12.1 ആമുഖം

നമ്മുടെ ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ, പലപ്പോഴും ഒരേ തരത്തിലുള്ള രണ്ട് അളവുകൾ ഞങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, സ്ക്രാപ്പ് നോട്ട്ബുക്കിനായി അവ്നിയും ശാരിയും പൂക്കൾ ശേഖരിച്ചു. അവ്നി 30 പൂക്കളും ശാരി 45 പൂക്കളും ശേഖരിച്ചു. അതിനാൽ, ശാരി അവ്നിയേക്കാൾ $45-30=15$ പൂക്കൾ കൂടുതൽ ശേഖരിച്ചെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.

കൂടാതെ, റഹീമിന്റെ ഉയരം $150 cm$ ഉം അവ്നിയുടെ ഉയരം $140 cm$ ഉം ആണെങ്കിൽ, റഹീമിന്റെ ഉയരം അവ്നിയേക്കാൾ $150 cm-140 cm=10 cm$ കൂടുതലാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. വ്യത്യാസം കണക്കാക്കി താരതമ്യം ചെയ്യുക എന്നത് താരതമ്യത്തിന്റെ ഒരു മാർഗമാണ്.

ഒരു ഉറുമ്പിന്റെയും വെട്ടുക്കിളിയുടെയും നീളം താരതമ്യം ചെയ്യാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, വ്യത്യാസം കണക്കാക്കുന്നത് ആ താരതമ്യം പ്രകടിപ്പിക്കില്ല. വെട്ടുക്കിളിയുടെ നീളം, സാധാരണയായി $4 cm$ മുതൽ $5 cm$ വരെ, കുറച്ച് മില്ലിമീറ്റർ മാത്രമുള്ള ഉറുമ്പിന്റെ നീളവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ വളരെ വലുതാണ്. വെട്ടുക്കിളിയുടെ നീളവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതിന് എത്ര ഉറുമ്പുകൾ ഒന്നിനു പിറകെ ഒന്നായി വയ്ക്കാമെന്ന് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുകയാണെങ്കിൽ താരതമ്യം മെച്ചപ്പെടും. അതിനാൽ, 20 മുതൽ 30 ഉറുമ്പുകൾക്ക് ഒരു വെട്ടുക്കിളിയുടെ നീളം തന്നെയുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

ഒരു കാറിന്റെ വില ₹ 2,50,000 ഉം ഒരു മോട്ടോർബൈക്കിന്റെ വില ₹ 50,000 ഉം ആണ്. വിലകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കണക്കാക്കിയാൽ അത് ₹ $2,00,000$ ആണ്, വിഭജനം വഴി താരതമ്യം ചെയ്താൽ;

അതായത് $\dfrac{2,50,000}{50,000}=\dfrac{5}{1}$

കാറിന്റെ വില മോട്ടോർബൈക്കിന്റെ വിലയുടെ അഞ്ച് മടങ്ങാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അങ്ങനെ, ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ, വ്യത്യാസം കണക്കാക്കുന്നതിനേക്കാൾ വിഭജനം വഴിയുള്ള താരതമ്യം കൂടുതൽ അർത്ഥവത്താണ്. വിഭജനം വഴിയുള്ള താരതമ്യമാണ് അനുപാതം. അടുത്ത ഭാഗത്ത്, ‘അനുപാതങ്ങൾ’ കുറിച്ച് കൂടുതൽ നമുക്ക് പഠിക്കാം.

12.2 അനുപാതം

ഇനിപ്പറയുന്നവ പരിഗണിക്കുക:

ഇഷയുടെ ഭാരം $25 kg$ ഉം അവളുടെ പിതാവിന്റെ ഭാരം $75 kg$ ഉം ആണ്. പിതാവിന്റെ ഭാരം ഇഷയുടെ ഭാരത്തിന്റെ എത്ര മടങ്ങാണ്? അത് മൂന്ന് മടങ്ങാണ്.

ഒരു പേനയുടെ വില ₹ 10 ഉം ഒരു പെൻസിലിന്റെ വില ₹ 2 ഉം ആണ്. ഒരു പേനയുടെ വില പെൻസിലിന്റെ വിലയുടെ എത്ര മടങ്ങാണ്? വ്യക്തമായും അത് അഞ്ച് മടങ്ങാണ്.

മുകളിലെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, ‘എത്ര മടങ്ങ്’ എന്നതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഞങ്ങൾ രണ്ട് അളവുകൾ താരതമ്യം ചെയ്തു. ഈ താരതമ്യം അനുപാതം എന്നറിയപ്പെടുന്നു. അനുപാതം സൂചിപ്പിക്കാൻ ‘:’ ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണങ്ങൾ വീണ്ടും പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് പറയാം,

പിതാവിന്റെ ഭാരത്തിന്റെയും ഇഷയുടെ ഭാരത്തിന്റെയും അനുപാതം $=\dfrac{75}{25}=\dfrac{3}{1}=3: 1$

ഒരു പേനയുടെ വിലയുടെയും ഒരു പെൻസിലിന്റെ വിലയുടെയും അനുപാതം $=\dfrac{10}{2}=\dfrac{5}{1}=5: 1$

ഈ പ്രശ്നം നോക്കാം.

ഒരു ക്ലാസ്സിൽ 20 ആൺകുട്ടികളും 40 പെൺകുട്ടികളും ഉണ്ട്. ഇനിപ്പറയുന്നവയുടെ അനുപാതം എന്താണ്?

(എ) പെൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും മൊത്തം വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും അനുപാതം.
(ബി) ആൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും മൊത്തം വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും അനുപാതം.

ഇവ ശ്രമിക്കുക

1. ഒരു ക്ലാസ്സിൽ 20 ആൺകുട്ടികളും 40 പെൺകുട്ടികളും ഉണ്ട്. ആൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും പെൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും അനുപാതം എന്താണ്?

2. രവി ഒരു മണിക്കൂറിൽ $6 km$ നടക്കുന്നു, രോഷൻ ഒരു മണിക്കൂറിൽ $4 km$ നടക്കുന്നു. രവി സഞ്ചരിച്ച ദൂരത്തിന്റെയും രോഷൻ സഞ്ചരിച്ച ദൂരത്തിന്റെയും അനുപാതം എന്താണ്?

ആദ്യം നമുക്ക് മൊത്തം വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അത്,

പെൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണം + ആൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണം $=20+40=60$.

അപ്പോൾ, പെൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും മൊത്തം വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും അനുപാതം $\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}=2: 3$

(ബി) ഭാഗത്തിന്റെ ഉത്തരം സമാനമായ രീതിയിൽ കണ്ടെത്തുക.

ഇപ്പോൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

ഒരു വീട്ടുമാളിന്റെ നീളം $20 cm$ ഉം ഒരു മുതലയുടെ നീളം $4 m$ ഉം ആണ്.

“ഞാൻ നിന്നേക്കാൾ 5 മടങ്ങ് വലുതാണ്”, മാള് പറയുന്നു. നമുക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ ഇത്

വളരെ അസംബന്ധമാണ്. ഒരു മാളിന്റെ നീളം മുതലയുടെ നീളത്തിന്റെ 5 മടങ്ങ് ആകാൻ കഴിയില്ല. അപ്പോൾ, എന്താണ് തെറ്റ്? മാളിന്റെ നീളം സെന്റിമീറ്ററിലും മുതലയുടെ നീളം മീറ്ററിലുമാണ് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അതിനാൽ, അവയുടെ നീളം ഒരേ യൂണിറ്റിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

മുതലയുടെ നീളം $=4 m=4 \times 100=400 cm$.

അതിനാൽ, മുതലയുടെ നീളത്തിന്റെയും മാളിന്റെ നീളത്തിന്റെയും അനുപാതം $=\dfrac{400}{20}=\dfrac{20}{1}=20: 1$.

രണ്ട് അളവുകൾ ഒരേ യൂണിറ്റിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ അവ താരതമ്യം ചെയ്യാൻ കഴിയൂ.

ഇപ്പോൾ മാളിന്റെ നീളത്തിന്റെയും മുതലയുടെ നീളത്തിന്റെയും അനുപാതം എന്താണ്?

അത് $\dfrac{20}{400}=\dfrac{1}{20}=1: 20$ ആണ്.

$1: 20$, $20: 1$ എന്നീ രണ്ട് അനുപാതങ്ങൾ പരസ്പരം വ്യത്യസ്തമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. $1: 20$ എന്ന അനുപാതം മാളിന്റെ നീളത്തിന്റെയും മുതലയുടെ നീളത്തിന്റെയും അനുപാതമാണ്, അതേസമയം $20: 1$ എന്നത് മുതലയുടെ നീളത്തിന്റെയും മാളിന്റെ നീളത്തിന്റെയും അനുപാതമാണ്.

ഇപ്പോൾ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

ഒരു പെൻസിലിന്റെ നീളം $18 cm$ ഉം അതിന്റെ വ്യാസം $8 mm$ ഉം ആണ്. പെൻസിലിന്റെ വ്യാസത്തിന്റെയും അതിന്റെ നീളത്തിന്റെയും അനുപാതം എന്താണ്? പെൻസിലിന്റെ നീളവും വ്യാസവും വ്യത്യസ്ത യൂണിറ്റുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, ആദ്യം അവ ഒരേ യൂണിറ്റിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

അതിനാൽ, പെൻസിലിന്റെ നീളം $=18 cm$ $=18 \times 10 mm=180 mm$.

പെൻസിലിന്റെ വ്യാസത്തിന്റെയും പെൻസിലിന്റെ നീളത്തിന്റെയും അനുപാതം $=\dfrac{8}{180}=\dfrac{2}{45}=2: 45$.

ഇവ ശ്രമിക്കുക

1. സൗരഭ് തന്റെ വീട്ടിൽ നിന്ന് സ്കൂളിലെത്താൻ 15 മിനിറ്റ് എടുക്കുന്നു, സച്ചിൻ തന്റെ വീട്ടിൽ നിന്ന് സ്കൂളിലെത്താൻ ഒരു മണിക്കൂർ എടുക്കുന്നു. സൗരഭ് എടുത്ത സമയത്തിന്റെയും സച്ചിൻ എടുത്ത സമയത്തിന്റെയും അനുപാതം കണ്ടെത്തുക.

2. ഒരു ടോഫിയുടെ വില 50 പൈസയും ഒരു ചോക്ലേറ്റിന്റെ വില $₹ 10$ ഉം ആണ്. ഒരു ടോഫിയുടെ വിലയുടെയും ഒരു ചോക്ലേറ്റിന്റെ വിലയുടെയും അനുപാതം കണ്ടെത്തുക.

3. ഒരു സ്കൂളിൽ, ഒരു വർഷത്തിൽ 73 അവധി ദിവസങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നു. അവധി ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും ഒരു വർഷത്തിലെ ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും അനുപാതം എന്താണ്?

വ്യത്യസ്ത യൂണിറ്റുകളിൽ ഒരേ തരത്തിലുള്ള രണ്ട് അളവുകൾ നിങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുന്ന മറ്റ് ചില സാഹചര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുക.

നമ്മുടെ ദൈനംദിന ജീവിതത്തിലെ പല സാഹചര്യങ്ങളിലും നാം അനുപാതത്തിന്റെ ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് മനസ്സിലാക്കാതെ തന്നെ.

A, B എന്നീ ഡ്രോയിംഗുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യുക. A-യേക്കാൾ B കൂടുതൽ സ്വാഭാവികമായി കാണപ്പെടുന്നു. എന്തുകൊണ്ട്?

ചിത്രം A-യിലെ കാലുകൾ മറ്റ് ശരീരഭാഗങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ വളരെ നീളമുള്ളതാണ്. കാരണം, കാലുകളുടെ നീളത്തിന്റെയും മുഴുവൻ ശരീരത്തിന്റെയും നീളത്തിന് ഒരു നിശ്ചിത അനുപാതം നാം സാധാരണയായി പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

ഒരു പെൻസിലിന്റെ രണ്ട് ചിത്രങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുക. ആദ്യത്തേത് ഒരു പൂർണ്ണ പെൻസിൽ പോലെ കാണപ്പെടുന്നുണ്ടോ? ഇല്ല.

എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം പെൻസിലിന്റെ കനവും നീളവും ശരിയായ അനുപാതത്തിലല്ല.

വ്യത്യസ്ത സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഒരേ അനുപാതം :

ഇനിപ്പറയുന്നവ പരിഗണിക്കുക:

• ഒരു മുറിയുടെ നീളം $30 m$ ഉം അതിന്റെ വീതി $20 m$ ഉം ആണ്. അതിനാൽ, മുറിയുടെ നീളത്തിന്റെയും മുറിയുടെ വീതിയുടെയും അനുപാതം $=\dfrac{30}{20}=\dfrac{3}{2}=3: 2$
• 24 പെൺകുട്ടികളും 16 ആൺകുട്ടികളും പിക്നിക്കിന് പോകുന്നു. പെൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും ആൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും അനുപാതം $=\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2}=3: 2$ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങളിലും അനുപാതം $3: 2$ ആണ്.
• $30: 20$, $24: 16$ എന്നീ അനുപാതങ്ങൾ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന രൂപത്തിൽ $3: 2$ ന് തുല്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഇവ തുല്യ അനുപാതങ്ങളാണ്.
• $3: 2$ എന്ന അനുപാതം ഉള്ള മറ്റ് ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ചിന്തിക്കാമോ?

ഒരു നിശ്ചിത അനുപാതം ഉണ്ടാക്കുന്ന സാഹചര്യങ്ങൾ എഴുതുന്നത് രസകരമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, $2: 3$ എന്ന അനുപാതം ഉണ്ടാക്കുന്ന സാഹചര്യങ്ങൾ എഴുതുക.

• ഒരു മേശയുടെ വീതിയുടെയും മേശയുടെ നീളത്തിന്റെയും അനുപാതം $2: 3$ ആണ്.
• ശീനയ്ക്ക് 2 മാർബിളുകളും അവളുടെ സുഹൃത്ത് ശബ്നത്തിന് 3 മാർബിളുകളും ഉണ്ട്.

അപ്പോൾ, ശീനയ്ക്കും ശബ്നത്തിനും ഉള്ള മാർബിളുകളുടെ അനുപാതം $2: 3$ ആണ്.

ഈ അനുപാതത്തിനായി നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ സാഹചര്യങ്ങൾ എഴുതാമോ? നിങ്ങളുടെയും സുഹൃത്തുക്കളുടെയും 3. സുഹൃത്തുക്കൾക്ക് ഏതെങ്കിലും അനുപാതം നൽകി സാഹചര്യങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്താൻ ആവശ്യപ്പെടുക.

രവിയും റാണിയും ഒരു ബിസിനസ്സ് ആരംഭിച്ച് $2: 3$ എന്ന അനുപാതത്തിൽ പണം നിക്ഷേപിച്ചു. ഒരു വർഷത്തിന് ശേഷം മൊത്തം ലാഭം ₹ $4,00,000$ ആയിരുന്നു.

രവി പറഞ്ഞു “ഞങ്ങൾ അത് തുല്യമായി വിഭജിക്കും”, റാണി പറഞ്ഞു “ഞാൻ കൂടുതൽ നിക്ഷേപിച്ചതിനാൽ എനിക്ക് കൂടുതൽ ലഭിക്കണം”.

അപ്പോൾ ലാഭം അവരുടെ നിക്ഷേപത്തിന്റെ അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കാൻ തീരുമാനിച്ചു.

ഇവിടെ, $2: 3$ എന്ന അനുപാതത്തിന്റെ രണ്ട് പദങ്ങൾ 2

ഈ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക $=2+3=5$

ഇതിനർത്ഥം എന്താണ്?

ഇതിനർത്ഥം ലാഭം ₹ 5 ആണെങ്കിൽ രവിക്ക് ₹ 2 ലഭിക്കണം, റാണിക്ക് $₹ 3$ ലഭിക്കണം. അല്ലെങ്കിൽ, 5 ഭാഗങ്ങളിൽ രവിക്ക് 2 ഭാഗങ്ങളും റാണിക്ക് 3 ഭാഗങ്ങളും ലഭിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അതായത്, രവിക്ക് മൊത്തം ലാഭത്തിന്റെ $\dfrac{2}{5}$ ലഭിക്കണം, റാണിക്ക് മൊത്തം ലാഭത്തിന്റെ $\dfrac{3}{5}$ ലഭിക്കണം.

മൊത്തം ലാഭം ₹ 500 ആണെങ്കിൽ

രവിക്ക് ₹ $\dfrac{2}{5} \times 500$=₹ $200$ ലഭിക്കും

റാണിക്ക് $\dfrac{3}{5} \times 500$=₹ $300$ ലഭിക്കും

ഇപ്പോൾ, ലാഭം ₹ $4,00,000$ ആണെങ്കിൽ ഓരോരുത്തരുടെയും വിഹിതം നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താമോ?

രവിയുടെ വിഹിതം $\quad$=₹ $\dfrac{2}{5} \times 4,00,000$=₹ $1,60,000$

റാണിയുടെ വിഹിതം =₹ $\dfrac{3}{5} \times 4,00,000$=₹ $2,40,000$

ചില വസ്തുക്കളെ ഒരു നിശ്ചിത അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കേണ്ട മറ്റ് ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ചിന്തിക്കാമോ? അത്തരം മൂന്ന് ഉദാഹരണങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തി നിങ്ങളുടെ സുഹൃത്തുക്കളെ അവ പരിഹരിക്കാൻ ആവശ്യപ്പെടുക.

ഇതുവരെ ഞങ്ങൾ പരിഹരിച്ച പ്രശ്നങ്ങളുടെ തരം നോക്കാം.

ഇവ ശ്രമിക്കുക

1. നിങ്ങളുടെ ബാഗിലെ നോട്ട്ബുക്കുകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും പുസ്തകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും അനുപാതം കണ്ടെത്തുക.

2. നിങ്ങളുടെ ക്ലാസ്സ് മുറിയിലെ മേശകളുടെയും കസേരകളുടെയും അനുപാതം കണ്ടെത്തുക.

3. നിങ്ങളുടെ ക്ലാസ്സിൽ പന്ത്രണ്ട് വയസ്സിന് മുകളിലുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക. പിന്നെ, പന്ത്രണ്ട് വയസ്സിന് മുകളിലുള്ള പ്രായമുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും ബാക്കിയുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും അനുപാതം കണ്ടെത്തുക.

4. നിങ്ങളുടെ ക്ലാസ്സ് മുറിയിലെ വാതിലുകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും ജാലകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും അനുപാതം കണ്ടെത്തുക.

5. ഏതെങ്കിലും ദീർഘചതുരം വരച്ച് അതിന്റെ നീളത്തിന്റെയും വീതിയുടെയും അനുപാതം കണ്ടെത്തുക.

ഉദാഹരണം 1 : ഒരു ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള മൈതാനത്തിന്റെ നീളവും വീതിയും യഥാക്രമം $50 m$ ഉം $15 m$ ഉം ആണ്. മൈതാനത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെയും വീതിയുടെയും അനുപാതം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം : ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള മൈതാനത്തിന്റെ നീളം $=50 m$

ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള മൈതാനത്തിന്റെ വീതി $=15 m$

നീളത്തിന്റെയും വീതിയുടെയും അനുപാതം $50: 15$ ആണ്

ഈ അനുപാതം $\dfrac{50}{15}=\dfrac{50 \div 5}{15 \div 5}=\dfrac{10}{3}=10: 3$ എന്ന് എഴുതാം

അങ്ങനെ, ആവശ്യമായ അനുപാതം $10: 3$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 2 : $90 cm$ നും $1.5 m$ നും ഇടയിലുള്ള അനുപാതം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം : രണ്ട് അളവുകൾ ഒരേ യൂണിറ്റിൽ ഇല്ല. അതിനാൽ, അവ ഒരേ യൂണിറ്റിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

$1.5 m=1.5 \times 100 cm=150 cm$.

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ അനുപാതം $90: 150$ ആണ്.

$=\dfrac{90}{150}=\dfrac{90 \times 30}{150 \times 30}=\dfrac{3}{5}$

ആവശ്യമായ അനുപാതം $3: 5$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 3 : ഒരു ഓഫീസിൽ 45 പേർ ജോലി ചെയ്യുന്നു. പെൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണം 25 ആണെങ്കിൽ ബാക്കിയുള്ളവർ ആൺകുട്ടികളാണെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവയുടെ അനുപാതം കണ്ടെത്തുക:

(എ) പെൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും ആൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും അനുപാതം.
(ബി) ആൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും പെൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും അനുപാതം.

പരിഹാരം : പെൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണം $=25$

മൊത്തം തൊഴിലാളികളുടെ എണ്ണം $=45$

ആൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണം $=45-25=20$

അതിനാൽ, പെൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും ആൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും അനുപാതം

$ =25: 20=5: 4 $

ആൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും പെൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും അനുപാതം

$ =20: 25=4: 5 . $

($5: 4$, $4: 5$ എന്നീ രണ്ട് അനുപാതങ്ങൾ തമ്മിൽ വ്യത്യാസമുണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക ).

ഉദാഹരണം 4 : $6: 4$ ന്റെ രണ്ട് തുല്യ അനുപാതങ്ങൾ നൽകുക.

പരിഹാരം : അനുപാതം $6: 4=\dfrac{6}{4}=\dfrac{6 \times 2}{4 \times 2}=\dfrac{12}{8}$.

അതിനാൽ, $12: 8$ എന്നത് $6: 4$ ന്റെ ഒരു തുല്യ അനുപാതമാണ്

സമാനമായി, $6: 4=\dfrac{6}{4}=\dfrac{6 \times 2}{4 \times 2}=\dfrac{3}{2}$ എന്ന അനുപാതം

അതിനാൽ, $3: 2$ എന്നത് $6: 4$ ന്റെ മറ്റൊരു തുല്യ അനുപാതമാണ്.

**അതിനാൽ, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമ