५.१ प्रस्तावना

आपल्या सभोवतालचे सर्व आकार वक्र किंवा रेषांचा वापर करून तयार केलेले असतात. आपल्या सभोवताली आपल्याला कोपरे, कडा, समतल, उघडे वक्र आणि बंद वक्र दिसतात. आपण त्यांचे वर्गीकरण रेषाखंड, कोन, त्रिकोण, बहुभुज आणि वर्तुळे असे करतो. आपल्याला असे आढळते की त्यांचे आकार आणि मापे वेगवेगळी असतात. चला आता त्यांच्या आकारांची तुलना करण्यासाठी साधने विकसित करण्याचा प्रयत्न करूया.

५.२ रेषाखंड मोजणे

आपण अनेक रेषाखंड काढलेले आहेत आणि पाहिले आहेत. त्रिकोण तीन रेषाखंडांपासून बनलेला असतो, चौकोन चार रेषाखंडांपासून बनलेला असतो.
$\quad$ रेषाखंड म्हणजे रेषेचा एक निश्चित भाग. यामुळे रेषाखंड मोजणे शक्य होते. प्रत्येक रेषाखंडाचे हे माप एक अद्वितीय संख्या असते ज्याला त्याची “लांबी” म्हणतात. रेषाखंडांची तुलना करण्यासाठी आपण ही कल्पना वापरतो.

कोणत्याही दोन रेषाखंडांची तुलना करण्यासाठी, आपण त्यांच्या लांबींमधील संबंध शोधतो. हे अनेक प्रकारे करता येते.

(i) निरीक्षणाद्वारे तुलना:

फक्त पाहून तुम्ही सांगू शकता का की कोणता लांब आहे?

तुम्ही पाहू शकता की $\overline{AB}$ लांब आहे.

परंतु तुमच्या नेहमीच्या निर्णयाबद्दल तुम्ही नेहमीच खात्री असू शकत नाही.

उदाहरणार्थ, या जोडलेल्या खंडांकडे पहा:

या दोघांमधील लांबीतील फरक स्पष्ट नसू शकतो. यामुळे तुलना करण्याच्या इतर मार्गांची आवश्यकता निर्माण होते.

या समीप आकृतीत, $\overline{AB}$ आणि $\overline{PQ}$ यांची लांबी सारखीच आहे. हे फार स्पष्ट नाही.

म्हणून, रेषाखंडांची तुलना करण्याच्या चांगल्या पद्धतींची आपल्याला आवश्यकता आहे.

(ii) ट्रेसिंगद्वारे तुलना

$\overline{AB}$ आणि $\overline{CD}$ ची तुलना करण्यासाठी, आपण ट्रेसिंग पेपर वापरतो, $\overline{CD}$ ट्रेस करतो आणि ट्रेस केलेला खंड $\overline{AB}$ वर ठेवतो.

आता तुम्ही ठरवू शकता का की $\overline{AB}$ आणि $\overline{CD}$ मध्ये कोणता लांब आहे?

ही पद्धत रेषाखंड ट्रेस करण्यातील अचूकतेवर अवलंबून असते. शिवाय, जर तुम्हाला दुसऱ्या लांबीशी तुलना करायची असेल, तर तुम्हाला दुसरा रेषाखंड ट्रेस करावा लागेल. हे कठीण आहे आणि तुम्हाला तुलना करायची असेल तेव्हा प्रत्येक वेळी लांबी ट्रेस करता येत नाहीत.

(iii) रुलर आणि डिव्हायडर वापरून तुलना

तुम्ही तुमच्या इन्स्ट्रुमेंट बॉक्समधील सर्व साधने पाहिली आहेत का किंवा ओळखू शकता का? इतर गोष्टींबरोबरच, तुमच्याकडे एक रुलर आणि एक डिव्हायडर असतात.

रुलर त्याच्या एका काठावर कसा चिन्हांकित केलेला आहे ते लक्षात घ्या. ते 15 भागांमध्ये विभागलेले आहे. या 15 भागांपैकी प्रत्येकाची लांबी $1 cm$ आहे.

प्रत्येक सेंटीमीटर 10 उपभागांमध्ये विभागलेले आहे. $cm$ च्या विभाजनाचा प्रत्येक उपभाग $1 mm$ आहे.

1 मिमी म्हणजे 0.1 सेमी.
2 मिमी म्हणजे 0.2 सेमी आणि असेच.
2.3 सेमी म्हणजे 2 सेमी आणि 3 मिमी.

एका सेंटीमीटरमध्ये किती मिलिमीटर असतात? $1 cm=10$ $mm$ असल्याने, आपण $2 cm$ कसे लिहू? $3 mm$ ? $7.7 cm$ म्हणजे काय?

रुलरचा शून्य चिन्ह A वर ठेवा. B च्या विरुद्ध असलेले चिन्ह वाचा. यामुळे $\overline{A B}$ ची लांबी मिळते. समजा लांबी $5.8 cm$ आहे, आपण असे लिहू शकतो,

लांबी $A B=5.8 cm$ किंवा अधिक सोप्या पद्धतीने $A B=5.8 cm$.

या प्रक्रियेतसुद्धा त्रुटींची जागा आहे. रुलरची जाडी त्यावरील चिन्हे वाचण्यात अडचणी निर्माण करू शकते.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

1. आपल्याला इतर कोणत्या त्रुटी आणि अडचणी येऊ शकतात?

2. रुलरवरील चिन्ह योग्य प्रकारे पाहिले नाही तर कोणत्या प्रकारच्या त्रुटी होऊ शकतात? ते कसे टाळता येईल?

स्थान त्रुटी

योग्य माप मिळवण्यासाठी, डोळा योग्य स्थितीत, चिन्हाच्या अगदी उभ्या वर असावा. अन्यथा कोनीय दृष्टीकोनामुळे त्रुटी होऊ शकतात.

आपण ही समस्या टाळू शकतो का? यासाठी काही चांगला मार्ग आहे का?

लांबी मोजण्यासाठी डिव्हायडर वापरूया.

डिव्हायडर उघडा. त्याच्या एका हाताचा शेवटचा बिंदू A वर आणि दुसऱ्या हाताचा शेवटचा बिंदू B वर ठेवा. डिव्हायडरचे उघडणे विस्कळीत न होईल याची काळजी घेऊन, डिव्हायडर उचलून रुलरवर ठेवा. एक टोकाचा बिंदू रुलरच्या शून्य चिन्हावर आहे याची खात्री करा. आता दुसऱ्या टोकाच्या बिंदूच्या विरुद्ध असलेले चिन्ह वाचा.

हे करून पहा

1. कोणतेही पोस्टकार्ड घ्या. त्याच्या दोन समीप बाजू मोजण्यासाठी वरील तंत्र वापरा.

2. सपाट वरचा भाग असलेली कोणतीही तीन वस्तू निवडा. डिव्हायडर आणि रुलर वापरून वरच्या भागाच्या सर्व बाजू मोजा.

उदाहरणे ५.१

1. केवळ निरीक्षणाद्वारे रेषाखंडांची तुलना करण्यात कोणता तोटा आहे?

3. रेषाखंडाची लांबी मोजताना रुलरपेक्षा डिव्हायडर वापरणे चांगले का आहे?

4. कोणताही रेषाखंड काढा, म्हणा $\overline{AB}$. $A$ आणि $B$ यांच्यामध्ये असलेला कोणताही बिंदू $C$ घ्या. $AB, BC$ आणि $AC$ च्या लांबी मोजा. $AB=AC+CB$ आहे का?

[सूचना: जर $A, B, C$ रेषेवरील कोणतेही तीन बिंदू असतील जसे की $A C+C B=A B$, तर आपण खात्रीने म्हणू शकतो की $C$ हा बिंदू $A$ आणि $B$ यांच्यामध्ये आहे.]

4. जर $A, B, C$ हे रेषेवरील तीन बिंदू असतील जसे की $AB=5 cm, BC=3 cm$ आणि $AC=8 cm$, तर त्यापैकी कोणता बिंदू इतर दोघांमध्ये आहे?

5. तपासा, की $D$ हा $\overline{AG}$ चा मध्यबिंदू आहे का.

6. जर $B$ हा $\overline{AC}$ चा मध्यबिंदू असेल आणि $C$ हा $\overline{BD}$ चा मध्यबिंदू असेल, जेथे $A, B, C, D$ सरळ रेषेवर असतील, तर $AB=CD$ का आहे ते सांगा.

7. पाच त्रिकोण काढा आणि त्यांच्या बाजू मोजा. प्रत्येक बाबतीत तपासा, की कोणत्याही दोन बाजूंच्या लांबींची बेरीज नेहमीच तिसऱ्या बाजूपेक्षा कमी आहे का.

५.३ कोन - ‘काटकोन’ आणि ‘सरळकोन’

तुम्ही भूगोलात दिशांबद्दल ऐकले असेल. आपल्याला माहित आहे की चीन हे भारताच्या उत्तरेस आहे, श्रीलंका दक्षिणेस आहे. आपल्याला हे देखील माहित आहे की सूर्य पूर्वेस उगवतो आणि पश्चिमेस मावळतो. चार मुख्य दिशा आहेत. त्या उत्तर (N), दक्षिण (S), पूर्व (E) आणि पश्चिम (W) आहेत.

उत्तरेच्या विरुद्ध कोणती दिशा आहे हे तुम्हाला माहिती आहे का?

पश्चिमेच्या विरुद्ध कोणती दिशा आहे?

तुम्हाला आधीच काय माहिती आहे ते लक्षात ठेवा. आता आपण कोनांचे काही गुणधर्म शिकण्यासाठी हे ज्ञान वापरतो.

उत्तरेकडे तोंड करून उभे रहा.

हे करा

पूर्वेकडे वळण्यासाठी घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने वळा.

आपण म्हणतो, तुम्ही काटकोनातून वळला आहात.

यानंतर ‘काटकोन-वळण’, घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने घ्या.

आता तुमचे तोंड दक्षिणेकडे असेल.

जर तुम्ही घड्याळाच्या काट्याच्या उलट दिशेने काटकोनात वळलात, तर तुमचे तोंड कोणत्या दिशेला असेल? ते पुन्हा पूर्वेकडे असेल! (का?)

खालील स्थितीचा अभ्यास करा:

उत्तरेकडे तोंड करण्यापासून दक्षिणेकडे तोंड करण्यापर्यंत, तुम्ही दोन काटकोनांनी वळला आहात. हे दोन काटकोनांच्या एकाच वळणासारखेच नाही का?

उत्तरेकडून पूर्वेकडे वळण हे काटकोनातून होते.

उत्तरेकडून दक्षिणेकडे वळण हे दोन काटकोनांनी होते; त्याला सरळकोन म्हणतात. (NS ही सरळ रेषा आहे!)

दक्षिणेकडे तोंड करून उभे रहा.

सरळकोनातून वळा.

आता तुमचे तोंड कोणत्या दिशेला आहे?

तुमचे तोंड उत्तरेकडे आहे!

उत्तरेकडून दक्षिणेकडे वळण्यासाठी, तुम्ही एक सरळकोन वळण घेतले, पुन्हा दक्षिणेकडून उत्तरेकडे वळण्यासाठी, तुम्ही त्याच दिशेने दुसरे सरळकोन वळण घेतले. अशाप्रकारे, दोन सरळकोन वळणे घेऊन तुम्ही तुमच्या मूळ स्थितीवर पोहोचता.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

तुमच्या मूळ स्थितीवर पोहोचण्यासाठी तुम्हाला त्याच दिशेने किती काटकोनांनी वळावे लागेल?

त्याच दिशेने दोन सरळकोन (किंवा चार काटकोन) वळणे घेणे म्हणजे पूर्ण वळण. या एका पूर्ण वळणाला एक आवर्तन म्हणतात. एका आवर्तनासाठीचा कोन हा पूर्णकोन असतो.

आपण घड्याळाच्या चेहऱ्यावर अशी आवर्तने पाहू शकतो. जेव्हा घड्याळाचा काटा एका स्थानावरून दुसऱ्या स्थानावर जातो, तेव्हा तो एका कोनातून वळतो.

समजा घड्याळाचा काटा 12 वाजता सुरू होतो आणि परत 12 वाजेपर्यंत फिरतो. त्याने एक आवर्तन केले नाही का? मग, तो किती काटकोनांनी हलला आहे? या उदाहरणांचा विचार करा:

हे करून पहा

1. अर्ध्या आवर्तनासाठी कोनाचे नाव काय आहे?

2. एक चतुर्थांश आवर्तनासाठी कोनाचे नाव काय आहे?

3. घड्याळावर एक चतुर्थांश, अर्ध्या आणि तीन चतुर्थांश आवर्तनाची इतर पाच परिस्थिती काढा.

लक्षात घ्या की तीन चतुर्थांश आवर्तनासाठी कोणतेही विशेष नाव नाही.

उदाहरणे ५.२

1. घड्याळाचा तासकाटा घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने किती अंश आवर्तन करतो, जेव्हा तो जातो

(a) 3 ते 9
(b) 4 ते 7
(c) 7 ते 10
(d) 12 ते 9
(e) 1 ते 10
(f) 6 ते 3

2. घड्याळाचा काटा कोठे थांबेल जर तो

(a) 12 वाजता सुरू होतो आणि $\frac{1}{2}$ आवर्तन घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने करतो?
(b) 2 वाजता सुरू होतो आणि $\frac{1}{2}$ आवर्तन घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने करतो?
(c) 5 वाजता सुरू होतो आणि $\frac{1}{4}$ आवर्तन घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने करतो?
(d) 5 वाजता सुरू होतो आणि $\frac{3}{4}$ आवर्तन घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने करतो?

3. तुमचे तोंड कोणत्या दिशेला असेल जर तुम्ही सुरुवात कराल

(a) पूर्वेकडे तोंड करून आणि $\frac{1}{2}$ आवर्तन घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने केले?
(b) पूर्वेकडे तोंड करून आणि $1 \frac{1}{2}$ आवर्तन घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने केले?
(c) पश्चिमेकडे तोंड करून आणि $\frac{3}{4}$ आवर्तन घड्याळाच्या काट्याच्या उलट दिशेने केले?
(d) दक्षिणेकडे तोंड करून आणि एक पूर्ण आवर्तन केले?

(या शेवटच्या प्रश्नासाठी आपण घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने किंवा उलट दिशेने निर्दिष्ट करावे का? का नाही?)

4. तुम्ही किती अंश आवर्तनातून वळला आहात जर तुम्ही उभे राहाल

(a) पूर्वेकडे तोंड करून आणि उत्तरेकडे तोंड करण्यासाठी घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने वळाल?
(b) दक्षिणेकडे तोंड करून आणि पूर्वेकडे तोंड करण्यासाठी घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने वळाल?
(c) पश्चिमेकडे तोंड करून आणि पूर्वेकडे तोंड करण्यासाठी घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने वळाल?

5. घड्याळाचा तासकाटा किती काटकोनांनी वळतो ते शोधा जेव्हा तो जातो

(a) 3 ते 6
(b) 2 ते 8
(c) 5 ते 11
(d) 10 ते
(e) 12 ते 9
(f) 12 ते 6

6. तुम्ही किती काटकोन करता जर तुम्ही सुरुवात कराल

(a) दक्षिणेकडे तोंड करून आणि पश्चिमेकडे वळण्यासाठी घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने वळाल?
(b) उत्तरेकडे तोंड करून आणि पूर्वेकडे वळण्यासाठी घड्याळाच्या काट्याच्या उलट दिशेने वळाल?
(c) पश्चिमेकडे तोंड करून आणि पश्चिमेकडे वळाल?
(d) दक्षिणेकडे तोंड करून आणि उत्तरेकडे वळाल?

7. घड्याळाचा तासकाटा कोठे थांबेल जर तो सुरू होतो

(a) 6 वाजता आणि 1 काटकोनातून वळतो?
(b) 8 वाजता आणि 2 काटकोनांतून वळतो?
(c) 10 वाजता आणि 3 काटकोनांतून वळतो?
(d) 7 वाजता आणि 2 सरळकोनांतून वळतो?

५.४ कोन - ‘लघुकोन’, ‘विशालकोन’ आणि ‘प्रतिवर्ती कोन’

काटकोन आणि सरळकोन म्हणजे काय हे आपण पाहिले. तथापि, आपल्याला जे सर्व कोन भेटतात ते या दोन प्रकारांपैकी एक नसतात. भिंतीशी (किंवा जमिनीशी) शिडीने केलेला कोन हा काटकोन किंवा सरळकोन नसतो.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

काटकोनापेक्षा लहान कोन आहेत का? काटकोनापेक्षा मोठे कोन आहेत का? तुम्ही सुताराचा चौकोन पाहिला आहे का? तो इंग्रजी वर्णमालेतील “L” अक्षरासारखा दिसतो. काटकोन तपासण्यासाठी तो त्याचा वापर करतो. चला आपण देखील काटकोनासाठी अशाच प्रकारचा ‘चाचणीकर्ता’ बनवूया.

हे करा

तुमच्या तात्पुरत्या ‘काटकोन-चाचणीकर्त्याचे’ निरीक्षण करा. [आपण त्याला RA चाचणीकर्ता म्हणू का?] एक काठ दुसऱ्यावर सरळ संपतो का?
$\quad$ समजा कोपरे असलेला कोणताही आकार दिला आहे. कोपऱ्यातील कोन तपासण्यासाठी तुम्ही तुमचा RA चाचणीकर्ता वापरू शकता.

कडा कागदाच्या कोनांशी जुळतात का? जर होय, तर ते काटकोन दर्शवते.

हे करून पहा

1. घड्याळाचा तासकाटा 12 वरून 5 वर जातो.

तासकाट्याचे आवर्तन 1 काटकोनापेक्षा जास्त आहे का?

2. घड्याळाचा तासकाटा 5 वरून 7 वर जातो तेव्हा त्याने केलेला कोन कसा दिसतो? हा कोन 1 काटकोनापेक्षा जास्त आहे का?

3. खालील काढा आणि तुमच्या RA चाचणीकर्त्याने कोन तपासा.

(a) 12 ते 2 पर्यंत जाताना
(b) 6 ते 7 पर्यंत जाताना
(c) 4 ते 8 पर्यंत जाताना
(d) 2 ते 5 पर्यंत जाताना

4. कोपरे असलेली पाच वेगवेगळी आकार घ्या. कोपऱ्यांना नावे द्या. तुमच्या चाचणीकर्त्याने त्यांची तपासणी करा आणि प्रत्येक बाबतीत तुमचे निकाल सारणीबद्ध करा:

इतर नावे

• काटकोनापेक्षा लहान कोनाला लघुकोन म्हणतात. हे लघुकोन आहेत.

तुम्ही पाहता का की त्यापैकी प्रत्येक एका आवर्तनाच्या एक चतुर्थांशापेक्षा कमी आहे? तुमच्या RA चाचणीकर्त्याने त्यांची तपासणी करा.

• जर एखादा कोन काटकोनापेक्षा मोठा असेल, परंतु सरळकोनापेक्षा लहान असेल, तर त्याला विशालकोन म्हणतात. हे विशालकोन आहेत.

तुम्ही पाहता का की त्यापैकी प्रत्येक एका आवर्तनाच्या एक चतुर्थांशापेक्षा जास्त आहे परंतु अर्ध्या आवर्तनापेक्षा कमी आहे? तपासण्यासाठी तुमचा RA चाचणीकर्ता मदत करू शकतो.

मागील उदाहरणांमधील विशालकोन ओळखा.

• प्रतिवर्ती कोन हा सरळकोनापेक्षा मोठा असतो.

तो असे दिसतो. (कोन चिन्ह पहा)

तुम्ही आधी बनवलेल्या आकारांमध्ये काही प्रतिवर्ती कोन होते का?

तुम्ही त्यांची तपासणी कशी कराल?

हे करून पहा

1. तुमच्या सभोवतालचे निरीक्षण करा आणि कोन तयार करण्यासाठी कोपऱ्यांवर भेटणाऱ्या कडा ओळखा. अशा दहा परिस्थिती यादी करा.
2. अशा दहा परिस्थिती यादी करा जिथे बनवलेले कोन लघुकोन असतात.
3. अशा दहा परिस्थिती यादी करा जिथे बनवलेले कोन काटकोन असतात.
4. अशा पाच परिस्थिती शोधा जिथे विशालकोन बनवले जातात.
5. इतर पाच परिस्थिती यादी करा जिथे प्रतिवर्ती कोन दिसू शकतात.

उदाहरणे ५.३

1. खालील जुळवा:

(i) सरळकोन $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ (a) एका आवर्तनाच्या एक चतुर्थांशापेक्षा कमी
(ii) काटकोन $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (b) अर्ध्या आवर्तनापेक्षा जास्त
(iii) लघुकोन $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ (c) एका आवर्तनाचा अर्धा भाग
(iv) विशालकोन $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ (d) एका आवर्तनाचा एक चतुर्थांश भाग
(v) प्रतिवर्ती कोन $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ (e) $\frac{1}{4}$ आणि $\frac{1}{2}$ च्या आवर्तनाच्या दरम्यान
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ $\qquad$ (f) 20 चा घटक

2. खालीलपैकी प्रत्येक कोनाचे वर्गीकरण काटकोन, सरळकोन, लघुकोन, विशालकोन किंवा प्रतिवर्ती कोन असे करा:

५.५ कोन मोजणे

आम्ही बनवलेला तात्पुरता ‘काटकोन चाचणीकर्ता’ हा काटकोनाशी कोनांची तुलना करण्यासाठी उपयुक्त आहे. आम्ही कोनांचे वर्गीकरण लघुकोन, विशालकोन किंवा प्रतिवर्ती कोन असे करू शकलो.

परंतु यामुळे अचूक तुलना मिळत नाही. दोन विशालकोनांपैकी कोणता मोठा आहे हे ते शोधू शकत नाही. म्हणून तुलनेत अधिक अचूक होण्यासाठी, आपल्याला कोन ‘मोजणे’ आवश्यक आहे. आपण हे ‘प्रोट्रॅक्टर’ च्या साहाय्याने करू शकतो.

कोनाचे माप

आपण आपल्या मापाला ‘अंश माप’ म्हणतो. एक पूर्ण आवर्तन 360 समान भागांमध्ये विभागलेले आहे. प्रत्येक भाग हा एक अंश असतो. ‘तीनशे साठ अंश’ म्हणण्यासाठी आपण $360^{\circ}$ लिहितो.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

अर्ध्या आवर्तनात किती अंश असतात? एका काटकोनात? एका सरळकोनात?

$180^{\circ}$ बनवण्यासाठी कित