ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೆನ್ಸುರೇಶನ್
ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು
ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೆನ್ಸುರೇಶನ್ಗಾಗಿ 5-7 ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು:
| # | ಪರಿಕಲ್ಪನೆ | ಶೀಘ್ರ ವಿವರಣೆ |
|---|---|---|
| 1 | ಹೀರಾನ್ ಸೂತ್ರ | ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು a, b, c ಆಗಿದ್ದರೆ: ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] ಇಲ್ಲಿ s = (a+b+c)/2. ಎತ್ತರ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಬಳಸಿ. |
| 2 | ಪೈಥಾಗೋರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ | ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ: (ವಿಕರ್ಣ)² = (ಪಾದ)² + (ಎತ್ತರ)². ಕಾಣೆಯಾದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅತ್ಯಗತ್ಯ. |
| 3 | ವೃತ್ತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು | ಪರಿಧಿ = 2πr, ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = πr². ವ್ಯಾಸ = 2r. π ≈ 22/7 ಅಥವಾ 3.14 ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ. |
| 4 | ಸಿಲಿಂಡರ್ ಮೂಲಭೂತಗಳು | ವಕ್ರಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2πrh, ಒಟ್ಟು ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2πr(r+h), ಘನಫಲ = πr²h. |
| 5 | ಸಮರೂಪ ತ್ರಿಕೋನಗಳು | ಅನುರೂಪ ಬದಿಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಅನುಪಾತ = (ಬದಿಯ ಅನುಪಾತ)². |
| 6 | ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರಕಾರಗಳು | ಆಯತ: ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = l×b, ಪರಿಧಿ = 2(l+b). ಚೌಕ: ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = a², ಪರಿಧಿ = 4a. |
| 7 | 3D ದೃಶ್ಯೀಕರಣ | ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಬಿಚ್ಚುವ ಮೂಲಕ 3D ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು 2D ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ. ಸಿಲಿಂಡರ್/ಶಂಕು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ. |
ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳು
| ಸೂತ್ರ | ಬಳಕೆ |
|---|---|
| ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ½bh | ಪಾದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ತಿಳಿದಿದ್ದಾಗ. ಎತ್ತರವು ಪಾದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರಬೇಕು. |
| ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = πr² | ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪ್ಲಾಟ್ಗಳು, ಚಕ್ರಗಳು ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅಡ್ಡಕೊಯ್ತಕ್ಕೆ. r = d/2 ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ. |
| ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಘನಫಲ = πr²h | ಪೈಪ್ಗಳು, ಟ್ಯಾಂಕುಗಳು ಅಥವಾ ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಕಂಟೇನರ್ಗಳಿಗೆ. ಯಾವಾಗಲೂ ತೆರೆದ/ಮುಚ್ಚಿದ ತುದಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. |
| ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ವಕ್ರಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2πrh | ಲೇಬಲಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಬಳಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ. |
| ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (√3/4)a² | ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದಾಗ. ಎತ್ತರ = (√3/2)a. |
| ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲ = (1/3)πr²h | ಸಿಲಿಂಡರ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಆದರೆ 1/3 ಘನಫಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. |
10 ಅಭ್ಯಾಸ ಬಹುಯಾಯಿಕ ಆಯ್ಕೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು
Q1. ಒಂದು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ರೈಲ್ವೇ ಪ್ಲಾಟ್ಫಾರ್ಮ್ನ ತ್ರಿಜ್ಯ 14 ಮೀ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು? A) 308 m² B) 616 m² C) 154 m² D) 462 m²
ಉತ್ತರ: B) 616 m²
ಪರಿಹಾರ: ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = πr² = (22/7) × 14 × 14 = 22 × 2 × 14 = 616 m²
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 14 ಎಂಬುದು 7 ರ ಗುಣಕ, ಆದ್ದರಿಂದ 22/7 × 14² = 22 × 2 × 14 = 616
ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೆನ್ಸುರೇಶನ್ - ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ
Q2. ಒಂದು ರೈಲು ಕೋಚ್ನ ಅಗಲ 2 ಮೀ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 3 ಮೀ. ಅದರ ಆಯತಾಕಾರದ ನೆಲದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು? A) 5 m² B) 6 m² C) 8 m² D) 10 m²
ಉತ್ತರ: B) 6 m²
ಪರಿಹಾರ: ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಉದ್ದ × ಅಗಲ = 3 × 2 = 6 m²
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ನೇರ ಗುಣಾಕಾರ
ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೆನ್ಸುರೇಶನ್ - ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ
Q3. ಒಂದು ರೈಲ್ವೇ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಪಾದ 12 ಮೀ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 8 ಮೀ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 48 m² B) 96 m² C) 24 m² D) 36 m²
ಉತ್ತರ: A) 48 m²
ಪರಿಹಾರ: ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ½ × ಪಾದ × ಎತ್ತರ = ½ × 12 × 8 = 48 m²
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ½ × 12 = 6, ನಂತರ 6 × 8 = 48
ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೆನ್ಸುರೇಶನ್ - ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ
Q4. ನಿಲ್ದಾಣದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ನೀರಿನ ಟ್ಯಾಂಕ್ನ ತ್ರಿಜ್ಯ 3.5 ಮೀ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 10 ಮೀ. ಅದರ ಘನಫಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 385 m³ B) 770 m³ C) 1155 m³ D) 154 m³
ಉತ್ತರ: A) 385 m³
ಪರಿಹಾರ: ಘನಫಲ = πr²h = (22/7) × 3.5 × 3.5 × 10 = 22 × 0.5 × 3.5 × 10 = 385 m³
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 3.5 = 7/2, ಆದ್ದರಿಂದ (22/7) × (7/2)² × 10 = 22 × 7 × 10/4 = 385
ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೆನ್ಸುರೇಶನ್ - ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಘನಫಲ
Q5. ಒಂದು ರೈಲ್ವೇ ಸಿಗ್ನಲ್ ಬೋರ್ಡ್ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದಲ್ಲಿದ್ದು ಅದರ ಬದಿಗಳು 13 ಮೀ, 14 ಮೀ ಮತ್ತು 15 ಮೀ. ಹೀರಾನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 84 m² B) 42 m² C) 168 m² D) 126 m²
ಉತ್ತರ: A) 84 m²
ಪರಿಹಾರ: s = (13+14+15)/2 = 21 ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = √[21×(21-13)×(21-14)×(21-15)] = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 m²
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 13-14-15 ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಿ, ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 84
ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೆನ್ಸುರೇಶನ್ - ಹೀರಾನ್ ಸೂತ್ರ
Q6. ಒಂದು ರೈಲು ಚಕ್ರದ ವ್ಯಾಸ 1.4 ಮೀ. ಅದು 500 ಪರಿಭ್ರಮಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ದೂರ ಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ? A) 2.2 km B) 2.8 km C) 2.2 km D) 1.1 km
ಉತ್ತರ: C) 2.2 km
ಪರಿಹಾರ: ಪರಿಧಿ = πd = (22/7) × 1.4 = 4.4 ಮೀ ದೂರ = 500 × 4.4 = 2200 ಮೀ = 2.2 ಕಿ.ಮೀ.
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 1.4 × 22/7 = 0.2 × 22 = 4.4 ಮೀ ಪ್ರತಿ ಪರಿಭ್ರಮಣೆಗೆ
ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೆನ್ಸುರೇಶನ್ - ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿ
Q7. 50 ಮೀ × 30 ಮೀ ಆಯತಾಕಾರದ ಪ್ಲಾಟ್ಫಾರ್ಮ್ನ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ 7 ಮೀ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಒಂದು ಚಿಲುಮೆ ಇದೆ. ಉಳಿದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 1500 m² B) 1346 m² C) 1246 m² D) 1446 m²
ಉತ್ತರ: B) 1346 m²
ಪರಿಹಾರ: ಪ್ಲಾಟ್ಫಾರ್ಮ್ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 50 × 30 = 1500 m² ಚಿಲುಮೆಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (22/7) × 7 × 7 = 154 m² ಉಳಿದದ್ದು = 1500 - 154 = 1346 m²
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 22/7 × 49 = 22 × 7 = 154
ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೆನ್ಸುರೇಶನ್ - ಸಂಯೋಜಿತ ಆಕೃತಿಗಳು
Q8. ಒಂದು ಟೊಳ್ಳಾದ ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಪೈಪ್ (ಬಾಹ್ಯ ತ್ರಿಜ್ಯ 10 ಸೆಂ.ಮೀ., ಆಂತರಿಕ 8 ಸೆಂ.ಮೀ.) 14 ಮೀ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಲೋಹದ ಘನಫಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 1.584 m³ B) 0.792 m³ C) 1.188 m³ D) 0.396 m³
ಉತ್ತರ: A) 1.584 m³
ಪರಿಹಾರ: ಘನಫಲ = π(R²-r²)h = (22/7) × (0.1²-0.08²) × 14 = (22/7) × (0.01-0.0064) × 14 = (22/7) × 0.0036 × 14 = 0.1584 m³ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿ: 0.1²-0.08² = 0.01-0.0064 = 0.0036 (22/7) × 0.0036 × 14 = 22 × 0.0036 × 2 = 0.1584 m³ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ: 14 ಮೀ = 1400 ಸೆಂ.ಮೀ. ಘನಫಲ = (22/7) × (100-64) × 1400 = 22 × 36 × 200 = 158400 cm³ = 0.1584 m³
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: R²-r² = (R+r)(R-r) = 18×2 = 36 cm²
ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೆನ್ಸುರೇಶನ್ - ಟೊಳ್ಳಾದ ಸಿಲಿಂಡರ್
Q9. ರೈಲ್ವೇ ಕಾರ್ಯಾಗಾರದಲ್ಲಿರುವ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಟೆಂಟ್ನ ಮೂಲ ತ್ರಿಜ್ಯ 7 ಮೀ ಮತ್ತು ಏಣಿಯ ಎತ್ತರ 25 ಮೀ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕ್ಯಾನ್ವಾಸ್ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 550 m² B) 275 m² C) 440 m² D) 385 m²
ಉತ್ತರ: A) 550 m²
ಪರಿಹಾರ: ವಕ್ರಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = πrl = (22/7) × 7 × 25 = 22 × 25 = 550 m²
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 22/7 × 7 = 22, ನಂತರ 22 × 25 = 550
ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೆನ್ಸುರೇಶನ್ - ಶಂಕುವಿನ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ
Q10. ಒಂದು ರೈಲ್ವೇ ಸೇತುವೆಯ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಟ್ರಸ್ನ ಬದಿಗಳ ಅನುಪಾತ 3:4:5 ಮತ್ತು ಪರಿಧಿ 60 ಮೀ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 120 m² B) 60 m² C) 240 m² D) 150 m²
ಉತ್ತರ: A) 120 m²
ಪರಿಹಾರ: ಬದಿಗಳು: 3x, 4x, 5x. ಪರಿಧಿ = 12x = 60, ಆದ್ದರಿಂದ x = 5 ಬದಿಗಳು: 15 ಮೀ, 20 ಮೀ, 25 ಮೀ ಇದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ (3²+4²=5²) ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ½ × 15 × 20 = 150 m² ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿ: 3-4-5 ಅನುಪಾತದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಧಿ 60 ಎಂದರೆ ಬದಿಗಳು 12, 16, 20 ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ½ × 12 × 16 = 96 m² ವಾಸ್ತವವಾಗಿ: 3x+4x+5x = 12x = 60, x = 5 ಬದಿಗಳು: 15, 20, 25 ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ½ × 15 × 20 = 150 m²
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 3-4-5 ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ, ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ½ × 3x × 4x = 6x², x=5, ಆದ್ದರಿಂದ 6×25=150
ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೆನ್ಸುರೇಶನ್ - ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
5 ಹಿಂದಿನ ವರ್ಷದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು
PYQ 1. ಒಂದು ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 154 cm². ಅದರ ಪರಿಧಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. [RRB NTPC 2021 CBT-1]
ಉತ್ತರ: 44 cm
ಪರಿಹಾರ: πr² = 154 → (22/7)r² = 154 → r² = 154 × 7/22 = 49 → r = 7 cm ಪರಿಧಿ = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 cm
ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಲಹೆ: 154 = 22 × 7 ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ, ಆದ್ದರಿಂದ r = 7 ತಕ್ಷಣದಲ್ಲಿಯೇ
PYQ 2. 2.1 ಮೀ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು 5 ಮೀ ಎತ್ತರದ ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಟ್ಯಾಂಕ್ ನೀರಿನಿಂದ ತುಂಬಿದೆ. ಅದು ಎಷ್ಟು ಲೀಟರ್ ನೀರನ್ನು ಹಿಡಿದಿಡಬಹುದು? [RRB Group D 2022]
ಉತ್ತರ: 69300 ಲೀಟರ್
ಪರಿಹಾರ: ಘನಫಲ = πr²h = (22/7) × 2.1 × 2.1 × 5 = 69.3 m³ 1 m³ = 1000 ಲೀಟರ್, ಆದ್ದರಿಂದ 69.3 × 1000 = 69300 ಲೀಟರ್
ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಲಹೆ: 2.1 = 21/10, ಆದ್ದರಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ
PYQ 3. ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಮೈದಾನದ ಪರಿಧಿ 84 ಮೀ ಮತ್ತು ಅದರ ಉದ್ದ 26 ಮೀ. ಅದರ ಅಗಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. [RRB ALP 2018]
ಉತ್ತರ: 16 ಮೀ
ಪರಿಹಾರ: ಪರಿಧಿ = 2(l+b) = 84 → l+b = 42 → 26+b = 42 → b = 16 ಮೀ
ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಲಹೆ: ಅರ್ಧ-ಪರಿಧಿ ವಿಧಾನವು ಸಮಯ ಉಳಿಸುತ್ತದೆ
PYQ 4. ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಕರ್ಣ 25 ಸೆಂ.ಮೀ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬದಿ 7 ಸೆಂ.ಮೀ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. [RRB JE 2019]
ಉತ್ತರ: 84 cm²
ಪರಿಹಾರ: ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿ = √(25²-7²) = √(625-49) = √576 = 24 cm ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ½ × 7 × 24 = 84 cm²
ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಲಹೆ: 7-24-25 ಪೈಥಾಗೋರಿಯನ್ ತ್ರಿವಳಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿವಳಿಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ
PYQ 5. ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ವಕ್ರಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 1760 cm² ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರ 35 cm. ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. [RPF SI 2019]
ಉತ್ತರ: 8 cm
ಪರಿಹಾರ: 2πrh = 1760 → 2 × (22/7) × r × 35 = 1760 → 220r = 1760 → r = 8 cm
ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಲಹೆ: 2 × 22/7 × 35 = 220, ಆದ್ದರಿಂದ r = 1760/220 = 8
ವೇಗದ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ಗಳು
| ಸನ್ನಿವೇಶ | ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ | ಉದಾಹರಣೆ |
|---|---|---|
| ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 154 ಇರುವ ವೃತ್ತ | r = 7 (ಯಾಕೆಂದರೆ 154 = 22×7) | ಪರಿಧಿ = 44 ಗಾಗಿ ನೇರವಾಗಿ r=7 ಬಳಸಿ |
| r=3.5 ಇರುವ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಘನಫಲ | 11 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ (ಯಾಕೆಂದರೆ 22/7 × 3.5² = 38.5) | r=3.5, h=10 → ಘನಫಲ = 38.5×10 = 385 |
| 3-4-5 ತ್ರಿಕೋನ | ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 6x² ಇಲ್ಲಿ x ಎಂಬುದು ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ | ಬದಿಗಳು 30-40-50 → ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 6×10² = 600 |
| ಟೊಳ್ಳಾದ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಲೋಹದ ಘನಫಲ | π(R+r)(R-r)h ಬಳಸಿ | R=10, r=8, h=14 → 22/7×18×2×14 = 1584 |
| ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ | ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 0.433a² (ಸುಮಾರು) | ಬದಿ=10 → ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ≈ 43.3 (ನಿಜವಾದ 43.3) |
ತಪ್ಪು ಮಾಡಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪುಗಳು
| ತಪ್ಪು | ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇದನ್ನು ಏಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ | ಸರಿಯಾದ ವಿಧಾನ |
|---|---|---|
| ತ್ರಿಜ್ಯದ ಬದಲು ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸುವುದು | ವೃತ್ತ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲ | ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ r² ಬೇಕು, ಪರಿಧಿಗೆ r ಬೇಕು |
| ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದಲ್ಲಿ ½ ಮರೆತುಹೋಗುವುದು | ನೇರ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಭ್ಯಾಸ | ನೆನಪಿಡಿ: ತ್ರಿಕೋನ = ½ × ಪಾದ × ಎತ್ತರ |
| ಪರಿವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ತಪ್ಪಾದ ಏಕಮಾನಗಳು | ಸೆಂ.ಮೀ ಮತ್ತು ಮೀ ಗಳನ್ನು ಮಿಶ್ರಣ ಮಾಡುವುದು | ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದೇ ಏಕಮಾನಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ |
| ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಸಿಲಿಂಡರ್ | ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದದಿರುವುದು | ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡೂ ತುದಿಗಳು ಸೇರಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ |
| ಏಣಿಯ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಎತ್ತರ | ಶಂಕುವಿನ ಗೊಂದಲ | ವಕ್ರಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಏಣಿಯ ಎತ್ತರವನ್ನು (l) ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಘನಫಲವು ಲಂಬ ಎತ್ತರವನ್ನು (h) ಬಳಸುತ್ತದೆ |
ತ್ವರಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಫ್ಲ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಡ್ಗಳು
| ಮುಂಭಾಗ (ಪ್ರಶ್ನೆ/ಪದ) | ಹಿಂಭಾಗ (ಉತ್ತರ) |
|---|---|
| π ಮೌಲ್ಯ | 22/7 ಅಥವಾ 3.14 |
| ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ | (√3/4)a² |
| ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಘನಫಲ | πr²h |
| ಶಂಕುವಿನ ವಕ್ರಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ | πrl |
| 1 m³ = ? ಲೀಟರ್ | 1000 ಲೀಟರ್ |
| ಹೀರಾನ್ ಸೂತ್ರ | √[s(s-a)(s-b)(s-c)] |
| ಪೈಥಾಗೋರಿಯನ್ ತ್ರಿವಳಿ | 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25 |
| ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ | ½ × (ಸಮಾಂತರ ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತ) × ಎತ್ತರ |
| ಗೋಳದ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ | 4πr² |
| 1 ಹೆಕ್ಟೇರ್ = ? m² | 10000 m² |
ವಿಷಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳು
ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೆನ್ಸುರೇಶನ್ ಇತರ ಆರ್.ಆರ್.ಬಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ವಿಷಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ:
- ನೇರ ಸಂಪರ್ಕ: ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ - ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ದೂರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗೋರಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ
- ನೇರ ಸಂಪರ್ಕ: ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ - ದೂರ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗ ಸೂತ್ರವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ
- ಸಂಯೋಜಿತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು: ವೇಗ, ಸಮಯ ಮತ್ತು ದೂರ - ರೈಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಚಕ್ರಗಳು, ಸೇತುವೆಯ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ
- ಸಂಯೋಜಿತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು: ಶೇಕಡಾವಾರು ಮತ್ತು ಲಾಭ/ನಷ್ಟ - ಸಿಲಿಂಡರ್ಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಬಳಿಯುವುದು, ವೆಚ್ಚದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದೊಂದಿಗೆ ಮೈದಾನಗಳಿಗೆ ಬೇಲಿ ಹಾಕುವುದು
- ಆಧಾರ: ಸುಧಾರಿತ ಗಣಿತ - ತಾಂತ್ರಿಕ ಹುದ್ದೆಗಳಿಗೆ 3D ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು
BETA
