১২.১ ভূমিকা

আমাদের দৈনন্দিন জীবনে, অনেক সময় আমরা একই ধরনের দুটি রাশির তুলনা করি। উদাহরণস্বরূপ, আভনী ও শারি স্ক্র্যাপ নোটবুকের জন্য ফুল সংগ্রহ করেছিল। আভনী ৩০টি ফুল সংগ্রহ করেছিল এবং শারি সংগ্রহ করেছিল ৪৫টি ফুল। সুতরাং, আমরা বলতে পারি যে শারি আভনীর চেয়ে $45-30=15$টি ফুল বেশি সংগ্রহ করেছিল।

আবার, রহিমের উচ্চতা যদি $150 cm$ হয় এবং আভনীর উচ্চতা $140 cm$ হয়, তবে আমরা বলতে পারি যে রহিমের উচ্চতা আভনীর চেয়ে $150 cm-140 cm=10 cm$ বেশি। এটি পার্থক্য নির্ণয়ের মাধ্যমে তুলনার একটি পদ্ধতি।

যদি আমরা একটি পিঁপড়া এবং একটি ফড়িংয়ের দৈর্ঘ্যের তুলনা করতে চাই, তাহলে পার্থক্য নির্ণয় করে তুলনা প্রকাশ করা যায় না। ফড়িংয়ের দৈর্ঘ্য, সাধারণত $4 cm$ থেকে $5 cm$, কয়েক মিলিমিটার দৈর্ঘ্যের পিঁপড়ার তুলনায় অনেক বেশি। তুলনা আরও ভালো হবে যদি আমরা বের করার চেষ্টা করি যে ফড়িংয়ের দৈর্ঘ্যের সাথে মিলিয়ে দিতে একটির পিঠে আরেকটি রেখে কয়টি পিঁপড়া বসানো যায়। সুতরাং, আমরা বলতে পারি যে ২০ থেকে ৩০টি পিঁপড়ার দৈর্ঘ্য একটি ফড়িংয়ের দৈর্ঘ্যের সমান।

আরেকটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।

একটি গাড়ির দাম ₹ ২,৫০,০০০ এবং একটি মোটরবাইকের দাম ₹ ৫০,০০০। যদি আমরা দামের মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় করি, তা হল ₹ $2,00,000$ এবং যদি আমরা ভাগের মাধ্যমে তুলনা করি;

অর্থাৎ $\dfrac{2,50,000}{50,000}=\dfrac{5}{1}$

আমরা বলতে পারি যে গাড়ির দাম মোটরবাইকের দামের পাঁচ গুণ। সুতরাং, কিছু কিছু পরিস্থিতিতে, পার্থক্য নির্ণয়ের তুলনায় ভাগের মাধ্যমে তুলনা করা অধিক অর্থবহ। ভাগের মাধ্যমে তুলনাকেই অনুপাত বলে। পরবর্তী অংশে, আমরা ‘অনুপাত’ সম্পর্কে আরও জানব।

১২.২ অনুপাত

নিম্নলিখিত বিষয়গুলি বিবেচনা করুন:

ঈশার ওজন $25 kg$ এবং তার বাবার ওজন $75 kg$। বাবার ওজন ঈশার ওজনের কত গুণ? এটি তিন গুণ।

একটি কলমের দাম ₹ ১০ এবং একটি পেন্সিলের দাম ₹ ২। একটি কলমের দাম একটি পেন্সিলের দামের কত গুণ? স্পষ্টতই এটি পাঁচ গুণ।

উপরের উদাহরণগুলিতে, আমরা দুটি রাশিকে ‘কত গুণ’ এর পরিপ্রেক্ষিতে তুলনা করেছি। এই তুলনাকে অনুপাত বলে। আমরা ‘:’ চিহ্ন ব্যবহার করে অনুপাত প্রকাশ করি।

আগের উদাহরণগুলি আবার বিবেচনা করুন। আমরা বলতে পারি,

বাবার ওজনের সাথে ঈশার ওজনের অনুপাত $=\dfrac{75}{25}=\dfrac{3}{1}=3: 1$

একটি কলমের দামের সাথে একটি পেন্সিলের দামের অনুপাত $=\dfrac{10}{2}=\dfrac{5}{1}=5: 1$

আসুন এই সমস্যাটি দেখি।

একটি শ্রেণিতে ২০ জন ছেলে এবং ৪০ জন মেয়ে আছে। নিম্নলিখিতগুলির অনুপাত কত?

(ক) মেয়েদের সংখ্যার সাথে মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত।
(খ) ছেলেদের সংখ্যার সাথে মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত।

চেষ্টা করো

১. একটি শ্রেণিতে ২০ জন ছেলে এবং ৪০ জন মেয়ে আছে। ছেলেদের সংখ্যার সাথে মেয়েদের সংখ্যার অনুপাত কত?

২. রবি এক ঘণ্টায় $6 km$ হাঁটে এবং রোশন এক ঘণ্টায় $4 km$ হাঁটে। রবি দ্বারা অতিক্রান্ত দূরত্বের সাথে রোশন দ্বারা অতিক্রান্ত দূরত্বের অনুপাত কত?

প্রথমে আমাদের মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা বের করতে হবে, যা হল,

মেয়েদের সংখ্যা + ছেলেদের সংখ্যা $=20+40=60$।

তাহলে, মেয়েদের সংখ্যার সাথে মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত হল $\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}=2: 3$

অনুরূপভাবে (খ) অংশের উত্তর বের করো।

এখন নিম্নলিখিত উদাহরণটি বিবেচনা করুন।

একটি গিরগিটি টিকটিকির দৈর্ঘ্য $20 cm$ এবং একটি কুমিরের দৈর্ঘ্য $4 m$।

“আমি তোমার চেয়ে ৫ গুণ বড়”, টিকটিকিটি বলল। আমরা দেখতে পাচ্ছি এটি

সত্যিই আজব। একটি টিকটিকির দৈর্ঘ্য একটি কুমিরের দৈর্ঘ্যের ৫ গুণ হতে পারে না। তাহলে, কী ভুল হয়েছে? লক্ষ্য করো যে টিকটিকির দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে এবং কুমিরের দৈর্ঘ্য মিটারে আছে। সুতরাং, আমাদের তাদের দৈর্ঘ্য একই এককে রূপান্তর করতে হবে।

কুমিরের দৈর্ঘ্য $=4 m=4 \times 100=400 cm$।

অতএব, কুমিরের দৈর্ঘ্যের সাথে টিকটিকির দৈর্ঘ্যের অনুপাত $=\dfrac{400}{20}=\dfrac{20}{1}=20: 1$।

দুটি রাশি শুধুমাত্র একই এককে থাকলেই তাদের তুলনা করা যায়।

এখন টিকটিকির দৈর্ঘ্যের সাথে কুমিরের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত?

এটি হল $\dfrac{20}{400}=\dfrac{1}{20}=1: 20$।

লক্ষ্য করো যে দুটি অনুপাত $1: 20$ এবং $20: 1$ একে অপরের থেকে ভিন্ন। অনুপাত $1: 20$ হল টিকটিকির দৈর্ঘ্যের সাথে কুমিরের দৈর্ঘ্যের অনুপাত, অন্যদিকে $20: 1$ হল কুমিরের দৈর্ঘ্যের সাথে টিকটিকির দৈর্ঘ্যের অনুপাত।

এখন আরেকটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।

একটি পেন্সিলের দৈর্ঘ্য $18 cm$ এবং এর ব্যাস $8 mm$। পেন্সিলের ব্যাসের সাথে এর দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত? যেহেতু পেন্সিলের দৈর্ঘ্য এবং ব্যাস ভিন্ন এককে দেওয়া আছে, তাই প্রথমে আমাদের সেগুলোকে একই এককে রূপান্তর করতে হবে।

সুতরাং, পেন্সিলের দৈর্ঘ্য $=18 cm$ $=18 \times 10 mm=180 mm$।

পেন্সিলের ব্যাসের সাথে পেন্সিলের দৈর্ঘ্যের অনুপাত $=\dfrac{8}{180}=\dfrac{2}{45}=2: 45$।

চেষ্টা করো

১. সৌরভ তার বাড়ি থেকে স্কুলে পৌঁছাতে ১৫ মিনিট সময় নেয় এবং সচিন তার বাড়ি থেকে স্কুলে পৌঁছাতে এক ঘণ্টা সময় নেয়। সৌরভের গৃহীত সময়ের সাথে সচিনের গৃহীত সময়ের অনুপাত নির্ণয় করো।

২. একটি টফির দাম ৫০ পয়সা এবং একটি চকলেটের দাম $₹ 10$। একটি টফির দামের সাথে একটি চকলেটের দামের অনুপাত নির্ণয় করো।

৩. একটি স্কুলে এক বছরে ৭৩ দিন ছুটি ছিল। ছুটির দিনের সংখ্যার সাথে এক বছরের মোট দিনের সংখ্যার অনুপাত কত?

আরও কিছু পরিস্থিতি চিন্তা করো যেখানে তুমি একই ধরনের দুটি রাশিকে ভিন্ন এককে তুলনা করো।

আমরা আমাদের দৈনন্দিন জীবনের অনেক পরিস্থিতিতে অনুপাতের ধারণা ব্যবহার করি, বুঝতে পারি না যে আমরা তা করছি।

A এবং B অঙ্কন দুটির তুলনা করো। B, A এর চেয়ে বেশি প্রাকৃতিক দেখাচ্ছে। কেন?

ছবি A-তে পা অন্যান্য শরীরের অংশের তুলনায় খুব লম্বা। এর কারণ হল আমরা সাধারণত পুরো শরীরের দৈর্ঘ্যের সাথে পায়ের দৈর্ঘ্যের একটি নির্দিষ্ট অনুপাত আশা করি।

একটি পেন্সিলের দুটি ছবির তুলনা করো। প্রথমটি কি একটি সম্পূর্ণ পেন্সিলের মতো দেখাচ্ছে? না।

কেন না? কারণ হল পেন্সিলের পুরুত্ব এবং দৈর্ঘ্য সঠিক অনুপাতে নেই।

বিভিন্ন পরিস্থিতিতে একই অনুপাত :

নিম্নলিখিত বিষয়গুলি বিবেচনা করুন:

• একটি ঘরের দৈর্ঘ্য $30 m$ এবং প্রস্থ $20 m$। সুতরাং, ঘরের দৈর্ঘ্যের সাথে ঘরের প্রস্থের অনুপাত $=\dfrac{30}{20}=\dfrac{3}{2}=3: 2$
• ২৪ জন মেয়ে এবং ১৬ জন ছেলে পিকনিকে যাচ্ছে। মেয়েদের সংখ্যার সাথে ছেলেদের সংখ্যার অনুপাত $=\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2}=3: 2$। উভয় উদাহরণে অনুপাত হল $3: 2$।
• লক্ষ্য করো অনুপাত $30: 20$ এবং $24: 16$ নিম্নতম আকারে $3: 2$ এর সমান। এগুলি সমতুল্য অনুপাত।
• তুমি কি $3: 2$ অনুপাতবিশিষ্ট আরও কিছু উদাহরণ চিন্তা করতে পারো?

একটি নির্দিষ্ট অনুপাত দেয় এমন পরিস্থিতি লেখা মজার। উদাহরণস্বরূপ, $2: 3$ অনুপাত দেয় এমন পরিস্থিতি লেখো।

• একটি টেবিলের প্রস্থের সাথে টেবিলের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হল $2: 3$।
• শীনার কাছে ২টি মার্বেল আছে এবং তার বন্ধু শাবনামের কাছে ৩টি মার্বেল আছে।

তাহলে, শীনার এবং শাবনামের মার্বেলের অনুপাত হল $2: 3$।

তুমি কি এই অনুপাতের জন্য আরও কিছু পরিস্থিতি লিখতে পারো? তোমার এবং তোমার বন্ধুদেরকে যেকোনো অনুপাত দাও এবং তাদেরকে পরিস্থিতি তৈরি করতে বলো।

রবি এবং রানী একটি ব্যবসা শুরু করে এবং $2: 3$ অনুপাতে টাকা বিনিয়োগ করে। এক বছর পরে মোট লাভ হয় ₹ $4,00,000$।

রবি বলল “আমরা সমানভাবে ভাগ করে নেব”, রানি বলল “আমার বেশি পাওয়া উচিত কারণ আমি বেশি বিনিয়োগ করেছি”।

তারপর সিদ্ধান্ত নেওয়া হল যে লাভ তাদের বিনিয়োগের অনুপাতে ভাগ করা হবে।

এখানে, অনুপাত $2: 3$ এর দুটি পদ হল ২

এই পদগুলির যোগফল $=2+3=5$

এর অর্থ কী?

এর অর্থ হল যদি লাভ ₹ ৫ হয় তবে রবির পাওয়া উচিত ₹ ২ এবং রানির পাওয়া উচিত $₹ 3$। অথবা, আমরা বলতে পারি যে রবি ৫ অংশের মধ্যে ২ অংশ পায় এবং রানি ৩ অংশ পায়। অর্থাৎ, রবির মোট লাভের $\dfrac{2}{5}$ অংশ পাওয়া উচিত এবং রানির মোট লাভের $\dfrac{3}{5}$ অংশ পাওয়া উচিত।

যদি মোট লাভ হয় ₹ ৫০০

রবি পাবে ₹ $\dfrac{2}{5} \times 500$=₹ $200$

এবং রানি পাবে $\dfrac{3}{5} \times 500$=₹ $300$

এখন, যদি লাভ হয় ₹ $4,00,000$, তুমি কি প্রত্যেকের অংশ বের করতে পারো?

রবির অংশ $\quad$=₹ $\dfrac{2}{5} \times 4,00,000$=₹ $1,60,000$

এবং রানির অংশ =₹ $\dfrac{3}{5} \times 4,00,000$=₹ $2,40,000$

তুমি কি আরও কিছু উদাহরণ চিন্তা করতে পারো যেখানে তোমাকে কিছু জিনিস একটি নির্দিষ্ট অনুপাতে ভাগ করতে হবে? এরকম তিনটি উদাহরণ তৈরি করো এবং তোমার বন্ধুদেরকে সমাধান করতে বলো।

আসুন আমরা এখন পর্যন্ত আমরা যে ধরনের সমস্যার সমাধান করেছি সেগুলো দেখি।

চেষ্টা করো

১. তোমার ব্যাগে নোটবুকের সংখ্যার সাথে বইয়ের সংখ্যার অনুপাত নির্ণয় করো।

২. তোমার শ্রেণিকক্ষে ডেস্কের সংখ্যার সাথে চেয়ারের সংখ্যার অনুপাত নির্ণয় করো।

৩. তোমার শ্রেণিতে বারো বছরের বেশি বয়সের ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা বের করো। তারপর, বারো বছরের বেশি বয়সের ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার সাথে বাকি ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত নির্ণয় করো।

৪. তোমার শ্রেণিকক্ষে দরজার সংখ্যার সাথে জানালার সংখ্যার অনুপাত নির্ণয় করো।

৫. যেকোনো আয়ত আঁকো এবং এর দৈর্ঘ্যের সাথে প্রস্থের অনুপাত নির্ণয় করো।

উদাহরণ ১ : একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে $50 m$ এবং $15 m$। ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্যের সাথে প্রস্থের অনুপাত নির্ণয় করো।

সমাধান : আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $=50 m$

আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ $=15 m$

দৈর্ঘ্যের সাথে প্রস্থের অনুপাত হল $50: 15$

অনুপাতটি লেখা যায় $\dfrac{50}{15}=\dfrac{50 \div 5}{15 \div 5}=\dfrac{10}{3}=10: 3$

সুতরাং, নির্ণেয় অনুপাত হল $10: 3$।

উদাহরণ ২ : $90 cm$ এর সাথে $1.5 m$ এর অনুপাত নির্ণয় করো।

সমাধান : দুটি রাশি একই এককে নেই। সুতরাং, আমাদের সেগুলোকে একই এককে রূপান্তর করতে হবে।

$1.5 m=1.5 \times 100 cm=150 cm$।

সুতরাং, নির্ণেয় অনুপাত হল $90: 150$।

$=\dfrac{90}{150}=\dfrac{90 \times 30}{150 \times 30}=\dfrac{3}{5}$

নির্ণেয় অনুপাত হল $3: 5$।

উদাহরণ ৩ : একটি অফিসে ৪৫ জন ব্যক্তি কাজ করছে। যদি মহিলার সংখ্যা ২৫ হয় এবং বাকিরা পুরুষ হয়, তবে নিম্নলিখিতগুলির অনুপাত নির্ণয় করো:

(ক) মহিলাদের সংখ্যার সাথে পুরুষদের সংখ্যার অনুপাত।
(খ) পুরুষদের সংখ্যার সাথে মহিলাদের সংখ্যার অনুপাত।

সমাধান : মহিলাদের সংখ্যা $=25$

মোট শ্রমিকের সংখ্যা $=45$

পুরুষদের সংখ্যা $=45-25=20$

সুতরাং, মহিলাদের সংখ্যার সাথে পুরুষদের সংখ্যার অনুপাত

$ =25: 20=5: 4 $

এবং পুরুষদের সংখ্যার সাথে মহিলাদের সংখ্যার অনুপাত

$ =20: 25=4: 5 . $

(লক্ষ্য করো যে দুটি অনুপাত $5: 4$ এবং $4: 5$ এর মধ্যে পার্থক্য রয়েছে)।

উদাহরণ ৪ : $6: 4$ এর দুটি সমতুল্য অনুপাত দাও।

সমাধান : অনুপাত $6: 4=\dfrac{6}{4}=\dfrac{6 \times 2}{4 \times 2}=\dfrac{12}{8}$।

সুতরাং, $12: 8$ হল $6: 4$ এর একটি সমতুল্য অনুপাত।

অনুরূপভাবে, অনুপাত $6: 4=\dfrac{6}{4}=\dfrac{6 \times 2}{4 \times 2}=\dfrac{3}{2}$

সুতরাং, $3: 2$ হল $6: 4$ এর আরেকটি সমতুল্য অনুপাত।

সুতরাং, আমরা লব এবং হরকে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করে সমতুল্য অনুপাত পেতে পারি।

$6: 4$ এর আরও দুটি সমতুল্য অনুপাত লেখো।

উদাহরণ ৫ : শূন্যস্থান পূরণ করো :

$ \dfrac{14}{21}=\dfrac{\square}{3}=\dfrac{6}{\square} $

সমাধান : প্রথম শূন্যস্থানের সংখ্যা পেতে, আমরা এই বিষয়টি বিবেচনা করি যে $21=3 \times 7$। অর্থাৎ যখন আমরা ২১ কে ৭ দ্বারা ভাগ করি তখন আমরা ৩ পাই। এটি নির্দেশ করে যে দ্বিতীয় অনুপাতের শূন্যস্থানের সংখ্যা পেতে, ১৪ কেও ৭ দ্বারা ভাগ করতে হবে।

যখন আমরা ভাগ করি, তখন পাই, $14 \div 7=2$

সুতরাং, দ্বিতীয় অনুপাত হল $\dfrac{2}{3}$।

অনুরূপভাবে, তৃতীয় অনুপাত পেতে আমরা দ্বিতীয় অনুপাতের উভয় পদকে ৩ দ্বারা গুণ করি। (কেন?)

সুতরাং, তৃতীয় অনুপাত হল $\dfrac{6}{9}$

অতএব, $\dfrac{14}{21}=\dfrac{\boxed{2}}{3}=\dfrac{6}{\boxed{9}}$ [এগুলি সবই সমতুল্য অনুপাত]।

উদাহরণ ৬ : মেরির বাড়ি থেকে স্কুলের দূরত্বের সাথে জনের বাড়ি থেকে স্কুলের দূরত্বের অনুপাত $2: 1$।

(ক) কে স্কুলের বেশি কাছে থাকে?

(খ) নিম্নলিখিত সারণিটি পূরণ করো যা মেরি এবং জন স্কুল থেকে যেসব সম্ভাব্য দূরত্বে থাকতে পারে তা দেখায়।

(গ) যদি মেরির বাড়ি থেকে স্কুলের দূরত্বের সাথে কালামের বাড়ি থেকে স্কুলের দূরত্বের অনুপাত $1: 2$ হয়, তবে কে স্কুলের বেশি কাছে থাকে?

সমাধান : (ক) জন স্কুলের বেশি কাছে থাকে (যেহেতু অনুপাত হল $2: 1$)।

(খ)

(গ) যেহেতু অনুপাত হল $1: 2$, তাই মেরি স্কুলের বেশি কাছে থাকে।

উদাহরণ ৭ : ₹ ৬০ কে $1: 2$ অনুপাতে কৃতি এবং কিরণের মধ্যে ভাগ করো।

সমাধান : দুটি অংশ হল ১ এবং ২।

সুতরাং, অংশগুলির যোগফল $=1+2=3$।

এর অর্থ হল যদি ₹ ৩ থাকে, তবে কৃতি পাবে ₹ ১ এবং কিরণ পাবে ₹ ২। অথবা, আমরা বলতে পারি যে প্রতি ৩ অংশের মধ্যে কৃতি পায় ১ অংশ এবং কিরণ পায় ২ অংশ।

সুতরাং, কৃতির অংশ $=\dfrac{1}{3} \times 60$ =₹ $20$

এবং কিরণের অংশ $=\dfrac{2}{3} \times 60$ =₹ $40$।

অনুশীলনী ১২.১

১. একটি শ্রেণিতে ২০ জন মেয়ে এবং ১৫ জন ছেলে আছে।

(ক) মেয়েদের সংখ্যার সাথে ছেলেদের সংখ্যার অনুপাত কত?
(খ) মেয়েদের সংখ্যার সাথে শ্রেণির মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত কত?

২. একটি শ্রেণির ৩০ জন ছাত্রছাত্রীর মধ্যে ৬ জন ফুটবল পছন্দ করে, ১২ জন ক্রিকেট পছন্দ করে এবং বাকিরা টেনিস পছন্দ করে। নিম্নলিখিতগুলির অনুপাত নির্ণয় করো:

(ক) ফুটবল পছন্দকারী ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার সাথে টেনিস পছন্দকারী ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত।
(খ) ক্রিকেট পছন্দকারী ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার সাথে মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত।

৩. চিত্রটি দেখো এবং নিম্নলিখিতগুলির অনুপাত নির্ণয় করো:

(ক) আয়তক্ষেত্রের ভিতরে ত্রিভুজের সংখ্যার সাথে বৃত্তের সংখ্যার অনুপাত।
(খ) আয়তক্ষেত্রের ভিতরে বর্গের সংখ্যার সাথে সব কটি আকৃতির সংখ্যার অনুপাত।
(গ) আয়তক্ষেত্রের ভিতরে বৃত্তের সংখ্যার সাথে সব কটি আকৃতির সংখ্যার অনুপাত।

৪. হামিদ ও আখতর এক ঘণ্টায় যথাক্রমে $9 km$ এবং $12 km$ দূরত্ব অতিক্রম করে। হামিদের গতির সাথে আখতরের গতির অনুপাত নির্ণয় করো।

৫. নিম্নলিখিত শূন্যস্থানগুলি পূরণ করো:

$\dfrac{15}{18}=\dfrac{\square}{6}=\dfrac{10}{\square}=\dfrac{\square}{30}$ [এগুলি কি সমতুল্য অনুপাত?]

৬. নিম্নলিখিতগুলির অনুপাত নির্ণয় করো:

(ক) ৮১ থেকে ১০৮
(খ) ৯৮ থেকে ৬৩
(গ) ৩৩ কিমি থেকে ১২১ কিমি
(ঘ) ৩০ মিনিট থেকে ৪৫ মিনিট

৭. নিম্নলিখিতগুলির অনুপাত নির্ণয় করো:

(ক) ৩০ মিনিট থেকে ১.৫ ঘণ্টা
(খ) ৪০ সেমি থেকে ১.৫ মি
(গ) ৫৫ পয়সা থেকে ₹ ১
(ঘ) ৫০০ মিলি থেকে ২ লিটার

৮. এক বছরে, সীমা $₹ 1,50,000$ আয় করে এবং $₹ 50,000$ সঞ্চয় করে। নিম্নলিখিতগুলির অনুপাত নির্ণয় করো:

(ক) সীমা যে টাকা আয় করে তার সাথে সে যে টাকা সঞ্চয় করে তার অনুপাত।
(খ) সে যে টাকা সঞ্চয় করে তার সাথে সে যে টাকা খরচ করে তার অনুপাত।

৯. ৩৩০০ জন ছাত্রছাত্রীর একটি স্কুলে ১০২ জন শিক্ষক আছেন। শিক্ষক সংখ্যার সাথে ছাত্রছাত্রী সংখ্যার অনুপাত নির্ণয় করো।

১০. একটি কলেজে ৪৩২০ জন ছাত্রছাত্রীর মধ্যে ২৩০০ জন মেয়ে। নিম্নলিখিতগুলির অনুপাত নির্ণয় করো:

(ক) মেয়েদের সংখ্যার সাথে মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত।
(খ) ছেলেদের সংখ্যার সাথে মেয়েদের সংখ্যার অনুপাত।
(গ) ছেলেদের সংখ্যার সাথে মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত।

১১. একটি স্কুলের ১৮০০ জন ছাত্রছাত্রীর মধ্যে ৭৫০ জন বাস্কেটবল, ৮০০ জন ক্রিকেট এবং বাকিরা টেবিল টেনিস বেছে নিয়েছে। যদি একজন ছাত্রছাত্রী শুধুমাত্র একটি খেলা বেছে নিতে পারে, তবে নিম্নলিখিতগুলির অনুপাত নির্ণয় করো:

(ক) বাস্কেটবল বেছে নেওয়া ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার সাথে টেবিল টেনিস বেছে নেওয়া ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত।
(খ) ক্রিকেট বেছে নেওয়া ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার সাথে বাস্কেটবল বেছে নেওয়া ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত।
(গ) বাস্কেটবল বেছে নেওয়া ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার সাথে মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত।

১২. এক ডজন কলমের দাম $₹ 180$ এবং ৮টি বলপেনের দাম $₹ 56$। একটি কলমের দামের সাথে একটি বলপেনের দামের অনুপাত নির্ণয় করো।

১৩. বিবৃতি বিবেচনা করো: একটি হলের প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যের অনুপাত $2: 5$। নিম্নলিখিত সারণিটি পূরণ করো যা হলের কিছু সম্ভাব্য প্রস্থ ও দৈর্ঘ্য দেখায়।

১৪. ২০টি কলম শীলা ও সঙ্গীতার মধ্যে $3: 2$ অনুপাতে ভাগ করো।

১৫. একজন মা তার দুই মেয়ে শ্রেয়া ও ভূমিকার মধ্যে তাদের বয়সের অনুপাতে $₹ 36$ ভাগ করতে চান। যদি শ্রেয়ার বয়স ১৫ বছর এবং ভূমিকার বয়স ১২ বছর হয়, তবে শ্রেয়া ও ভূমিকা কত টাকা পাবে তা নির্ণয় করো।

১৬. বাবার বর্তমান বয়স ৪২ বছর এবং তার পুত্রের বর্তমান বয়স ১৪ বছর। নিম্নলিখিতগুলির অনুপাত নির্ণয় করো:

(ক) বাবার বর্তমান বয়সের সাথে পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত।
(খ) পুত্রের বয়স যখন ১২ বছর ছিল তখন বাবার বয়সের সাথে পুত্রের বয়সের অনুপাত।
(গ) ১০ বছর পর বাবার বয়সের সাথে ১০ বছর পর পুত্রের বয়সের অনুপাত।
(ঘ) বাবার বয়স যখন ৩০ বছর ছিল তখন বাবার বয়সের সাথে পুত্রের বয়সের অনুপাত।

১২.৩ সমানুপাত

এই পরিস্থিতিটি বিবেচনা করুন:

রাজু বাজার থেকে টমেটো কিনতে গেল। একজন দোকানদার তাকে বলে যে টমেটোর দাম $5 kg$ এর জন্য ₹ ৪০। আরেকজন দোকানদার দাম দেয় ৬ $kg$ এর জন্য ₹ ৪২। এখন, রাজুর কী করা উচিত? সে কি প্রথম দোকানদার থেকে নাকি দ্বিতীয় দোকানদার থেকে টমেটো কিনবে? পার্থক্য নির্ণয়ের মাধ্যমে তুলনা কি তাকে সিদ্ধান্ত নিতে সাহায্য করবে? না। কেন না?

তাকে সাহায্য করার কিছু উপায় চিন্তা করো। তোমার বন্ধুদের সাথে আলোচনা করো।

আরেকটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।

ভাবিকার কাছে ২৮টি মার্বেল এবং ভিনির কাছে ১৮০টি ফুল আছে। তারা এগুলো নিজেদের মধ্যে ভাগ করে নিতে চায়। ভাবিকা ভিনিকে ১৪টি মার্বেল দিল এবং ভিনি ভাবিকাকে ৯০টি ফুল দিল। কিন্তু ভিনি সন্তুষ্ট হল না। সে অনুভব করল যে সে ভাবিকাকে যে মার্বেল দিয়েছে তার চেয়ে বেশি ফুল দিয়েছে।

তুমি কী মনে করো? ভিনি কি সঠিক?

এই সমস্যা সমাধানের জন্য দুজনেই ভিনির মা পূজার কাছে গেল।

পূজা বুঝিয়ে দিল যে ২৮টি মার্বেলের মধ্যে, ভাবিকা ভিনিকে ১৪টি মার্বেল দিয়েছে।

সুতরাং, অনুপাত হল $14: 28=1: 2$।

এবং ১৮০টি ফুলের মধ্যে, ভিনি ভাবিকাকে ৯০টি ফুল দিয়েছে।

সুতরাং, অনুপাত হল $90: 180=1: 2$।

যেহেতু উভয় অনুপাতই সমান, তাই বণ্টনটি ন্যায্য।

দুই বন্ধু আশমা ও পাংখুরি বাজার থেকে হেয়ার ক্লিপ কিনতে গেল। তারা ₹ ৩০-এ ২০টি হেয়ার ক্লিপ কিনল। আশমা ₹ ১২ দিল এবং পাংখুরি ₹ ১৮ দিল। বাড়ি ফিরে আসার পর, আশমা পাংখুরিকে তাকে ১০টি হেয়ার ক্লিপ দিতে বলল। কিন্তু পাংখুরি বলল, “যেহেতু আমি বেশি টাকা দিয়েছি তাই আমার বেশি ক্লিপ পাওয়া উচিত। তোমার ৮টি হেয়ার ক্লিপ পাওয়া উচিত এবং আমার ১২টি পাওয়া উচিত”।

তুমি বলতে পারো কে সঠিক, আশমা নাকি পাংখুরি? কেন?

আশমা দ্বারা প্রদত্ত টাকার সাথে পাংখুরি দ্বারা প্রদত্ত টাকার অনুপাত = ₹ $12: ₹ 18=2: 3$

আশমার পরামর্শ অনুযায়ী, আশমার জন্য হেয়ার ক্লিপের সংখ্যার সাথে পাংখুরির জন্য হেয়ার ক্লিপের সংখ্যার অনুপাত $=10: 10=1: 1$

পাংখুরির পরামর্শ অনুযায়ী, আশমার জন্য হেয়ার ক্লিপের সংখ্যার সাথে পাংখুরির জন্য হেয়ার ক্লিপের সংখ্যার অনুপাত $=8: 12=2: 3$

এখন, লক্ষ্য করো যে আশমার বণ্টন অনুযায়ী, হেয়ার ক্লিপের অনুপাত এবং তাদের দ্বারা প্রদত্ত টাকার অনুপাত এক নয়। কিন্তু পাংখুরির বণ্টন অনুযায়ী দুটি অনুপাত সমান।

সুতরাং, আমরা বলতে পারি যে পাংখুরির বণ্টন সঠিক।

একটি অনুপাতে ভাগ করা মানে কিছু!

নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি বিবেচনা করুন:

• রাজ ₹ ১৫-এ ৩টি কলম কিনল এবং অনু ₹ ৫০-এ ১০টি কলম কিনল। কার কলমের দাম বেশি?

রাজ দ্বারা ক্রয়কৃত কলমের সংখ্যার সাথে অনু দ্বারা ক্রয়কৃত কলমের সংখ্যার অনুপাত $Anu=3: 10$।

তাদের দামের অনুপাত $=15: 50=3: 10$

উভয় অনুপাত $3: 10$ এবং $15: 50$ সমান। সুতরাং, উভয়ের দ্বারা কলম একই দামে কেনা হয়েছে।

• রহিম ₹ ১৮০-এ $2 kg$ আপেল বিক্রি করে এবং রোশন $₹ 360$-এ $4 kg$ আপেল বিক্রি করে। কার আপেলের দাম বেশি?

আপেলের ওজনের অনুপাত $=2 kg: 4 kg=1: 2$

তাদের দামের অনুপাত =₹ $180: ₹ 360=6: 12=1: 2$

সুতরাং, আপেলের ওজনের অনুপাত $=$ তাদের দামের অনুপাত।

যেহেতু উভয় অনুপাতই সমান, তাই আমরা বলি যে তারা সমানুপাতে আছে। তারা একই হারে আপেল বিক্রি করছে।

যদি দুটি অনুপাত সমান হয়, তবে আমরা বলি যে তারা সমানুপাতে আছে এবং দুটি অনুপাতকে সমান করতে ‘::’ বা ‘$=$’ চিহ্ন ব্যবহার করি।

প্রথম উদাহরণের জন্য, আমরা বলতে পারি $3,10,15$ এবং ৫০ সমানুপাতে আছে যা লেখা হয় $3: 10:: 15: 50$ এবং পড়া হয় ৩ অনুপাত ১০ = ১৫ অনুপাত ৫০ অথবা এটি লেখা হয় $3: 10=15: 50$।

দ্বিতীয় উদাহরণের জন্য, আমরা বলতে পারি ২, ৪, ১৮০ এবং ৩৬০ সমানুপাতে আছে যা লেখা হয় $2: 4:: 180: 360$ এবং পড়া হয় ২ অনুপাত ৪ = ১৮০ অনুপাত ৩৬০।

আসুন আরেকটি উদাহরণ বিবেচনা করি।

একজন লোক ২ ঘণ্টায় $35 km$ যায়। একই গতিতে সে কি ৪ ঘণ্টায় $70 km$ যেতে পারবে?

এখন, লোকটির দ্বারা অতিক্রান্ত দুটি দূরত্বের অনুপাত হল ৩৫ থেকে $70=1: 2$ এবং এই দূরত্ব অতিক্রম করতে গৃহীত সময়ের অনুপাত হল ২ থেকে $4=1: 2$।

সুতরাং, দুটি অনুপাত সমান অর্থাৎ $35: 70=2: 4$।

অতএব, আমরা বলতে পারি যে চারটি সংখ্যা $35,70,2$ এবং ৪ সমানুপাতে আছে।

সুতরাং, আমরা এটি লিখতে পারি $35: 70:: 2: 4$ এবং পড়তে পারি ৩৫ অনুপাত ৭০ = ২ অনুপাত ৪। সুতরাং, সে সেই গতিতে ৪ ঘণ্টায় $70 km$ যেতে পারবে।

এখন, এই উদাহরণটি বিবেচনা করুন।

$2 kg$ আপেলের দাম ₹ ১৮০ এবং একটি $5 kg$ তরমুজের দাম ₹ ৪৫।

এখন, আপেলের ওজনের সাথে তরমুজের ওজনের অনুপাত হল $2: 5$।

চেষ্টা করো

প্রদত্ত অনুপাতগুলি সমান কিনা, অর্থাৎ তারা সমানুপাতে আছে কিনা তা পরীক্ষা করো।

যদি হ্যাঁ হয়, তবে সেগুলো সঠিক আকারে লেখো।

১. $1: 5$ এবং $3: 15$
২. $2: 9$ এবং $18: 81$
৩. $15: 45$ এবং $5: 25$
৪. $4: 12$ এবং $9: 27$ \