8.1 परिचय

सविता और शमा बाज़ार जा रही थीं कुछ स्टेशनरी का सामान खरीदने के लिए। सविता ने कहा, “मेरे पास 5 रुपये और 75 पैसे हैं”। शमा ने कहा, “मेरे पास 7 रुपये और 50 पैसे हैं”।

वे जानती थीं कि दशमलव का उपयोग करके रुपये और पैसे कैसे लिखे जाते हैं।

इसलिए सविता ने कहा, मेरे पास ₹ 5.75 हैं और शमा ने कहा, “मेरे पास ₹ $7.50 “$ हैं”।

क्या उन्होंने सही लिखा है?

हम जानते हैं कि बिंदु एक दशमलव बिंदु को दर्शाता है। इस अध्याय में, हम दशमलव के साथ काम करने के बारे में और अधिक सीखेंगे।

8.2 दशमलवों की तुलना

क्या आप बता सकते हैं कि 0.07 और 0.1 में कौन बड़ा है?

एक ही आकार के दो वर्गाकार कागज़ के टुकड़े लीजिए। उन्हें 100 बराबर भागों में बाँटिए। 0.07 के लिए हमें 100 में से 7 भागों पर रंग भरना है।

अब, $0.1=\frac{1}{10}=\frac{10}{100}$, इसलिए, 0.1 के लिए, 100 में से 10 भागों पर रंग भरिए।

इसका अर्थ है $0.1>0.07$

आइए अब संख्याओं 32.55 और 32.5 की तुलना करें। इस स्थिति में, हम पहले पूर्ण भाग की तुलना करते हैं। हम देखते हैं कि दोनों संख्याओं का पूर्ण भाग 32 है और इसलिए, बराबर है।

हालाँकि, हम जानते हैं कि दोनों संख्याएँ बराबर नहीं हैं। इसलिए, अब हम दसवें भाग की तुलना करते हैं। हम पाते हैं कि 32.55 और 32.5 के लिए, दसवाँ भाग भी बराबर है, फिर हम सौवें भाग की तुलना करते हैं।

हम पाते हैं,

$32.55=32+\frac{5}{10}+\frac{5}{100}$ और $32.5=32+\frac{5}{10}+\frac{0}{100}$, इसलिए, $32.55>32.5$ क्योंकि 32.55 का सौवाँ भाग अधिक है।

उदाहरण 1 : कौन सा बड़ा है?

(a) 1 या 0.99

(b) 1.09 या 1.093

हल : (a) $1=1+\frac{0}{10}+\frac{0}{100} ; \quad 0.99=0+\frac{9}{10}+\frac{9}{100}$

1 का पूर्ण भाग 0.99 के पूर्ण भाग से बड़ा है।

इसलिए, $1>0.99$

(b) $1.09=1+\frac{0}{10}+\frac{9}{100}+\frac{0}{1000} ; 1.093=1+\frac{0}{10}+\frac{9}{100}+\frac{3}{1000}$

इस स्थिति में, दोनों संख्याओं के भाग सौवें तक समान हैं।

लेकिन 1.093 का हज़ारवाँ भाग 1.09 के हज़ारवें भाग से बड़ा है।

इसलिए, $1.093>1.09$।

प्रश्नावली 8.1

1. कौन सा बड़ा है?

(a) 0.3 या 0.4
(b) 0.07 या 0.02
(c) 3 या 0.8
(d) 0.5 या 0.05
(e) 1.23 या 1.2
(f) 0.099 या 0.19
(g) 1.5 या 1.50
(h) 1.431 या 1.490
(i) 3.3 या 3.300
(j) 5.64 या 5.603

2. पाँच और उदाहरण बनाइए और उनमें से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।

8.3 दशमलवों का उपयोग

8.3.1 धन

हम जानते हैं कि 100 पैसे = ₹$ 1$

इसलिए, $\quad 1$ पैसे = ₹ $\frac{1}{100}$ = ₹ $0.01$

तो, 65 पैसे = ₹ $\frac{65}{100}$ = ₹ $0.65$

$\text{ and } 5 \text{ paise }$ = ₹ $\frac{5}{100}$ = ₹ $0.05$

105 पैसे क्या है? यह ₹ 1 और 5 पैसे = ₹ $1.05$ है।

ये कीजिए

(i) 2 रुपये 5 पैसे और 2 रुपये 50 पैसे को दशमलव में लिखिए।

(ii) 20 रुपये 7 पैसे और 21 रुपये 75 पैसे को दशमलव में लिखिए?

8.3.2 लंबाई

महेश अपनी मेज़ की लंबाई मीटर में मापना चाहता था। उसके पास एक $50 cm$ पैमाना था। उसने पाया कि मेज़ की लंबाई $156 cm$ थी। मीटर में इसकी लंबाई क्या होगी?

महेश जानता था कि

$1 cm=\frac{1}{100} m$ या $0.01 m$

इसलिए, $56 cm=\frac{56}{100} m=0.56 m$

इस प्रकार, मेज़ की लंबाई $156 cm=100 cm+56 cm$ है।

$ =1 m+\frac{56}{100} m=1.56 m . $

महेश इस लंबाई को चित्रात्मक रूप से भी दर्शाना चाहता है। उसने समान आकार के वर्गाकार कागज़ लिए और उन्हें 100 बराबर भागों में बाँटा। उसने प्रत्येक छोटे वर्ग को एक $cm$ माना।

ये कीजिए

1. क्या आप $4 mm$ को ‘$cm$’ का उपयोग करके दशमलव में लिख सकते हैं?

2. आप $7 cm 5 mm$ को ‘$cm$’ का उपयोग करके दशमलव में कैसे लिखेंगे?

3. क्या आप अब $52 m$ को ‘$km$’ का उपयोग करके दशमलव में लिख सकते हैं? आप $340 m$ को ‘$km$’ का उपयोग करके दशमलव में कैसे लिखेंगे? आप $2008 m$ को ‘$k m$’ में कैसे लिखेंगे?

8.3.3 भार

नंदू ने $500 g$ आलू, $250 g$ शिमला मिर्च, $700 g$ प्याज, $500 g$ टमाटर, $100 g$ अदरक और $300 g$ मूली खरीदी। थैले में सब्जियों का कुल भार क्या है? आइए थैले में सभी सब्जियों का भार जोड़ें।

$500 g+250 g+700 g+500 g+100 g+300 g$ $=2350 g$

ये कीजिए

1. क्या आप अब $456 g$ को ‘$kg$’ का उपयोग करके दशमलव में लिख सकते हैं?

2. आप $2 kg ~9 g$ को ‘$kg$’ का उपयोग करके दशमलव में कैसे लिखेंगे?

हम जानते हैं कि $1000 g=1 kg$

इसलिए, $1 g=\frac{1}{1000} kg=0.001 kg$

$ \begin{aligned} \text{ इस प्रकार, } 2350 g & =2000 g+350 g \\ & =\frac{2000}{1000} kg+\frac{350}{1000} kg \\ & =2 kg+0.350 kg=2.350 kg \\ \text{ अर्थात } 2350 g & =2 kg 350 g=2.350 kg \end{aligned} $

इस प्रकार, नंदू के थैले में सब्जियों का भार $2.350 kg$ है।

प्रश्नावली 8.2

1. दशमलव का उपयोग करके रुपये में व्यक्त कीजिए।

(a) 5 पैसे
(b) 75 पैसे
(c) 20 पैसे
(d) 50 रुपये 90 पैसे
(e) 725 पैसे

2. दशमलव का उपयोग करके मीटर में व्यक्त कीजिए।

(a) $15 cm$
(b) $6 cm$
(c) $2 m ~45 cm$
(d) $9 m ~7 cm$
(e) $419 cm$

3. दशमलव का उपयोग करके सेमी में व्यक्त कीजिए।

(a) $5 mm$
(b) $60 mm$
(c) $164 mm$
(d) $9 cm ~8 mm$
(e) $93 mm$

4. दशमलव का उपयोग करके किमी में व्यक्त कीजिए।

(a) $8 m$
(b) $88 m$
(c) $8888 m$
(d) $70 km ~5 m$

5. दशमलव का उपयोग करके किग्रा में व्यक्त कीजिए।

(a) $2 g$
(b) $100 g$
(c) $3750 g$
(d) $5 kg 8 g$
(e) $26 kg 50 g$

8.4 दशमलव वाली संख्याओं का जोड़

यह कीजिए

0.35 और 0.42 को जोड़िए।

एक वर्ग लीजिए और उसे 100 बराबर भागों में बाँटिए।

इस वर्ग में 0.35 को 3 दसवें भाग पर रंग भरकर और 5 सौवें भाग पर रंग भरकर चिह्नित कीजिए।

इस वर्ग में 0.42 को 4 दसवें भाग पर रंग भरकर और 2 सौवें भाग पर रंग भरकर चिह्नित कीजिए।

अब वर्ग में दसवें भागों की कुल संख्या और वर्ग में सौवें भागों की कुल संख्या गिनिए।

इसलिए, $0.35+0.42=0.77$

इस प्रकार, हम दशमलवों को उसी तरह जोड़ सकते हैं जैसे पूर्ण संख्याओं को जोड़ते हैं।

ये कीजिए

ज्ञात कीजिए।

(i) $0.29+0.36$

(ii) $0.7+0.08$

(iii) $1.54+1.80$

(iv) $2.66+1.85$

क्या आप अब 0.68 और 0.54 को जोड़ सकते हैं?

उदाहरण 2 : लता ने एक कलम खरीदने के लिए ₹ 9.50 और एक पेंसिल के लिए ₹ 2.50 खर्च किए। उसने कुल कितना पैसा खर्च किया?

हल :

कलम पर खर्च किया गया धन = ₹ $9.50$

पेंसिल पर खर्च किया गया धन = ₹ $2.50$

कुल खर्च किया गया धन $\quad$ = ₹ $9.50$ + ₹ $2.50$

कुल खर्च किया गया धन $\quad$ = ₹ $12.00$

उदाहरण 3 : सैमसन ने $5 km ~52 m$ बस से, $2 km ~265 m$ कार से और शेष $1 km ~30 m$ पैदल चलकर यात्रा की। उसने कुल कितनी दूरी तय की?

हल: बस द्वारा तय की गई दूरी $=5 km ~52 m=5.052 km$

कार द्वारा तय की गई दूरी $=2 km ~265 m=2.265 km$

पैदल तय की गई दूरी $=1 km ~30 m=1.030 km$

इसलिए, तय की गई कुल दूरी है

$ \begin{array}{r} 5.052 \text { km } \\ 2.265 \text { km } \\ +\quad 1.030 \text { km } \\ \hline 8.347 \text { km } \\ \hline \end{array} $

इसलिए, तय की गई कुल दूरी $=8.347 km$

उदाहरण 4 : राहुल ने $4 kg ~90 g$ सेब, $2 kg ~60 g$ अंगूर और $5 kg ~300 g$ आम खरीदे। उसके द्वारा खरीदे गए सभी फलों का कुल भार ज्ञात कीजिए।

हल:

$ \begin{aligned} & \text{ सेबों का भार }=4 kg ~90 g=4.090 kg \\ & \text{ अंगूरों का भार }=2 kg ~60 g=2.060 kg \\ & \text{ आमों का भार }=5 kg ~300 g=5.300 kg \end{aligned} $

इसलिए, खरीदे गए फलों का कुल भार है

$ \begin{array}{r} 4.090 \text { kg } \\ 2.060 \text { kg } \\ +\quad 5.300 \text { kg } \\ \hline 11.450 \text { kg } \\ \hline \end{array} $

खरीदे गए फलों का कुल भार $=11.450 kg$।

प्रश्नावली 8.3

1. निम्नलिखित में से प्रत्येक का योग ज्ञात कीजिए :

(a) $0.007+8.5+30.08$

(b) $15+0.632+13.8$

(c) $27.076+0.55+0.004$

(d) $25.65+9.005+3.7$

(e) $0.75+10.425+2$

(f) $280.69+25.2+38$

2. रशीद ने गणित की किताब के लिए ₹ 35.75 और विज्ञान की किताब के लिए ₹ 32.60 खर्च किए। रशीद द्वारा खर्च की गई कुल राशि ज्ञात कीजिए।

3. राधिका की माँ ने उसे $₹ 10.50$ दिए और उसके पिता ने उसे $₹ 15.80$ दिए, माता-पिता द्वारा राधिका को दी गई कुल राशि ज्ञात कीजिए।

4. नसरीन ने अपनी कमीज़ के लिए $3 m ~20 cm$ कपड़ा और अपनी पतलून के लिए $2 m ~5 cm$ कपड़ा खरीदा। उसके द्वारा खरीदे गए कपड़े की कुल लंबाई ज्ञात कीजिए।

5. नरेश सुबह $2 km ~35 m$ और शाम को $1 km ~7 m$ चला। उसने कुल कितनी दूरी तय की?

6. सुनीता अपने स्कूल पहुँचने के लिए $15 km ~268 m$ बस से, $7 km ~7 m$ कार से और $500 m$ पैदल चलकर यात्रा करती है। उसका स्कूल उसके निवास से कितनी दूर है?

7. रवि ने $5 kg ~400 g$ चावल, $2 kg 20 g$ चीनी और $10 kg ~850 g$ आटा खरीदा। उसकी खरीदारी का कुल भार ज्ञात कीजिए।

8.5 दशमलवों का घटाव

यह कीजिए

2.58 में से 1.32 घटाइए।

इसे तालिका द्वारा दर्शाया जा सकता है।

इस प्रकार, $2.58-1.32=1.26$

इसलिए, हम कह सकते हैं कि, दशमलवों का घटाव सौवें भाग को सौवें भाग से, दसवें भाग को दसवें भाग से, इकाई को इकाई से और इसी तरह घटाकर किया जा सकता है, जैसा कि हमने जोड़ में किया था।

कभी-कभी दशमलवों को घटाते समय, हमें पुनः समूहीकरण की आवश्यकता हो सकती है जैसा कि हमने जोड़ में किया था।

आइए 3.5 में से 1.74 घटाएँ।

सौवें स्थान पर घटाइए।

घटा नहीं सकते! इसलिए पुनः समूहीकरण कीजिए

$\begin{array}{r} 3. & 5 & 0 \\ -1. & 7 & 4 \\ \hline 1. & 7 & 6 \\ \hline \end{array}$

इस प्रकार, $3.5-1.74=1.76$

ये कीजिए

1. 5.46 में से 1.85 घटाइए;

2. 8.28 में से 5.25 घटाइए;

3. 2.29 में से 0.95 घटाइए;

4. 5.68 में से 2.25 घटाइए।

उदाहरण 5 : अभिषेक के पास ₹ 7.45 थे। उसने ₹ 5.30 के टॉफियाँ खरीदीं। अभिषेक के पास शेष राशि ज्ञात कीजिए।

हल : धन की कुल राशि $\quad$ = ₹ $7.45$

टॉफियों पर खर्च की गई राशि = ₹ $5.30$

धन की शेष राशि = ₹ $7.45$ - ₹ $5.30$ = ₹ $2.15$

उदाहरण 6 : उर्मिला का स्कूल उसके घर से $5 km 350 m$ की दूरी पर है। वह $1 km 70 m$ पैदल चलती है और शेष बस से यात्रा करती है। वह बस से कितनी दूरी तय करती है?

हल : घर से स्कूल की कुल दूरी $=5.350 km$

पैदल तय की गई दूरी $=1.070 km$

इसलिए, बस द्वारा तय की गई दूरी $\quad=5.350 km-1.070 km$ $=4.280 km$

इस प्रकार, बस द्वारा तय की गई दूरी $=4.280 km$ या $4 km ~280 m$

उदाहरण 7 : कंचन ने $5 kg 200 g$ भार वाला एक तरबूज़ खरीदा। इसमें से उसने $2 kg 750 g$ अपने पड़ोसी को दिया। कंचन के पास बचे तरबूज़ का भार क्या है?

हल : तरबूज़ का कुल भार $\quad=5.200 kg$

पड़ोसी को दिया गया तरबूज़ $=2.750 kg$

इसलिए, शेष तरबूज़ का भार

$ =5.200 kg-2.750 kg=2.450 kg $

प्रश्नावली 8.4

1. घटाइए:

(a) ₹ $18.25$ में से ₹ $20.75$
(b) $202.54 m$ में से $250 m$
(c) ₹ $5.36$ में से ₹ $8.40$
(d) $2.051 km$ में से $5.206 km$
(e) $0.314 kg$ में से $2.107 kg$

2. मान ज्ञात कीजिए :

(a) $9.756-6.28$
(b) $21.05-15.27$
(c) $18.5-6.79$
(d) $11.6 - 9.847$

3. राजू ने ₹ 35.65 में एक किताब खरीदी। उसने दुकानदार को ₹ 50 दिए। उसे दुकानदार से कितना पैसा वापस मिला?

4. रानी के पास ₹ 18.50 थे। उसने ₹ 11.75 का एक आइसक्रीम खरीदा। अब उसके पास कितना पैसा है?

5. टीना के पास $20 m ~5 cm$ लंबा कपड़ा था। वह इससे $4 m ~50 cm$ लंबाई का कपड़ा एक पर्दा बनाने के लिए काटती है। उसके पास कितना कपड़ा बचा है?

6. नमिता प्रतिदिन $20 km 50$ मीटर यात्रा करती है। इसमें से वह $10 km 200 m$ बस से यात्रा करती है और शेष ऑटो से। वह ऑटो से कितनी दूरी तय करती है?

7. आकाश ने $10 kg$ भार वाली सब्जियाँ खरीदीं। इसमें से, $3 kg 500 g$ प्याज है, $2 kg 75 g$ टमाटर है और शेष आलू हैं। आलू का भार क्या है?

हमने क्या चर्चा की?

1. प्रत्येक दशमलव को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

2. किन्हीं दो दशमलव संख्याओं की आपस में तुलना की जा सकती है। तुलना पूर्ण भाग से शुरू की जा सकती है। यदि पूर्ण भाग बराबर हैं तो दसवें भाग की तुलना की जा सकती है और इसी तरह आगे।

3. दशमलव का उपयोग हमारे जीवन में कई तरह से किया जाता है। उदाहरण के लिए, धन, लंबाई और भार की इकाइयों को दर्शाने में।