12.1 ಪರಿಚಯ

ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹಲವು ಬಾರಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆವ್ನೀ ಮತ್ತು ಶಾರಿ ಸ್ಕ್ರ್ಯಾಪ್ ನೋಟ್ಬುಕ್ಕಿಗೆ ಹೂವುಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದರು. ಆವ್ನೀ 30 ಹೂವುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಶಾರಿ 45 ಹೂವುಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಶಾರಿ ಆವ್ನೀಗಿಂತ $45-30=15$ ಹೂವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ್ದಾಳೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಅದೇ ರೀತಿ, ರಹೀಮನ ಎತ್ತರ $150 cm$ ಮತ್ತು ಆವ್ನೀಯ ಎತ್ತರ $140 cm$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ರಹೀಮನ ಎತ್ತರ ಆವ್ನೀಯ ಎತ್ತರಕ್ಕಿಂತ $150 cm-140 cm=10 cm$ ಹೆಚ್ಚು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಇದು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡುವ ಒಂದು ವಿಧಾನ.

ನಾವು ಇರುವೆ ಮತ್ತು ಮಿಡತೆಯ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮಿಡತೆಯ ಉದ್ದ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ $4 cm$ ರಿಂದ $5 cm$ ವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದು ಕೆಲವು ಮಿಮೀ ಮಾತ್ರ ಇರುವ ಇರುವೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ತುಂಬಾ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಮಿಡತೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಇರುವೆಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಹಿಂದೆ ಒಂದರಂತೆ ಇಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ ಹೋಲಿಕೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 20 ರಿಂದ 30 ಇರುವೆಗಳು ಒಂದು ಮಿಡತೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಕಾರಿನ ಬೆಲೆ ₹ 2,50,000 ಮತ್ತು ಮೋಟಾರ್ಬೈಕಿನ ಬೆಲೆ ₹ 50,000. ನಾವು ಬೆಲೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರೆ, ಅದು ₹ $2,00,000$ ಮತ್ತು ನಾವು ಭಾಗಾಕಾರದ ಮೂಲಕ ಹೋಲಿಸಿದರೆ;

ಅಂದರೆ $\dfrac{2,50,000}{50,000}=\dfrac{5}{1}$

ಕಾರಿನ ಬೆಲೆ ಮೋಟಾರ್ಬೈಕಿನ ಬೆಲೆಯ ಐದು ಪಟ್ಟು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಹೋಲಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಭಾಗಾಕಾರದ ಮೂಲಕ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಭಾಗಾಕಾರದ ಮೂಲಕ ಹೋಲಿಕೆಯೇ ಅನುಪಾತ. ಮುಂದಿನ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ‘ಅನುಪಾತ’ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

12.2 ಅನುಪಾತ

ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಇಷಾ ತೂಕ $25 kg$ ಮತ್ತು ಅವಳ ತಂದೆಯ ತೂಕ $75 kg$. ತಂದೆಯ ತೂಕ ಇಷಾ ತೂಕದ ಎಷ್ಟು ಪಟ್ಟು? ಅದು ಮೂರು ಪಟ್ಟು.

ಪೆನ್ನಿನ ಬೆಲೆ ₹ 10 ಮತ್ತು ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ಬೆಲೆ ₹ 2. ಪೆನ್ನಿನ ಬೆಲೆ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ಬೆಲೆಯ ಎಷ್ಟು ಪಟ್ಟು? ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅದು ಐದು ಪಟ್ಟು.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ‘ಎಷ್ಟು ಪಟ್ಟು’ ಎಂಬ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಲಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅನುಪಾತವನ್ನು ‘:’ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು,

ತಂದೆಯ ತೂಕದಿಂದ ಇಷಾ ತೂಕಕ್ಕಿರುವ ಅನುಪಾತ $=\dfrac{75}{25}=\dfrac{3}{1}=3: 1$

ಪೆನ್ನಿನ ಬೆಲೆಯಿಂದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ಬೆಲೆಗಿರುವ ಅನುಪಾತ $=\dfrac{10}{2}=\dfrac{5}{1}=5: 1$

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಒಂದು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, 20 ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು 40 ಹುಡುಗಿಯರಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಅನುಪಾತ ಎಷ್ಟು?

(ಎ) ಹುಡುಗಿಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ.
(ಬಿ) ಹುಡುಗರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ.

ಇವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಒಂದು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, 20 ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು 40 ಹುಡುಗಿಯರಿದ್ದಾರೆ. ಹುಡುಗರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹುಡುಗಿಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತ ಎಷ್ಟು?

2. ರವಿ ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ $6 km$ ನಡೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ರೋಶನ್ ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ $4 km$ ನಡೆಯುತ್ತಾನೆ. ರವಿ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರದಿಂದ ರೋಶನ್ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರದ ಅನುಪಾತ ಎಷ್ಟು?

ಮೊದಲು ನಾವು ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅದು,

ಹುಡುಗಿಯರ ಸಂಖ್ಯೆ + ಹುಡುಗರ ಸಂಖ್ಯೆ $=20+40=60$.

ನಂತರ, ಹುಡುಗಿಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿರುವ ಅನುಪಾತ $\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}=2: 3$

ಭಾಗ (ಬಿ) ಯ ಉತ್ತರವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಈಗ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಮನೆ ಹಲ್ಲಿ ಯ ಉದ್ದ $20 cm$ ಮತ್ತು ಮೊಸಳೆಯ ಉದ್ದ $4 m$.

“ನಾನು ನಿನ್ನಿಗಿಂತ 5 ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡವಳು”, ಎಂದು ಹಲ್ಲಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ ಇದು

ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಹಲ್ಲಿಯ ಉದ್ದವು ಮೊಸಳೆಯ ಉದ್ದದ 5 ಪಟ್ಟು ಆಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಹಾಗಾದರೆ, ಏನು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ? ಹಲ್ಲಿಯ ಉದ್ದ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ಗಳಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಮೊಸಳೆಯ ಉದ್ದ ಮೀಟರ್ಗಳಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಏಕಮಾನಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊಸಳೆಯ ಉದ್ದ $=4 m=4 \times 100=400 cm$.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊಸಳೆಯ ಉದ್ದದಿಂದ ಹಲ್ಲಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕಿರುವ ಅನುಪಾತ $=\dfrac{400}{20}=\dfrac{20}{1}=20: 1$.

ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಅವು ಒಂದೇ ಏಕಮಾನದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಹೋಲಿಸಬಹುದು.

ಈಗ ಹಲ್ಲಿಯ ಉದ್ದದಿಂದ ಮೊಸಳೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕಿರುವ ಅನುಪಾತ ಎಷ್ಟು?

ಅದು $\dfrac{20}{400}=\dfrac{1}{20}=1: 20$.

ಗಮನಿಸಿ: ಎರಡು ಅನುಪಾತಗಳು $1: 20$ ಮತ್ತು $20: 1$ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಅನುಪಾತ $1: 20$ ಹಲ್ಲಿಯ ಉದ್ದದಿಂದ ಮೊಸಳೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕಿರುವ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ $20: 1$ ಮೊಸಳೆಯ ಉದ್ದದಿಂದ ಹಲ್ಲಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕಿರುವ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ಈಗ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ಉದ್ದ $18 cm$ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಸ $8 mm$. ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ವ್ಯಾಸದಿಂದ ಅದರ ಉದ್ದಕ್ಕಿರುವ ಅನುಪಾತ ಎಷ್ಟು? ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸ ವಿಭಿನ್ನ ಏಕಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಏಕಮಾನಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ಉದ್ದ $=18 cm$ $=18 \times 10 mm=180 mm$.

ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ವ್ಯಾಸದಿಂದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ಉದ್ದಕ್ಕಿರುವ ಅನುಪಾತ $=\dfrac{8}{180}=\dfrac{2}{45}=2: 45$.

ಇವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಸೌರಭ ತನ್ನ ಮನೆಯಿಂದ ಶಾಲೆಗೆ ತಲುಪಲು 15 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಸಚಿನ್ ತನ್ನ ಮನೆಯಿಂದ ಶಾಲೆಗೆ ತಲುಪಲು ಒಂದು ಗಂಟೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಸೌರಭ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಮಯದಿಂದ ಸಚಿನ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಮಯದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ಒಂದು ಟಾಫಿಯ ಬೆಲೆ 50 ಪೈಸೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಚಾಕೊಲೇಟ್ನ ಬೆಲೆ $₹ 10$. ಟಾಫಿಯ ಬೆಲೆಯಿಂದ ಚಾಕೊಲೇಟ್ನ ಬೆಲೆಗಿರುವ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ಒಂದು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವರ್ಷದಲ್ಲಿ 73 ರಜಾದಿನಗಳಿದ್ದವು. ರಜಾದಿನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಂದು ವರ್ಷದ ದಿನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿರುವ ಅನುಪಾತ ಎಷ್ಟು?

ನೀವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಏಕಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಹೋಲಿಸುವ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ.

ನಾವು ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದ ಹಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಅರಿತಿಲ್ಲದೆಯೇ.

ಚಿತ್ರಗಳು A ಮತ್ತು B ಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ. B ಯು A ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಏಕೆ?

ಚಿತ್ರ A ಯಲ್ಲಿನ ಕಾಲುಗಳು ಇತರ ದೇಹದ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ತುಂಬಾ ಉದ್ದವಾಗಿವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ, ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೇಹದ ಉದ್ದಕ್ಕಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ಎರಡು ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ. ಮೊದಲನೆಯದು ಪೂರ್ಣ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆಯೇ? ಇಲ್ಲ.

ಏಕೆ ಇಲ್ಲ? ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ದಪ್ಪ ಮತ್ತು ಉದ್ದ ಸರಿಯಾದ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ವಿಭಿನ್ನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅನುಪಾತ:

ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

• ಒಂದು ಕೋಣೆಯ ಉದ್ದ $30 m$ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಗಲ $20 m$. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋಣೆಯ ಉದ್ದದಿಂದ ಕೋಣೆಯ ಅಗಲಕ್ಕಿರುವ ಅನುಪಾತ $=\dfrac{30}{20}=\dfrac{3}{2}=3: 2$
• 24 ಹುಡುಗಿಯರು ಮತ್ತು 16 ಹುಡುಗರು ಪಿಕ್ನಿಕ್ಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಹುಡುಗಿಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಹುಡುಗರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿರುವ ಅನುಪಾತ $=\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2}=3: 2$ ಎರಡೂ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿನ ಅನುಪಾತ $3: 2$ ಆಗಿದೆ.
• ಗಮನಿಸಿ: ಅನುಪಾತಗಳು $30: 20$ ಮತ್ತು $24: 16$ ಅವುಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ರೂಪದಲ್ಲಿ $3: 2$ ನಂತೆಯೇ ಇವೆ. ಇವು ಸಮಾನ ಅನುಪಾತಗಳು.
• $3: 2$ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಯೋಚಿಸಬಹುದೇ?

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಖುಷಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $2: 3$ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನೀಡುವ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

• ಮೇಜಿನ ಅಗಲದಿಂದ ಮೇಜಿನ ಉದ್ದಕ್ಕಿರುವ ಅನುಪಾತ $2: 3$.
• ಶೀನಾ ಬಳಿ 2 ಗೋಲಿಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಅವಳ ಸ್ನೇಹಿತ ಶಬ್ನಾಂ ಬಳಿ 3 ಗೋಲಿಗಳಿವೆ.

ಆಗ, ಶೀನಾ ಮತ್ತು ಶಬ್ನಾಂ ಹೊಂದಿರುವ ಗೋಲಿಗಳ ಅನುಪಾತ $2: 3$.

ಈ ಅನುಪಾತಕ್ಕಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ನೀವು ಬರೆಯಬಹುದೇ? ಯಾವುದೇ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನಿಮಗೆ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರಿಗೆ ನೀಡಿ ಮತ್ತು ಅವರಿಂದ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಕೇಳಿ.

ರವಿ ಮತ್ತು ರಾಣಿ ಒಂದು ವ್ಯವಸಾಯವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು ಮತ್ತು $2: 3$ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಹಣವನ್ನು ಹೂಡಿದರು. ಒಂದು ವರ್ಷದ ನಂತರ ಒಟ್ಟು ಲಾಭ ₹ $4,00,000$ ಆಗಿತ್ತು.

ರವಿ “ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ” ಎಂದನು, ರಾಣಿ “ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ಹೂಡಿಕೆ ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ ಆದ್ದರಿಂದ ನನಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಿಗಬೇಕು” ಎಂದಳು.

ನಂತರ ಲಾಭವನ್ನು ಅವರ ಹೂಡಿಕೆಯ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಯಿತು.

ಇಲ್ಲಿ, ಅನುಪಾತ $2: 3$ ನ ಎರಡು ಪದಗಳು 2

ಈ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ $=2+3=5$

ಇದರ ಅರ್ಥವೇನು?

ಇದರ ಅರ್ಥ ಲಾಭ ₹ 5 ಆಗಿದ್ದರೆ, ರವಿಗೆ ₹ 2 ಮತ್ತು ರಾಣಿಗೆ $₹ 3$ ಸಿಗಬೇಕು. ಅಥವಾ, 5 ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ರವಿಗೆ 2 ಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ರಾಣಿಗೆ 3 ಭಾಗಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ರವಿಗೆ ಒಟ್ಟು ಲಾಭದ $\dfrac{2}{5}$ ಮತ್ತು ರಾಣಿಗೆ ಒಟ್ಟು ಲಾಭದ $\dfrac{3}{5}$ ಸಿಗಬೇಕು.

ಒಟ್ಟು ಲಾಭ ₹ 500 ಆಗಿದ್ದರೆ

ರವಿಗೆ ₹ $\dfrac{2}{5} \times 500$=₹ $200$ ಸಿಗುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು ರಾಣಿಗೆ $\dfrac{3}{5} \times 500$=₹ $300$ ಸಿಗುತ್ತದೆ

ಈಗ, ಲಾಭ ₹ $4,00,000$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರ ಪಾಲನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಲ್ಲಿರಾ?

ರವಿಯ ಪಾಲು $\quad$=₹ $\dfrac{2}{5} \times 4,00,000$=₹ $1,60,000$

ಮತ್ತು ರಾಣಿಯ ಪಾಲು =₹ $\dfrac{3}{5} \times 4,00,000$=₹ $2,40,000$

ನೀವು ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಬೇಕಾದ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಬಹುದೇ? ಅಂತಹ ಮೂರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೇಳಿ.

ನಾವು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಪರಿಹರಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ರೀತಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಇವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ನಿಮ್ಮ ಚೀಲದಲ್ಲಿರುವ ನೋಟ್ಬುಕ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪುಸ್ತಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿಯ ಕೊಠಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮೇಜುಗಳು ಮತ್ತು ಕುರ್ಚಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಹನ್ನೆರಡು ವರ್ಷಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಯಸ್ಸಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಂತರ, ಹನ್ನೆರಡು ವರ್ಷಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಯಸ್ಸಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿಯ ಕೊಠಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಬಾಗಿಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಕಿಟಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. ಯಾವುದೇ ಆಯತವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಉದ್ದದಿಂದ ಅದರ ಅಗಲಕ್ಕಿರುವ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಹೊಲದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲ ಕ್ರಮವಾಗಿ $50 m$ ಮತ್ತು $15 m$ ಆಗಿವೆ. ಹೊಲದ ಉದ್ದದಿಂದ ಅಗಲಕ್ಕಿರುವ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಆಯತಾಕಾರದ ಹೊಲದ ಉದ್ದ $=50 m$

ಆಯತಾಕಾರದ ಹೊಲದ ಅಗಲ $=15 m$

ಉದ್ದದಿಂದ ಅಗಲಕ್ಕಿರುವ ಅನುಪಾತ $50: 15$

ಅನುಪಾತವನ್ನು $\dfrac{50}{15}=\dfrac{50 \div 5}{15 \div 5}=\dfrac{10}{3}=10: 3$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು

ಹೀಗಾಗಿ, ಬೇಕಾದ ಅನುಪಾತ $10: 3$ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : $90 cm$ ರಿಂದ $1.5 m$ ಗಿರುವ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಒಂದೇ ಏಕಮಾನದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಏಕಮಾನಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

$1.5 m=1.5 \times 100 cm=150 cm$.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೇಕಾದ ಅನುಪಾತ $90: 150$.

$=\dfrac{90}{150}=\dfrac{90 \times 30}{150 \times 30}=\dfrac{3}{5}$

ಬೇಕಾದ ಅನುಪಾತ $3: 5$.

ಉದಾಹರಣೆ 3 : ಒಂದು ಕಚೇರಿಯಲ್ಲಿ 45 ಜನರು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಹೆಣ್ಣು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 25 ಮತ್ತು ಉಳಿದವರು ಗಂಡು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(ಎ) ಹೆಣ್ಣು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗಂಡು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ.
(ಬಿ) ಗಂಡು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಹೆಣ್ಣು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ.

ಪರಿಹಾರ : ಹೆಣ್ಣು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=25$

ಒಟ್ಟು ಕೆಲಸಗಾರರ ಸಂಖ್ಯೆ $=45$

ಗಂಡು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=45-25=20$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೆಣ್ಣು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗಂಡು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿರುವ ಅನುಪಾತ

$ =25: 20=5: 4 $

ಮತ್ತು ಗಂಡು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಹೆಣ್ಣು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿರುವ ಅನುಪಾತ

$ =20: 25=4: 5 . $

(ಗಮನಿಸಿ: ಎರಡು ಅನುಪಾತಗಳು $5: 4$ ಮತ್ತು $4: 5$ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ).

ಉದಾಹರಣೆ 4 : $6: 4$ ನ ಎರಡು ಸಮಾನ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಅನುಪಾತ $6: 4=\dfrac{6}{4}=\dfrac{6 \times 2}{4 \times 2}=\dfrac{12}{8}$.

ಆದ್ದರಿಂದ, $12: 8$ ಯು $6: 4$ ನ ಒಂದು ಸಮಾನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ

ಅದೇ ರೀತಿ, ಅನುಪಾತ $6: 4=\dfrac{6}{4}=\dfrac{6 \times 2}{4 \times 2}=\dfrac{3}{2}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $3: 2$ ಯು $6: 4$ ನ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮಾನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಸಮಾನ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

$6: 4$ ನ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಸಮಾನ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 : ಕಾಣೆಯಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತುಂಬಿಸಿ:

$ \dfrac{14}{21}=\dfrac{\square}{3}=\dfrac{6}{\square} $

ಪರಿಹಾರ : ಮೊದಲ ಕಾಣೆಯಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು $21=3 \times 7$ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ ನಾವು 21 ಅನ್ನು 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 3 ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎರಡನೇ ಅನುಪಾತದ ಕಾಣೆಯಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, 14 ಅನ್ನು ಸಹ 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ನಮಗೆ $14 \div 7=2$ ಸಿಗುತ್ತದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ಅನುಪಾತ $\dfrac{2}{3}$ ಆಗಿದೆ.

ಅದೇ ರೀತಿ, ಮೂರನೇ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಎರಡನೇ ಅನುಪಾತದ ಎರಡೂ ಪದಗಳನ್ನು 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. (ಏಕೆ?)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂರನೇ ಅನುಪಾತ $\dfrac{6}{9}$ ಆಗಿದೆ

ಹೀಗಾಗಿ, $\dfrac{14}{21}=\dfrac{\boxed{2}}{3}=\dfrac{6}{\boxed{9}}$ [ಇವೆಲ್ಲವೂ ಸಮಾನ ಅನುಪಾತಗಳು.]

ಉದಾಹರಣೆ 6 : ಶಾಲೆಯಿಂದ ಮೇರಿಯ ಮನೆಗಿರುವ ದೂರದಿಂದ ಶಾಲೆಯಿಂದ ಜಾನ್ನ ಮನೆಗಿರುವ ದೂರದ ಅನುಪಾತ $2: 1$ ಆಗಿದೆ.

(ಎ) ಯಾರು ಶಾಲೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಾರೆ?

(ಬಿ) ಶಾಲೆಯಿಂದ ಮೇರಿ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ವಾಸಿಸಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ಸಂಭಾವ್ಯ ದೂರಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ.

(ಸಿ) ಶಾಲೆಯಿಂದ ಮೇರಿಯ ಮನೆಗಿರುವ ದೂರದಿಂದ ಶಾಲೆಯಿಂದ ಕಲಾಂನ ಮನೆಗಿರುವ ದೂರದ ಅನುಪಾತ $1: 2$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾರು ಶಾಲೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಾರೆ?

ಪರಿಹಾರ : (ಎ) ಜಾನ್ ಶಾಲೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಾನೆ (ಅನುಪಾತ $2: 1$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ).

(ಬಿ)

(ಸಿ) ಅನುಪಾತ $1: 2$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮೇರಿ ಶಾಲೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಾಳೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7 : ₹ 60 ಅನ್ನು ಕೃತಿ ಮತ್ತು ಕಿರಣರ ನಡುವೆ $1: 2$ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಎರಡು ಭಾಗಗಳು 1 ಮತ್ತು 2 ಆಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಭಾಗಗಳ ಮೊತ್ತ $=1+2=3$.

ಇದರ ಅರ್ಥ ₹ 3 ಇದ್ದರೆ, ಕೃತಿಗೆ ₹ 1 ಮತ್ತು ಕಿರಣಗೆ ₹ 2 ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಅಥವಾ, ಪ್ರತಿ 3 ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಕೃತಿಗೆ 1 ಭಾಗ ಮತ್ತು ಕಿರಣಗೆ 2 ಭಾಗಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೃತಿಯ ಪಾಲು $=\dfrac{1}{3} \times 60$ =₹ $20$

ಮತ್ತು ಕಿರಣನ ಪಾಲು $=\dfrac{2}{3} \times 60$ =₹ $40$.

ಅಭ್ಯಾಸ 12.1

1. ಒಂದು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ 20 ಹುಡುಗಿಯರು ಮತ್ತು 15 ಹುಡುಗರಿದ್ದಾರೆ.

(ಎ) ಹುಡುಗಿಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಹುಡುಗರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿರುವ ಅನುಪಾತ ಎಷ್ಟು?
(ಬಿ) ಹುಡುಗಿಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ತರಗತಿಯ ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿರುವ ಅನುಪಾತ ಎಷ್ಟು?

2. ಒಂದು ತರಗತಿಯ 30 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ, 6 ಜನ ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ, 12 ಜನ ಕ್ರಿಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವರು ಟೇಬಲ್ ಟೆನ್ನಿಸ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ. ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(ಎ) ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಟೇಬಲ್ ಟೆನ್ನಿಸ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ.
(ಬಿ) ಕ್ರಿಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ.

3. ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹ