৮.১ ভূমিকা

সবিতা এবং শামা বাজারে কিছু স্টেশনারি জিনিস কিনতে যাচ্ছিল। সবিতা বলল, “আমার কাছে ৫ টাকা এবং ৭৫ পয়সা আছে”। শামা বলল, “আমার কাছে ৭ টাকা এবং ৫০ পয়সা আছে”।

তারা দশমিক ব্যবহার করে টাকা ও পয়সা লেখা জানত।

তাই সবিতা বলল, আমার কাছে ₹ ৫.৭৫ আছে এবং শামা বলল, “আমার কাছে ₹ $7.50 “$ আছে”।

তারা কি সঠিকভাবে লিখেছে?

আমরা জানি যে বিন্দুটি একটি দশমিক বিন্দুকে নির্দেশ করে। এই অধ্যায়ে, আমরা দশমিক নিয়ে কাজ করার বিষয়ে আরও শিখব।

৮.২ দশমিকের তুলনা

তুমি কি বলতে পার, কোনটি বড়, ০.০৭ নাকি ০.১?

একই আকারের দুটি বর্গাকার কাগজের টুকরো নাও। তাদের প্রতিটিকে ১০০টি সমান ভাগে ভাগ কর। ০.০৭-এর জন্য আমাদের ১০০টির মধ্যে ৭টি অংশ ছায়া দিতে হবে।

এখন, $0.1=\frac{1}{10}=\frac{10}{100}$, সুতরাং, ০.১-এর জন্য, ১০০টির মধ্যে ১০টি অংশ ছায়া দাও।

এর মানে $0.1>0.07$

আসুন এখন ৩২.৫৫ এবং ৩২.৫ সংখ্যা দুটির তুলনা করি। এই ক্ষেত্রে, আমরা প্রথমে পূর্ণ অংশের তুলনা করি। আমরা দেখি যে উভয় সংখ্যার পূর্ণ অংশ ৩২ এবং তাই সমান।

যাইহোক, আমরা জানি যে দুটি সংখ্যা সমান নয়। সুতরাং, আমরা এখন দশমাংশের তুলনা করি। আমরা দেখি যে ৩২.৫৫ এবং ৩২.৫-এর জন্য, দশমাংশও সমান, তারপর আমরা শতাংশের তুলনা করি।

আমরা পাই,

$32.55=32+\frac{5}{10}+\frac{5}{100}$ এবং $32.5=32+\frac{5}{10}+\frac{0}{100}$, অতএব, $32.55>32.5$ কারণ ৩২.৫৫-এর শতাংশ বেশি।

উদাহরণ ১ : কোনটি বড়?

(ক) ১ নাকি ০.৯৯

(খ) ১.০৯ নাকি ১.০৯৩

সমাধান : (ক) $1=1+\frac{0}{10}+\frac{0}{100} ; \quad 0.99=0+\frac{9}{10}+\frac{9}{100}$

১-এর পূর্ণ অংশ ০.৯৯-এর পূর্ণ অংশের চেয়ে বড়।

অতএব, $1>0.99$

(খ) $1.09=1+\frac{0}{10}+\frac{9}{100}+\frac{0}{1000} ; 1.093=1+\frac{0}{10}+\frac{9}{100}+\frac{3}{1000}$

এই ক্ষেত্রে, দুটি সংখ্যার শতাংশ পর্যন্ত অংশ সমান।

কিন্তু ১.০৯৩-এর হাজারতম অংশ ১.০৯-এর হাজারতম অংশের চেয়ে বড়।

অতএব, $1.093>1.09$।

অনুশীলনী ৮.১

১. কোনটি বড়?

(ক) ০.৩ নাকি ০.৪
(খ) ০.০৭ নাকি ০.০২
(গ) ৩ নাকি ০.৮
(ঘ) ০.৫ নাকি ০.০৫
(ঙ) ১.২৩ নাকি ১.২
(চ) ০.০৯৯ নাকি ০.১৯
(ছ) ১.৫ নাকি ১.৫০
(জ) ১.৪৩১ নাকি ১.৪৯০
(ঝ) ৩.৩ নাকি ৩.৩০০
(ঞ) ৫.৬৪ নাকি ৫.৬০৩

২. আরও পাঁচটি উদাহরণ তৈরি কর এবং সেগুলোর থেকে বড় সংখ্যাটি খুঁজে বের কর।

৮.৩ দশমিকের ব্যবহার

৮.৩.১ টাকা

আমরা জানি যে ১০০ পয়সা = ₹$ 1$

অতএব, $\quad 1$ পয়সা = ₹ $\frac{1}{100}$ = ₹ $0.01$

সুতরাং, ৬৫ পয়সা = ₹ $\frac{65}{100}$ = ₹ $0.65$

$\text{ and } 5 \text{ paise }$ = ₹ $\frac{5}{100}$ = ₹ $0.05$

১০৫ পয়সা কত? এটি ₹ ১ এবং ৫ পয়সা = ₹ $1.05$

এগুলো চেষ্টা কর

(i) ২ টাকা ৫ পয়সা এবং ২ টাকা ৫০ পয়সা দশমিকে লেখ।

(ii) ২০ টাকা ৭ পয়সা এবং ২১ টাকা ৭৫ পয়সা দশমিকে লেখ?

৮.৩.২ দৈর্ঘ্য

মহেশ তার টেবিলটপের দৈর্ঘ্য মিটারে মাপতে চাইল। তার কাছে একটি $50 cm$ স্কেল ছিল। সে দেখল যে টেবিলটপের দৈর্ঘ্য $156 cm$। মিটারে এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

মহেশ জানত যে

$1 cm=\frac{1}{100} m$ বা $0.01 m$

অতএব, $56 cm=\frac{56}{100} m=0.56 m$

সুতরাং, টেবিলটপের দৈর্ঘ্য $156 cm=100 cm+56 cm$

$ =1 m+\frac{56}{100} m=1.56 m . $

মহেশ এই দৈর্ঘ্য চিত্রের মাধ্যমে দেখাতেও চায়। সে সমান আকারের স্কোয়ার কাগজ নিল এবং তাদের ১০০টি সমান ভাগে ভাগ করল। সে প্রতিটি ছোট বর্গকে এক $cm$ ধরে নিল।

এগুলো চেষ্টা কর

১. তুমি কি $4 mm$ কে ‘$cm$’ ব্যবহার করে দশমিকে লিখতে পার?

২. তুমি কীভাবে $7 cm 5 mm$ কে ‘$cm$’ ব্যবহার করে দশমিকে লিখবে?

৩. তুমি কি এখন $52 m$ কে ‘$km$’ ব্যবহার করে দশমিকে লিখতে পার? তুমি কীভাবে $340 m$ কে ‘$km$’ ব্যবহার করে দশমিকে লিখবে? তুমি কীভাবে $2008 m$ কে ‘$k m$’ এ লিখবে?

৮.৩.৩ ওজন

নন্দু $500 g$ আলু, $250 g$ ক্যাপসিকাম, $700 g$ পেঁয়াজ, $500 g$ টমেটো, $100 g$ আদা এবং $300 g$ মূলা কিনল। ব্যাগে সবজির মোট ওজন কত? আসুন ব্যাগে সব সবজির ওজন যোগ করি।

$500 g+250 g+700 g+500 g+100 g+300 g$ $=2350 g$

এগুলো চেষ্টা কর

১. তুমি কি এখন $456 g$ কে ‘$kg$’ ব্যবহার করে দশমিকে লিখতে পার?

২. তুমি কীভাবে $2 kg ~9 g$ কে ‘$kg$’ ব্যবহার করে দশমিকে লিখবে?

আমরা জানি যে $1000 g=1 kg$

অতএব, $1 g=\frac{1}{1000} kg=0.001 kg$

$ \begin{aligned} \text{ সুতরাং, } 2350 g & =2000 g+350 g \\ & =\frac{2000}{1000} kg+\frac{350}{1000} kg \\ & =2 kg+0.350 kg=2.350 kg \\ \text{ অর্থাৎ } 2350 g & =2 kg 350 g=2.350 kg \end{aligned} $

সুতরাং, নন্দুর ব্যাগে সবজির ওজন $2.350 kg$।

অনুশীলনী ৮.২

১. দশমিক ব্যবহার করে টাকায় প্রকাশ কর।

(ক) ৫ পয়সা
(খ) ৭৫ পয়সা
(গ) ২০ পয়সা
(ঘ) ৫০ টাকা ৯০ পয়সা
(ঙ) ৭২৫ পয়সা

২. দশমিক ব্যবহার করে মিটারে প্রকাশ কর।

(ক) $15 cm$
(খ) $6 cm$
(গ) $2 m ~45 cm$
(ঘ) $9 m ~7 cm$
(ঙ) $419 cm$

৩. দশমিক ব্যবহার করে সেমিতে প্রকাশ কর।

(ক) $5 mm$
(খ) $60 mm$
(গ) $164 mm$
(ঘ) $9 cm ~8 mm$
(ঙ) $93 mm$

৪. দশমিক ব্যবহার করে কিমিতে প্রকাশ কর।

(ক) $8 m$
(খ) $88 m$
(গ) $8888 m$
(ঘ) $70 km ~5 m$

৫. দশমিক ব্যবহার করে কেজিতে প্রকাশ কর।

(ক) $2 g$
(খ) $100 g$
(গ) $3750 g$
(ঘ) $5 kg 8 g$
(ঙ) $26 kg 50 g$

৮.৪ দশমিক সহ সংখ্যার যোগ

এটি কর

০.৩৫ এবং ০.৪২ যোগ কর।

একটি বর্গ নাও এবং তাকে ১০০টি সমান ভাগে ভাগ কর।

৩টি দশমাংশ এবং ৫টি শতাংশ ছায়া দিয়ে এই বর্গে ০.৩৫ চিহ্নিত কর।

৪টি দশমাংশ এবং ২টি শতাংশ ছায়া দিয়ে এই বর্গে ০.৪২ চিহ্নিত কর।

এখন বর্গে মোট দশমাংশের সংখ্যা এবং মোট শতাংশের সংখ্যা গণনা কর।

অতএব, $0.35+0.42=0.77$

সুতরাং, আমরা দশমিক সংখ্যাগুলোকে পূর্ণ সংখ্যার মতো একইভাবে যোগ করতে পারি।

এগুলো চেষ্টা কর

খুঁজে বের কর:

(i) $0.29+0.36$

(ii) $0.7+0.08$

(iii) $1.54+1.80$

(iv) $2.66+1.85$

তুমি কি এখন ০.৬৮ এবং ০.৫৪ যোগ করতে পার?

উদাহরণ ২ : লতা একটি কলম কেনার জন্য ₹ ৯.৫০ এবং একটি পেন্সিলের জন্য ₹ ২.৫০ খরচ করল। সে মোট কত টাকা খরচ করল?

সমাধান :

কলমের জন্য খরচ করা টাকা = ₹ $9.50$

পেন্সিলের জন্য খরচ করা টাকা = ₹ $2.50$

মোট খরচ করা টাকা $\quad$ = ₹ $9.50$ + ₹ $2.50$

মোট খরচ করা টাকা $\quad$ = ₹ $12.00$

উদাহরণ ৩ : স্যামসন বাসে $5 km ~52 m$, গাড়িতে $2 km ~265 m$ এবং বাকি পথ $1 km ~30 m$ হেঁটে অতিক্রম করল। সে মোট কত দূরত্ব অতিক্রম করল?

সমাধান: বাসে অতিক্রান্ত দূরত্ব $=5 km ~52 m=5.052 km$

গাড়িতে অতিক্রান্ত দূরত্ব $=2 km ~265 m=2.265 km$

পায়ে হেঁটে অতিক্রান্ত দূরত্ব $=1 km ~30 m=1.030 km$

সুতরাং, মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব হল

$ \begin{array}{r} 5.052 \text { km } \\ 2.265 \text { km } \\ +\quad 1.030 \text { km } \\ \hline 8.347 \text { km } \\ \hline \end{array} $

অতএব, মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব $=8.347 km$

উদাহরণ ৪ : রাহুল $4 kg ~90 g$ আপেল, $2 kg ~60 g$ আঙুর এবং $5 kg ~300 g$ আম কিনল। সে যে সমস্ত ফল কিনল তার মোট ওজন নির্ণয় কর।

সমাধান:

$ \begin{aligned} & \text{ আপেলের ওজন }=4 kg ~90 g=4.090 kg \\ & \text{ আঙুরের ওজন }=2 kg ~60 g=2.060 kg \\ & \text{ আমের ওজন }=5 kg ~300 g=5.300 kg \end{aligned} $

সুতরাং, কেনা ফলের মোট ওজন হল

$ \begin{array}{r} 4.090 \text { kg } \\ 2.060 \text { kg } \\ +\quad 5.300 \text { kg } \\ \hline 11.450 \text { kg } \\ \hline \end{array} $

কেনা ফলের মোট ওজন $=11.450 kg$।

অনুশীলনী ৮.৩

১. নিচের প্রতিটিতে যোগফল নির্ণয় কর:

(ক) $0.007+8.5+30.08$

(খ) $15+0.632+13.8$

(গ) $27.076+0.55+0.004$

(ঘ) $25.65+9.005+3.7$

(ঙ) $0.75+10.425+2$

(চ) $280.69+25.2+38$

২. রশিদ গণিত বইয়ের জন্য ₹ ৩৫.৭৫ এবং বিজ্ঞান বইয়ের জন্য ₹ ৩২.৬০ খরচ করল। রশিদের দ্বারা খরচ করা মোট অর্থের পরিমাণ নির্ণয় কর।

৩. রাধিকার মা তাকে $₹ 10.50$ দিলেন এবং তার বাবা তাকে $₹ 15.80$ দিলেন, বাবা-মায়ের দ্বারা রাধিকাকে দেওয়া মোট অর্থের পরিমাণ নির্ণয় কর।

৪. নাসরিন তার শার্টের জন্য $3 m ~20 cm$ কাপড় এবং তার ট্রাউজারের জন্য $2 m ~5 cm$ কাপড় কিনল। তার দ্বারা কেনা কাপড়ের মোট দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

৫. নরেশ সকালে $2 km ~35 m$ এবং সন্ধ্যায় $1 km ~7 m$ হাঁটল। সে মোট কত দূরত্ব হাঁটল?

৬. সুনিতা তার স্কুলে পৌঁছানোর জন্য বাসে $15 km ~268 m$, গাড়িতে $7 km ~7 m$ এবং পায়ে হেঁটে $500 m$ অতিক্রম করল। তার বাসা থেকে স্কুল কত দূরে?

৭. রবি $5 kg ~400 g$ চাল, $2 kg 20 g$ চিনি এবং $10 kg ~850 g$ ময়দা কিনল। তার কেনা জিনিসের মোট ওজন নির্ণয় কর।

৮.৫ দশমিকের বিয়োগ

এটি কর

২.৫৮ থেকে ১.৩২ বিয়োগ কর

এটি টেবিলের মাধ্যমে দেখানো যেতে পারে।

সুতরাং, $2.58-1.32=1.26$

অতএব, আমরা বলতে পারি যে, দশমিকের বিয়োগ শতাংশ থেকে শতাংশ, দশমাংশ থেকে দশমাংশ, একক থেকে একক ইত্যাদি বিয়োগ করে করা যেতে পারে, ঠিক যেমন আমরা যোগে করেছি।

কখনও কখনও দশমিক বিয়োগ করার সময়, আমাদের যোগের মতো রিগ্রুপ করার প্রয়োজন হতে পারে।

আসুন ৩.৫ থেকে ১.৭৪ বিয়োগ করি।

শতাংশ স্থানে বিয়োগ কর।

বিয়োগ করা যাচ্ছে না! তাই রিগ্রুপ কর

$\begin{array}{r} 3. & 5 & 0 \\ -1. & 7 & 4 \\ \hline 1. & 7 & 6 \\ \hline \end{array}$

সুতরাং, $3.5-1.74=1.76$

এগুলো চেষ্টা কর

১. ৫.৪৬ থেকে ১.৮৫ বিয়োগ কর;

২. ৮.২৮ থেকে ৫.২৫ বিয়োগ কর;

৩. ২.২৯ থেকে ০.৯৫ বিয়োগ কর;

৪. ৫.৬৮ থেকে ২.২৫ বিয়োগ কর।

উদাহরণ ৫ : অভিষেকের কাছে ₹ ৭.৪৫ ছিল। সে টফির জন্য ₹ ৫.৩০ খরচ করল। অভিষেকের কাছে অবশিষ্ট অর্থের পরিমাণ নির্ণয় কর।

সমাধান : মোট টাকার পরিমাণ $\quad$ = ₹ $7.45$

টফিতে খরচ করা অর্থ = ₹ $5.30$

অবশিষ্ট টাকার পরিমাণ = ₹ $7.45$ - ₹ $5.30$ = ₹ $2.15$

উদাহরণ ৬ : উর্মিলার স্কুল তার বাড়ি থেকে $5 km 350 m$ দূরে। সে $1 km 70 m$ পায়ে হেঁটে এবং বাকি পথ বাসে অতিক্রম করে। সে বাসে কত দূরত্ব অতিক্রম করে?

সমাধান : বাড়ি থেকে স্কুলের মোট দূরত্ব $=5.350 km$

পায়ে হেঁটে অতিক্রান্ত দূরত্ব $=1.070 km$

অতএব, বাসে অতিক্রান্ত দূরত্ব $\quad=5.350 km-1.070 km$ $=4.280 km$

সুতরাং, বাসে অতিক্রান্ত দূরত্ব $=4.280 km$ বা $4 km ~280 m$

উদাহরণ ৭ : কাঞ্চন $5 kg 200 g$ ওজনের একটি তরমুজ কিনল। এর মধ্যে থেকে সে $2 kg 750 g$ প্রতিবেশীকে দিল। কাঞ্চনের কাছে থাকা তরমুজের ওজন কত?

সমাধান : তরমুজের মোট ওজন $\quad=5.200 kg$

প্রতিবেশীকে দেওয়া তরমুজ $=2.750 kg$

অতএব, অবশিষ্ট তরমুজের ওজন

$ =5.200 kg-2.750 kg=2.450 kg $

অনুশীলনী ৮.৪

১. বিয়োগ কর:

(ক) ₹ $18.25$ থেকে ₹ $20.75$
(খ) $202.54 m$ থেকে $250 m$
(গ) ₹ $5.36$ থেকে ₹ $8.40$
(ঘ) $2.051 km$ থেকে $5.206 km$
(ঙ) $0.314 kg$ থেকে $2.107 kg$

২. মান নির্ণয় কর:

(ক) $9.756-6.28$
(খ) $21.05-15.27$
(গ) $18.5-6.79$
(ঘ) $11.6 - 9.847$

৩. রাজু ₹ ৩৫.৬৫-এ একটি বই কিনল। সে দোকানদারকে ₹ ৫০ দিল। দোকানদারের কাছ থেকে সে কত টাকা ফেরত পেল?

৪. রানির কাছে ₹ ১৮.৫০ ছিল। সে ₹ ১১.৭৫-এ একটি আইসক্রিম কিনল। এখন তার কাছে কত টাকা আছে?

৫. টিনার কাছে $20 m ~5 cm$ লম্বা কাপড় ছিল। সে এটি থেকে $4 m ~50 cm$ দৈর্ঘ্যের কাপড় একটি পর্দা বানানোর জন্য কেটে নিল। তার কাছে কত কাপড় বাকি আছে?

৬. নামিতা প্রতিদিন $20 km 50$ মি. অতিক্রম করে। এর মধ্যে সে $10 km 200 m$ বাসে এবং বাকি পথ অটোতে অতিক্রম করে। সে অটোতে কত দূরত্ব অতিক্রম করে?

৭. আকাশ $10 kg$ ওজনের সবজি কিনল। এর মধ্যে, $3 kg 500 g$ পেঁয়াজ, $2 kg 75 g$ টমেটো এবং বাকি অংশ আলু। আলুর ওজন কত?

আমরা কী আলোচনা করেছি?

১. প্রতিটি দশমিককে একটি ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা যায়।

২. যেকোনো দুটি দশমিক সংখ্যার মধ্যে তুলনা করা যায়। তুলনা পূর্ণ অংশ দিয়ে শুরু করা যায়। যদি পূর্ণ অংশ সমান হয় তবে দশমাংশের তুলনা করা যায় এবং এভাবে চলতে থাকে।

৩. দশমিক আমাদের জীবনে অনেকভাবে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, টাকা, দৈর্ঘ্য এবং ওজনের একক প্রকাশে।