5.1 પ્રસ્તાવના

આપણી આસપાસ જે આકારો જોઈએ છીએ તે બધા વક્રો અથવા રેખાઓનો ઉપયોગ કરીને બનેલા છે. આપણે આપણી આસપાસ ખૂણાઓ, કિનારીઓ, સપાટીઓ, ખુલ્લા વક્રો અને બંધ વક્રો જોઈ શકીએ છીએ. આપણે તેમને રેખાખંડો, ખૂણાઓ, ત્રિકોણો, બહુકોણો અને વર્તુળોમાં વ્યવસ્થિત કરીએ છીએ. આપણે જોઈએ છીએ કે તેમના કદ અને માપ જુદાં જુદાં છે. ચાલો હવે તેમના કદની તુલના કરવા માટે સાધનો વિકસાવવાનો પ્રયાસ કરીએ.

5.2 રેખાખંડોનું માપન

આપણે ઘણા બધા રેખાખંડો દોર્યા છે અને જોયા છે. ત્રિકોણ ત્રણ રેખાખંડોથી બને છે, ચતુષ્કોણ ચાર રેખાખંડોથી બને છે.
$\quad$ રેખાખંડ એ રેખાનો એક નિશ્ચિત ભાગ છે. આ રેખાખંડને માપવાનું શક્ય બનાવે છે. દરેક રેખાખંડનું આ માપ એ એક અનન્ય સંખ્યા છે જેને તેની “લંબાઈ” કહેવાય છે. રેખાખંડોની તુલના કરવા માટે આપણે આ વિચારનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

કોઈ પણ બે રેખાખંડોની તુલના કરવા માટે, આપણે તેમની લંબાઈ વચ્ચે સંબંધ શોધીએ છીએ. આ અનેક રીતે કરી શકાય છે.

(i) અવલોકન દ્વારા તુલના:

ફક્ત જોઈને શું તમે કહી શકો છો કે કયો લાંબો છે?

તમે જોઈ શકો છો કે $\overline{AB}$ લાંબો છે.

પરંતુ તમારા સામાન્ય નિર્ણય વિશે તમે હંમેશા નિશ્ચિત ન હોઈ શકો.

ઉદાહરણ તરીકે, આ સંલગ્ન ખંડો જુઓ:

આ બંને વચ્ચેનો લંબાઈનો તફાવત સ્પષ્ટ ન હોઈ શકે. આ અન્ય રીતે તુલના કરવાની જરૂરિયાત ઊભી કરે છે.

આ બાજુની આકૃતિમાં, $\overline{AB}$ અને $\overline{PQ}$ ની લંબાઈ સમાન છે. આ એટલું સ્પષ્ટ નથી.

તેથી, રેખાખંડોની તુલના કરવાની વધુ સારી પદ્ધતિઓની જરૂર છે.

(ii) ટ્રેસિંગ દ્વારા તુલના

$\overline{AB}$ અને $\overline{CD}$ ની તુલના કરવા માટે, આપણે ટ્રેસિંગ પેપરનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, $\overline{CD}$ ને ટ્રેસ કરીએ છીએ અને ટ્રેસ કરેલા ખંડને $\overline{AB}$ પર મૂકીએ છીએ.

શું તમે હવે નક્કી કરી શકો છો કે $\overline{AB}$ અને $\overline{CD}$ માંથી કયો લાંબો છે?

આ પદ્ધતિ રેખાખંડને ટ્રેસ કરવાની ચોકસાઈ પર આધારિત છે. વધુમાં, જો તમે બીજી લંબાઈ સાથે તુલના કરવા માંગતા હો, તો તમારે બીજો રેખાખંડ ટ્રેસ કરવો પડશે. આ મુશ્કેલ છે અને જ્યારે પણ તમે તેમની તુલના કરવા માંગો ત્યારે તમે લંબાઈ ટ્રેસ કરી શકતા નથી.

(iii) પટ્ટી અને ડિવાઇડરનો ઉપયોગ કરીને તુલના

શું તમે તમારા ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટ બોક્સમાંના બધા સાધનો જોયાં છે અથવા ઓળખી શકો છો? અન્ય વસ્તુઓમાં, તમારી પાસે પટ્ટી અને ડિવાઇડર છે.

નોંધ લો કે પટ્ટી તેના એક કિનારી સાથે કેવી રીતે ચિહ્નિત છે. તે 15 ભાગોમાં વહેંચાયેલી છે. આ 15 ભાગોમાંથી દરેકની લંબાઈ $1 cm$ છે.

દરેક સેન્ટીમીટર 10 ઉપભાગોમાં વહેંચાયેલી છે. $cm$ ના ભાગાકારનો દરેક ઉપભાગ $1 mm$ છે.

1 mm એ 0.1 cm છે.
2 mm એ 0.2 cm છે અને આમ જ.
2.3 cm નો અર્થ 2 cm અને 3 mm થશે.

એક સેન્ટીમીટર બનાવવા માટે કેટલા મિલીમીટર જોઈએ? કારણ કે $1 cm=10$ $mm$, આપણે $2 cm$ કેવી રીતે લખીશું? $3 mm$? $7.7 cm$ થી આપણો શું અર્થ થાય છે?

પટ્ટીનો શૂન્ય ચિહ્ન A પર મૂકો. B સામેનો ચિહ્ન વાંચો. આ $\overline{A B}$ ની લંબાઈ આપે છે. ધારો કે લંબાઈ $5.8 cm$ છે, આપણે લખી શકીએ,

લંબાઈ $A B=5.8 cm$ અથવા વધુ સરળ રીતે $A B=5.8 cm$ તરીકે.

આ પ્રક્રિયામાં પણ ભૂલો માટે જગ્યા છે. પટ્ટીની જાડાઈ તેના પરના ચિહ્નો વાંચવામાં મુશ્કેલી ઊભી કરી શકે છે.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

1. અન્ય કઈ ભૂલો અને મુશ્કેલીઓનો આપણે સામનો કરી શકીએ?

2. જો પટ્ટી પરનું ચિહ્ન યોગ્ય રીતે જોવામાં ન આવે તો કેવી ભૂલો થઈ શકે? તેને કેવી રીતે ટાળી શકાય?

સ્થિતિની ભૂલ

સાચું માપ મેળવવા માટે, આંખ ચિહ્નની બરાબર ઊભી ઉપર યોગ્ય સ્થિતિમાં હોવી જોઈએ. નહિંતર કોણીય દૃષ્ટિએ જોવાને કારણે ભૂલો થઈ શકે છે.

શું આપણે આ સમસ્યા ટાળી શકીએ? શું કોઈ વધુ સારી રીત છે?

ચાલો લંબાઈ માપવા માટે ડિવાઇડરનો ઉપયોગ કરીએ.

ડિવાઇડર ખોલો. તેના એક હાથનો અંતિમ બિંદુ A પર અને બીજા હાથનો અંતિમ બિંદુ B પર મૂકો. ડિવાઇડરનું ખુલવું ખલેલ પામ્યું નથી તેની કાળજી લઈને, ડિવાઇડરને ઉપાડો અને પટ્ટી પર મૂકો. ખાતરી કરો કે એક અંતિમ બિંદુ પટ્ટીના શૂન્ય ચિહ્ન પર છે. હવે બીજા અંતિમ બિંદુ સામેનું ચિહ્ન વાંચો.

આ પ્રયાસ કરો

1. કોઈ પણ પોસ્ટકાર્ડ લો. તેની બે અડોઅડ બાજુઓ માપવા માટે ઉપરોક્ત તકનીકનો ઉપયોગ કરો.

2. સપાટ ટોચ ધરાવતી કોઈ પણ ત્રણ વસ્તુઓ પસંદ કરો. ડિવાઇડર અને પટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને ટોચની બધી બાજુઓ માપો.

કસરત 5.1

1. માત્ર અવલોકન દ્વારા રેખાખંડોની તુલના કરવામાં શું ગેરલાભ છે?

3. રેખાખંડની લંબાઈ માપતી વખતે પટ્ટી કરતાં ડિવાઇડરનો ઉપયોગ કરવો શા માટે વધુ સારું છે?

4. કોઈ પણ રેખાખંડ દોરો, ધારો કે $\overline{AB}$. કોઈ પણ બિંદુ $C$ લો જે $A$ અને $B$ વચ્ચે આવેલું છે. $AB, BC$ અને $AC$ ની લંબાઈ માપો. શું $AB=AC+CB$ છે?

[નોંધ: જો $A, B, C$ રેખા પર કોઈ ત્રણ બિંદુઓ હોય જેમ કે $A C+C B=A B$, તો આપણે ખાતરી કરી શકીએ કે $C$ $A$ અને $B$ વચ્ચે આવેલું છે.]

4. જો $A, B, C$ રેખા પર ત્રણ બિંદુઓ હોય જેમ કે $AB=5 cm, BC=3 cm$ અને $AC=8 cm$, તો તેમાંથી કયું બિંદુ બાકીના બે વચ્ચે આવેલું છે?

5. ચકાસો કે શું $D$ એ $\overline{AG}$ નો મધ્યબિંદુ છે.

6. જો $B$ એ $\overline{AC}$ નો મધ્યબિંદુ છે અને $C$ એ $\overline{BD}$ નો મધ્યબિંદુ છે, જ્યાં $A, B, C, D$ સીધી રેખા પર આવેલા છે, તો કહો કે શા માટે $AB=CD$ છે?

7. પાંચ ત્રિકોણ દોરો અને તેમની બાજુઓ માપો. દરેક કિસ્સામાં તપાસો કે શું કોઈ પણ બે બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો હંમેશા ત્રીજી બાજુ કરતાં ઓછો છે.

5.3 ખૂણાઓ - ‘કાટખૂણો’ અને ‘સરળ ખૂણો’

તમે ભૂગોળમાં દિશાઓ વિશે સાંભળ્યું હશે. આપણે જાણીએ છીએ કે ચીન ભારતની ઉત્તરે છે, શ્રીલંકા દક્ષિણે છે. આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે સૂર્ય પૂર્વમાં ઊગે છે અને પશ્ચિમમાં અસ્ત થાય છે. ચાર મુખ્ય દિશાઓ છે. તે ઉત્તર (N), દક્ષિણ (S), પૂર્વ (E) અને પશ્ચિમ (W) છે.

શું તમે જાણો છો કે ઉત્તરની વિરુદ્ધ કઈ દિશા છે?

પશ્ચિમની વિરુદ્ધ કઈ દિશા છે?

તમે પહેલેથી જ શું જાણો છો તે યાદ કરો. ખૂણાઓ વિશે થોડા ગુણધર્મો શીખવા માટે આપણે હવે આ જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

ઉત્તર તરફ મુખ કરીને ઊભા રહો.

આ કરો

ઘડિયાળની દિશામાં પૂર્વ તરફ ફરો.

આપણે કહીએ છીએ કે તમે કાટખૂણો ફર્યા છો.

આને ‘કાટખૂણો-ફેરવવો’, ઘડિયાળની દિશામાં અનુસરો.

તમે હવે દક્ષિણ તરફ મુખ કરો છો.

જો તમે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં કાટખૂણો ફેરવો, તો તમે કઈ દિશા તરફ મુખ કરશો? તે ફરીથી પૂર્વ છે! (શા માટે?)

નીચેની સ્થિતિઓનો અભ્યાસ કરો:

ઉત્તર તરફ મુખ કરવાથી દક્ષિણ તરફ મુખ કરવા સુધી, તમે બે કાટખૂણા ફેરવ્યા છે. શું આ બે કાટખૂણા દ્વારા એક જ ફેરવવા જેટલું જ નથી?

ઉત્તરથી પૂર્વ તરફ ફેરવવું એ કાટખૂણો છે.

ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ ફેરવવું એ બે કાટખૂણા છે; તેને સરળ ખૂણો કહેવાય છે. (NS એ સીધી રેખા છે!)

દક્ષિણ તરફ મુખ કરીને ઊભા રહો.

સરળ ખૂણો ફેરવો.

હવે તમે કઈ દિશા તરફ મુખ કરો છો?

તમે ઉત્તર તરફ મુખ કરો છો!

ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ ફેરવવા માટે, તમે સરળ ખૂણો ફેરવ્યો, ફરીથી દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ ફેરવવા માટે, તમે એ જ દિશામાં બીજો સરળ ખૂણો ફેરવ્યો. આમ, બે સરળ ખૂણા ફેરવીને તમે તમારી મૂળ સ્થિતિ પર પહોંચો છો.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

તમારી મૂળ સ્થિતિ પર પહોંચવા માટે તમારે એ જ દિશામાં કેટલા કાટખૂણા ફેરવવા જોઈએ?

એ જ દિશામાં બે સરળ ખૂણા (અથવા ચાર કાટખૂણા) ફેરવવાથી પૂર્ણ ફેરવવું થાય છે. આ એક પૂર્ણ ફેરવવું એક પરિભ્રમણ કહેવાય છે. એક પરિભ્રમણ માટેનો ખૂણો એક પૂર્ણ ખૂણો છે.

આપણે ઘડિયાળના મુખ પર આવા પરિભ્રમણો જોઈ શકીએ છીએ. જ્યારે ઘડિયાળનો કાંટો એક સ્થિતિથી બીજી સ્થિતિ પર જાય છે, ત્યારે તે ખૂણો ફેરવે છે.

ધારો કે ઘડિયાળનો કાંટો 12 પરથી શરૂ થાય છે અને ફરી 12 પર પહોંચે ત્યાં સુધી ફરે છે. શું તે એક પરિભ્રમણ નથી કર્યું? તો, તે કેટલા કાટખૂણા ફેરવ્યો છે? આ ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લો:

આ પ્રયાસ કરો

1. અડધા પરિભ્રમણ માટે ખૂણાનું નામ શું છે?

2. એક-ચોથા પરિભ્રમણ માટે ખૂણાનું નામ શું છે?

3. ઘડિયાળ પર એક-ચોથા, અડધા અને ત્રણ-ચોથા પરિભ્રમણની પાંચ અન્ય પરિસ્થિતિઓ દોરો.

નોંધ લો કે ત્રણ-ચોથા પરિભ્રમણ માટે કોઈ વિશેષ નામ નથી.

કસરત 5.2

1. ઘડિયાળનો કાંટો જ્યારે નીચેના સમયે જાય ત્યારે ઘડિયાળની દિશામાં કેટલા ભાગનું પરિભ્રમણ કરે છે?

(a) 3 થી 9
(b) 4 થી 7
(c) 7 થી 10
(d) 12 થી 9
(e) 1 થી 10
(f) 6 થી 3

2. ઘડિયાળનો કાંટો ક્યાં અટકશે જો તે

(a) 12 પરથી શરૂ થાય અને $\frac{1}{2}$ પરિભ્રમણ, ઘડિયાળની દિશામાં કરે?
(b) 2 પરથી શરૂ થાય અને $\frac{1}{2}$ પરિભ્રમણ, ઘડિયાળની દિશામાં કરે?
(c) 5 પરથી શરૂ થાય અને $\frac{1}{4}$ પરિભ્રમણ, ઘડિયાળની દિશામાં કરે?
(d) 5 પરથી શરૂ થાય અને $\frac{3}{4}$ પરિભ્રમણ, ઘડિયાળની દિશામાં કરે?

3. તમે કઈ દિશા તરફ મુખ કરશો જો તમે શરૂઆત કરો

(a) પૂર્વ તરફ મુખ કરીને અને $\frac{1}{2}$ પરિભ્રમણ ઘડિયાળની દિશામાં કરો?
(b) પૂર્વ તરફ મુખ કરીને અને $1 \frac{1}{2}$ પરિભ્રમણ ઘડિયાળની દિશામાં કરો?
(c) પશ્ચિમ તરફ મુખ કરીને અને $\frac{3}{4}$ પરિભ્રમણ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં કરો?
(d) દક્ષિણ તરફ મુખ કરીને અને એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ કરો?

(શું આ છેલ્લા પ્રશ્ન માટે આપણે ઘડિયાળની દિશા અથવા ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશા સ્પષ્ટ કરવી જોઈએ? શા માટે નહીં?)

4. તમે કેટલા ભાગનું પરિભ્રમણ ફેરવ્યું છે જો તમે ઊભા રહીને મુખ કરો

(a) પૂર્વ તરફ અને ઘડિયાળની દિશામાં ફરીને ઉત્તર તરફ મુખ કરો?
(b) દક્ષિણ તરફ અને ઘડિયાળની દિશામાં ફરીને પૂર્વ તરફ મુખ કરો?
(c) પશ્ચિમ તરફ અને ઘડિયાળની દિશામાં ફરીને પૂર્વ તરફ મુખ કરો?

5. ઘડિયાળનો કાંટો જ્યારે નીચેના સમયે જાય ત્યારે કેટલા કાટખૂણા ફેરવે છે તે શોધો

(a) 3 થી 6
(b) 2 થી 8
(c) 5 થી 11
(d) 10 થી
(e) 12 થી 9
(f) 12 થી 6

6. તમે કેટલા કાટખૂણા બનાવો છો જો તમે શરૂઆત કરો

(a) દક્ષિણ તરફ મુખ કરીને અને ઘડિયાળની દિશામાં ફરીને પશ્ચિમ તરફ મુખ કરો?
(b) ઉત્તર તરફ મુખ કરીને અને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરીને પૂર્વ તરફ મુખ કરો?
(c) પશ્ચિમ તરફ મુખ કરીને અને પશ્ચિમ તરફ ફરો?
(d) દક્ષિણ તરફ મુખ કરીને અને ઉત્તર તરફ ફરો?

7. ઘડિયાળનો કાંટો ક્યાં અટકશે જો તે શરૂ થાય

(a) 6 પરથી અને 1 કાટખૂણો ફેરવે?
(b) 8 પરથી અને 2 કાટખૂણા ફેરવે?
(c) 10 પરથી અને 3 કાટખૂણા ફેરવે?
(d) 7 પરથી અને 2 સરળ ખૂણા ફેરવે?

5.4 ખૂણાઓ - ‘ન્યૂન’, ‘વિશાળ’ અને ‘પ્રતિક્ષેપી’

આપણે જોયું કે કાટખૂણો અને સરળ ખૂણો થી આપણો શું અર્થ થાય છે. જો કે, આપણે જે ખૂણાઓ જોઈએ છીએ તે બધા આ બે પ્રકારમાંથી એક નથી. દીવાલ (અથવા ફ્લોર) સાથેની સીડી દ્વારા બનેલો ખૂણો ન તો કાટખૂણો છે અને ન તો સરળ ખૂણો છે.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

શું કાટખૂણા કરતાં નાના ખૂણા હોય છે? શું કાટખૂણા કરતાં મોટા ખૂણા હોય છે? શું તમે સુથારનો ચોરસ જોયો છે? તે અંગ્રેજી મૂળાક્ષરના “L” અક્ષર જેવો દેખાય છે. તે કાટખૂણા તપાસવા માટે તેનો ઉપયોગ કરે છે. ચાલો આપણે પણ કાટખૂણા માટે એવું જ ‘પરીક્ષક’ બનાવીએ.

આ કરો

તમારા અંદાજિત ‘કાટખૂણા-પરીક્ષક’ નું અવલોકન કરો. [શું આપણે તેને RA પરીક્ષક કહીશું?] શું એક કિનારી બીજી પર સીધી આવે છે?
$\quad$ ધારો કે ખૂણાઓ સાથેનો કોઈ પણ આકાર આપેલો છે. ખૂણાઓની તપાસ કરવા માટે તમે તમારા RA પરીક્ષકનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

શું કિનારીઓ કાગળના ખૂણાઓ સાથે મેળ ખાય છે? જો હા, તો તે કાટખૂણો સૂચવે છે.

આ પ્રયાસ કરો

1. ઘડિયાળનો કાંટો 12 થી 5 સુધી ફરે છે.

શું કાંટાનું પરિભ્રમણ 1 કાટખૂણા કરતાં વધુ છે?

2. ઘડિયાળનો કાંટો જ્યારે 5 થી 7 સુધી ફરે છે ત્યારે બનેલો ખૂણો કેવો લાગે છે? શું ફેરવેલો ખૂણો 1 કાટખૂણા કરતાં વધુ છે?

3. નીચેનાને દોરો અને તમારા RA પરીક્ષક સાથે ખૂણાની તપાસ કરો.

(a) 12 થી 2 જતા
(b) 6 થી 7 જતા
(c) 4 થી 8 જતા
(d) 2 થી 5 જતા

4. ખૂણાઓ સાથેના પાંચ જુદા જુદા