12.1 పరిచయం

మన రోజువారీ జీవితంలో, చాలా సార్లు మనం ఒకే రకమైన రెండు పరిమాణాలను పోల్చుకుంటాం. ఉదాహరణకు, అవ్నీ మరియు శారి స్క్రాప్ నోట్బుక్ కోసం పూలు సేకరించారు. అవ్నీ 30 పూలు సేకరించింది మరియు శారి 45 పూలు సేకరించింది. కాబట్టి, శారి అవ్నీ కంటే $45-30=15$ పూలు ఎక్కువ సేకరించింది అని మనం చెప్పవచ్చు.

అలాగే, రహీమ్ ఎత్తు $150 cm$ మరియు అవ్నీ ఎత్తు $140 cm$ అయితే, రహీమ్ ఎత్తు అవ్నీ కంటే $150 cm-140 cm=10 cm$ ఎక్కువ అని మనం చెప్పవచ్చు. ఇది తేడా తీసుకోవడం ద్వారా పోల్చడం యొక్క ఒక మార్గం.

మనం ఒక చీమ మరియు మిడత యొక్క పొడవులను పోల్చాలనుకుంటే, తేడా తీసుకోవడం ఆ పోలికను వ్యక్తపరచదు. మిడత పొడవు, సాధారణంగా $4 cm$ నుండి $5 cm$ వరకు ఉంటుంది, ఇది కొన్ని mm మాత్రమే ఉండే చీమ పొడవుతో పోల్చితే చాలా ఎక్కువ. మిడత పొడవుకు సరిపోయేలా ఎన్ని చీమలను ఒకదాని వెనుక ఒకటి ఉంచవచ్చో కనుగొనడానికి ప్రయత్నిస్తే పోలిక మెరుగ్గా ఉంటుంది. కాబట్టి, 20 నుండి 30 చీమలు ఒక మిడతకు సమానమైన పొడవు కలిగి ఉంటాయి అని మనం చెప్పవచ్చు.

మరొక ఉదాహరణను పరిగణించండి.

ఒక కారు ధర ₹ 2,50,000 మరియు మోటార్ బైక్ ధర ₹ 50,000. ధరల మధ్య తేడాను లెక్కిస్తే, అది ₹ $2,00,000$ మరియు భాగహారం ద్వారా పోల్చినట్లయితే;

అనగా $\dfrac{2,50,000}{50,000}=\dfrac{5}{1}$

కారు ధర మోటార్ బైక్ ధరకు ఐదు రెట్లు అని మనం చెప్పవచ్చు. ఈ విధంగా, కొన్ని పరిస్థితులలో, తేడా తీసుకోవడం కంటే భాగహారం ద్వారా పోల్చడం మంచి అర్ధాన్ని ఇస్తుంది. భాగహారం ద్వారా పోల్చడాన్ని నిష్పత్తి అంటారు. తరువాతి విభాగంలో, మనం ‘నిష్పత్తులు’ గురించి మరింత తెలుసుకుంటాము.

12.2 నిష్పత్తి

కింది వాటిని పరిగణించండి:

ఇషా యొక్క బరువు $25 kg$ మరియు ఆమె తండ్రి బరువు $75 kg$. ఇషా బరువుకు తండ్రి బరువు ఎన్ని రెట్లు? అది మూడు రెట్లు.

పెన్ ధర ₹ 10 మరియు పెన్సిల్ ధర ₹ 2. పెన్సిల్ ధరకు పెన్ ధర ఎన్ని రెట్లు? స్పష్టంగా అది ఐదు రెట్లు.

పై ఉదాహరణలలో, మనం రెండు పరిమాణాలను ‘ఎన్ని రెట్లు’ అనే పదాలలో పోల్చాము. ఈ పోలికను నిష్పత్తి అంటారు. మనం నిష్పత్తిని ‘:’ గుర్తును ఉపయోగించి సూచిస్తాము.

మునుపటి ఉదాహరణలను మళ్ళీ పరిగణించండి. మనం చెప్పవచ్చు,

తండ్రి బరువుకు ఇషా బరువు నిష్పత్తి $=\dfrac{75}{25}=\dfrac{3}{1}=3: 1$

పెన్ ధరకు పెన్సిల్ ధర నిష్పత్తి $=\dfrac{10}{2}=\dfrac{5}{1}=5: 1$

ఈ సమస్యను చూద్దాం.

ఒక తరగతిలో, 20 మంది అబ్బాయిలు మరియు 40 మంది అమ్మాయిలు ఉన్నారు. దీని నిష్పత్తి ఎంత

(ఎ) మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్యకు అమ్మాయిల సంఖ్య.
(బి) మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్యకు అబ్బాయిల సంఖ్య.

ఇవి చేయండి

1. ఒక తరగతిలో 20 మంది అబ్బాయిలు మరియు 40 మంది అమ్మాయిలు ఉన్నారు. అబ్బాయిల సంఖ్యకు అమ్మాయిల సంఖ్య నిష్పత్తి ఎంత?

2. రవి ఒక గంటలో $6 km$ నడుస్తాడు, రోషన్ ఒక గంటలో $4 km$ నడుస్తాడు. రవి కవర్ చేసిన దూరానికి రోషన్ కవర్ చేసిన దూరం నిష్పత్తి ఎంత?

మొదట మనం మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్యను కనుగొనాలి, అది,

అమ్మాయిల సంఖ్య + అబ్బాయిల సంఖ్య $=20+40=60$.

అప్పుడు, మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్యకు అమ్మాయిల సంఖ్య నిష్పత్తి $\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}=2: 3$

భాగం (బి) యొక్క సమాధానాన్ని ఇదే విధంగా కనుగొనండి.

ఇప్పుడు కింది ఉదాహరణను పరిగణించండి.

ఇంటి బల్లి పొడవు $20 cm$ మరియు మొసలి పొడవు $4 m$.

“నేను నీ కంటే 5 రెట్లు పెద్దవాడిని”, బల్లి అంటుంది. మనం చూడగలిగినట్లుగా ఇది

నిజంగా అసంబద్ధమైనది. ఒక బల్లి పొడవు మొసలి పొడవుకు 5 రెట్లు ఉండదు. అయితే, ఏమి తప్పు? బల్లి పొడవు సెంటీమీటర్లలో మరియు మొసలి పొడవు మీటర్లలో ఉందని గమనించండి. కాబట్టి, మనం వాటి పొడవులను ఒకే యూనిట్లోకి మార్చాలి.

మొసలి పొడవు $=4 m=4 \times 100=400 cm$.

అందువల్ల, మొసలి పొడవుకు బల్లి పొడవు నిష్పత్తి $=\dfrac{400}{20}=\dfrac{20}{1}=20: 1$.

రెండు పరిమాణాలను ఒకే యూనిట్లో ఉన్నప్పుడే పోల్చవచ్చు.

ఇప్పుడు బల్లి పొడవుకు మొసలి పొడవు నిష్పత్తి ఎంత?

అది $\dfrac{20}{400}=\dfrac{1}{20}=1: 20$.

రెండు నిష్పత్తులు $1: 20$ మరియు $20: 1$ ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉన్నాయని గమనించండి. నిష్పత్తి $1: 20$ అనేది బల్లి పొడవుకు మొసలి పొడవు నిష్పత్తి, అయితే $20: 1$ అనేది మొసలి పొడవుకు బల్లి పొడవు నిష్పత్తి.

ఇప్పుడు మరొక ఉదాహరణను పరిగణించండి.

ఒక పెన్సిల్ పొడవు $18 cm$ మరియు దాని వ్యాసం $8 mm$. పెన్సిల్ వ్యాసానికి దాని పొడవు నిష్పత్తి ఎంత? పెన్సిల్ యొక్క పొడవు మరియు వ్యాసం వేర్వేరు యూనిట్లలో ఇవ్వబడినందున, మనం మొదట వాటిని ఒకే యూనిట్లోకి మార్చాలి.

అందువలన, పెన్సిల్ పొడవు $=18 cm$ $=18 \times 10 mm=180 mm$.

పెన్సిల్ వ్యాసానికి పెన్సిల్ పొడవు నిష్పత్తి $=\dfrac{8}{180}=\dfrac{2}{45}=2: 45$.

ఇవి చేయండి

1. సౌరభ్ తన ఇంటి నుండి పాఠశాలకు చేరుకోవడానికి 15 నిమిషాలు పడుతుంది మరియు సచిన్ తన ఇంటి నుండి పాఠశాలకు చేరుకోవడానికి ఒక గంట పడుతుంది. సౌరభ్ తీసుకున్న సమయానికి సచిన్ తీసుకున్న సమయం నిష్పత్తిని కనుగొనండి.

2. ఒక టాఫీ ధర 50 పైసలు మరియు ఒక చాక్లెట్ ధర $₹ 10$. ఒక టాఫీ ధరకు ఒక చాక్లెట్ ధర నిష్పత్తిని కనుగొనండి.

3. ఒక పాఠశాలలో, ఒక సంవత్సరంలో 73 సెలవుదినాలు ఉన్నాయి. సెలవుదినాల సంఖ్యకు ఒక సంవత్సరంలోని రోజుల సంఖ్య నిష్పత్తి ఎంత?

మీరు ఒకే రకమైన రెండు పరిమాణాలను వేర్వేరు యూనిట్లలో పోల్చే మరికొన్ని పరిస్థితుల గురించి ఆలోచించండి.

మనం మన రోజువారీ జీవితంలో అనేక పరిస్థితులలో నిష్పత్తి భావనను ఉపయోగిస్తాము, అది మనకు తెలియకుండానే.

A మరియు B డ్రాయింగ్లను పోల్చండి. A కంటే B మరింత సహజంగా కనిపిస్తుంది. ఎందుకు?

చిత్రం A లోని కాళ్ళు ఇతర శరీర భాగాలతో పోల్చితే చాలా పొడవుగా ఉన్నాయి. ఎందుకంటే మనం సాధారణంగా కాళ్ళ పొడవుకు మొత్తం శరీరం పొడవు నిష్పత్తిని నిర్దిష్టంగా ఆశిస్తాము.

ఒక పెన్సిల్ యొక్క రెండు చిత్రాలను పోల్చండి. మొదటిది పూర్తి పెన్సిల్ లాగా కనిపిస్తుందా? లేదు.

ఎందుకు కాదు? కారణం ఏమిటంటే పెన్సిల్ యొక్క మందం మరియు పొడవు సరైన నిష్పత్తిలో లేవు.

వేర్వేరు పరిస్థితులలో ఒకే నిష్పత్తి :

కింది వాటిని పరిగణించండి:

• ఒక గది పొడవు $30 m$ మరియు దాని వెడల్పు $20 m$. కాబట్టి, గది పొడవుకు గది వెడల్పు నిష్పత్తి $=\dfrac{30}{20}=\dfrac{3}{2}=3: 2$
• 24 మంది అమ్మాయిలు మరియు 16 మంది అబ్బాయిలు పిక్నిక్ కు వెళ్తున్నారు. అమ్మాయిల సంఖ్యకు అబ్బాయిల సంఖ్య నిష్పత్తి $=\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2}=3: 2$ రెండు ఉదాహరణలలోనూ నిష్పత్తి $3: 2$.
• నిష్పత్తులు $30: 20$ మరియు $24: 16$ అనేవి తక్కువ రూపంలో $3: 2$ వలె ఉంటాయని గమనించండి. ఇవి సమానమైన నిష్పత్తులు.
• $3: 2$ నిష్పత్తిని కలిగి ఉన్న మరికొన్ని ఉదాహరణల గురించి మీరు ఆలోచించగలరా?

ఒక నిర్దిష్ట నిష్పత్తిని ఇచ్చే పరిస్థితులను రాయడం ఆనందదాయకం. ఉదాహరణకు, $2: 3$ నిష్పత్తిని ఇచ్చే పరిస్థితులను రాయండి.

• ఒక టేబుల్ వెడల్పుకు టేబుల్ పొడవు నిష్పత్తి $2: 3$.
• షీనా వద్ద 2 గోళీలు ఉన్నాయి మరియు ఆమె స్నేహితురాలు షబ్నం వద్ద 3 గోళీలు ఉన్నాయి.

అప్పుడు, షీనా మరియు షబ్నం వద్ద ఉన్న గోళీల నిష్పత్తి $2: 3$.

మీరు ఈ నిష్పత్తికి మరికొన్ని పరిస్థితులను రాయగలరా? మీ మరియు మీ స్నేహితులకు ఏదైనా నిష్పత్తిని ఇవ్వండి మరియు వారిని పరిస్థితులను రూపొందించమని అడగండి.

రవి మరియు రాణి ఒక వ్యాపారాన్ని ప్రారంభించారు మరియు $2: 3$ నిష్పత్తిలో డబ్బు పెట్టుబడి పెట్టారు. ఒక సంవత్సరం తర్వాత మొత్తం లాభం ₹ $4,00,000$.

రవి “మేము దానిని సమానంగా విభజిస్తాము” అన్నాడు, రాణి “నేను ఎక్కువ పెట్టుబడి పెట్టాను కాబట్టి నాకు ఎక్కువ లభించాలి” అన్నారు.

అప్పుడు లాభాన్ని వారి పెట్టుబడి నిష్పత్తిలో విభజించాలని నిర్ణయించుకున్నారు.

ఇక్కడ, నిష్పత్తి $2: 3$ యొక్క రెండు పదాలు 2

ఈ పదాల మొత్తం $=2+3=5$

దీని అర్థం ఏమిటి?

దీని అర్థం లాభం ₹ 5 అయితే రవికి ₹ 2 మరియు రాణికి $₹ 3$ లభించాలి. లేదా, 5 భాగాలలో రవికి 2 భాగాలు మరియు రాణికి 3 భాగాలు లభిస్తాయి అని చెప్పవచ్చు. అనగా, రవికి మొత్తం లాభంలో $\dfrac{2}{5}$ మరియు రాణికి మొత్తం లాభంలో $\dfrac{3}{5}$ లభించాలి.

మొత్తం లాభం ₹ 500 అయితే

రవికి ₹ $\dfrac{2}{5} \times 500$=₹ $200$ లభిస్తుంది

మరియు రాణికి $\dfrac{3}{5} \times 500$=₹ $300$ లభిస్తుంది

ఇప్పుడు, లాభం ₹ $4,00,000$ అయితే ప్రతి ఒక్కరి వాటాను మీరు కనుగొనగలరా?

రవి వాటా $\quad$=₹ $\dfrac{2}{5} \times 4,00,000$=₹ $1,60,000$

మరియు రాణి వాటా =₹ $\dfrac{3}{5} \times 4,00,000$=₹ $2,40,000$

మీరు కొన్ని వస్తువులను ఏదైనా నిష్పత్తిలో విభజించవలసి ఉండే మరికొన్ని ఉదాహరణల గురించి ఆలోచించగలరా? అటువంటి మూడు ఉదాహరణలను రూపొందించండి మరియు మీ స్నేహితులను వాటిని పరిష్కరించమని అడగండి.

మనం ఇప్పటివరకు పరిష్కరించిన సమస్యల రకాన్ని చూద్దాం.

ఇవి చేయండి

1. మీ బ్యాగ్లోని నోట్బుక్ల సంఖ్యకు పుస్తకాల సంఖ్య నిష్పత్తిని కనుగొనండి.

2. మీ తరగతి గదిలోని డెస్క్లు మరియు కుర్చీల సంఖ్య నిష్పత్తిని కనుగొనండి.

3. మీ తరగతిలో పన్నెండు సంవత్సరాలకు పైబడిన విద్యార్థుల సంఖ్యను కనుగొనండి. అప్పుడు, పన్నెండు సంవత్సరాలకు పైబడిన వయస్సు ఉన్న విద్యార్థుల సంఖ్య మరియు మిగిలిన విద్యార్థుల నిష్పత్తిని కనుగొనండి.

4. మీ తరగతి గదిలోని తలుపుల సంఖ్యకు కిటికీల సంఖ్య నిష్పత్తిని కనుగొనండి.

5. ఏదైనా దీర్ఘచతురస్రాన్ని గీయండి మరియు దాని పొడవుకు దాని వెడల్పు నిష్పత్తిని కనుగొనండి.

ఉదాహరణ 1 : ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార క్షేత్రం యొక్క పొడవు మరియు వెడల్పు వరుసగా $50 m$ మరియు $15 m$. క్షేత్రం యొక్క పొడవుకు వెడల్పు నిష్పత్తిని కనుగొనండి.

సాధన : దీర్ఘచతురస్రాకార క్షేత్రం పొడవు $=50 m$

దీర్ఘచతురస్రాకార క్షేత్రం వెడల్పు $=15 m$

పొడవుకు వెడల్పు నిష్పత్తి $50: 15$

నిష్పత్తిని $\dfrac{50}{15}=\dfrac{50 \div 5}{15 \div 5}=\dfrac{10}{3}=10: 3$ గా రాయవచ్చు

అందువలన, కావలసిన నిష్పత్తి $10: 3$.

ఉదాహరణ 2 : $90 cm$ కు $1.5 m$ నిష్పత్తిని కనుగొనండి.

సాధన : రెండు పరిమాణాలు ఒకే యూనిట్లలో లేవు. కాబట్టి, మనం వాటిని ఒకే యూనిట్లలోకి మార్చాలి.

$1.5 m=1.5 \times 100 cm=150 cm$.

అందువలన, కావలసిన నిష్పత్తి $90: 150$.

$=\dfrac{90}{150}=\dfrac{90 \times 30}{150 \times 30}=\dfrac{3}{5}$

కావలసిన నిష్పత్తి $3: 5$.

ఉదాహరణ 3 : ఒక కార్యాలయంలో 45 మంది వ్యక్తులు పని చేస్తున్నారు. స్త్రీల సంఖ్య 25 మరియు మిగిలినవారు పురుషులు అయితే, దీని నిష్పత్తిని కనుగొనండి:

(ఎ) స్త్రీల సంఖ్యకు పురుషుల సంఖ్య.
(బి) పురుషుల సంఖ్యకు స్త్రీల సంఖ్య.

సాధన : స్త్రీల సంఖ్య $=25$

మొత్తం కార్మికుల సంఖ్య $=45$

పురుషుల సంఖ్య $=45-25=20$

అందువలన, స్త్రీల సంఖ్యకు పురుషుల సంఖ్య నిష్పత్తి

$ =25: 20=5: 4 $

మరియు పురుషుల సంఖ్యకు స్త్రీల సంఖ్య నిష్పత్తి

$ =20: 25=4: 5 . $

(రెండు నిష్పత్తులు $5: 4$ మరియు $4: 5$ మధ్య తేడా ఉందని గమనించండి).

ఉదాహరణ 4 : $6: 4$ కు రెండు సమానమైన నిష్పత్తులను ఇవ్వండి.

సాధన : నిష్పత్తి $6: 4=\dfrac{6}{4}=\dfrac{6 \times 2}{4 \times 2}=\dfrac{12}{8}$.

అందువలన, $12: 8$ అనేది $6: 4$ యొక్క సమానమైన నిష్పత్తి

అదేవిధంగా, నిష్పత్తి $6: 4=\dfrac{6}{4}=\dfrac{6 \times 2}{4 \times 2}=\dfrac{3}{2}$

కాబట్టి, $3: 2$ అనేది $6: 4$ యొక్క మరొక సమానమైన నిష్పత్తి.

అందువలన, లవం మరియు హారంను ఒకే సంఖ్యతో గుణించడం లేదా భాగించడం ద్వారా మనం సమానమైన నిష్పత్తులను పొందవచ్చు.

$6: 4$ కు మరో రెండు సమానమైన నిష్పత్తులను రాయండి.

ఉదాహరణ 5 : తప్పిపోయిన సంఖ్యలను పూరించండి :

$ \dfrac{14}{21}=\dfrac{\square}{3}=\dfrac{6}{\square} $

సాధన : మొదటి తప్పిపోయిన సంఖ్యను పొందడానికి, మనం $21=3 \times 7$ అనే వాస్తవాన్ని పరిగణిస్తాము. అనగా 21 ని 7 తో భాగించినప్పుడు మనకు 3 వస్తుంది. ఇది రెండవ నిష్పత్తి యొక్క తప్పిపోయిన సంఖ్యను పొందడానికి, 14 కూడా 7 తో భాగించబడాలని సూచిస్తుంది.

మనం భాగించినప్పుడు, $14 \div 7=2$

అందువలన, రెండవ నిష్పత్తి $\dfrac{2}{3}$.

అదేవిధంగా, మూడవ నిష్పత్తిని పొందడానికి మనం రెండవ నిష్పత్తి యొక్క రెండు పదాలను 3 తో గుణిస్తాము. (ఎందుకు?)

అందువలన, మూడవ నిష్పత్తి $\dfrac{6}{9}$

అందువలన, $\dfrac{14}{21}=\dfrac{\boxed{2}}{3}=\dfrac{6}{\boxed{9}}$ [ఇవన్నీ సమానమైన నిష్పత్తులు.]

ఉదాహరణ 6 : పాఠశాల నుండి మేరీ ఇంటికి ఉన్న దూరానికి పాఠశాల నుండి జాన్ ఇంటికి ఉన్న దూరం నిష్పత్తి $2: 1$.

(ఎ) ఎవరు పాఠశాలకు దగ్గరగా నివసిస్తున్నారు?

(బి) మేరీ మరియు జాన్ పాఠశాల నుండి నివసించగల కొన్ని సాధ్యమైన దూరాలను చూపించే కింది పట్టికను పూరించండి.

(సి) పాఠశాల నుండి మేరీ ఇంటి దూరానికి కలం ఇంటి దూరం నిష్పత్తి $1: 2$ అయితే, ఎవరు పాఠశాలకు దగ్గరగా నివసిస్తున్నారు?

సాధన : (ఎ) జాన్ పాఠశాలకు దగ్గరగా నివసిస్తాడు (నిష్పత్తి $2: 1$ కాబట్టి).

(బి)

(సి) నిష్పత్తి $1: 2$ కాబట్టి, మేరీ పాఠశాలకు దగ్గరగా నివసిస్తుంది.

ఉదాహరణ 7 : ₹ 60 ని కృతి మరియు కిరణ్ మధ్య $1: 2$ నిష్పత్తిలో విభజించండి.

సాధన : రెండు భాగాలు 1 మరియు 2.

అందువలన, భాగాల మొత్తం $=1+2=3$.

దీని అర్థం ₹ 3 ఉంటే, కృతికి ₹ 1 మరియు కిరణ్కు ₹ 2 లభిస్తాయి. లేదా, ప్రతి 3 భాగాలలో కృతికి 1 భాగం మరియు కిరణ్కు 2 భాగాలు లభిస్తాయి అని చెప్పవచ్చు.

అందువలన, కృతి వాటా $=\dfrac{1}{3} \times 60$ =₹ $20$

మరియు కిరణ్ వాటా $=\dfrac{2}{3} \times 60$ =₹ $40$.

అభ్యాసం 12.1

1. ఒక తరగతిలో 20 మంది అమ్మాయిలు మరియు 15 మంది అబ్బాయిలు ఉన్నారు.

(ఎ) అమ్మాయిల సంఖ్యకు అబ్బాయిల సంఖ్య నిష్పత్తి ఎంత?
(బి) తరగతిలోని మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్యకు అమ్మాయిల సంఖ్య నిష్పత్తి ఎంత?

2. ఒక తరగతిలో 30 మంది విద్యార్థులలో, 6 మంది ఫుట్బాల్, 12 మంది క్రికెట్ మరియు మిగిలినవారు టెన్నిస్ ను ఇష్టపడతారు. దీని నిష్పత్తిని కనుగొనండి

(ఎ) ఫుట్బాల్ ఇష్టపడే విద్యార్థుల సంఖ్యకు టెన్నిస్ ఇష్టపడే విద్యార్థుల స