ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣା ଓ ସୂତ୍ରସମୂହ

ଜ୍ୟାମିତି ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ/ଆୟତନ ଗଣନା ପାଇଁ ୫-୭ଟି ଆବଶ୍ୟକ ଧାରଣା:

ଆବଶ୍ୟକ ସୂତ୍ରସମୂହ

୧୦ଟି ଅଭ୍ୟାସ ବହୁବିକଳ୍ପୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ (MCQs)

Q1. ଏକ ବୃତ୍ତାକାର ରେଳ ପ୍ଲାଟଫର୍ମର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 14 ମି.। ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ? A) 308 ମି² B) 616 ମି² C) 154 ମି² D) 462 ମି²

ଉତ୍ତର: B) 616 ମି²

ସମାଧାନ: କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πr² = (22/7) × 14 × 14 = 22 × 2 × 14 = 616 ମି²

ଶର୍ଟକଟ୍: 14, 7ର ଗୁଣିତକ, ତେଣୁ 22/7 × 14² = 22 × 2 × 14 = 616

ଧାରଣା: ଜ୍ୟାମିତି ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ/ଆୟତନ ଗଣନା - ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

Q2. ଏକ ଟ୍ରେନ୍ କମ୍ପାର୍ଟମେଣ୍ଟ 2 ମି. ପ୍ରସ୍ଥ ଓ 3 ମି. ଉଚ୍ଚ। ଏହାର ଆୟତାକାର ଫ୍ଲୋରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ? A) 5 ମି² B) 6 ମି² C) 8 ମି² D) 10 ମି²

ଉତ୍ତର: B) 6 ମି²

ସମାଧାନ: କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ = 3 × 2 = 6 ମି²

ଶର୍ଟକଟ୍: ସିଧାସଳଖ ଗୁଣନ

ଧାରଣା: ଜ୍ୟାମିତି ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ/ଆୟତନ ଗଣନା - ଆୟତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

Q3. ଏକ ରେଳ ଟ୍ରାକ୍ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମି 12 ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା 8 ମି.। ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। A) 48 ମି² B) 96 ମି² C) 24 ମି² D) 36 ମି²

ଉତ୍ତର: A) 48 ମି²

ସମାଧାନ: କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ½ × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା = ½ × 12 × 8 = 48 ମି²

ଶର୍ଟକଟ୍: ½ × 12 = 6, ତା’ପରେ 6 × 8 = 48

ଧାରଣା: ଜ୍ୟାମିତି ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ/ଆୟତନ ଗଣନା - ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

Q4. ଷ୍ଟେସନ୍ରେ ଥିବା ଏକ ସିଲିଣ୍ଡ୍ରିକାଲ୍ ଜଳ ଟ୍ୟାଙ୍କିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 3.5 ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା 10 ମି.। ଏହାର ଆୟତନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। A) 385 ମି³ B) 770 ମି³ C) 1155 ମି³ D) 154 ମି³

ଉତ୍ତର: A) 385 ମି³

ସମାଧାନ: ଆୟତନ = πr²h = (22/7) × 3.5 × 3.5 × 10 = 22 × 0.5 × 3.5 × 10 = 385 ମି³

ଶର୍ଟକଟ୍: 3.5 = 7/2, ତେଣୁ (22/7) × (7/2)² × 10 = 22 × 7 × 10/4 = 385

ଧାରଣା: ଜ୍ୟାମିତି ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ/ଆୟତନ ଗଣନା - ସିଲିଣ୍ଡରର ଆୟତନ

Q5. ଏକ ରେଳ ସିଗ୍ନାଲ୍ ବୋର୍ଡ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ଯାହାର ବାହୁ 13 ମି., 14 ମି., ଓ 15 ମି.। ହିରୋନ୍‌ର ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। A) 84 ମି² B) 42 ମି² C) 168 ମି² D) 126 ମି²

ଉତ୍ତର: A) 84 ମି²

ସମାଧାନ: s = (13+14+15)/2 = 21 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √[21×(21-13)×(21-14)×(21-15)] = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 ମି²

ଶର୍ଟକଟ୍: 13-14-15କୁ ସାଧାରଣ ତ୍ରିଭୁଜ ଭାବରେ ଚିହ୍ନିତ କରନ୍ତୁ ଯାହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 84

ଧାରଣା: ଜ୍ୟାମିତି ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ/ଆୟତନ ଗଣନା - ହିରୋନ୍‌ର ସୂତ୍ର

Q6. ଏକ ଟ୍ରେନ୍ ଚକର ବ୍ୟାସ 1.4 ମି.। 500 ପରିକ୍ରମାରେ ଏହା କେତେ ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରିବ? A) 2.2 କି.ମି. B) 2.8 କି.ମି. C) 2.2 କି.ମି. D) 1.1 କି.ମି.

ଉତ୍ତର: C) 2.2 କି.ମି.

ସମାଧାନ: ପରିଧି = πd = (22/7) × 1.4 = 4.4 ମି. ଦୂରତା = 500 × 4.4 = 2200 ମି. = 2.2 କି.ମି.

ଶର୍ଟକଟ୍: 1.4 × 22/7 = 0.2 × 22 = 4.4 ମି. ପ୍ରତି ପରିକ୍ରମା

ଧାରଣା: ଜ୍ୟାମିତି ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ/ଆୟତନ ଗଣନା - ବୃତ୍ତର ପରିଧି

Q7. 50 ମି. × 30 ମି. ଆୟତାକାର ପ୍ଲାଟଫର୍ମର ମଧ୍ୟଭାଗରେ 7 ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତାକାର ଫାଉଣ୍ଟେନ୍ ଅଛି। ଅବଶିଷ୍ଟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। A) 1500 ମି² B) 1346 ମି² C) 1246 ମି² D) 1446 ମି²

ଉତ୍ତର: B) 1346 ମି²

ସମାଧାନ: ପ୍ଲାଟଫର୍ମର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 50 × 30 = 1500 ମି² ଫାଉଣ୍ଟେନ୍ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (22/7) × 7 × 7 = 154 ମି² ଅବଶିଷ୍ଟ = 1500 - 154 = 1346 ମି²

ଶର୍ଟକଟ୍: 22/7 × 49 = 22 × 7 = 154

ଧାରଣା: ଜ୍ୟାମିତି ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ/ଆୟତନ ଗଣନା - ମିଶ୍ରିତ ଆକୃତି

Q8. ଏକ ଖୋଲା ସିଲିଣ୍ଡ୍ରିକାଲ୍ ପାଇପ୍ (ବାହ୍ୟ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 10 ସେ.ମି., ଆଭ୍ୟନ୍ତରୀଣ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 8 ସେ.ମି.) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 14 ମି.। ଧାତୁର ଆୟତନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। A) 1.584 ମି³ B) 0.792 ମି³ C) 1.188 ମି³ D) 0.396 ମି³

ଉତ୍ତର: A) 1.584 ମି³

ସମାଧାନ: ଆୟତନ = π(R²-r²)h = (22/7) × (0.1²-0.08²) × 14 = (22/7) × (0.01-0.0064) × 14 = (22/7) × 0.0036 × 14 = 0.1584 ମି³ ଅପେକ୍ଷା କରନ୍ତୁ: 0.1²-0.08² = 0.01-0.0064 = 0.0036 (22/7) × 0.0036 × 14 = 22 × 0.0036 × 2 = 0.1584 ମି³ ପ୍ରକୃତରେ: 14 ମି. = 1400 ସେ.ମି. ଆୟତନ = (22/7) × (100-64) × 1400 = 22 × 36 × 200 = 158400 ସେ.ମି.³ = 0.1584 ମି.³

ଶର୍ଟକଟ୍: R²-r² = (R+r)(R-r) = 18×2 = 36 ସେ.ମି.²

ଧାରଣା: ଜ୍ୟାମିତି ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ/ଆୟତନ ଗଣନା - ଖୋଲା ସିଲିଣ୍ଡର

Q9. ରେଳ ୱର୍କସପ୍ରେ ଥିବା ଏକ ଶଙ୍କୁ ଆକାର ତମ୍ବୁର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 7 ମି. ଓ ତିର୍ଯ୍ୟକ୍ ଉଚ୍ଚତା 25 ମି.। ଆବଶ୍ୟକ କେନଭାସର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। A) 550 ମି² B) 275 ମି² C) 440 ମି² D) 385 ମି²

ଉତ୍ତର: A) 550 ମି²

ସମାଧାନ: ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πrl = (22/7) × 7 × 25 = 22 × 25 = 550 ମି²

ଶର୍ଟକଟ୍: 22/7 × 7 = 22, ତା’ପରେ 22 × 25 = 550

ଧାରଣା: ଜ୍ୟାମିତି ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ/ଆୟତନ ଗଣନା - ଶଙ୍କୁର ପୃଷ୍ଠତଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

Q10. ଏକ ରେଳ ସେତୁର ତ୍ରିଭୁଜାକାର ଟ୍ରସ୍ର ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଅନୁପାତ 3:4:5 ଓ ପରିସୀମା 60 ମି.। ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। A) 120 ମି² B) 60 ମି² C) 240 ମି² D) 150 ମି²

ଉତ୍ତର: A) 120 ମି²

ସମାଧାନ: ବାହୁ: 3x, 4x, 5x। ପରିସୀମା = 12x = 60, ତେଣୁ x = 5 ବାହୁ: 15 ମି., 20 ମି., 25 ମି. ଏହା ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ (3²+4²=5²) କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ½ × 15 × 20 = 150 ମି² ଅପେକ୍ଷା କରନ୍ତୁ: 3-4-5 ଅନୁପାତ ସହ ପରିସୀମା 60 ହେଲେ ବାହୁ 12, 16, 20 ହେବ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ½ × 12 × 16 = 96 ମି² ପ୍ରକୃତରେ: 3x+4x+5x = 12x = 60, x = 5 ବାହୁ: 15, 20, 25 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ½ × 15 × 20 = 150 ମି²

ଶର୍ଟକଟ୍: 3-4-5 ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ½ × 3x × 4x = 6x², x=5, ତେଣୁ 6×25=150

ଧାରଣା: ଜ୍ୟାମିତି ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ/ଆୟତନ ଗଣନା - ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଧର୍ମ

୫ଟି ପୂର୍ବତନ ବର୍ଷର ପ୍ରଶ୍ନ

PYQ 1. ଏକ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 154 ସେ.ମି.²। ଏହାର ପରିଧି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। [RRB NTPC 2021 CBT-1]

ଉତ୍ତର: 44 ସେ.ମି.

ସମାଧାନ: πr² = 154 → (22/7)r² = 154 → r² = 154 × 7/22 = 49 → r = 7 ସେ.ମି. ପରିଧି = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 ସେ.ମି.

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ମନେରଖନ୍ତୁ 154 = 22 × 7, ତେଣୁ r = 7 ସିଧାସଳଖ ମିଳିବ

PYQ 2. 2.1 ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଓ 5 ମି. ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସିଲିଣ୍ଡ୍ରିକାଲ୍ ଟ୍ୟାଙ୍କି ଜଳରେ ପୂର୍ଣ୍ଣ। ଏହା କେତେ ଲିଟର୍ ଧାରଣ କରିପାରିବ? [RRB Group D 2022]

ଉତ୍ତର: 69300 ଲିଟର୍

ସମାଧାନ: ଆୟତନ = πr²h = (22/7) × 2.1 × 2.1 × 5 = 69.3 ମି³ 1 ମି³ = 1000 ଲିଟର୍, ତେଣୁ 69.3 × 1000 = 69300 ଲିଟର୍

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: 2.1 = 21/10, ତେଣୁ ଭଗ୍ନାଂଶ ସହ ଗଣନା ସହଜ ହେବ

PYQ 3. ଏକ ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା 84 ମି. ଓ ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 26 ମି.। ଏହାର ପ୍ରସ୍ଥ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। [RRB ALP 2018]

ଉତ୍ତର: 16 ମି.

ସମାଧାନ: ପରିସୀମା = 2(l+b) = 84 → l+b = 42 → 26+b = 42 → b = 16 ମି.

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ଅଧା-ପରିସୀମା ପଦ୍ଧତି ସମୟ ବଞ୍ଚାଏ

PYQ 4. ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଅତିକର୍ଣ୍ଣ 25 ସେ.ମି. ଓ ଗୋଟିଏ ବାହୁ 7 ସେ.ମି.। ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। [RRB JE 2019]

ଉତ୍ତର: 84 ସେ.ମି.²

ସମାଧାନ: ଅନ୍ୟ ବାହୁ = √(25²-7²) = √(625-49) = √576 = 24 ସେ.ମି. କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ½ × 7 × 24 = 84 ସେ.ମି.²

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: 7-24-25 ଏକ ପାଇଥାଗୋରାସ୍‌ ଟ୍ରିପଲ୍, ସାଧାରଣଗୁଡ଼ିକୁ ମନେରଖନ୍ତୁ

PYQ 5. ଏକ ସିଲିଣ୍ଡରର ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1760 ସେ.ମି.² ଓ ଏହାର ଉଚ୍ଚତା 35 ସେ.ମି.। ଏହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। [RPF SI 2019]

ଉତ୍ତର: 8 ସେ.ମି.

ସମାଧାନ: 2πrh = 1760 → 2 × (22/7) × r × 35 = 1760 → 220r = 1760 → r = 8 ସେ.ମି.

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: 2 × 22/7 × 35 = 220, ତେଣୁ r = 1760/220 = 8

ଦ୍ରୁତ ଟ୍ରିକ୍ ଓ ଶର୍ଟକଟ୍

ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ ଯାହା ଦେଖାଯାଏ