வடிவியல் & அளவியல்
முக்கிய கருத்துக்கள் & சூத்திரங்கள்
வடிவியல் & அளவியலுக்கான 5-7 அத்தியாவசிய கருத்துக்கள்:
| # | கருத்து | சுருக்கமான விளக்கம் |
|---|---|---|
| 1 | ஹெரான் சூத்திரம் | பக்கங்கள் a, b, c கொண்ட எந்த முக்கோணத்திற்கும்: பரப்பளவு = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] இங்கு s = (a+b+c)/2. உயரம் தெரியாதபோது பயன்படுத்தவும். |
| 2 | பிதாகரஸ் தேற்றம் | செங்கோண முக்கோணத்தில்: (கர்ணம்)² = (அடிப்பக்கம்)² + (உயரம்)². விடுபட்ட பக்கங்களைக் கண்டறிய அத்தியாவசியம். |
| 3 | வட்ட பண்புகள் | சுற்றளவு = 2πr, பரப்பளவு = πr². விட்டம் = 2r. π ≈ 22/7 அல்லது 3.14 என நினைவில் கொள்ளவும். |
| 4 | உருளை அடிப்படைகள் | வளைந்த பரப்பு = 2πrh, மொத்த பரப்பளவு = 2πr(r+h), கனஅளவு = πr²h. |
| 5 | ஒத்த முக்கோணங்கள் | ஒத்த பக்கங்கள் விகிதசமமாக இருக்கும். பரப்பளவு விகிதம் = (பக்க விகிதம்)². |
| 6 | நாற்கர வகைகள் | செவ்வகம்: பரப்பளவு = l×b, சுற்றளவு = 2(l+b). சதுரம்: பரப்பளவு = a², சுற்றளவு = 4a. |
| 7 | 3D காட்சிப்படுத்தல் | மேற்பரப்புகளை விரிப்பதன் மூலம் 3D சிக்கல்களை 2D ஆக மாற்றவும். உருளை/கூம்பு சிக்கல்களுக்கு முக்கியமானது. |
அத்தியாவசிய சூத்திரங்கள்
| சூத்திரம் | பயன்பாடு |
|---|---|
| முக்கோணத்தின் பரப்பளவு = ½bh | அடிப்பக்கம் மற்றும் உயரம் தெரிந்திருக்கும் போது. உயரம் அடிப்பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும். |
| வட்டத்தின் பரப்பளவு = πr² | வட்ட வடிவ நிலப்பரப்புகள், சக்கரங்கள் அல்லது எந்த வட்ட குறுக்குவெட்டுக்கும். r = d/2 என நினைவில் கொள்ளவும். |
| உருளையின் கனஅளவு = πr²h | குழாய்கள், தொட்டிகள் அல்லது உருளை வடிவ கொள்கலன்களுக்கு. எப்போதும் திறந்த/மூடிய முனைகள் என்பதைச் சரிபார்க்கவும். |
| உருளையின் வளைந்த பரப்பு = 2πrh | லேபிள் செய்யும் சிக்கல்கள் அல்லது வளைந்த மேற்பரப்புகளை வரைவதற்கு. |
| சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு = (√3/4)a² | அனைத்து பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும் போது. உயரம் = (√3/2)a. |
| கூம்பின் கனஅளவு = (1/3)πr²h | உருளை போன்றது ஆனால் 1/3 கனஅளவு. பெரும்பாலும் உருளை சிக்கல்களுடன் இணைக்கப்படுகிறது. |
10 பயிற்சி பலதேர்வு கேள்விகள்
Q1. ஒரு வட்ட ரயில்வே நடைமேடையின் ஆரம் 14மீ. அதன் பரப்பளவு என்ன? A) 308 மீ² B) 616 மீ² C) 154 மீ² D) 462 மீ²
விடை: B) 616 மீ²
தீர்வு: பரப்பளவு = πr² = (22/7) × 14 × 14 = 22 × 2 × 14 = 616 மீ²
குறுக்குவழி: 14 என்பது 7 இன் மடங்கு, எனவே 22/7 × 14² = 22 × 2 × 14 = 616
கருத்து: வடிவியல் & அளவியல் - வட்டப் பரப்பளவு
Q2. ஒரு ரயில் பெட்டி 2மீ அகலமும் 3மீ உயரமும் கொண்டது. அதன் செவ்வக தளத்தின் பரப்பளவு என்ன? A) 5 மீ² B) 6 மீ² C) 8 மீ² D) 10 மீ²
விடை: B) 6 மீ²
தீர்வு: பரப்பளவு = நீளம் × அகலம் = 3 × 2 = 6 மீ²
குறுக்குவழி: நேரடி பெருக்கல்
கருத்து: வடிவியல் & அளவியல் - செவ்வகப் பரப்பளவு
Q3. ஒரு ரயில் பாதை முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கம் 12மீ மற்றும் உயரம் 8மீ. அதன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும். A) 48 மீ² B) 96 மீ² C) 24 மீ² D) 36 மீ²
விடை: A) 48 மீ²
தீர்வு: பரப்பளவு = ½ × அடிப்பக்கம் × உயரம் = ½ × 12 × 8 = 48 மீ²
குறுக்குவழி: ½ × 12 = 6, பின்னர் 6 × 8 = 48
கருத்து: வடிவியல் & அளவியல் - முக்கோணப் பரப்பளவு
Q4. நிலையத்தில் உள்ள ஒரு உருளை நீர்த்தொட்டியின் ஆரம் 3.5மீ மற்றும் உயரம் 10மீ. அதன் கனஅளவைக் கண்டறியவும். A) 385 மீ³ B) 770 மீ³ C) 1155 மீ³ D) 154 மீ³
விடை: A) 385 மீ³
தீர்வு: கனஅளவு = πr²h = (22/7) × 3.5 × 3.5 × 10 = 22 × 0.5 × 3.5 × 10 = 385 மீ³
குறுக்குவழி: 3.5 = 7/2, எனவே (22/7) × (7/2)² × 10 = 22 × 7 × 10/4 = 385
கருத்து: வடிவியல் & அளவியல் - உருளையின் கனஅளவு
Q5. ஒரு ரயில் சமிக்ஞை பலகை முக்கோண வடிவில் உள்ளது, அதன் பக்கங்கள் 13மீ, 14மீ மற்றும் 15மீ. ஹெரான் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும். A) 84 மீ² B) 42 மீ² C) 168 மீ² D) 126 மீ²
விடை: A) 84 மீ²
தீர்வு: s = (13+14+15)/2 = 21 பரப்பளவு = √[21×(21-13)×(21-14)×(21-15)] = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 மீ²
குறுக்குவழி: 13-14-15 என்பது பொதுவான முக்கோணம் என்பதை அறிந்து கொள்ளவும், பரப்பளவு 84
கருத்து: வடிவியல் & அளவியல் - ஹெரான் சூத்திரம்
Q6. ஒரு ரயில் சக்கரத்தின் விட்டம் 1.4மீ. 500 சுழற்சிகளில் அது எவ்வளவு தூரத்தைக் கடக்கும்? A) 2.2 கிமீ B) 2.8 கிமீ C) 2.2 கிமீ D) 1.1 கிமீ
விடை: C) 2.2 கிமீ
தீர்வு: சுற்றளவு = πd = (22/7) × 1.4 = 4.4மீ தூரம் = 500 × 4.4 = 2200மீ = 2.2 கிமீ
குறுக்குவழி: 1.4 × 22/7 = 0.2 × 22 = 4.4மீ ஒரு சுழற்சிக்கு
கருத்து: வடிவியல் & அளவியல் - வட்டச் சுற்றளவு
Q7. 50மீ × 30மீ அளவுள்ள ஒரு செவ்வக நடைமேடையின் மையத்தில் 7மீ ஆரமுள்ள ஒரு வட்ட நீரூற்று உள்ளது. மீதமுள்ள பரப்பளவைக் கண்டறியவும். A) 1500 மீ² B) 1346 மீ² C) 1246 மீ² D) 1446 மீ²
விடை: B) 1346 மீ²
தீர்வு: நடைமேடை பரப்பளவு = 50 × 30 = 1500 மீ² நீரூற்று பரப்பளவு = (22/7) × 7 × 7 = 154 மீ² மீதமுள்ளது = 1500 - 154 = 1346 மீ²
குறுக்குவழி: 22/7 × 49 = 22 × 7 = 154
கருத்து: வடிவியல் & அளவியல் - இணைந்த படிவங்கள்
Q8. ஒரு வெற்று உருளை குழாய் (வெளிப்புற ஆரம் 10செமீ, உள்புற ஆரம் 8செமீ) 14மீ நீளமுள்ளது. உலோகத்தின் கனஅளவைக் கண்டறியவும். A) 1.584 மீ³ B) 0.792 மீ³ C) 1.188 மீ³ D) 0.396 மீ³
விடை: A) 1.584 மீ³
தீர்வு: கனஅளவு = π(R²-r²)h = (22/7) × (0.1²-0.08²) × 14 = (22/7) × (0.01-0.0064) × 14 = (22/7) × 0.0036 × 14 = 0.1584 மீ³ கவனிக்க: 0.1²-0.08² = 0.01-0.0064 = 0.0036 (22/7) × 0.0036 × 14 = 22 × 0.0036 × 2 = 0.1584 மீ³ உண்மையில்: 14மீ = 1400செமீ கனஅளவு = (22/7) × (100-64) × 1400 = 22 × 36 × 200 = 158400 செமீ³ = 0.1584 மீ³
குறுக்குவழி: R²-r² = (R+r)(R-r) = 18×2 = 36 செமீ²
கருத்து: வடிவியல் & அளவியல் - வெற்று உருளை
Q9. ரயில்வே பட்டறையில் உள்ள ஒரு கூம்பு கூடாரத்தின் அடிப்பக்க ஆரம் 7மீ மற்றும் சாய்வு உயரம் 25மீ. தேவையான கேன்வாஸ் பரப்பளவைக் கண்டறியவும். A) 550 மீ² B) 275 மீ² C) 440 மீ² D) 385 மீ²
விடை: A) 550 மீ²
தீர்வு: வளைந்த பரப்பளவு = πrl = (22/7) × 7 × 25 = 22 × 25 = 550 மீ²
குறுக்குவழி: 22/7 × 7 = 22, பின்னர் 22 × 25 = 550
கருத்து: வடிவியல் & அளவியல் - கூம்பின் பரப்பளவு
Q10. ஒரு ரயில் பாலத்தின் முக்கோண திராஸ் பக்கங்களின் விகிதம் 3:4:5 மற்றும் சுற்றளவு 60மீ. அதன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும். A) 120 மீ² B) 60 மீ² C) 240 மீ² D) 150 மீ²
விடை: A) 120 மீ²
தீர்வு: பக்கங்கள்: 3x, 4x, 5x. சுற்றளவு = 12x = 60, எனவே x = 5 பக்கங்கள்: 15மீ, 20மீ, 25மீ இது செங்கோண முக்கோணம் (3²+4²=5²) பரப்பளவு = ½ × 15 × 20 = 150 மீ² கவனிக்க: 3-4-5 விகிதம் மற்றும் சுற்றளவு 60 எனில் பக்கங்கள் 12, 16, 20 பரப்பளவு = ½ × 12 × 16 = 96 மீ² உண்மையில்: 3x+4x+5x = 12x = 60, x = 5 பக்கங்கள்: 15, 20, 25 பரப்பளவு = ½ × 15 × 20 = 150 மீ²
குறுக்குவழி: 3-4-5 என்பது செங்கோண முக்கோணம், பரப்பளவு = ½ × 3x × 4x = 6x², x=5, எனவே 6×25=150
கருத்து: வடிவியல் & அளவியல் - செங்கோண முக்கோண பண்புகள்
5 முந்தைய ஆண்டு கேள்விகள்
PYQ 1. ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவு 154 செமீ². அதன் சுற்றளவைக் கண்டறியவும். [RRB NTPC 2021 CBT-1]
விடை: 44 செமீ
தீர்வு: πr² = 154 → (22/7)r² = 154 → r² = 154 × 7/22 = 49 → r = 7 செமீ சுற்றளவு = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 செமீ
தேர்வு உதவி: 154 = 22 × 7 என நினைவில் கொள்ளவும், எனவே r = 7 உடனடியாக கிடைக்கும்
PYQ 2. 2.1மீ ஆரம் மற்றும் 5மீ உயரம் கொண்ட ஒரு உருளை தொட்டி நீரால் நிரம்பியுள்ளது. அது எத்தனை லிட்டர் கொள்ளும்? [RRB Group D 2022]
விடை: 69300 லிட்டர்
தீர்வு: கனஅளவு = πr²h = (22/7) × 2.1 × 2.1 × 5 = 69.3 மீ³ 1 மீ³ = 1000 லிட்டர், எனவே 69.3 × 1000 = 69300 லிட்டர்
தேர்வு உதவி: 2.1 = 21/10, எனவே பின்னங்களுடன் கணக்கீடு எளிதாகும்
PYQ 3. ஒரு செவ்வக வயலின் சுற்றளவு 84மீ மற்றும் அதன் நீளம் 26மீ. அதன் அகலத்தைக் கண்டறியவும். [RRB ALP 2018]
விடை: 16மீ
தீர்வு: சுற்றளவு = 2(l+b) = 84 → l+b = 42 → 26+b = 42 → b = 16மீ
தேர்வு உதவி: அரை-சுற்றளவு முறை நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும்
PYQ 4. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம் 25செமீ மற்றும் ஒரு பக்கம் 7செமீ. அதன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும். [RRB JE 2019]
விடை: 84 செமீ²
தீர்வு: மற்றொரு பக்கம் = √(25²-7²) = √(625-49) = √576 = 24 செமீ பரப்பளவு = ½ × 7 × 24 = 84 செமீ²
தேர்வு உதவி: 7-24-25 என்பது பித்தகோரியன் மும்மை, பொதுவானவற்றை மனப்பாடம் செய்யவும்
PYQ 5. ஒரு உருளையின் வளைந்த பரப்பளவு 1760 செமீ² மற்றும் அதன் உயரம் 35செமீ. அதன் ஆரத்தைக் கண்டறியவும். [RPF SI 2019]
விடை: 8 செமீ
தீர்வு: 2πrh = 1760 → 2 × (22/7) × r × 35 = 1760 → 220r = 1760 → r = 8 செமீ
தேர்வு உதவி: 2 × 22/7 × 35 = 220, எனவே r = 1760/220 = 8
வேக தந்திரங்கள் & குறுக்குவழிகள்
| சூழ்நிலை | குறுக்குவழி | எடுத்துக்காட்டு |
|---|---|---|
| பரப்பளவு 154 கொண்ட வட்டம் | r = 7 (ஏனெனில் 154 = 22×7) | சுற்றளவு = 44 க்கு நேரடியாக r=7 ஐப் பயன்படுத்தவும் |
| r=3.5 கொண்ட உருளை கனஅளவு | 11 ஆல் பெருக்கவும் (ஏனெனில் 22/7 × 3.5² = 38.5) | r=3.5, h=10 → கனஅளவு = 38.5×10 = 385 |
| 3-4-5 முக்கோணம் | பரப்பளவு = 6x² இங்கு x என்பது அளவிடும் காரணி | பக்கங்கள் 30-40-50 → பரப்பளவு = 6×10² = 600 |
| வெற்று உருளை உலோக கனஅளவு | π(R+r)(R-r)h ஐப் பயன்படுத்தவும் | R=10, r=8, h=14 → 22/7×18×2×14 = 1584 |
| சமபக்க முக்கோணம் | பரப்பளவு = 0.433a² (தோராயமாக) | பக்கம்=10 → பரப்பளவு ≈ 43.3 (உண்மையானது 43.3) |
தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்
| தவறு | மாணவர்கள் ஏன் இதைச் செய்கிறார்கள் | சரியான அணுகுமுறை |
|---|---|---|
| ஆரத்திற்குப் பதிலாக விட்டத்தைப் பயன்படுத்துதல் | வட்ட சூத்திரங்களில் குழப்பம் | எப்போதும் சரிபார்க்கவும்: பரப்பளவுக்கு r² தேவை, சுற்றளவுக்கு r தேவை |
| முக்கோணப் பரப்பளவில் ½ ஐ மறத்தல் | நேரடி பெருக்கல் பழக்கம் | நினைவில் கொள்ளவும்: முக்கோணம் = ½ × அடிப்பக்கம் × உயரம் |
| மாற்றத்தில் தவறான அலகுகள் | செமீ மற்றும் மீ கலத்தல் | கணக்கீட்டிற்கு முன் அனைத்தையும் ஒரே அலகாக மாற்றவும் |
| திறந்த vs மூடிய உருளை | கவனமாகப் படிக்காதது | பரப்பளவுக்கு இரு முனைகளும் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதா எனச் சரிபார்க்கவும் |
| சாய்வு உயரம் vs செங்குத்து உயரம் | கூம்பு குழப்பம் | CSA சாய்வு உயரத்தை (l) பயன்படுத்துகிறது, கனஅளவு செங்குத்து உயரத்தை (h) பயன்படுத்துகிறது |
விரைவு மீள் பார்வை ஃபிளாஷ் கார்டுகள்
| முன் (கேள்வி/சொல்) | பின் (விடை) |
|---|---|
| π மதிப்பு | 22/7 அல்லது 3.14 |
| சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு | (√3/4)a² |
| உருளையின் கனஅளவு | πr²h |
| கூம்பின் வளைந்த பரப்பளவு | πrl |
| 1 மீ³ = ? லிட்டர் | 1000 லிட்டர் |
| ஹெரான் சூத்திரம் | √[s(s-a)(s-b)(s-c)] |
| பித்தகோரியன் மும்மை | 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25 |
| சரிவகத்தின் பரப்பளவு | ½ × (இணை பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை) × உயரம் |
| கோளத்தின் பரப்பளவு | 4πr² |
| 1 ஹெக்டேர் = ? மீ² | 10000 மீ² |
தலைப்பு இணைப்புகள்
வடிவியல் & அளவியல் மற்ற RRB தேர்வுத் தலைப்புகளுடன் எவ்வாறு இணைக்கப்பட்டுள்ளது:
- நேரடி இணைப்பு: முக்கோணவியல் - உயரம் மற்றும் தூர சிக்கல்கள் முக்கோணப் பரப்பளவு மற்றும் பிதாகரஸைப் பயன்படுத்துகின்றன
- நேரடி இணைப்பு: ஆய வடிவியல் - தூர சூத்திரம் மற்றும் பிரிவு சூத்திரம் வடிவியல் கொள்கைகளைப் பயன்படுத்துகின்றன
- இணைந்த கேள்விகள்: வேகம், நேரம் & தூரம் - ரயில் சிக்கல்கள் பெரும்பாலும் வட்ட சக்கரங்கள், பால நீளங்களை உள்ளடக்கியது
- இணைந்த கேள்விகள்: சதவீதம் & இலாபம்/நட்டம் - உருளைகளை வரைதல், செலவு கணக்கீடுகளுடன் வயல்களை வேலி அமைத்தல்
- அடித்தளம்: மேம்பட்ட கணிதம் - 3D வடிவியல், தொழில்நுட்ப பதவிகளுக்கான பொறியியல் வரைவு கருத்துக்கள்
BETA
