10.1 प्रस्तावना

तुम्हाला माहिती आहे का?

पृथ्वीचे वस्तुमान 5,970,000,000,000, 000, 000, 000, $000 kg$ आहे. अशा मोठ्या संख्या घातांक वापरून अधिक सोयीस्करपणे कशा लिहायच्या हे आपण आधीच्या वर्गात शिकलो आहोत, उदाहरणार्थ, $5.97 \times 10^{24} kg$.

आपण $10^{24}$ हे 10 ची 24 वी घात असे वाचतो.

आपल्याला माहित आहे $\quad$ $\quad$ $ 2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 $

आणि $\quad$ $\quad$ $ 2^{m}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times \ldots \times 2 \times 2 \ldots(m \text{ वेळा }) $

आता $2^{-2}$ कशाच्या बरोबरीचे आहे ते शोधूया?

10.2 ऋण घातांक असलेले घात

तुम्हाला माहित आहे,

$ \begin{aligned} & 10^{1}=10=\frac{100}{10} \\ & 10^1= 10 = \frac{100}{10} \\ & 10^{0}=1=\frac{10}{10} \\ & 10^{-1}=? \end{aligned} $

घातांक 1 ने कमी झाल्यास, मूल्य मागील मूल्याच्या एक दशांश होते.

वरील नमुना चालू ठेवल्यास आपल्याला मिळते, $10^{-1}=\frac{1}{10}$

त्याचप्रमाणे

$ \begin{aligned} & 10^{-2}=\frac{1}{10} \div 10=\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}=\frac{1}{100}=\frac{1}{10^{2}} \\ & 10^{-3}=\frac{1}{100} \div 10=\frac{1}{100} \times \frac{1}{10}=\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^{3}} \end{aligned} $

$10^{-10}$ कशाच्या बरोबरीचे आहे?

आता पुढील गोष्टींचा विचार करा.

त्यामुळे वरील नमुना पाहता, आपण म्हणतो

$ \begin{aligned} & 3^{-1}=1 \div 3=\frac{1}{3} \\ & 3^{-2}=\frac{1}{3} \div 3=\frac{1}{3 \times 3}=\frac{1}{3^{2}} \\ & 3^{-3}=\frac{1}{3^{2}} \div 3=\frac{1}{3^{2}} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3^{3}} \end{aligned} $

आता तुम्ही $2^{-2}$ चे मूल्य त्याच प्रकारे शोधू शकता.

आपल्याकडे आहे,

$ \begin{matrix} 10^{-2} & =\frac{1}{10^{2}} & \text{ किंवा } & 10^{2} & =\frac{1}{10^{-2}} \\ 10^{-3} & =\frac{1}{10^{3}} & \text{ किंवा } & 10^{3} & =\frac{1}{10^{-3}} \\ 3^{-2} & =\frac{1}{3^{2}} & \text{ किंवा } & 3^{2} & =\frac{1}{3^{-2}} & \text{ इत्यादी. } \end{matrix} $

सर्वसाधारणपणे, आपण असे म्हणू शकतो की कोणत्याही शून्येतर पूर्णांक $a, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$ साठी, जिथे $m$ हा धन पूर्णांक आहे. $a^{-m}$ हा $a^{m}$ चा गुणाकार व्यस्त आहे.

प्रयत्न करा

खालील संख्यांचा गुणाकार व्यस्त शोधा.

(i) $2^{-4}$ $\quad$ (ii) $10^{-5}$ $\quad$ (iii) $7^{-2}$ $\quad$ (iv) $5^{-3}$ $\quad$ (v) $10^{-100}$

1425 सारख्या संख्या घातांक वापरून $1 \times 10^{3}+4 \times 10^{2}+2 \times 10^{1}+5 \times 10^{\circ}$ अशा विस्तारित रूपात कशा लिहायच्या हे आपण शिकलो.

1425.36 ही संख्या त्याच प्रकारे विस्तारित रूपात कशी व्यक्त करायची ते पाहू.

आपल्याकडे आहे $1425.36=1 \times 1000+4 \times 100+2 \times 10+5 \times 1+\frac{3}{10}+\frac{6}{100}$

$ =1 \times 10^{3}+4 \times 10^{2}+2 \times 10+5 \times 1+3 \times 10^{-1}+6 \times 10^{-2} $

$ 10^{-1} =\frac{1}{10}, 10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100} $

प्रयत्न करा

घातांक वापरून खालील संख्यांचा विस्तार करा.

(i) 1025.63 $\quad$ (ii) 1256.249

10.3 घातांकाचे नियम

आपण शिकलो आहोत की कोणत्याही शून्येतर पूर्णांक $a, a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$ साठी, जिथे $m$ आणि $n$ हे नैसर्गिक संख्या आहेत. घातांक ऋण असल्यास हा नियम लागू होतो का? चला तपासूया.

(i)

म्हणून, $2^{-3} \times 2^{-2}=\frac{1}{2^{3}} \times \frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{2^{3} \times 2^{2}}=\frac{1}{2^{3+2}}=2^{-}$

(ii) $(-3)^{-4} \times(-3)^{-3}$ घ्या

$ \begin{aligned} (-3)^{-4} \times(-3)^{-3} & =\frac{1}{(-3)^{4}} \times \frac{1}{(-3)^{3}} \\ & =\frac{1}{(-3)^{4} \times(-3)^{3}}=\frac{1}{(-3)^{4+3}}=(-3)^{-7} \end{aligned} $

(iii) आता $5^{-2} \times 5^{4}$ विचारात घ्या

$ 5^{-2} \times 5^{4}=\frac{1}{5^{2}} \times 5^{4}=\frac{5^{4}}{5^{2}}=5^{4-2}=5^{(2)}{(-2)+4=2} $

सातवीच्या वर्गात, तुम्ही शिकलात की कोणत्याही शून्येतर पूर्णांक $a, \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ साठी, जिथे

(iv) आता $(-5)^{-4} \times(-5)^{2}$ $m$ आणि $n$ विचारात घ्या जे नैसर्गिक संख्या आहेत आणि $m>n$.

$ \begin{aligned} (-5)^{-4} \times(-5)^{2} & =\frac{1}{(-5)^{4}} \times(-5)^{2}=\frac{(-5)^{2}}{(-5)^{4}}=\frac{1}{(-5)^{4} \times(-5)^{-2}} \\ & =\frac{1}{(-5)^{4-2}}=(-5)^{-(2)} \longrightarrow{\underbrace{(-4)+2=-2}} \end{aligned} $

सर्वसाधारणपणे, आपण असे म्हणू शकतो की कोणत्याही शून्येतर पूर्णांक $a$ साठी, $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$, जिथे $m$ आणि $n$ हे पूर्णांक आहेत.

प्रयत्न करा

सरळरूप देऊन घातांकीय रूपात लिहा.

(i) $(-2)^{-3} \times(-2)^{-4}$ $\quad$ (ii) $p^{3} \times p^{-10}$ $\quad$ (iii) $3^{2} \times 3^{-5} \times 3^{6}$

त्याच पद्धतीने तुम्ही घातांकाचे खालील नियम सत्यापित करू शकता, जिथे $a$ आणि $b$ हे शून्येतर पूर्णांक आहेत आणि $m, n$ हे कोणतेही पूर्णांक आहेत.

(i) $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ $\quad$ (ii) $(a^{m})^{n}=a^{m n}$ $\quad$ (iii) $a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$

(iv) $\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m}$ $\quad$ (v) $a^{0}=1$

चला, घातांकाचे वरील नियम वापरून काही उदाहरणे सोडवू.

उदाहरण 1 : खालील ची किंमत शोधा. (i) $2^{-3}$ (ii) $\frac{1}{3^{-2}}$

उकल:

(i) $2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}$ (ii) $\frac{1}{3^{-2}}=3^{2}=3 \times 3=9$

उदाहरण 2 : सरळरूप द्या

(i) $(-4)^{5} \times(-4)^{-10}$ (ii) $2^{5} \div 2^{-6}$ $\quad$

उकल:

(i) $(-4)^{5} \times(-4)^{-10}=(-4)^{(5-10)}=(-4)^{-5}=\frac{1}{(-4)^{5}} \quad(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}})$

(ii) $2^{5} \div 2^{-6}=2^{5-(-6)}=2^{11} \quad(a^{m} \div a^{n}=a^{m-n})$

उदाहरण 3 : $4^{-3}$ हे पाया 2 असलेल्या घात म्हणून व्यक्त करा.

उकल: आपल्याकडे आहे, $4=2 \times 2=2^{2}$

म्हणून, $(4)^{-3}=(2 \times 2)^{-3}=(2^{2})^{-3}=2^{2 \times(-3)}=2^{-6} \quad[(a^{m})^{n}=a^{m n}]$

उदाहरण 4 : सरळरूप द्या आणि उत्तर घातांकीय रूपात लिहा.

(i) $(2^{5} \div 2^{8})^{5} \times 2^{-5}$

(iii) $\frac{1}{8} \times(3)^{-3}$ (ii) $(-4)^{-3} \times(5)^{-3} \times(-5)^{-3}$

(iv) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}$

उकल:

(i) $(2^{5} \div 2^{8})^{5} \times 2^{-5}=(2^{5-8})^{5} \times 2^{-5}=(2^{-3})^{5} \times 2^{-5}=2^{-15-5}=2^{-20}=\frac{1}{2^{20}}$

(ii) $(-4)^{-3} \times(5)^{-3} \times(-5)^{-3}=[(-4) \times 5 \times(-5)]^{-3}=[100]^{-3}=\frac{1}{100^{3}}$

[$a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$ हा नियम वापरून ]

(iii) $\frac{1}{8} \times(3)^{-3}=\frac{1}{2^{3}} \times(3)^{-3}=2^{-3} \times 3^{-3}=(2 \times 3)^{-3}=6^{-3}=\frac{1}{6^{3}}$

(iv) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}=(-1 \times 3)^{4} \times \frac{5^{4}}{3^{4}}=(-1)^{4} \times 3^{4} \times \frac{5^{4}}{3^{4}}$

$ =(-1)^{4} \times 5^{4}=5^{4} \quad[(-1)^{4}=1] $

उदाहरण 5 : $m$ शोधा जेणेकरून $(-3)^{m+1} \times(-3)^{5}=(-3)^{7}$

उकल: $(-3)^{m+1} \times(-3)^{5}=(-3)^{7}$

$ \begin{aligned} (-3)^{m+1+5} & =(-3)^{7} \\ (-3)^{m+6} & =(-3)^{7} \end{aligned} $

दोन्ही बाजूंच्या घातांचा पाया 1 आणि -1 वगळता समान आहे, म्हणून त्यांचे घातांक समान असले पाहिजेत.

म्हणून, $ m+6=7 $

किंवा $ m=7-6=1 $

उदाहरण 6 : $(\frac{2}{3})^{-2}$ चे मूल्य शोधा.

$a^{n}=1$ फक्त जर $n=0$. हे कोणत्याही $a$ साठी कार्य करेल. $a=1,1^{1}=1^{2}=1^{3}=1^{-2}=\ldots=1$ किंवा $(1)^{n}=$ 1 असल्यास असंख्य $n$ साठी.

$a=-1$ साठी,

$(-1)^{0}=(-1)^{2}=(-1)^{4}=(-1)^{-2}=\ldots=1$ किंवा $(-1)^{p}=1$ कोणत्याही सम पूर्णांक $p$ साठी.

उकल: $(\frac{2}{3})^{-2}=\frac{2^{-2}}{3^{-2}}=\frac{3^{2}}{2^{2}}=\frac{9}{4}$

उदाहरण 7 : सरळरूप द्या (i) ${(\frac{1}{3})^{-2}-(\frac{1}{2})^{-3}} \div(\frac{1}{4})^{-2}$

उकल:

(i) ${(\frac{1}{3})^{-2}-(\frac{1}{2})^{-3}} \div(\frac{1}{4})^{-2}={\frac{1^{-2}}{3^{-2}}-\frac{1^{-3}}{2^{-3}}} \div \frac{1^{-2}}{4^{-2}}$

$ ={\frac{3^{2}}{1^{2}}-\frac{2^{3}}{1^{3}}} \div \frac{4^{2}}{1^{2}}={9-8} \div 16=\frac{1}{16} $

(ii) $(\frac{5}{8})^{-7} \times(\frac{8}{5})^{-5}=\frac{5^{-7}}{8^{-7}} \times \frac{8^{-5}}{5^{-5}}=\frac{5^{-7}}{5^{-5}} \times \frac{8^{-5}}{8^{-7}}=5^{(-7)-(-5)} \times 8^{(-5)-(-7)}$

$ =5^{-2} \times 8^{2}=\frac{8^{2}}{5^{2}}=\frac{64}{25} $

प्रश्नसंग्रह 10.1

1. किंमत काढा.

(i) $3^{-2}$

(ii) $(-4)^{-2}$

(iii) $(\frac{1}{2})^{-5}$

2. सरळरूप द्या आणि उत्तर धन घातांकासह घातांकीय संकेतनात लिहा.

(i) $(-4)^{5} \div(-4)^{8}$

(ii) $(\frac{1}{2^{3}})^{2}$

(iii) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}$

(iv) $(3^{-7} \div 3^{-10}) \times 3^{-5}$

(v) $2^{-3} \times(-7)^{-3}$

3. खालील ची किंमत शोधा.

(i) $(3^{\circ}+4^{-1}) \times 2^{2}$

(ii) $(2^{-1} \times 4^{-1}) \div 2^{-2}$

(iii) $(\frac{1}{2})^{-2}+(\frac{1}{3})^{-2}+(\frac{1}{4})^{-2}$

(iv) $(3^{-1}+4^{-1}+5^{-1})^{0}$

4. किंमत काढा (i) $\frac{8^{-1} \times 5^{3}}{2^{-4}}$

5. $m$ ची अशी किंमत शोधा की $5^{m} \div 5^{-3}=5^{5}$.

6. किंमत काढा (i) ${(\frac{1}{3})^{-1}-(\frac{1}{4})^{-1}}^{-1}$ (ii) $(\frac{5}{8})^{-7} \times(\frac{8}{5})^{-4}$

7. सरळरूप द्या. (i) $\frac{25 \times t^{-4}}{5^{-3} \times 10 \times t^{-8}}(t \neq 0)$ (ii) $\frac{3^{-5} \times 10^{-5} \times 125}{5^{-7} \times 6^{-5}}$

10.4 लहान संख्या प्रमाणित रूपात व्यक्त करण्यासाठी घातांकाचा उपयोग

खालील तथ्ये पाहा.

1. पृथ्वीपासून सूर्यापर्यंतचे अंतर $149,600,000,000 m$ आहे.

2. प्रकाशाचा वेग $300,000,000 m / sec$ आहे.

3. सातवीच्या गणित पुस्तकाची जाडी $20 mm$ आहे.

4. रक्तातील लाल पेशींचा सरासरी व्यास $0.000007 mm$ आहे.

5. मानवी केसांची जाडी $0.005 cm$ ते $0.01 cm$ च्या दरम्यान असते.

6. पृथ्वीपासून चंद्राचे अंतर $384,467,000 m$ आहे (अंदाजे).

7. वनस्पती पेशीचा आकार $0.00001275 m$ आहे.

8. सूर्याची सरासरी त्रिज्या $695000 km$ आहे.

9. अंतराळ यानाच्या घन रॉकेट बूस्टरमधील इंधनाचे वस्तुमान $503600 kg$ आहे.

10. कागदाच्या तुकड्याची जाडी $0.0016 cm$ आहे.

11. संगणक चिपवरील तारेचा व्यास $0.000003 m$ आहे.

12. माउंट एव्हरेस्टची उंची $8848 m$ आहे.

लक्षात घ्या की काही संख्या आहेत ज्या आपण $2 cm, 8848 m$, $6,95,000 km$ अशा वाचू शकतो. काही खूप मोठ्या संख्या आहेत जसे $150,000,000,000 m$ आणि काही खूप लहान संख्या आहेत जसे $0.000007 m$.

वरील तथ्यांमधून खूप मोठ्या आणि खूप लहान संख्या ओळखा आणि त्या खालील सारणीत लिहा:

आपण मागील वर्गात खूप मोठ्या संख्या प्रमाणित रूपात कशा व्यक्त करायच्या ते शिकलो आहोत.

उदाहरणार्थ: $150,000,000,000=1.5 \times 10^{11}$

आता, $0.000007 m$ ही संख्या प्रमाणित रूपात व्यक्त करण्याचा प्रयत्न करू.

$ \begin{aligned} 0.000007 & =\frac{7}{1000000}=\frac{7}{10^{6}}=7 \times 10^{-6} \\ 0.000007 m & =7 \times 10^{-6} m \end{aligned} $

त्याचप्रमाणे, कागदाच्या तुकड्याची जाडी विचारात घ्या जी $0.0016 cm$ आहे.

$ \begin{aligned} 0.0016 & =\frac{16}{10000}=\frac{1.6 \times 10}{10^{4}}=1.6 \times 10 \times 10^{-4} \\ & =1.6 \times 10^{-3} \end{aligned} $

म्हणून, आपण असे म्हणू शकतो की कागदाची जाडी $1.6 \times 10^{-3} cm$ आहे.

पुन्हा लक्षात घ्या

0.0016 दशांश उजवीकडे 1233 स्थानांनी हलवला.

प्रयत्न करा

1. खालील संख्या प्रमाणित रूपात लिहा.

(i) 0.000000564

(ii) 0.0000021

(iii) 21600000

(iv) 15240000

2. दिलेली सर्व तथ्ये प्रमाणित रूपात लिहा.

10.4.1 खूप मोठ्या आणि खूप लहान संख्यांची तुलना

सूर्याचा व्यास $1.4 \times 10^{9} m$ आहे आणि पृथ्वीचा व्यास $1.2756 \times 10^{7} m$ आहे.

समजा तुम्हाला पृथ्वीच्या व्यासाची तुलना सूर्याच्या व्यासाशी करायची आहे.

सूर्याचा व्यास $=1.4 \times 10^{9} m$

पृथ्वीचा व्यास $=1.2756 \times 10^{7} m$

म्हणून $\frac{1.4 \times 10^{9}}{1.2756 \times 10^{7}}=\frac{1.4 \times 10^{9-7}}{1.2756}=\frac{1.4 \times 100}{1.2756}$ जी अंदाजे 100 आहे

त्यामुळे, सूर्याचा व्यास पृथ्वीच्या व्यासाच्या सुमारे 100 पट आहे.

रक्तातील लाल पेशीचा आकार जो $0.000007 m$ आहे त्याची तुलना वनस्पती पेशीच्या आकाराशी करू जो $0.00001275 m$ आहे.

$ \begin{aligned} & \text{ लाल रक्त पेशीचा आकार }=0.000007 m=7 \times 10^{-6} m \\ & \text{ वनस्पती पेशीचा आकार }=0.00001275=1.275 \times 10^{-5} m \end{aligned} $

म्हणून, $\frac{7 \times 10^{-6}}{1.275 \times 10^{-5}}=\frac{7 \times 10^{-6-(-5)}}{1.275}=\frac{7 \times 10^{-1}}{1.275}=\frac{0.7}{1.275}=\frac{0.7}{1.3}=\frac{1}{2}$ (अंदाजे.)

त्यामुळे लाल रक्त पेशीचा आकार वनस्पती पेशीच्या निम्मा आहे.

पृथ्वीचे वस्तुमान $5.97 \times 10^{24} kg$ आहे आणि चंद्राचे वस्तुमान $7.35 \times 10^{22} kg$ आहे. एकूण वस्तुमान किती?

$ \begin{aligned} \text{ एकूण वस्तुमान } & =5.97 \times 10^{24} kg+7.35 \times 10^{22} kg . \\ & =5.97 \times 100 \times 10^{22}+7.35 \times 10^{22} \\ & =597 \times 10^{22}+7.35 \times 10^{22} \\ & =(597+7.35) \times 10^{22} \\ & =604.35 \times 10^{22} kg . \end{aligned} $

$\boxed{\text{When we have to add numbers i standard form, we convert them into numbers with the same exponents}}$

सूर्य आणि पृथ्वीमधील अंतर $1.496 \times 10^{11} m$ आहे आणि

पृथ्वी आणि चंद्रामधील अंतर $3.84 \times 10^{8} m$ आहे.

सूर्यग्रहणाच्या वेळी चंद्र पृथ्वी आणि सूर्य यांच्यामध्ये येतो.

त्यावेळी चंद्र आणि सूर्य यांच्यातील अंतर किती आहे?

$ \begin{aligned} \text { सूर्य आणि पृथ्वीमधील अंतर } & =1.496 \times 10^{11} \mathrm{~m} \\ \text { पृथ्वी आणि चंद्रामधील अंतर } & =3.84 \times 10^8 \mathrm{~m} \\ \text { सूर्य आणि चंद्रामधील अंतर } & =1.496 \times 10^{11}-3.84 \times 10^8 \\ & =1.496 \times 1000 \times 10^8-3.84 \times 10^8 \\ & =(1496-3.84) \times 10^8 \mathrm{~m}=1492.16 \times 10^8 \mathrm{~m} \end{aligned} $

उदाहरण 8 : खालील संख्या प्रमाणित रूपात व्यक्त करा. (i) 0.000035 (ii) 4050000 उकल (i) $0.000035=3.5 \times 10^{-5}$ (ii) $4050000=4.05 \times 10^{6}$

उदाहरण 9 : खालील संख्या सामान्य रूपात व्यक्त करा. (i) $3.52 \times 10^{5}$ (ii) $7.54 \times 10^{-4}$ (iii) $3 \times 10^{-5}$

उकल:

प्रश्नसंग्रह 10.2

1. खालील संख्या प्रमाणित रूपात व्यक्त करा.

(i) 0.0000000000085

(ii) 0.00000000000942

(iii) 6020000000000000

(iv) 0.00000000837

(v) 31860000000

2. खालील संख्या सामान्य रूपात व्यक्त करा. (i) $3.02 \times 10^{-6}$ (ii) $4.5 \times 10^{4}$ (iii) $3 \times 10^{-8}$ (iv) $1.0001 \times 10^{9}$ (v) $5.8 \times 10^{12}$ (vi) $3.61492 \times 10^{6}$

3. खालील विधानांमध्ये येणाऱ्या संख्या प्रमाणित रूपात व्यक्त करा.

(i) 1 मायक्रॉन $\frac{1}{1000000} m$ च्या बरोबरीचे आहे.

(ii) इलेक्ट्रॉनचा चार्ज $0.000,000,000,000,000,000,16$ कूलॉम्ब आहे.

(iii) जीवाणूचा आकार $0.0000005 m$ आहे

(iv) वनस्पती पेशीचा आकार $0.00001275 m$ आहे

(v) जाड कागदाची जाडी $0.07 mm$ आहे

4. एका स्टॅकमध्ये प्रत्येकी $20 mm$ जाडीची 5 पुस्तके आणि प्रत्येकी $0.016 mm$ जाडीची 5 कागदाची पाने आहेत. स्टॅकची एकूण जाडी किती आहे?

आपण या प्रकरणात काय शिकलो??

1. ऋण घातांक असलेल्या संख्या खालील घातांकाचे नियम पाळतात.

(a) $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

(b) $a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

(c) $(a^{m})^{n}=a^{m n}$

(d) $a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$

(e) $a^{0}=1$

(f) $\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m}$

2. ऋण घातांक वापरून खूप लहान संख्या प्रमाणित रूपात व्यक्त करता येतात.