12.1 પ્રસ્તાવના

અમારા રોજિંદા જીવનમાં, ઘણી વાર આપણે એક જ પ્રકારની બે માત્રાઓની તુલના કરીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, અવની અને શારીએ સ્ક્રેપ નોટબુક માટે ફૂલો એકઠાં કર્યા. અવનીએ 30 ફૂલો એકઠાં કર્યા અને શારીએ 45 ફૂલો એકઠાં કર્યા. તેથી, આપણે કહી શકીએ કે શારીએ અવની કરતાં $45-30=15$ ફૂલો વધુ એકઠાં કર્યા.

એ જ રીતે, જો રહીમની ઊંચાઈ $150 cm$ હોય અને અવનીની ઊંચાઈ $140 cm$ હોય, તો આપણે કહી શકીએ કે રહીમની ઊંચાઈ અવની કરતાં $150 cm-140 cm=10 cm$ વધુ છે. આ તફાવત લઈને તુલના કરવાની એક રીત છે.

જો આપણે એક કીડી અને ટિડ્ડાની લંબાઈની તુલના કરવા માંગીએ, તો તફાવત લેવાથી તુલના સ્પષ્ટ થતી નથી. ટિડ્ડાની લંબાઈ, સામાન્ય રીતે $4 cm$ થી $5 cm$, કીડીની લંબાઈ કે જે થોડા mm હોય છે તેની સાથે સરખાવતાં ઘણી લાંબી છે. જો આપણે ટિડ્ડાની લંબાઈ જેટલી લંબાઈ મેળવવા કેટલી કીડીઓને એક પછી એક ગોઠવી શકાય તે શોધવાનો પ્રયત્ન કરીએ તો તુલના વધુ સારી રીતે થશે. તેથી, આપણે કહી શકીએ કે 20 થી 30 કીડીઓની લંબાઈ એક ટિડ્ડાની લંબાઈ જેટલી હોય છે.

બીજું ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લો.

કારની કિંમત ₹ 2,50,000 છે અને મોટરસાઇકલની કિંમત ₹ 50,000 છે. જો આપણે કિંમતો વચ્ચેનો તફાવત ગણીએ, તો તે ₹ $2,00,000$ છે અને જો આપણે ભાગાકાર દ્વારા તુલના કરીએ;

એટલે કે $\dfrac{2,50,000}{50,000}=\dfrac{5}{1}$

આપણે કહી શકીએ કે કારની કિંમત મોટરસાઇકલની કિંમત કરતાં પાંચ ગણી છે. આમ, કેટલીક પરિસ્થિતિઓમાં, તફાવત લઈને તુલના કરવા કરતાં ભાગાકાર દ્વારા તુલના કરવી વધુ અર્થપૂર્ણ બને છે. ભાગાકાર દ્વારા કરવામાં આવતી તુલનાને ગુણોત્તર કહેવાય છે. આગળના વિભાગમાં, આપણે ‘ગુણોત્તર’ વિશે વધુ જાણીશું.

12.2 ગુણોત્તર

નીચેનાને ધ્યાનમાં લો:

ઈશાનું વજન $25 kg$ છે અને તેના પિતાનું વજન $75 kg$ છે. પિતાનું વજન ઈશાના વજન કરતાં કેટલા ગણું છે? તે ત્રણ ગણું છે.

પેનની કિંમત ₹ 10 છે અને પેન્સિલની કિંમત ₹ 2 છે. પેનની કિંમત પેન્સિલની કિંમત કરતાં કેટલા ગણી છે? દેખીતી રીતે તે પાંચ ગણી છે.

ઉપરોક્ત ઉદાહરણોમાં, આપણે બે માત્રાઓની તુલના ‘કેટલા ગણી’ એ રીતે કરી. આ તુલનાને ગુણોત્તર કહેવાય છે. આપણે ગુણોત્તર દર્શાવવા માટે ‘:’ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

અગાઉના ઉદાહરણોને ફરીથી ધ્યાનમાં લો. આપણે કહી શકીએ,

પિતાના વજનનો ઈશાના વજન સાથેનો ગુણોત્તર $=\dfrac{75}{25}=\dfrac{3}{1}=3: 1$

પેનની કિંમતનો પેન્સિલની કિંમત સાથેનો ગુણોત્તર $=\dfrac{10}{2}=\dfrac{5}{1}=5: 1$

ચાલો આ સમસ્યા જોઈએ.

એક વર્ગમાં 20 છોકરાઓ અને 40 છોકરીઓ છે. શું ગુણોત્તર છે

(a) છોકરીઓની સંખ્યાનો કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર.
(b) છોકરાઓની સંખ્યાનો કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર.

આ પ્રયત્ન કરો

1. એક વર્ગમાં 20 છોકરાઓ અને 40 છોકરીઓ છે. છોકરાઓની સંખ્યાનો છોકરીઓની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર શું છે?

2. રવિ એક કલાકમાં $6 km$ ચાલે છે જ્યારે રોશન એક કલાકમાં $4 km$ ચાલે છે. રવિએ કાપેલ અંતરનો રોશને કાપેલ અંતર સાથેનો ગુણોત્તર શું છે?

પ્રથમ આપણે કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે, જે છે,

છોકરીઓની સંખ્યા + છોકરાઓની સંખ્યા $=20+40=60$.

પછી, છોકરીઓની સંખ્યાનો કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર $\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}=2: 3$ છે.

ભાગ (b) નો જવાબ સમાન રીતે શોધો.

હવે નીચેના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લો.

ઘરેલુ ગરોળીની લંબાઈ $20 cm$ છે અને મગરની લંબાઈ $4 m$ છે.

“હું તારા કરતાં 5 ગણો મોટો છું”, ગરોળી કહે છે. જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ આ

ખરેખર વિચિત્ર છે. ગરોળીની લંબાઈ મગરની લંબાઈ કરતાં 5 ગણી હોઈ શકે નહીં. તો, શું ખોટું છે? નોંધો કે ગરોળીની લંબાઈ સેન્ટીમીટરમાં છે અને મગરની લંબાઈ મીટરમાં છે. તેથી, આપણે તેમની લંબાઈને સમાન એકમમાં રૂપાંતરિત કરવી પડશે.

મગરની લંબાઈ $=4 m=4 \times 100=400 cm$.

તેથી, મગરની લંબાઈનો ગરોળીની લંબાઈ સાથેનો ગુણોત્તર $=\dfrac{400}{20}=\dfrac{20}{1}=20: 1$.

બે માત્રાઓની તુલના ત્યારે જ થઈ શકે છે જ્યારે તેઓ સમાન એકમમાં હોય.

હવે ગરોળીની લંબાઈનો મગરની લંબાઈ સાથેનો ગુણોત્તર શું છે?

તે $\dfrac{20}{400}=\dfrac{1}{20}=1: 20$ છે.

નોંધો કે બે ગુણોત્તર $1: 20$ અને $20: 1$ એકબીજાથી અલગ છે. ગુણોત્તર $1: 20$ એ ગરોળીની લંબાઈનો મગરની લંબાઈ સાથેનો ગુણોત્તર છે જ્યારે, $20: 1$ એ મગરની લંબાઈનો ગરોળીની લંબાઈ સાથેનો ગુણોત્તર છે.

હવે બીજું ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લો.

પેન્સિલની લંબાઈ $18 cm$ છે અને તેનો વ્યાસ $8 mm$ છે. પેન્સિલના વ્યાસનો તેની લંબાઈ સાથેનો ગુણોત્તર શું છે? કારણ કે પેન્સિલની લંબાઈ અને વ્યાસ જુદા જુદા એકમોમાં આપવામાં આવ્યા છે, આપણે પ્રથમ તેમને સમાન એકમમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે.

આમ, પેન્સિલની લંબાઈ $=18 cm$ $=18 \times 10 mm=180 mm$.

પેન્સિલના વ્યાસનો તેની લંબાઈ સાથેનો ગુણોત્તર $=\dfrac{8}{180}=\dfrac{2}{45}=2: 45$.

આ પ્રયત્ન કરો

1. સૌરભને તેના ઘરથી શાળા પહોંચવામાં 15 મિનિટ લાગે છે અને સચિનને તેના ઘરથી શાળા પહોંચવામાં એક કલાક લાગે છે. સૌરભ લીધેલ સમયનો સચિન લીધેલ સમય સાથેનો ગુણોત્તર શોધો.

2. એક ટોફીની કિંમત 50 પૈસા છે અને ચોકલેટની કિંમત $₹ 10$ છે. ટોફીની કિંમતનો ચોકલેટની કિંમત સાથેનો ગુણોત્તર શોધો.

3. એક શાળામાં, એક વર્ષમાં 73 રજાઓ હતી. રજાઓની સંખ્યાનો એક વર્ષમાંના દિવસોની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર શું છે?

વધુ કેટલીક પરિસ્થિતિઓ વિચારો જ્યાં તમે જુદા જુદા એકમોમાં સમાન પ્રકારની બે માત્રાઓની તુલના કરો છો.

આપણે આપણા રોજિંદા જીવનની ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં ગુણોત્તરની સંકલ્પનાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, એવો અહેસાસ થયા વિના કે આપણે આવું કરીએ છીએ.

ચિત્ર A અને B ની તુલના કરો. B, A કરતાં વધુ કુદરતી લાગે છે. શા માટે?

ચિત્ર A માં પગ અન્ય શરીરના ભાગોની સરખામણીમાં ઘણા લાંબા છે. આ એટલા માટે કારણ કે આપણે સામાન્ય રીતે પગની લંબાઈનો સમગ્ર શરીરની લંબાઈ સાથે ચોક્કસ ગુણોત્તર અપેક્ષિત રાખીએ છીએ.

પેન્સિલના બે ચિત્રોની તુલના કરો. શું પહેલું ચિત્ર પૂર્ણ પેન્સિલ જેવું લાગે છે? ના.

શા માટે નહીં? કારણ એ છે કે પેન્સિલની જાડાઈ અને લંબાઈ યોગ્ય ગુણોત્તરમાં નથી.

વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં સમાન ગુણોત્તર :

નીચેનાને ધ્યાનમાં લો:

• એક ઓરડાની લંબાઈ $30 m$ છે અને તેની પહોળાઈ $20 m$ છે. તેથી, ઓરડાની લંબાઈનો ઓરડાની પહોળાઈ સાથેનો ગુણોત્તર $=\dfrac{30}{20}=\dfrac{3}{2}=3: 2$
• 24 છોકરીઓ અને 16 છોકરાઓ પિકનિક માટે જઈ રહ્યા છે. છોકરીઓની સંખ્યાનો છોકરાઓની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર $=\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2}=3: 2$. બંને ઉદાહરણોમાં ગુણોત્તર $3: 2$ છે.
• નોંધો કે ગુણોત્તર $30: 20$ અને $24: 16$ ના સૌથી નીચા સ્વરૂપમાં $3: 2$ સમાન છે. આ સમાન ગુણોત્તરો છે.
• શું તમે $3: 2$ ગુણોત્તર ધરાવતા વધુ કેટલાક ઉદાહરણો વિચારી શકો છો?

ચોક્કસ ગુણોત્તર આપતી પરિસ્થિતિઓ લખવી મનોરંજક છે. ઉદાહરણ તરીકે, એવી પરિસ્થિતિઓ લખો જે ગુણોત્તર $2: 3$ આપે.

• ટેબલની પહોળાઈનો ટેબલની લંબાઈ સાથેનો ગુણોત્તર $2: 3$ છે.
• શીનાની પાસે 2 કાંચા છે અને તેની મિત્ર શબનમની પાસે 3 કાંચા છે.

તો, શીના અને શબનમની પાસેના કાંચાઓનો ગુણોત્તર $2: 3$ છે.

શું તમે આ ગુણોત્તર માટે વધુ કેટલીક પરિસ્થિતિઓ લખી શકો છો? તમારા અને તમારા મિત્રોને કોઈપણ ગુણોત્તર આપો અને તેમને પરિસ્થિતિઓ બનાવવા કહો.

રવિ અને રાણીએ એક વ્યવસાય શરૂ કર્યો અને ગુણોત્તર $2: 3$ માં પૈસા રોક્યા. એક વર્ષ પછી કુલ નફો ₹ $4,00,000$ હતો.

રવિએ કહ્યું “આપણે તે સમાન વહેંચીશું”, રાણીએ કહ્યું “મારે વધુ મળવું જોઈએ કારણ કે મેં વધુ રોકાણ કર્યું છે”.

પછી નક્કી કરવામાં આવ્યું કે નફો તેમના રોકાણના ગુણોત્તરમાં વહેંચવામાં આવશે.

અહીં, ગુણોત્તર $2: 3$ ના બે પદો 2 છે.

આ પદોનો સરવાળો $=2+3=5$

આનો અર્થ શું છે?

આનો અર્થ એ છે કે જો નફો ₹ 5 હોય તો રવિને ₹ 2 મળવા જોઈએ અને રાણીને $₹ 3$ મળવા જોઈએ. અથવા, આપણે કહી શકીએ કે રવિને 5 ભાગોમાંથી 2 ભાગો મળે છે અને રાણીને 3 ભાગો મળે છે. એટલે કે, રવિને કુલ નફાના $\dfrac{2}{5}$ મળવા જોઈએ અને રાણીને કુલ નફાના $\dfrac{3}{5}$ મળવા જોઈએ.

જો કુલ નફો ₹ 500 હોય

રવિને મળે ₹ $\dfrac{2}{5} \times 500$=₹ $200$

અને રાણીને મળે $\dfrac{3}{5} \times 500$=₹ $300$

હવે, જો નફો ₹ $4,00,000$ હોય તો શું તમે દરેકનો હિસ્સો શોધી શકો છો?

રવિનો હિસ્સો $\quad$=₹ $\dfrac{2}{5} \times 4,00,000$=₹ $1,60,000$

અને રાણીનો હિસ્સો =₹ $\dfrac{3}{5} \times 4,00,000$=₹ $2,40,000$

શું તમે વધુ કેટલાંક ઉદાહરણો વિચારી શકો છો જ્યાં તમારે કેટલીક વસ્તુઓને કોઈ ગુણોત્તરમાં વહેંચવી પડે? આવાં ત્રણ ઉદાહરણો બનાવો અને તેમને ઉકેલવા માટે તમારા મિત્રોને કહો.

ચાલો આપણે અત્યાર સુધી ઉકેલેલી સમસ્યાઓના પ્રકાર જોઈએ.

આ પ્રયત્ન કરો

1. તમારા બેગમાં નોટબુક્સની સંખ્યાનો પુસ્તકોની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર શોધો.

2. તમારા વર્ગખંડમાં ડેસ્ક અને ખુરશીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર શોધો.

3. તમારા વર્ગમાં બાર વર્ષથી વધુ ઉંમરના વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધો. પછી, બાર વર્ષથી વધુ ઉંમરના વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા અને બાકીના વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર શોધો.

4. તમારા વર્ગખંડમાં દરવાજાઓની સંખ્યાનો બારીઓની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર શોધો.

5. કોઈપણ લંબચોરસ દોરો અને તેની લંબાઈનો તેની પહોળાઈ સાથેનો ગુણોત્તર શોધો.

ઉદાહરણ 1 : એક લંબચોરસ ખેતરની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $50 m$ અને $15 m$ છે. ખેતરની લંબાઈનો પહોળાઈ સાથેનો ગુણોત્તર શોધો.

ઉકેલ : લંબચોરસ ખેતરની લંબાઈ $=50 m$

લંબચોરસ ખેતરની પહોળાઈ $=15 m$

લંબાઈનો પહોળાઈ સાથેનો ગુણોત્તર $50: 15$ છે

ગુણોત્તરને $\dfrac{50}{15}=\dfrac{50 \div 5}{15 \div 5}=\dfrac{10}{3}=10: 3$ તરીકે લખી શકાય.

આમ, માંગેલ ગુણોત્તર $10: 3$ છે.

ઉદાહરણ 2 : $90 cm$ નો $1.5 m$ સાથેનો ગુણોત્તર શોધો.

ઉકેલ : બે માત્રાઓ સમાન એકમોમાં નથી. તેથી, આપણે તેમને સમાન એકમોમાં રૂપાંતરિત કરવા પડશે.

$1.5 m=1.5 \times 100 cm=150 cm$.

તેથી, માંગેલ ગુણોત્તર $90: 150$ છે.

$=\dfrac{90}{150}=\dfrac{90 \times 30}{150 \times 30}=\dfrac{3}{5}$

માંગેલ ગુણોત્તર $3: 5$ છે.

ઉદાહરણ 3 : એક ઓફિસમાં 45 વ્યક્તિઓ કામ કરે છે. જો સ્ત્રીઓની સંખ્યા 25 હોય અને બાકીના પુરુષો હોય, તો નીચેનાનો ગુણોત્તર શોધો:

(a) સ્ત્રીઓની સંખ્યાનો પુરુષોની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર.
(b) પુરુષોની સંખ્યાનો સ્ત્રીઓની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર.

ઉકેલ : સ્ત્રીઓની સંખ્યા $=25$

કુલ કામદારોની સંખ્યા $=45$

પુરુષોની સંખ્યા $=45-25=20$

તેથી, સ્ત્રીઓની સંખ્યાનો પુરુષોની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર

$ =25: 20=5: 4 $

અને પુરુષોની સંખ્યાનો સ્ત્રીઓની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર

$ =20: 25=4: 5 . $

(નોંધો કે બે ગુણોત્તરો $5: 4$ અને $4: 5$ વચ્ચે તફાવત છે).

ઉદાહરણ 4 : $6: 4$ ના બે સમાન ગુણોત્તર આપો.

ઉકેલ : ગુણોત્તર $6: 4=\dfrac{6}{4}=\dfrac{6 \times 2}{4 \times 2}=\dfrac{12}{8}$.

તેથી, $12: 8$ એ $6: 4$ નો સમાન ગુણોત્તર છે.

તે જ રીતે, ગુણોત્તર $6: 4=\dfrac{6}{4}=\dfrac{6 \times 2}{4 \times 2}=\dfrac{3}{2}$

તેથી, $3: 2$ એ $6: 4$ નો બીજો સમાન ગુણોત્તર છે.

તેથી, આપણે અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરીને સમાન ગુણોત્તરો મેળવી શકીએ છીએ.

$6: 4$ ના બે વધુ સમાન ગુણોત્તરો લખો.

ઉદાહરણ 5 : ખૂટતી સંખ્યાઓ ભરો :

$ \dfrac{14}{21}=\dfrac{\square}{3}=\dfrac{6}{\square} $

ઉકેલ : પ્રથમ ખૂટતી સંખ્યા મેળવવા માટે, આપણે એ હકીકત ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે $21=3 \times 7$. એટલે કે જ્યારે આપણે 21 ને 7 વડે ભાગીએ છીએ ત્યારે આપણને 3 મળે છે. આ સૂચવે છે કે બીજા ગુણોત્તરની ખૂટતી સંખ્યા મેળવવા માટે, 14 ને પણ 7 વડે ભાગવું જોઈએ.

જ્યારે આપણે ભાગીએ છીએ, ત્યારે આપણી પાસે છે, $14 \div 7=2$

તેથી, બીજો ગુણોત્તર $\dfrac{2}{3}$ છે.

તે જ રીતે, ત્રીજો ગુણોત્તર મેળવવા માટે આપણે બીજા ગુણોત્તરના બંને પદોને 3 વડે ગુણીએ છીએ. (શા માટે?)

તેથી, ત્રીજો ગુણોત્તર $\dfrac{6}{9}$ છે

તેથી, $\dfrac{14}{21}=\dfrac{\boxed{2}}{3}=\dfrac{6}{\boxed{9}}$ [આ બધા સમાન ગુણોત્તરો છે.]

ઉદાહરણ 6 : શાળાનું મેરીના ઘરથી અંતરનો શાળાનું જ્હોનના ઘરથી અંતર સાથેનો ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(a) શાળાની નજીક કોણ રહે છે?

(b) નીચેનું કોષ્ટક પૂર્ણ કરો જે શાળાથી મેરી અને જ્હોન રહી શકે તેવા કેટલાક સંભવિત અંતરો દર્શાવે છે.

(c) જો શાળાથી મેરીના ઘરના અંતરનો શાળાથી કલામના ઘરના અંતર સાથેનો ગુણોત્તર $1: 2$ હોય, તો શાળાની નજીક કોણ રહે છે?

ઉકેલ : (a) જ્હોન શાળાની નજીક રહે છે (કારણ કે ગુણોત્તર $2: 1$ છે).

(b)

(c) કારણ કે ગુણોત્તર $1: 2$ છે, તેથી મેરી શાળાની નજીક રહે છે.

ઉદાહરણ 7 : ₹ 60 ને ગુણોત્તર $1: 2$ માં કૃતિ અને કિરણ વચ્ચે વહેંચો.

ઉકેલ : બે ભાગો 1 અને 2 છે.

તેથી, ભાગોનો સરવાળો $=1+2=3$.

આનો અર્થ એ છે કે જો ₹ 3 હોય, તો કૃતિને ₹ 1 મળશે અને કિરણને ₹ 2 મળશે. અથવા, આપણે કહી શકીએ કે કૃતિને દરેક 3 ભાગોમાંથી 1 ભાગ મળે છે અને કિરણને 2 ભાગો મળે છે.

તેથી, કૃતિનો હિસ્સો