10.1 ആമുഖം

നിങ്ങൾക്കറിയാമോ?

ഭൂമിയുടെ പിണ്ഡം 5,970,000,000,000, 000, 000, 000, $000 kg$ ആണ്. ഇത്രയും വലിയ സംഖ്യകൾ എങ്ങനെ ഘാതങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സൗകര്യപ്രദമായി എഴുതാമെന്ന് നമ്മൾ ഇതിനകം തന്നെ മുമ്പത്തെ ക്ലാസ്സിൽ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്, $5.97 \times 10^{24} kg$ എന്ന്.

$10^{24}$ നെ 10 ന്റെ 24 ഘാതം എന്ന് നമ്മൾ വായിക്കുന്നു.

നമുക്കറിയാം $\quad$ $\quad$ $ 2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 $

ഒപ്പം $\quad$ $\quad$ $ 2^{m}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times \ldots \times 2 \times 2 \ldots(m \text{ തവണ }) $

$2^{-2}$ എന്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

10.2 ഋണാത്മക ഘാതങ്ങളുള്ള ശക്തികൾ

നിങ്ങൾക്കറിയാം,

$ \begin{aligned} & 10^{1}=10=\frac{100}{10} \\ & 10^1= 10 = \frac{100}{10} \\ & 10^{0}=1=\frac{10}{10} \\ & 10^{-1}=? \end{aligned} $

ഘാതം 1 കുറയുമ്പോൾ, മൂല്യം മുമ്പത്തെ മൂല്യത്തിന്റെ പത്തിലൊന്നായി മാറുന്നു.

മുകളിലെ രീതി തുടർന്നാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്, $10^{-1}=\frac{1}{10}$

അതുപോലെ

$ \begin{aligned} & 10^{-2}=\frac{1}{10} \div 10=\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}=\frac{1}{100}=\frac{1}{10^{2}} \\ & 10^{-3}=\frac{1}{100} \div 10=\frac{1}{100} \times \frac{1}{10}=\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^{3}} \end{aligned} $

$10^{-10}$ എന്തിന് തുല്യമാണ്?

ഇനി ഇനിപ്പറയുന്നവ പരിഗണിക്കുക.

അതിനാൽ, മുകളിലെ രീതി നോക്കുമ്പോൾ, നമ്മൾ പറയുന്നു

$ \begin{aligned} & 3^{-1}=1 \div 3=\frac{1}{3} \\ & 3^{-2}=\frac{1}{3} \div 3=\frac{1}{3 \times 3}=\frac{1}{3^{2}} \\ & 3^{-3}=\frac{1}{3^{2}} \div 3=\frac{1}{3^{2}} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3^{3}} \end{aligned} $

$2^{-2}$ ന്റെ മൂല്യം നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോൾ സമാന രീതിയിൽ കണ്ടെത്താനാകും.

നമുക്കുള്ളത്,

$ \begin{matrix} 10^{-2} & =\frac{1}{10^{2}} & \text{ അല്ലെങ്കിൽ } & 10^{2} & =\frac{1}{10^{-2}} \\ 10^{-3} & =\frac{1}{10^{3}} & \text{ അല്ലെങ്കിൽ } & 10^{3} & =\frac{1}{10^{-3}} \\ 3^{-2} & =\frac{1}{3^{2}} & \text{ അല്ലെങ്കിൽ } & 3^{2} & =\frac{1}{3^{-2}} & \text{ മുതലായവ. } \end{matrix} $

പൊതുവേ, ഏത് ശൂന്യമല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യ $a, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$ നും, ഇവിടെ $m$ ഒരു ധന പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. $a^{-m}$ എന്നത് $a^{m}$ ന്റെ ഗുണന വിപരീതമാണ്.

ഇവ ശ്രമിക്കുക

ഇനിപ്പറയുന്നവയുടെ ഗുണന വിപരീതം കണ്ടെത്തുക.

(i) $2^{-4}$ $\quad$ (ii) $10^{-5}$ $\quad$ (iii) $7^{-2}$ $\quad$ (iv) $5^{-3}$ $\quad$ (v) $10^{-100}$

1425 പോലുള്ള സംഖ്യകൾ എങ്ങനെ $1 \times 10^{3}+4 \times 10^{2}+2 \times 10^{1}+5 \times 10^{\circ}$ എന്ന് ഘാതങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വികസിത രൂപത്തിൽ എഴുതാമെന്ന് നമ്മൾ പഠിച്ചു.

1425.36 എങ്ങനെ സമാന രീതിയിൽ വികസിത രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാമെന്ന് നോക്കാം.

നമുക്കുള്ളത് $1425.36=1 \times 1000+4 \times 100+2 \times 10+5 \times 1+\frac{3}{10}+\frac{6}{100}$

$ =1 \times 10^{3}+4 \times 10^{2}+2 \times 10+5 \times 1+3 \times 10^{-1}+6 \times 10^{-2} $

$ 10^{-1} =\frac{1}{10}, 10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100} $

ഇവ ശ്രമിക്കുക

ഘാതങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യകൾ വികസിപ്പിക്കുക.

(i) 1025.63 $\quad$ (ii) 1256.249

10.3 ഘാത നിയമങ്ങൾ

ഏത് ശൂന്യമല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യ $a, a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$ നും, ഇവിടെ $m$ ഉം $n$ ഉം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്. ഘാതങ്ങൾ ഋണാത്മകമാണെങ്കിൽ ഈ നിയമം ബാധകമാകുമോ? നമുക്ക് പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാം.

(i)

അതിനാൽ, $2^{-3} \times 2^{-2}=\frac{1}{2^{3}} \times \frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{2^{3} \times 2^{2}}=\frac{1}{2^{3+2}}=2^{-}$

(ii) $(-3)^{-4} \times(-3)^{-3}$ എടുക്കുക

$ \begin{aligned} (-3)^{-4} \times(-3)^{-3} & =\frac{1}{(-3)^{4}} \times \frac{1}{(-3)^{3}} \\ & =\frac{1}{(-3)^{4} \times(-3)^{3}}=\frac{1}{(-3)^{4+3}}=(-3)^{-7} \end{aligned} $

(iii) ഇനി $5^{-2} \times 5^{4}$ പരിഗണിക്കുക

$ 5^{-2} \times 5^{4}=\frac{1}{5^{2}} \times 5^{4}=\frac{5^{4}}{5^{2}}=5^{4-2}=5^{(2)}{(-2)+4=2} $

ഏഴാം ക്ലാസ്സിൽ, ഏത് ശൂന്യമല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യ $a, \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ നും, ഇവിടെ

(iv) ഇനി $(-5)^{-4} \times(-5)^{2}$ $m$ ഉം $n$ ഉം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണെന്നും $m>n$ എന്നും പരിഗണിക്കുക.

$ \begin{aligned} (-5)^{-4} \times(-5)^{2} & =\frac{1}{(-5)^{4}} \times(-5)^{2}=\frac{(-5)^{2}}{(-5)^{4}}=\frac{1}{(-5)^{4} \times(-5)^{-2}} \\ & =\frac{1}{(-5)^{4-2}}=(-5)^{-(2)} \longrightarrow{\underbrace{(-4)+2=-2}} \end{aligned} $

പൊതുവേ, ഏത് ശൂന്യമല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യ $a$ നും, $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$, ഇവിടെ $m$ ഉം $n$ ഉം പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.

ഇവ ശ്രമിക്കുക

ലഘൂകരിച്ച് ഘാതരൂപത്തിൽ എഴുതുക.

(i) $(-2)^{-3} \times(-2)^{-4}$ $\quad$ (ii) $p^{3} \times p^{-10}$ $\quad$ (iii) $3^{2} \times 3^{-5} \times 3^{6}$

ഇതേ രീതിയിൽ, $a$ ഉം $b$ ഉം ശൂന്യമല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളും $m, n$ ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യകളുമാകുമ്പോൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഘാത നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് സാധൂകരിക്കാനാകും.

(i) $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ $\quad$ (ii) $(a^{m})^{n}=a^{m n}$ $\quad$ (iii) $a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$

(iv) $\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m}$ $\quad$ (v) $a^{0}=1$

മുകളിലെ ഘാത നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1 : കണ്ടെത്തുക (i) $2^{-3}$ (ii) $\frac{1}{3^{-2}}$

പരിഹാരം:

(i) $2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}$ (ii) $\frac{1}{3^{-2}}=3^{2}=3 \times 3=9$

ഉദാഹരണം 2 : ലഘൂകരിക്കുക

(i) $(-4)^{5} \times(-4)^{-10}$ (ii) $2^{5} \div 2^{-6}$ $\quad$

പരിഹാരം:

(i) $(-4)^{5} \times(-4)^{-10}=(-4)^{(5-10)}=(-4)^{-5}=\frac{1}{(-4)^{5}} \quad(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}})$

(ii) $2^{5} \div 2^{-6}=2^{5-(-6)}=2^{11} \quad(a^{m} \div a^{n}=a^{m-n})$

ഉദാഹരണം 3 : $4^{-3}$ നെ അടിസ്ഥാനം 2 ആയി ഒരു ശക്തിയായി പ്രകടിപ്പിക്കുക.

പരിഹാരം: നമുക്കുള്ളത്, $4=2 \times 2=2^{2}$

അതിനാൽ, $(4)^{-3}=(2 \times 2)^{-3}=(2^{2})^{-3}=2^{2 \times(-3)}=2^{-6} \quad[(a^{m})^{n}=a^{m n}]$

ഉദാഹരണം 4 : ലഘൂകരിച്ച് ഉത്തരം ഘാതരൂപത്തിൽ എഴുതുക.

(i) $(2^{5} \div 2^{8})^{5} \times 2^{-5}$

(iii) $\frac{1}{8} \times(3)^{-3}$ (ii) $(-4)^{-3} \times(5)^{-3} \times(-5)^{-3}$

(iv) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}$

പരിഹാരം:

(i) $(2^{5} \div 2^{8})^{5} \times 2^{-5}=(2^{5-8})^{5} \times 2^{-5}=(2^{-3})^{5} \times 2^{-5}=2^{-15-5}=2^{-20}=\frac{1}{2^{20}}$

(ii) $(-4)^{-3} \times(5)^{-3} \times(-5)^{-3}=[(-4) \times 5 \times(-5)]^{-3}=[100]^{-3}=\frac{1}{100^{3}}$

[$a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$ എന്ന നിയമം ഉപയോഗിച്ച് ]

(iii) $\frac{1}{8} \times(3)^{-3}=\frac{1}{2^{3}} \times(3)^{-3}=2^{-3} \times 3^{-3}=(2 \times 3)^{-3}=6^{-3}=\frac{1}{6^{3}}$

(iv) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}=(-1 \times 3)^{4} \times \frac{5^{4}}{3^{4}}=(-1)^{4} \times 3^{4} \times \frac{5^{4}}{3^{4}}$

$ =(-1)^{4} \times 5^{4}=5^{4} \quad[(-1)^{4}=1] $

ഉദാഹരണം 5 : $m$ കണ്ടെത്തുക, അങ്ങനെ $(-3)^{m+1} \times(-3)^{5}=(-3)^{7}$

പരിഹാരം: $(-3)^{m+1} \times(-3)^{5}=(-3)^{7}$

$ \begin{aligned} (-3)^{m+1+5} & =(-3)^{7} \\ (-3)^{m+6} & =(-3)^{7} \end{aligned} $

ഇരുവശത്തും ശക്തികൾക്ക് 1, -1 എന്നിവയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ഒരേ അടിസ്ഥാനം ഉള്ളതിനാൽ, അവയുടെ ഘാതങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കണം.

അതിനാൽ, $ m+6=7 $

അല്ലെങ്കിൽ $ m=7-6=1 $

ഉദാഹരണം 6 : $(\frac{2}{3})^{-2}$ ന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

$a^{n}=1$ ആണെങ്കിൽ മാത്രം $n=0$. ഇത് ഏത് $a$ നും പ്രവർത്തിക്കും. $a=1,1^{1}=1^{2}=1^{3}=1^{-2}=\ldots=1$ അല്ലെങ്കിൽ $(1)^{n}=$ 1 ആണെങ്കിൽ അനന്തമായ പല $n$ നും.

$a=-1$ ആണെങ്കിൽ,

$(-1)^{0}=(-1)^{2}=(-1)^{4}=(-1)^{-2}=\ldots=1$ അല്ലെങ്കിൽ $(-1)^{p}=1$ ഏതെങ്കിലും ഇരട്ട പൂർണ്ണസംഖ്യ $p$ നും.

പരിഹാരം: $(\frac{2}{3})^{-2}=\frac{2^{-2}}{3^{-2}}=\frac{3^{2}}{2^{2}}=\frac{9}{4}$

ഉദാഹരണം 7 : ലഘൂകരിക്കുക (i) ${(\frac{1}{3})^{-2}-(\frac{1}{2})^{-3}} \div(\frac{1}{4})^{-2}$

പരിഹാരം:

(i) ${(\frac{1}{3})^{-2}-(\frac{1}{2})^{-3}} \div(\frac{1}{4})^{-2}={\frac{1^{-2}}{3^{-2}}-\frac{1^{-3}}{2^{-3}}} \div \frac{1^{-2}}{4^{-2}}$

$ ={\frac{3^{2}}{1^{2}}-\frac{2^{3}}{1^{3}}} \div \frac{4^{2}}{1^{2}}={9-8} \div 16=\frac{1}{16} $

(ii) $(\frac{5}{8})^{-7} \times(\frac{8}{5})^{-5}=\frac{5^{-7}}{8^{-7}} \times \frac{8^{-5}}{5^{-5}}=\frac{5^{-7}}{5^{-5}} \times \frac{8^{-5}}{8^{-7}}=5^{(-7)-(-5)} \times 8^{(-5)-(-7)}$

$ =5^{-2} \times 8^{2}=\frac{8^{2}}{5^{2}}=\frac{64}{25} $

അഭ്യാസം 10.1

1. മൂല്യനിർണ്ണയം ചെയ്യുക.

(i) $3^{-2}$

(ii) $(-4)^{-2}$

(iii) $(\frac{1}{2})^{-5}$

2. ലഘൂകരിച്ച് ഫലം ധന ഘാതത്തോടെ ശക്തി നൊട്ടേഷനിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുക.

(i) $(-4)^{5} \div(-4)^{8}$

(ii) $(\frac{1}{2^{3}})^{2}$

(iii) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}$

(iv) $(3^{-7} \div 3^{-10}) \times 3^{-5}$

(v) $2^{-3} \times(-7)^{-3}$

3. മൂല്യം കണ്ടെത്തുക

(i) $(3^{\circ}+4^{-1}) \times 2^{2}$

(ii) $(2^{-1} \times 4^{-1}) \div 2^{-2}$

(iii) $(\frac{1}{2})^{-2}+(\frac{1}{3})^{-2}+(\frac{1}{4})^{-2}$

(iv) $(3^{-1}+4^{-1}+5^{-1})^{0}$

4. മൂല്യനിർണ്ണയം ചെയ്യുക (i) $\frac{8^{-1} \times 5^{3}}{2^{-4}}$

5. $m$ ന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക, അതിന് $5^{m} \div 5^{-3}=5^{5}$.

6. മൂല്യനിർണ്ണയം ചെയ്യുക (i) ${(\frac{1}{3})^{-1}-(\frac{1}{4})^{-1}}^{-1}$ (ii) $(\frac{5}{8})^{-7} \times(\frac{8}{5})^{-4}$

7. ലഘൂകരിക്കുക. (i) $\frac{25 \times t^{-4}}{5^{-3} \times 10 \times t^{-8}}(t \neq 0)$ (ii) $\frac{3^{-5} \times 10^{-5} \times 125}{5^{-7} \times 6^{-5}}$

10.4 ചെറിയ സംഖ്യകൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഘാതങ്ങളുടെ ഉപയോഗം

ഇനിപ്പറയുന്ന വസ്തുതകൾ നിരീക്ഷിക്കുക.

1. ഭൂമിയിൽ നിന്ന് സൂര്യനിലേക്കുള്ള ദൂരം $149,600,000,000 m$ ആണ്.

2. പ്രകാശത്തിന്റെ വേഗത $300,000,000 m / sec$ ആണ്.

3. ഏഴാം ക്ലാസ്സ് ഗണിത പുസ്തകത്തിന്റെ കനം $20 mm$ ആണ്.

4. ഒരു ചുവന്ന രക്താണുവിന്റെ ശരാശരി വ്യാസം $0.000007 mm$ ആണ്.

5. മനുഷ്യന്റെ മുടിയുടെ കനം $0.005 cm$ മുതൽ $0.01 cm$ വരെയുള്ള പരിധിയിലാണ്.

6. ഭൂമിയിൽ നിന്ന് ചന്ദ്രന്റെ ദൂരം $384,467,000 m$ (ഏകദേശം) ആണ്.

7. ഒരു സസ്യകോശത്തിന്റെ വലിപ്പം $0.00001275 m$ ആണ്.

8. സൂര്യന്റെ ശരാശരി ആരം $695000 km$ ആണ്.

9. ഒരു ബഹിരാകാശ ഷട്ടിൽ ഖര റോക്കറ്റ് ബൂസ്റ്ററിലെ പ്രൊപ്പലന്റിന്റെ പിണ്ഡം $503600 kg$ ആണ്.

10. ഒരു കടലാസ് തുണ്ടിന്റെ കനം $0.0016 cm$ ആണ്.

11. ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ ചിപ്പിലെ വയറിന്റെ വ്യാസം $0.000003 m$ ആണ്.

12. മൗണ്ട് എവറസ്റ്റിന്റെ ഉയരം $8848 m$ ആണ്.

$2 cm, 8848 m$, $6,95,000 km$ എന്നിങ്ങനെ നമുക്ക് വായിക്കാൻ കഴിയുന്ന കുറച്ച് സംഖ്യകൾ ഉണ്ടെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക. $150,000,000,000 m$ പോലുള്ള ചില വലിയ സംഖ്യകളും $0.000007 m$ പോലുള്ള ചില വളരെ ചെറിയ സംഖ്യകളുമുണ്ട്.

മുകളിലെ വസ്തുതകളിൽ നിന്ന് വളരെ വലുതും വളരെ ചെറുതുമായ സംഖ്യകൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞ് അടുത്തുള്ള പട്ടികയിൽ എഴുതുക:

വളരെ വലിയ സംഖ്യകൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൽ എങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കാമെന്ന് മുമ്പത്തെ ക്ലാസ്സിൽ നമ്മൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്.

ഉദാഹരണത്തിന്: $150,000,000,000=1.5 \times 10^{11}$

ഇപ്പോൾ, $0.000007 m$ നെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

$ \begin{aligned} 0.000007 & =\frac{7}{1000000}=\frac{7}{10^{6}}=7 \times 10^{-6} \\ 0.000007 m & =7 \times 10^{-6} m \end{aligned} $

അതുപോലെ, ഒരു കടലാസ് തുണ്ടിന്റെ കനം $0.0016 cm$ ആണെന്ന് പരിഗണിക്കുക.

$ \begin{aligned} 0.0016 & =\frac{16}{10000}=\frac{1.6 \times 10}{10^{4}}=1.6 \times 10 \times 10^{-4} \\ & =1.6 \times 10^{-3} \end{aligned} $

അതിനാൽ, കടലാസിന്റെ കനം $1.6 \times 10^{-3} cm$ ആണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.

വീണ്ടും ശ്രദ്ധിക്കുക

0.0016 ദശാംശം വലത്തോട്ട് 1233 സ്ഥാനങ്ങൾ മാറ്റി.

ഇവ ശ്രമിക്കുക

1. ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യകൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൽ എഴുതുക.

(i) 0.000000564

(ii) 0.0000021

(iii) 21600000

(iv) 15240000

2. നൽകിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ വസ്തുതകളും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൽ എഴുതുക.

10.4.1 വളരെ വലുതും വളരെ ചെറുതുമായ സംഖ്യകൾ താരതമ്യം ചെയ്യുക

സൂര്യന്റെ വ്യാസം $1.4 \times 10^{9} m$ ഉം ഭൂമിയുടെ വ്യാസം $1.2756 \times 10^{7} m$ ഉം ആണ്.

ഭൂമിയുടെ വ്യാസവും സൂര്യന്റെ വ്യാസവും താരതമ്യം ചെയ്യാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക.

സൂര്യന്റെ വ്യാസം $=1.4 \times 10^{9} m$

ഭൂമിയുടെ വ്യാസം $=1.2756 \times 10^{7} m$

അതിനാൽ $\frac{1.4 \times 10^{9}}{1.2756 \times 10^{7}}=\frac{1.4 \times 10^{9-7}}{1.2756}=\frac{1.4 \times 100}{1.2756}$ ഏകദേശം 100

അതിനാൽ, സൂര്യന്റെ വ്യാസം ഭൂമിയുടെ വ്യാസത്തിന്റെ ഏകദേശം 100 മടങ്ങ് ആണ്.

ഒരു ചുവന്ന രക്താണുവിന്റെ വലിപ്പം $0.000007 m$, ഒരു സസ്യകോശത്തിന്റെ വലിപ്പം $0.00001275 m$ എന്നിവ താരതമ്യം ചെയ്യാം.

$ \begin{aligned} & \text{ ചുവന്ന രക്താണുവിന്റെ വലിപ്പം }=0.000007 m=7 \times 10^{-6} m \\ & \text{ സസ്യകോശത്തിന്റെ വലിപ്പം }=0.00001275=1.275 \times 10^{-5} m \end{aligned} $

അതിനാൽ, $\frac{7 \times 10^{-6}}{1.275 \times 10^{-5}}=\frac{7 \times 10^{-6-(-5)}}{1.275}=\frac{7 \times 10^{-1}}{1.275}=\frac{0.7}{1.275}=\frac{0.7}{1.3}=\frac{1}{2}$ (ഏകദേശം.)

അതിനാൽ ഒരു ചുവന്ന രക്താണു വലിപ്പത്തിൽ ഒരു സസ്യകോശത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.

ഭൂമിയുടെ പിണ്ഡം $5.97 \times 10^{24} kg$ ഉം ചന്ദ്രന്റെ പിണ്ഡം $7.35 \times 10^{22} kg$ ഉം ആണ്. ആകെ പിണ്ഡം എത്ര?

$ \begin{aligned} \text{ ആകെ പിണ്ഡം } & =5.97 \times 10^{24} kg+7.35 \times 10^{22} kg . \\ & =5.97 \times 100 \times 10^{22}+7.35 \times 10^{22} \\ & =597 \times 10^{22}+7.35 \times 10^{22} \\ & =(597+7.35) \times 10^{22} \\ & =604.35 \times 10^{22} kg . \end{aligned} $

$\boxed{\text{When we have to add numbers i standard form, we convert them into numbers with the same exponents}}$

സൂര്യനും ഭൂമിക്കും ഇടയിലുള്ള ദൂരം $1.496 \times 10^{11} m$ ഉം

ഭൂമിക്കും ചന്ദ്രനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം $3.84 \times 10^{8} m$ ഉം ആണ്.

സൂര്യഗ്രഹണ സമയത്ത് ചന്ദ്രൻ ഭൂമിയും സൂര്യനും ഇടയിൽ വരുന്നു.

ആ സമയത്ത് ചന്ദ്രനും സൂര്യനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം എത്രയാണ്.

$ \begin{aligned} \text { സൂര്യനും ഭൂമിക്കും ഇടയിലുള്ള ദൂരം } & =1.496 \times 10^{11} \mathrm{~m} \\ \text { ഭൂമിക്കും ചന്ദ്രനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം } & =3.84 \times 10^8 \mathrm{~m} \\ \text { സൂര്യനും ചന്ദ്രനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം } & =1.496 \times 10^{11}-3.84 \times 10^8 \\ & =1.496 \times 1000 \times 10^8-3.84 \times 10^8 \\ & =(1496-3.84) \times 10^8 \mathrm{~m}=1492.16 \times 10^8 \mathrm{~m} \end{aligned} $

ഉദാഹരണം 8 : ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യകൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുക. (i) 0.000035 (ii) 4050000 പരിഹാരം (i) $0.000035=3.5 \times 10^{-5}$ (ii) $4050000=4.05 \times 10^{6}$

ഉദാഹരണം 9 : ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യകൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുക. (i) $3.52 \times 10^{5}$ (ii) $7.54 \times 10^{-4}$ (iii) $3 \times 10^{-5}$

പരിഹാരം:

അഭ്യാസം 10.2

1. ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യകൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുക.

(i) 0.0000000000085

(ii) 0.00000000000942

(iii) 6020000000000000

(iv) 0.00000000837

(v) 31860000000

2. ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യകൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുക. (i) $3.02 \times 10^{-6}$ (ii) $4.5 \times 10^{4}$ (iii) $3 \times 10^{-8}$ (iv) $1.0001 \times 10^{9}$ (v) $5.8 \times 10^{12}$ (vi) $3.61492 \times 10^{6}$

3. ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനകളിൽ വരുന്ന സംഖ്യ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുക.

(i) 1 മൈക്രോൺ $\frac{1}{1000000} m$ ന് തുല്യമാണ്.

(ii) ഒരു ഇലക്ട്രോണിന്റെ ചാർജ് $0.000,000,000,000,000,000,16$ കൂളോം ആണ്.

(iii) ഒരു ബാക്ടീരിയയുടെ വലിപ്പം $0.0000005 m$ ആണ്

(iv) ഒരു സസ്യകോശത്തിന്റെ വലിപ്പം $0.00001275 m$ ആണ്

(v) കട്ടിയുള്ള കടലാസിന്റെ കനം $0.07 mm$ ആണ്

4. ഒരു സ്റ്റാക്കിൽ 5 പുസ്തകങ്ങളുണ്ട്, ഓരോന്നിന്റെയും കനം $20 mm$ ഉം 5 പേപ്പർ ഷീറ്റുകളുണ്ട്, ഓരോന്നിന്റെയും കനം $0.016 mm$ ഉം ആണ്. സ്റ്റാക്കിന്റെ ആകെ കനം എത്രയാണ്.

എന്താണ് നമ്മൾ ചർച്ച ചെയ്തത്??

1. ഋണാത്മക ഘാതങ്ങളുള്ള സംഖ്യകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഘാത നിയമങ്ങൾ പാലിക്കുന്നു.

(a) $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

(b) $a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

(c) $(a^{m})^{n}=a^{m n}$

(d) $a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$

(e) $a^{0}=1$

(f) $\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m}$

2. വളരെ ചെറിയ സംഖ്യകൾ ഋണാത്മക ഘാതങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം.