10.1 ಪರಿಚಯ

ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆಯೇ?

ಭೂಮಿಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ 5,970,000,000,000, 000, 000, 000, $000 kg$. ಇಂತಹ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $5.97 \times 10^{24} kg$.

ನಾವು $10^{24}$ ಅನ್ನು 10 ಅನ್ನು 24 ನೇ ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ.

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ $\quad$ $\quad$ $ 2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 $

ಮತ್ತು $\quad$ $\quad$ $ 2^{m}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times \ldots \times 2 \times 2 \ldots(m \text{ ಬಾರಿ }) $

ಈಗ $2^{-2}$ ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

10.2 ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಘಾತಗಳು

ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ,

$ \begin{aligned} & 10^{1}=10=\frac{100}{10} \\ & 10^1= 10 = \frac{100}{10} \\ & 10^{0}=1=\frac{10}{10} \\ & 10^{-1}=? \end{aligned} $

ಘಾತಾಂಕವು 1 ರಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ, ಮೌಲ್ಯವು ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯದ ಹತ್ತನೇ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $10^{-1}=\frac{1}{10}$

ಅದೇ ರೀತಿ

$ \begin{aligned} & 10^{-2}=\frac{1}{10} \div 10=\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}=\frac{1}{100}=\frac{1}{10^{2}} \\ & 10^{-3}=\frac{1}{100} \div 10=\frac{1}{100} \times \frac{1}{10}=\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^{3}} \end{aligned} $

$10^{-10}$ ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮ?

ಈಗ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ, ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} & 3^{-1}=1 \div 3=\frac{1}{3} \\ & 3^{-2}=\frac{1}{3} \div 3=\frac{1}{3 \times 3}=\frac{1}{3^{2}} \\ & 3^{-3}=\frac{1}{3^{2}} \div 3=\frac{1}{3^{2}} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3^{3}} \end{aligned} $

ನೀವು ಈಗ $2^{-2}$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ನಮಗೆ ಇದೆ,

$ \begin{matrix} 10^{-2} & =\frac{1}{10^{2}} & \text{ ಅಥವಾ } & 10^{2} & =\frac{1}{10^{-2}} \\ 10^{-3} & =\frac{1}{10^{3}} & \text{ ಅಥವಾ } & 10^{3} & =\frac{1}{10^{-3}} \\ 3^{-2} & =\frac{1}{3^{2}} & \text{ ಅಥವಾ } & 3^{2} & =\frac{1}{3^{-2}} & \text{ ಇತ್ಯಾದಿ. } \end{matrix} $

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯೇತರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $a, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$ ಗೆ, ಇಲ್ಲಿ $m$ ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. $a^{-m}$ ಎಂಬುದು $a^{m}$ ನ ಗುಣಾಕಾರ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

(i) $2^{-4}$ $\quad$ (ii) $10^{-5}$ $\quad$ (iii) $7^{-2}$ $\quad$ (iv) $5^{-3}$ $\quad$ (v) $10^{-100}$

1425 ನಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ವಿಸ್ತೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ $1 \times 10^{3}+4 \times 10^{2}+2 \times 10^{1}+5 \times 10^{\circ}$.

1425.36 ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ನಮಗೆ ಇದೆ $1425.36=1 \times 1000+4 \times 100+2 \times 10+5 \times 1+\frac{3}{10}+\frac{6}{100}$

$ =1 \times 10^{3}+4 \times 10^{2}+2 \times 10+5 \times 1+3 \times 10^{-1}+6 \times 10^{-2} $

$ 10^{-1} =\frac{1}{10}, 10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100} $

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ.

(i) 1025.63 $\quad$ (ii) 1256.249

10.3 ಘಾತಾಂಕಗಳ ನಿಯಮಗಳು

ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯೇತರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $a, a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$ ಗೆ, ಇಲ್ಲಿ $m$ ಮತ್ತು $n$ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಘಾತಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ನಿಯಮವು ಕೂಡಾ ಉಳಿಯುತ್ತದೆಯೇ? ನೋಡೋಣ.

(i)

ಆದ್ದರಿಂದ, $2^{-3} \times 2^{-2}=\frac{1}{2^{3}} \times \frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{2^{3} \times 2^{2}}=\frac{1}{2^{3+2}}=2^{-}$

(ii) $(-3)^{-4} \times(-3)^{-3}$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ

$ \begin{aligned} (-3)^{-4} \times(-3)^{-3} & =\frac{1}{(-3)^{4}} \times \frac{1}{(-3)^{3}} \\ & =\frac{1}{(-3)^{4} \times(-3)^{3}}=\frac{1}{(-3)^{4+3}}=(-3)^{-7} \end{aligned} $

(iii) ಈಗ $5^{-2} \times 5^{4}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

$ 5^{-2} \times 5^{4}=\frac{1}{5^{2}} \times 5^{4}=\frac{5^{4}}{5^{2}}=5^{4-2}=5^{(2)}{(-2)+4=2} $

VII ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯೇತರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $a, \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ ಗೆ, ಇಲ್ಲಿ

(iv) ಈಗ $(-5)^{-4} \times(-5)^{2}$ $m$ ಮತ್ತು $n$ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು $m>n$ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

$ \begin{aligned} (-5)^{-4} \times(-5)^{2} & =\frac{1}{(-5)^{4}} \times(-5)^{2}=\frac{(-5)^{2}}{(-5)^{4}}=\frac{1}{(-5)^{4} \times(-5)^{-2}} \\ & =\frac{1}{(-5)^{4-2}}=(-5)^{-(2)} \longrightarrow{\underbrace{(-4)+2=-2}} \end{aligned} $

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯೇತರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $a$, $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$ ಗೆ, ಇಲ್ಲಿ $m$ ಮತ್ತು $n$ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಸರಳೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

(i) $(-2)^{-3} \times(-2)^{-4}$ $\quad$ (ii) $p^{3} \times p^{-10}$ $\quad$ (iii) $3^{2} \times 3^{-5} \times 3^{6}$

ಇದೇ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ, $a$ ಮತ್ತು $b$ ಶೂನ್ಯೇತರ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು $m, n$ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುವಾಗ, ಕೆಳಗಿನ ಘಾತಾಂಕಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

(i) $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ $\quad$ (ii) $(a^{m})^{n}=a^{m n}$ $\quad$ (iii) $a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$

(iv) $\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m}$ $\quad$ (v) $a^{0}=1$

ಮೇಲಿನ ಘಾತಾಂಕಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (i) $2^{-3}$ (ii) $\frac{1}{3^{-2}}$

ಪರಿಹಾರ:

(i) $2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}$ (ii) $\frac{1}{3^{-2}}=3^{2}=3 \times 3=9$

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಸರಳೀಕರಿಸಿ

(i) $(-4)^{5} \times(-4)^{-10}$ (ii) $2^{5} \div 2^{-6}$ $\quad$

ಪರಿಹಾರ:

(i) $(-4)^{5} \times(-4)^{-10}=(-4)^{(5-10)}=(-4)^{-5}=\frac{1}{(-4)^{5}} \quad(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}})$

(ii) $2^{5} \div 2^{-6}=2^{5-(-6)}=2^{11} \quad(a^{m} \div a^{n}=a^{m-n})$

ಉದಾಹರಣೆ 3 : $4^{-3}$ ಅನ್ನು ಆಧಾರ 2 ಹೊಂದಿರುವ ಘಾತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ನಮಗೆ ಇದೆ, $4=2 \times 2=2^{2}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $(4)^{-3}=(2 \times 2)^{-3}=(2^{2})^{-3}=2^{2 \times(-3)}=2^{-6} \quad[(a^{m})^{n}=a^{m n}]$

ಉದಾಹರಣೆ 4 : ಸರಳೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಘಾತಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

(i) $(2^{5} \div 2^{8})^{5} \times 2^{-5}$

(iii) $\frac{1}{8} \times(3)^{-3}$ (ii) $(-4)^{-3} \times(5)^{-3} \times(-5)^{-3}$

(iv) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}$

ಪರಿಹಾರ:

(i) $(2^{5} \div 2^{8})^{5} \times 2^{-5}=(2^{5-8})^{5} \times 2^{-5}=(2^{-3})^{5} \times 2^{-5}=2^{-15-5}=2^{-20}=\frac{1}{2^{20}}$

(ii) $(-4)^{-3} \times(5)^{-3} \times(-5)^{-3}=[(-4) \times 5 \times(-5)]^{-3}=[100]^{-3}=\frac{1}{100^{3}}$

[$a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ ]

(iii) $\frac{1}{8} \times(3)^{-3}=\frac{1}{2^{3}} \times(3)^{-3}=2^{-3} \times 3^{-3}=(2 \times 3)^{-3}=6^{-3}=\frac{1}{6^{3}}$

(iv) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}=(-1 \times 3)^{4} \times \frac{5^{4}}{3^{4}}=(-1)^{4} \times 3^{4} \times \frac{5^{4}}{3^{4}}$

$ =(-1)^{4} \times 5^{4}=5^{4} \quad[(-1)^{4}=1] $

ಉದಾಹರಣೆ 5 : $m$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಆದ್ದರಿಂದ $(-3)^{m+1} \times(-3)^{5}=(-3)^{7}$

ಪರಿಹಾರ: $(-3)^{m+1} \times(-3)^{5}=(-3)^{7}$

$ \begin{aligned} (-3)^{m+1+5} & =(-3)^{7} \\ (-3)^{m+6} & =(-3)^{7} \end{aligned} $

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಘಾತಗಳು 1 ಮತ್ತು -1 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಒಂದೇ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ, $ m+6=7 $

ಅಥವಾ $ m=7-6=1 $

ಉದಾಹರಣೆ 6 : $(\frac{2}{3})^{-2}$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

$a^{n}=1$ ಕೇವಲ $n=0$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಇದು ಯಾವುದೇ $a$ ಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. $a=1,1^{1}=1^{2}=1^{3}=1^{-2}=\ldots=1$ ಅಥವಾ $(1)^{n}=$ 1 ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ $n$ ಗಳಿಗೆ.

$a=-1$ ಗೆ,

$(-1)^{0}=(-1)^{2}=(-1)^{4}=(-1)^{-2}=\ldots=1$ ಅಥವಾ $(-1)^{p}=1$ ಯಾವುದೇ ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $p$ ಗೆ.

ಪರಿಹಾರ: $(\frac{2}{3})^{-2}=\frac{2^{-2}}{3^{-2}}=\frac{3^{2}}{2^{2}}=\frac{9}{4}$

ಉದಾಹರಣೆ 7 : ಸರಳೀಕರಿಸಿ (i) ${(\frac{1}{3})^{-2}-(\frac{1}{2})^{-3}} \div(\frac{1}{4})^{-2}$

ಪರಿಹಾರ:

(i) ${(\frac{1}{3})^{-2}-(\frac{1}{2})^{-3}} \div(\frac{1}{4})^{-2}={\frac{1^{-2}}{3^{-2}}-\frac{1^{-3}}{2^{-3}}} \div \frac{1^{-2}}{4^{-2}}$

$ ={\frac{3^{2}}{1^{2}}-\frac{2^{3}}{1^{3}}} \div \frac{4^{2}}{1^{2}}={9-8} \div 16=\frac{1}{16} $

(ii) $(\frac{5}{8})^{-7} \times(\frac{8}{5})^{-5}=\frac{5^{-7}}{8^{-7}} \times \frac{8^{-5}}{5^{-5}}=\frac{5^{-7}}{5^{-5}} \times \frac{8^{-5}}{8^{-7}}=5^{(-7)-(-5)} \times 8^{(-5)-(-7)}$

$ =5^{-2} \times 8^{2}=\frac{8^{2}}{5^{2}}=\frac{64}{25} $

ಅಭ್ಯಾಸ 10.1

1. ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ.

(i) $3^{-2}$

(ii) $(-4)^{-2}$

(iii) $(\frac{1}{2})^{-5}$

2. ಸರಳೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಘಾತ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

(i) $(-4)^{5} \div(-4)^{8}$

(ii) $(\frac{1}{2^{3}})^{2}$

(iii) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}$

(iv) $(3^{-7} \div 3^{-10}) \times 3^{-5}$

(v) $2^{-3} \times(-7)^{-3}$

3. ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

(i) $(3^{\circ}+4^{-1}) \times 2^{2}$

(ii) $(2^{-1} \times 4^{-1}) \div 2^{-2}$

(iii) $(\frac{1}{2})^{-2}+(\frac{1}{3})^{-2}+(\frac{1}{4})^{-2}$

(iv) $(3^{-1}+4^{-1}+5^{-1})^{0}$

4. ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ (i) $\frac{8^{-1} \times 5^{3}}{2^{-4}}$

5. $m$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಆದ್ದರಿಂದ $5^{m} \div 5^{-3}=5^{5}$.

6. ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ (i) ${(\frac{1}{3})^{-1}-(\frac{1}{4})^{-1}}^{-1}$ (ii) $(\frac{5}{8})^{-7} \times(\frac{8}{5})^{-4}$

7. ಸರಳೀಕರಿಸಿ. (i) $\frac{25 \times t^{-4}}{5^{-3} \times 10 \times t^{-8}}(t \neq 0)$ (ii) $\frac{3^{-5} \times 10^{-5} \times 125}{5^{-7} \times 6^{-5}}$

10.4 ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಘಾತಾಂಕಗಳ ಬಳಕೆ

ಕೆಳಗಿನ ವಾಸ್ತವಾಂಶಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

1. ಭೂಮಿಯಿಂದ ಸೂರ್ಯನಿಗಿರುವ ದೂರ $149,600,000,000 m$.

2. ಬೆಳಕಿನ ವೇಗ $300,000,000 m / sec$.

3. VII ನೇ ತರಗತಿ ಗಣಿತ ಪುಸ್ತಕದ ದಪ್ಪ $20 mm$.

4. ಕೆಂಪು ರಕ್ತ ಕಣದ ಸರಾಸರಿ ವ್ಯಾಸ $0.000007 mm$.

5. ಮಾನವ ಕೇಶದ ದಪ್ಪ $0.005 cm$ ರಿಂದ $0.01 cm$ ವರೆಗಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿದೆ.

6. ಭೂಮಿಯಿಂದ ಚಂದ್ರನ ದೂರ $384,467,000 m$ (ಸುಮಾರು).

7. ಸಸ್ಯ ಕೋಶದ ಗಾತ್ರ $0.00001275 m$.

8. ಸೂರ್ಯನ ಸರಾಸರಿ ತ್ರಿಜ್ಯ $695000 km$.

9. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಶಟಲ್ ಘನ ರಾಕೆಟ್ ಬೂಸ್ಟರ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರೊಪೆಲೆಂಟ್ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ $503600 kg$.

10. ಕಾಗದದ ತುಂಡಿನ ದಪ್ಪ $0.0016 cm$.

11. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಚಿಪ್ನಲ್ಲಿರುವ ತಂತಿಯ ವ್ಯಾಸ $0.000003 m$.

12. ಎವರೆಸ್ಟ್ ಶಿಖರದ ಎತ್ತರ $8848 m$.

$2 cm, 8848 m$, $6,95,000 km$ ನಂತಹ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಓದಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. $150,000,000,000 m$ ನಂತಹ ಕೆಲವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು $0.000007 m$ ನಂತಹ ಕೆಲವು ಅತಿ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ.

ಮೇಲಿನ ವಾಸ್ತವಾಂಶಗಳಿಂದ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಅತಿ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ:

ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: $150,000,000,000=1.5 \times 10^{11}$

ಈಗ, $0.000007 m$ ಅನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

$ \begin{aligned} 0.000007 & =\frac{7}{1000000}=\frac{7}{10^{6}}=7 \times 10^{-6} \\ 0.000007 m & =7 \times 10^{-6} m \end{aligned} $

ಅದೇ ರೀತಿ, ಕಾಗದದ ತುಂಡಿನ ದಪ್ಪವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದು $0.0016 cm$.

$ \begin{aligned} 0.0016 & =\frac{16}{10000}=\frac{1.6 \times 10}{10^{4}}=1.6 \times 10 \times 10^{-4} \\ & =1.6 \times 10^{-3} \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾಗದದ ದಪ್ಪ $1.6 \times 10^{-3} cm$ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಮತ್ತೆ ಗಮನಿಸಿ

0.0016 ದಶಮಾಂಶವನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ 1233 ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಸರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

(i) 0.000000564

(ii) 0.0000021

(iii) 21600000

(iv) 15240000

2. ಎಲ್ಲಾ ವಾಸ್ತವಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

10.4.1 ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಅತಿ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದು

ಸೂರ್ಯನ ವ್ಯಾಸ $1.4 \times 10^{9} m$ ಮತ್ತು ಭೂಮಿಯ ವ್ಯಾಸ $1.2756 \times 10^{7} m$.

ಭೂಮಿಯ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂರ್ಯನ ವ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲು ನೀವು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.

ಸೂರ್ಯನ ವ್ಯಾಸ $=1.4 \times 10^{9} m$

ಭೂಮಿಯ ವ್ಯಾಸ $=1.2756 \times 10^{7} m$

ಆದ್ದರಿಂದ $\frac{1.4 \times 10^{9}}{1.2756 \times 10^{7}}=\frac{1.4 \times 10^{9-7}}{1.2756}=\frac{1.4 \times 100}{1.2756}$ ಇದು ಸುಮಾರು 100

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂರ್ಯನ ವ್ಯಾಸವು ಭೂಮಿಯ ವ್ಯಾಸದ ಸುಮಾರು 100 ಪಟ್ಟು.

ಕೆಂಪು ರಕ್ತ ಕಣದ ಗಾತ್ರವನ್ನು $0.000007 m$ ಮತ್ತು ಸಸ್ಯ ಕೋಶದ ಗಾತ್ರವನ್ನು $0.00001275 m$ ಗೆ ಹೋಲಿಸೋಣ.

$ \begin{aligned} & \text{ ಕೆಂಪು ರಕ್ತ ಕಣದ ಗಾತ್ರ }=0.000007 m=7 \times 10^{-6} m \\ & \text{ ಸಸ್ಯ ಕೋಶದ ಗಾತ್ರ }=0.00001275=1.275 \times 10^{-5} m \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $\frac{7 \times 10^{-6}}{1.275 \times 10^{-5}}=\frac{7 \times 10^{-6-(-5)}}{1.275}=\frac{7 \times 10^{-1}}{1.275}=\frac{0.7}{1.275}=\frac{0.7}{1.3}=\frac{1}{2}$ (ಸುಮಾರು.)

ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಂಪು ರಕ್ತ ಕಣವು ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಸ್ಯ ಕೋಶದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಇದೆ.

ಭೂಮಿಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ $5.97 \times 10^{24} kg$ ಮತ್ತು ಚಂದ್ರನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ $7.35 \times 10^{22} kg$. ಒಟ್ಟು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಎಷ್ಟು?

$ \begin{aligned} \text{ ಒಟ್ಟು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ } & =5.97 \times 10^{24} kg+7.35 \times 10^{22} kg . \\ & =5.97 \times 100 \times 10^{22}+7.35 \times 10^{22} \\ & =597 \times 10^{22}+7.35 \times 10^{22} \\ & =(597+7.35) \times 10^{22} \\ & =604.35 \times 10^{22} kg . \end{aligned} $

$\boxed{\text{When we have to add numbers i standard form, we convert them into numbers with the same exponents}}$

ಸೂರ್ಯ ಮತ್ತು ಭೂಮಿಯ ನಡುವಿನ ದೂರ $1.496 \times 10^{11} m$ ಮತ್ತು

ಭೂಮಿ ಮತ್ತು ಚಂದ್ರನ ನಡುವಿನ ದೂರ $3.84 \times 10^{8} m$.

ಸೂರ್ಯ ಗ್ರಹಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚಂದ್ರನು ಭೂಮಿ ಮತ್ತು ಸೂರ್ಯನ ನಡುವೆ ಬರುತ್ತಾನೆ.

ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚಂದ್ರ ಮತ್ತು ಸೂರ್ಯನ ನಡುವಿನ ದೂರ ಎಷ್ಟು?

$ \begin{aligned} \text { ಸೂರ್ಯ ಮತ್ತು ಭೂಮಿಯ ನಡುವಿನ ದೂರ } & =1.496 \times 10^{11} \mathrm{~m} \\ \text { ಭೂಮಿ ಮತ್ತು ಚಂದ್ರನ ನಡುವಿನ ದೂರ } & =3.84 \times 10^8 \mathrm{~m} \\ \text { ಸೂರ್ಯ ಮತ್ತು ಚಂದ್ರನ ನಡುವಿನ ದೂರ } & =1.496 \times 10^{11}-3.84 \times 10^8 \\ & =1.496 \times 1000 \times 10^8-3.84 \times 10^8 \\ & =(1496-3.84) \times 10^8 \mathrm{~m}=1492.16 \times 10^8 \mathrm{~m} \end{aligned} $

ಉದಾಹರಣೆ 8 : ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ. (i) 0.000035 (ii) 4050000 ಪರಿಹಾರ (i) $0.000035=3.5 \times 10^{-5}$ (ii) $4050000=4.05 \times 10^{6}$

ಉದಾಹರಣೆ 9 : ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ. (i) $3.52 \times 10^{5}$ (ii) $7.54 \times 10^{-4}$ (iii) $3 \times 10^{-5}$

ಪರಿಹಾರ:

ಅಭ್ಯಾಸ 10.2

1. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

(i) 0.0000000000085

(ii) 0.00000000000942

(iii) 6020000000000000

(iv) 0.00000000837

(v) 31860000000

2. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ. (i) $3.02 \times 10^{-6}$ (ii) $4.5 \times 10^{4}$ (iii) $3 \times 10^{-8}$ (iv) $1.0001 \times 10^{9}$ (v) $5.8 \times 10^{12}$ (vi) $3.61492 \times 10^{6}$

3. ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

(i) 1 ಮೈಕ್ರಾನ್ $\frac{1}{1000000} m$ ಗೆ ಸಮ.

(ii) ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ನ ಆವೇಶ $0.000,000,000,000,000,000,16$ ಕೂಲಂಬ್.

(iii) ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾದ ಗಾತ್ರ $0.0000005 m$

(iv) ಸಸ್ಯ ಕೋಶದ ಗಾತ್ರ $0.00001275 m$

(v) ದಪ್ಪ ಕಾಗದದ ದಪ್ಪ $0.07 mm$

4. ಒಂದು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನಲ್ಲಿ 5 ಪುಸ್ತಕಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ $20 mm$ ದಪ್ಪ ಮತ್ತು 5 ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ $0.016 mm$ ದಪ್ಪ ಹೊಂದಿವೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನ ಒಟ್ಟು ದಪ್ಪ ಎಷ್ಟು.

ನಾವು ಏನು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ??

1. ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕೆಳಗಿನ ಘಾತಾಂಕಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ.

(a) $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

(b) $a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

(c) $(a^{m})^{n}=a^{m n}$

(d) $a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$

(e) $a^{0}=1$

(f) $\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m}$

2. ಅತಿ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.