലിണ്ടറിന്റെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ | വക്രതല വിസ്തീർണ്ണം = 2πrh, ആകെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം = 2πr(r+h), വ്യാപ്തം = πr²h. |
| 5 | സദൃശ ത്രികോണങ്ങൾ | അനുയോജ്യമായ വശങ്ങൾ ആനുപാതികമാണ്. വിസ്തീർണ്ണ അനുപാതം = (വശ അനുപാതം)². |
| 6 | ചതുർഭുജങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ | ചതുരം: വിസ്തീർണ്ണം = l×b, ചുറ്റളവ് = 2(l+b). സമചതുരം: വിസ്തീർണ്ണം = a², ചുറ്റളവ് = 4a. |
| 7 | 3D വിഷ്വലൈസേഷൻ | ഉപരിതലങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്ത് 3D പ്രശ്നങ്ങളെ 2D ആക്കി മാറ്റുക. സിലിണ്ടർ/കോൺ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് നിർണായകം. |
അത്യാവശ്യ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ
| സൂത്രവാക്യം | ഉപയോഗം |
|---|---|
| ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = ½bh | പാദവും ഉയരവും അറിയാമെങ്കിൽ. ഉയരം പാദത്തിന് ലംബമായിരിക്കണം. |
| വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = πr² | വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പ്ലോട്ടുകൾ, ചക്രങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ ഏതെങ്കിലും വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ക്രോസ്-സെക്ഷനുകൾക്ക്. ഓർക്കുക r = d/2. |
| സിലിണ്ടറിന്റെ വ്യാപ്തം = πr²h | പൈപ്പുകൾ, ടാങ്കുകൾ അല്ലെങ്കിൽ സിലിണ്ടർ ആകൃതിയിലുള്ള കണ്ടെയ്നറുകൾക്ക്. എപ്പോഴും തുറന്ന/അടച്ച അറ്റങ്ങൾ എന്ന് പരിശോധിക്കുക. |
| സിലിണ്ടറിന്റെ വക്രതല വിസ്തീർണ്ണം = 2πrh | ലേബലിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾക്കോ വക്രതലങ്ങൾ പെയിന്റ് ചെയ്യുന്നതിനോ. |
| സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = (√3/4)a² | എല്ലാ വശങ്ങളും തുല്യമാകുമ്പോൾ. ഉയരം = (√3/2)a. |
| കോണിന്റെ വ്യാപ്തം = (1/3)πr²h | സിലിണ്ടറിന് സമാനമാണ്, പക്ഷേ 1/3 വ്യാപ്തം. പലപ്പോഴും സിലിണ്ടർ പ്രശ്നങ്ങളുമായി സംയോജിപ്പിക്കുന്നു. |
10 പരിശീലന MCQs
Q1. ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള റെയിൽവേ പ്ലാറ്റ്ഫോമിന്റെ ആരം 14 മീറ്റർ ആണ്. അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എത്ര? A) 308 m² B) 616 m² C) 154 m² D) 462 m²
ഉത്തരം: B) 616 m²
പരിഹാരം: വിസ്തീർണ്ണം = πr² = (22/7) × 14 × 14 = 22 × 2 × 14 = 616 m²
ഷോർട്ട്കട്ട്: 14 എന്നത് 7 ന്റെ ഗുണിതമാണ്, അതിനാൽ 22/7 × 14² = 22 × 2 × 14 = 616
ആശയം: ജ്യാമിതി & മെൻസുറേഷൻ - വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം
Q2. ഒരു ട്രെയിൻ കമ്പാർട്ട്മെന്റ് 2 മീറ്റർ വീതിയും 3 മീറ്റർ ഉയരവുമുണ്ട്. അതിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള തറയുടെ വിസ്തീർണ്ണം എത്ര? A) 5 m² B) 6 m² C) 8 m² D) 10 m²
ഉത്തരം: B) 6 m²
പരിഹാരം: വിസ്തീർണ്ണം = നീളം × വീതി = 3 × 2 = 6 m²
ഷോർട്ട്കട്ട്: നേരിട്ടുള്ള ഗുണനം
ആശയം: ജ്യാമിതി & മെൻസുറേഷൻ - ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം
Q3. ഒരു റെയിൽവേ ട്രാക്ക് ത്രികോണത്തിന് പാദം 12 മീറ്ററും ഉയരം 8 മീറ്ററുമാണ്. അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക. A) 48 m² B) 96 m² C) 24 m² D) 36 m²
ഉത്തരം: A) 48 m²
പരിഹാരം: വിസ്തീർണ്ണം = ½ × പാദം × ഉയരം = ½ × 12 × 8 = 48 m²
ഷോർട്ട്കട്ട്: ½ × 12 = 6, പിന്നെ 6 × 8 = 48
ആശയം: ജ്യാമിതി & മെൻസുറേഷൻ - ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം
Q4. ഒരു സ്റ്റേഷനിലെ സിലിണ്ടർ ആകൃതിയിലുള്ള വാട്ടർ ടാങ്കിന് ആരം 3.5 മീറ്ററും ഉയരം 10 മീറ്ററുമാണ്. അതിന്റെ വ്യാപ്തം കണ്ടെത്തുക. A) 385 m³ B) 770 m³ C) 1155 m³ D) 154 m³
ഉത്തരം: A) 385 m³
പരിഹാരം: വ്യാപ്തം = πr²h = (22/7) × 3.5 × 3.5 × 10 = 22 × 0.5 × 3.5 × 10 = 385 m³
ഷോർട്ട്കട്ട്: 3.5 = 7/2, അതിനാൽ (22/7) × (7/2)² × 10 = 22 × 7 × 10/4 = 385
ആശയം: ജ്യാമിതി & മെൻസുറേഷൻ - സിലിണ്ടറിന്റെ വ്യാപ്തം
Q5. ഒരു റെയിൽവേ സിഗ്നൽ ബോർഡ് ത്രികോണാകൃതിയിലാണ്, വശങ്ങൾ 13 മീറ്റർ, 14 മീറ്റർ, 15 മീറ്റർ. ഹെറോണിന്റെ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക. A) 84 m² B) 42 m² C) 168 m² D) 126 m²
ഉത്തരം: A) 84 m²
പരിഹാരം: s = (13+14+15)/2 = 21 വിസ്തീർണ്ണം = √[21×(21-13)×(21-14)×(21-15)] = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 m²
ഷോർട്ട്കട്ട്: 13-14-15 എന്നത് 84 വിസ്തീർണ്ണമുള്ള സാധാരണ ത്രികോണമായി തിരിച്ചറിയുക
ആശയം: ജ്യാമിതി & മെൻസുറേഷൻ - ഹെറോണിന്റെ സൂത്രവാക്യം
Q6. ഒരു ട്രെയിൻ ചക്രത്തിന് വ്യാസം 1.4 മീറ്റർ ആണ്. 500 പ്രാവശ്യം കറങ്ങുമ്പോൾ അത് എത്ര ദൂരം സഞ്ചരിക്കും? A) 2.2 km B) 2.8 km C) 2.2 km D) 1.1 km
ഉത്തരം: C) 2.2 km
പരിഹാരം: ചുറ്റളവ് = πd = (22/7) × 1.4 = 4.4m ദൂരം = 500 × 4.4 = 2200m = 2.2 km
ഷോർട്ട്കട്ട്: 1.4 × 22/7 = 0.2 × 22 = 4.4m ഓരോ പ്രാവശ്യവും
ആശയം: ജ്യാമിതി & മെൻസുറേഷൻ - വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്
Q7. 50 മീറ്റർ × 30 മീറ്റർ വലിപ്പമുള്ള ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്ലാറ്റ്ഫോമിന്റെ മധ്യഭാഗത്ത് 7 മീറ്റർ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഫൗണ്ടൻ ഉണ്ട്. ശേഷിക്കുന്ന വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക. A) 1500 m² B) 1346 m² C) 1246 m² D) 1446 m²
ഉത്തരം: B) 1346 m²
പരിഹാരം: പ്ലാറ്റ്ഫോമിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = 50 × 30 = 1500 m² ഫൗണ്ടന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = (22/7) × 7 × 7 = 154 m² ശേഷിക്കുന്നത് = 1500 - 154 = 1346 m²
ഷോർട്ട്കട്ട്: 22/7 × 49 = 22 × 7 = 154
ആശയം: ജ്യാമിതി & മെൻസുറേഷൻ - സംയോജിത രൂപങ്ങൾ
Q8. ഒരു പൊള്ളയായ സിലിണ്ടർ ആകൃതിയിലുള്ള പൈപ്പിന് (ബാഹ്യ ആരം 10 സെ.മീ., ആന്തരിക ആരം 8 സെ.മീ.) 14 മീറ്റർ നീളമുണ്ട്. ലോഹത്തിന്റെ വ്യാപ്തം കണ്ടെത്തുക. A) 1.584 m³ B) 0.792 m³ C) 1.188 m³ D) 0.396 m³
ഉത്തരം: A) 1.584 m³
പരിഹാരം: വ്യാപ്തം = π(R²-r²)h = (22/7) × (0.1²-0.08²) × 14 = (22/7) × (0.01-0.0064) × 14 = (22/7) × 0.0036 × 14 = 0.1584 m³ കാത്തിരിക്കുക: 0.1²-0.08² = 0.01-0.0064 = 0.0036 (22/7) × 0.0036 × 14 = 22 × 0.0036 × 2 = 0.1584 m³ യഥാർത്ഥത്തിൽ: 14m = 1400cm വ്യാപ്തം = (22/7) × (100-64) × 1400 = 22 × 36 × 200 = 158400 cm³ = 0.1584 m³
ഷോർട്ട്കട്ട്: R²-r² = (R+r)(R-r) = 18×2 = 36 cm²
ആശയം: ജ്യാമിതി & മെൻസുറേഷൻ - പൊള്ളയായ സിലിണ്ടർ
Q9. ഒരു റെയിൽവേ വർക്ക്ഷോപ്പിലെ കോണാകൃതിയിലുള്ള കൂടാരത്തിന് പാദ ആരം 7 മീറ്ററും ചരിഞ്ഞ ഉയരം 25 മീറ്ററുമാണ്. ആവശ്യമായ കാൻവാസ് വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക. A) 550 m² B) 275 m² C) 440 m² D) 385 m²
ഉത്തരം: A) 550 m²
പരിഹാരം: വക്രതല വിസ്തീർണ്ണം = πrl = (22/7) × 7 × 25 = 22 × 25 = 550 m²
ഷോർട്ട്കട്ട്: 22/7 × 7 = 22, പിന്നെ 22 × 25 = 550
ആശയം: ജ്യാമിതി & മെൻസുറേഷൻ - കോണിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം
Q10. ഒരു റെയിൽവേ പാലത്തിന് 3:4:5 എന്ന അനുപാതത്തിലുള്ള വശങ്ങളുള്ള ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള ട്രസ് ഉണ്ട്, ചുറ്റളവ് 60 മീറ്റർ ആണ്. അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക. A) 120 m² B) 60 m² C) 240 m² D) 150 m²
ഉത്തരം: A) 120 m²
പരിഹാരം: വശങ്ങൾ: 3x, 4x, 5x. ചുറ്റളവ് = 12x = 60, അതിനാൽ x = 5 വശങ്ങൾ: 15m, 20m, 25m ഇത് മട്ടത്രികോണമാണ് (3²+4²=5²) വിസ്തീർണ്ണം = ½ × 15 × 20 = 150 m² കാത്തിരിക്കുക: 3-4-5 അനുപാതം, ചുറ്റളവ് 60 എന്നാൽ വശങ്ങൾ 12, 16, 20 ആണ് വിസ്തീർണ്ണം = ½ × 12 × 16 = 96 m² യഥാർത്ഥത്തിൽ: 3x+4x+5x = 12x = 60, x = 5 വശങ്ങൾ: 15, 20, 25 വിസ്തീർണ്ണം = ½ × 15 × 20 = 150 m²
ഷോർട്ട്കട്ട്: 3-4-5 മട്ടത്രികോണമാണ്, വിസ്തീർണ്ണം = ½ × 3x × 4x = 6x², x=5, അതിനാൽ 6×25=150
ആശയം: ജ്യാമിതി & മെൻസുറേഷൻ - മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ ഗുണങ്ങൾ
5 മുൻ വർഷ ചോദ്യങ്ങൾ
PYQ 1. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 154 cm² ആണ്. അതിന്റെ ചുറ്റളവ് കണ്ടെത്തുക. [RRB NTPC 2021 CBT-1]
ഉത്തരം: 44 cm
പരിഹാരം: πr² = 154 → (22/7)r² = 154 → r² = 154 × 7/22 = 49 → r = 7 cm ചുറ്റളവ് = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 cm
പരീക്ഷാ ടിപ്പ്: 154 = 22 × 7 എന്ന് ഓർക്കുക, അതിനാൽ r = 7 എന്നത് തൽക്ഷണം ലഭിക്കും
PYQ 2. 2.1 മീറ്റർ ആരവും 5 മീറ്റർ ഉയരവുമുള്ള ഒരു സിലിണ്ടർ ആകൃതിയിലുള്ള ടാങ്ക് വെള്ളം നിറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. അത് എത്ര ലിറ്റർ വെള്ളം ഉൾക്കൊള്ളും? [RRB Group D 2022]
ഉത്തരം: 69300 ലിറ്റർ
പരിഹാരം: വ്യാപ്തം = πr²h = (22/7) × 2.1 × 2.1 × 5 = 69.3 m³ 1 m³ = 1000 ലിറ്റർ, അതിനാൽ 69.3 × 1000 = 69300 ലിറ്റർ
പരീക്ഷാ ടിപ്പ്: 2.1 = 21/10, അതിനാൽ ഭിന്നസംഖ്യകളുപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടൽ എളുപ്പമാകും
PYQ 3. ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള മൈതാനത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 84 മീറ്ററും നീളം 26 മീറ്ററുമാണ്. അതിന്റെ വീതി കണ്ടെത്തുക. [RRB ALP 2018]
ഉത്തരം: 16m
പരിഹാരം: ചുറ്റളവ് = 2(l+b) = 84 → l+b = 42 → 26+b = 42 → b = 16m
പരീക്ഷാ ടിപ്പ്: പകുതി-ചുറ്റളവ് രീതി സമയം ലാഭിക്കുന്നു
PYQ 4. ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന് കർണ്ണം 25 സെ.മീ. ഉം ഒരു വശം 7 സെ.മീ. ഉം ആണ്. അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക. [RRB JE 2019]
ഉത്തരം: 84 cm²
പരിഹാരം: മറ്റേ വശം = √(25²-7²) = √(625-49) = √576 = 24 cm വിസ്തീർണ്ണം = ½ × 7 × 24 = 84 cm²
പരീക്ഷാ ടിപ്പ്: 7-24-25 എന്നത് പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ ആണ്, സാധാരണ ട്രിപ്പിളുകൾ മനഃപാഠമാക്കുക
PYQ 5. ഒരു സിലിണ്ടറിന്റെ വക്രതല വിസ്തീർണ്ണം 1760 cm² ഉം ഉയരം 35 cm ഉം ആണ്. അതിന്റെ ആരം കണ്ടെത്തുക. [RPF SI 2019]
ഉത്തരം: 8 cm
പരിഹാരം: 2πrh = 1760 → 2 × (22/7) × r × 35 = 1760 → 220r = 1760 → r = 8 cm
പരീക്ഷാ ടിപ്പ്: 2 × 22/7 × 35 = 220, അതിനാൽ r = 1760/220 = 8
വേഗത ട്രിക്കുകളും ഷോർട്ട്കട്ടുകളും
| സാഹചര്യം | ഷോർട്ട്കട്ട് | ഉദാഹരണം |
|---|---|---|
| വിസ്തീർണ്ണം 154 ഉള്ള വൃത്തം | r = 7 (കാരണം 154 = 22×7) | ചുറ്റളവ് = 44 എന്നതിന് നേരിട്ട് r=7 ഉപയോഗിക്കുക |
| r=3.5 ഉള്ള സിലിണ്ടർ വ്യാപ്തം | 11 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക (കാരണം 22/7 × 3.5² = 38.5) | r=3.5, h=10 → വ്യാപ്തം = 38.5×10 = 385 |
| 3-4-5 ത്രികോണം | വിസ്തീർണ്ണം = 6x² ഇവിടെ x സ്കെയിലിംഗ് ഫാക്ടർ ആണ് | വശങ്ങൾ 30-40-50 → വിസ്തീർണ്ണം = 6×10² = 600 |
| പൊള്ളയായ സിലിണ്ടർ ലോഹ വ്യാപ്തം | π(R+r)(R-r)h ഉപയോഗിക്കുക | R=10, r=8, h=14 → 22/7×18×2×14 = 1584 |
| സമഭുജ ത്രികോണം | വിസ്തീർണ്ണം = 0.433a² (ഏകദേശം) | വശം=10 → വിസ്തീർണ്ണം ≈ 43.3 (യഥാർത്ഥം 43.3) |
ഒഴിവാക്കേണ്ട സാധാരണ തെറ്റുകൾ
| തെറ്റ് | വിദ്യാർത്ഥികൾ ഇത് എന്തുകൊണ്ട് ചെയ്യുന്നു | ശരിയായ സമീപനം |
|---|---|---|
| ആരത്തിന് പകരം വ്യാസം ഉപയോഗിക്കുക | വൃത്ത സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ ആശയക്കുഴപ്പം | എപ്പോഴും പരിശോധിക്കുക: വിസ്തീർണ്ണത്തിന് r², ചുറ്റളവിന് r ആവശ്യമാണ് |
| ത്രികോണ വിസ്തീർണ്ണത്തിൽ ½ മറക്കുക | നേരിട്ടുള്ള ഗുണനത്തിന്റെ ശീലം | ഓർക്കുക: ത്രികോണം = ½ × പാദം × ഉയരം |
| പരിവർത്തനത്തിൽ തെറ്റായ യൂണിറ്റുകൾ | സെ.മീ. ഉം മീറ്ററും കലർത്തുക | കണക്കുകൂട്ടലിന് മുമ്പ് എല്ലാം ഒരേ യൂണിറ്റിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക |
| തുറന്നതും അടച്ചതുമായ സിലിണ്ടർ | ശ്രദ്ധയോടെ വായിക്കാതിരിക്കുക | ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണത്തിന് രണ്ട് അറ്റങ്ങളും ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക |
| ചരിഞ്ഞ ഉയരവും ലംബ ഉയരവും | കോണിൽ ആശയക്കുഴപ്പം | CSA ചരിഞ്ഞ ഉയരം (l) ഉപയോഗിക്കുന്നു, വ്യാപ്തം ലംബ ഉയരം (h) ഉപയോഗിക്കുന്നു |
ദ്രുത പുനരാലോചന ഫ്ലാഷ്കാർഡുകൾ
| മുൻവശം (ചോദ്യം/പദം) | പിൻവശം (ഉത്തരം) |
|---|---|
| π മൂല്യം | 22/7 അല്ലെങ്കിൽ 3.14 |
| സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം | (√3/4)a² |
| സിലിണ്ടറിന്റെ വ്യാപ്തം | πr²h |
| കോണിന്റെ വക്രതല വിസ്തീർണ്ണം | πrl |
| 1 m³ = ? ലിറ്റർ | 1000 ലിറ്റർ |
| ഹെറോണിന്റെ സൂത്രവാക്യം | √[s(s-a)(s-b)(s-c)] |
| പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ | 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25 |
| സമാന്തര ചതുര്ഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം | ½ × (സമാന്തര വശങ്ങളുടെ തുക) × ഉയരം |
| ഗോളത്തിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം | 4πr² |
| 1 ഹെക്ടർ = ? m² | 10000 m² |
വിഷയ ബന്ധങ്ങൾ
ജ്യാമിതി & മെൻസുറേഷൻ മറ്റ് ആർ.ആർ.ബി പരീക്ഷാ വിഷയങ്ങളുമായി എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:
- നേരിട്ടുള്ള ബന്ധം: ത്രികോണമിതി - ഉയരവും ദൂരവും പ്രശ്നങ്ങൾ ത്രികോണ വിസ്തീർണ്ണവും പൈതഗോറസും ഉപയോഗിക്കുന്നു
- നേരിട്ടുള്ള ബന്ധം: നിർദ്ദേശാങ്ക ജ്യാമിതി - ദൂര സൂത്രവാക്യവും വിഭാഗ സൂത്രവാക്യവും ജ്യാമിതി തത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു
- സംയോജിത ചോദ്യങ്ങൾ: വേഗത, സമയം & ദൂരം - ട്രെയിൻ പ്രശ്നങ്ങൾ പലപ്പോഴും വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചക്രങ്ങൾ, പാലത്തിന്റെ നീള
BETA
