احتمالات کا نظریہ اور غلطیوں کا نظریہ اب ریاضیاتی دلچسپی اور عملی اہمیت کا ایک زبردست مجموعہ تشکیل دیتے ہیں۔

آر ایس ووڈورڈ

14.1 احتمال - ایک نظریاتی نقطہ نظر

آئیے مندرجہ ذیل صورت حال پر غور کریں:

فرض کریں کہ ایک سکہ بے ترتیبی سے اچھالا جاتا ہے۔

جب ہم سکے کا ذکر کرتے ہیں، تو ہم فرض کرتے ہیں کہ وہ ‘منصفانہ’ ہے، یعنی یہ متناسب ہے تاکہ اس کے ایک طرف دوسری طرف سے زیادہ بار گرنے کی کوئی وجہ نہیں ہے۔ ہم سکے کی اس خاصیت کو ‘غیر جانبدار’ کہتے ہیں۔ ‘بے ترتیب اچھال’ کے فقرے سے ہمارا مطلب ہے کہ سکے کو بغیر کسی جانب داری یا مداخلت کے آزادانہ گرنے دیا جاتا ہے۔

ہم پہلے سے جانتے ہیں کہ سکہ صرف دو ممکنہ طریقوں میں سے کسی ایک پر گر سکتا ہے یا تو چیتھڑا اوپر یا پٹھا اوپر (ہم اس کے کنارے پر ‘گرنے’ کی امکان کو نظر انداز کرتے ہیں، جو ممکن ہو سکتا ہے، مثال کے طور پر، اگر یہ ریت پر گرے)۔ ہم معقول طور پر فرض کر سکتے ہیں کہ ہر نتیجہ، چیتھڑا یا پٹھا، دوسرے کے برابر واقع ہونے کا امکان رکھتا ہے۔ ہم اس کا حوالہ دیتے ہوئے کہتے ہیں کہ نتائج چیتھڑا اور پٹھا، یکساں طور پر ممکن ہیں۔

یکساں طور پر ممکن نتائج کی ایک اور مثال کے لیے، فرض کریں کہ ہم ایک بار پانسہ پھینکتے ہیں۔ ہمارے لیے، پانسہ ہمیشہ ایک منصفانہ پانسہ ہوگا۔ ممکنہ نتائج کیا ہیں؟ وہ 1، 2، 3، 4، 5، 6 ہیں۔ ہر نمبر کے ظاہر ہونے کا ایک ہی امکان ہے۔ لہذا پانسہ پھینکنے کے یکساں طور پر ممکن نتائج 1،2،3،4،5 اور 6 ہیں۔

کیا ہر تجربے کے نتائج یکساں طور پر ممکن ہیں؟ آئیے دیکھتے ہیں۔

فرض کریں کہ ایک تھیلے میں 4 سرخ گیندیں اور 1 نیلی گیند ہے، اور آپ تھیلے میں دیکھے بغیر ایک گیند نکالتے ہیں۔ نتائج کیا ہیں؟ کیا نتائج - ایک سرخ گیند اور ایک نیلی گیند یکساں طور پر ممکن ہیں؟ چونکہ 4 سرخ گیندیں ہیں اور صرف ایک نیلی گیند ہے، آپ اس بات سے اتفاق کریں گے کہ آپ کو نیلی گیند کے مقابلے میں سرخ گیند حاصل کرنے کا زیادہ امکان ہے۔ لہذا، نتائج (سرخ گیند یا نیلی گیند) یکساں طور پر ممکن نہیں ہیں۔ تاہم، تھیلے سے کسی بھی رنگ کی گیند نکالنے کا نتیجہ یکساں طور پر ممکن ہے۔ لہذا، تمام تجربات میں لازمی طور پر یکساں طور پر ممکن نتائج نہیں ہوتے۔

تاہم، اس باب میں، اب سے، ہم فرض کریں گے کہ تمام تجربات کے یکساں طور پر ممکن نتائج ہیں۔

کلاس نہم میں، ہم نے کسی واقعہ $\mathrm{E}$ کے تجرباتی یا عملی احتمال $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ کی تعریف کی تھی

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\dfrac{\text { Number of trials in which the event happened }}{\text { Total number of trials }} $$

احتمال کی عملی تشریک ہر اس واقعے پر لاگو کی جا سکتی ہے جو کسی ایسے تجربے سے وابستہ ہو جسے بڑی تعداد میں دہرایا جا سکے۔ تجربہ دہرانے کی ضرورت کی کچھ حدود ہیں، کیونکہ یہ بہت مہنگا یا بہت سے حالات میں ناقابل عمل ہو سکتا ہے۔ یقیناً، یہ سکہ اچھالنے یا پانسہ پھینکنے کے تجربات میں اچھی طرح کام کرتا تھا۔ لیکن اس کے لانچنگ کے دوران ناکامی کے عملی احتمال کا حساب لگانے کے لیے سیٹلائٹ لانچ کرنے کے تجربے کو دہرانے، یا کسی عمارت کے زلزلے میں تباہ ہونے کے عملی احتمال کا حساب لگانے کے لیے زلزلے کے واقعے کو دہرانے کا کیا ہوگا؟

ایسے تجربات میں جہاں ہم کچھ مفروضے بنانے کے لیے تیار ہیں، تجربے کی تکرار سے بچا جا سکتا ہے، کیونکہ مفروضے براہ راست صحیح (نظریاتی) احتمال کے حساب میں مدد کرتے ہیں۔ یکساں طور پر ممکن نتائج کا مفروضہ (جو بہت سے تجربات میں درست ہے، جیسا کہ اوپر دو مثالوں میں، سکے اور پانسے کی) ایک ایسا ہی مفروضہ ہے جو ہمیں کسی واقعے کے احتمال کی درج ذیل تعریف تک لے جاتا ہے۔

کسی واقعہ E کا نظریاتی احتمال (جسے کلاسیکی احتمال بھی کہا جاتا ہے)، جسے $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ لکھا جاتا ہے، کی تعریف اس طرح کی گئی ہے

$$ P(E)=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes of the experiment }} \text {, } $$

جہاں ہم فرض کرتے ہیں کہ تجربے کے نتائج یکساں طور پر ممکن ہیں۔

ہم مختصراً نظریاتی احتمال کو احتمال کہیں گے۔

احتمال کی یہ تعریف پیری سائمن لاپلاس نے 1795 میں دی تھی۔

احتمال کا نظریہ 16ویں صدی میں اس وقت وجود میں آیا جب اطالوی معالج اور ریاضی دان جے کارڈن نے اس موضوع پر پہلی کتاب، دی بک آن گیمز آف چانس لکھی۔ اپنے آغاز کے بعد سے، احتمال کا مطالعہ عظیم ریاضی دانوں کی توجہ کا مرکز رہا ہے۔ جیمز برنولی (1654 - 1705)، اے ڈی موور (1667 - 1754)، اور پیری سائمن لاپلاس ان لوگوں میں شامل ہیں جنہوں نے اس میدان میں اہم شراکتیں کیں۔ لاپلاس کی تھیوری اینالیٹیک ڈیس پروبیبلٹیز، 1812، کو احتمال کے نظریے میں ایک واحد شخص کی طرف سے سب سے بڑی شراکت سمجھا جاتا ہے۔ حالیہ برسوں میں، احتمال کا وسیع استعمال بہت سے شعبوں جیسے حیاتیات، معاشیات، جینیات، طبیعیات، سماجیات وغیرہ میں کیا گیا ہے۔

پیری سائمن لاپلاس (1749 - 1827)

آئیے ان تجربات سے وابستہ کچھ واقعات کا احتمال تلاش کریں جہاں یکساں طور پر ممکن مفروضہ قائم ہے۔

مثال 1 : ایک سکہ ایک بار اچھالنے پر چیتھڑا حاصل کرنے کا احتمال معلوم کریں۔ نیز پٹھا حاصل کرنے کا احتمال بھی معلوم کریں۔

حل : ایک بار سکہ اچھالنے کے تجربے میں، ممکنہ نتائج کی تعداد دو ہے - چیتھڑا (H) اور پٹھا (T)۔ فرض کریں E واقعہ ‘چیتھڑا حاصل کرنا’ ہے۔ E کے لیے موزوں نتائج کی تعداد، (یعنی چیتھڑا حاصل کرنا) 1 ہے۔ لہذا،

$$ P(E)=P(\text { head })=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes }}=\dfrac{1}{2} $$

اسی طرح، اگر $\mathrm{F}$ واقعہ ‘پٹھا حاصل کرنا’ ہے، تو

$$ P(F)=P(\text { tail })=\dfrac{1}{2} \quad \text { (Why ?) } $$

مثال 2 : ایک تھیلے میں ایک سرخ گیند، ایک نیلی گیند اور ایک پیلی گیند ہے، تمام گیندیں ایک ہی سائز کی ہیں۔ کِرتیکا تھیلے میں دیکھے بغیر ایک گیند نکالتی ہے۔ اس کے ذریعے نکالے جانے کا احتمال کیا ہے

(i) پیلی گیند؟

(ii) سرخ گیند؟

(iii) نیلی گیند؟

حل : کِرتیکا تھیلے میں دیکھے بغیر ایک گیند نکالتی ہے۔ لہذا، یہ یکساں طور پر ممکن ہے کہ وہ ان میں سے کوئی ایک نکالے۔

فرض کریں $\mathrm{Y}$ واقعہ ‘نکالی گئی گیند پیلی ہے’ ہے، B واقعہ ‘نکالی گئی گیند نیلی ہے’ ہے، اور $\mathrm{R}$ واقعہ ‘نکالی گئی گیند سرخ ہے’ ہے۔

اب، ممکنہ نتائج کی تعداد $=3$۔

(i) واقعہ $Y=1$ کے لیے موزوں نتائج کی تعداد۔

لہذا، $\quad \mathrm{P}(\mathrm{Y})=\dfrac{1}{3}$

اسی طرح، $$ \text { (ii) } \mathrm{P}(\mathrm{R})=\dfrac{1}{3} \text { and (iii) } \mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{1}{3} \text {. } $$

تبصرے :

1. ایک ایسا واقعہ جس میں تجربے کا صرف ایک نتیجہ ہو، اسے ابتدائی واقعہ کہتے ہیں۔ مثال 1 میں، دونوں واقعات $\mathrm{E}$ اور $\mathrm{F}$ ابتدائی واقعات ہیں۔ اسی طرح، مثال 2 میں، تمام تین واقعات، Y، B اور R ابتدائی واقعات ہیں۔

2. مثال 1 میں، ہم نوٹ کرتے ہیں: $P(E)+P(F)=1$

مثال 2 میں، ہم نوٹ کرتے ہیں: $\mathrm{P}(\mathrm{Y})+\mathrm{P}(\mathrm{R})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=1$

غور کریں کہ کسی تجربے کے تمام ابتدائی واقعات کے احتمالات کا مجموعہ 1 ہے۔ یہ عام طور پر بھی سچ ہے۔

مثال 3 : فرض کریں ہم ایک بار پانسہ پھینکتے ہیں۔ (i) 4 سے بڑا نمبر حاصل کرنے کا احتمال کیا ہے؟ (ii) 4 سے کم یا برابر نمبر حاصل کرنے کا احتمال کیا ہے؟

حل : (i) یہاں، فرض کریں $\mathrm{E}$ واقعہ ‘4 سے بڑا نمبر حاصل کرنا’ ہے۔ ممکنہ نتائج کی تعداد چھ ہے: 1، 2، 3، 4، 5 اور 6، اور $\mathrm{E}$ کے لیے موزوں نتائج 5 اور 6 ہیں۔ لہذا، $\mathrm{E}$ کے لیے موزوں نتائج کی تعداد 2 ہے۔ لہذا،

$$ P(E)=P(\text { number greater than } 4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} $$

(ii) فرض کریں $\mathrm{F}$ واقعہ ‘4 سے کم یا برابر نمبر حاصل کرنا’ ہے۔

ممکنہ نتائج کی تعداد $=6$

واقعہ $\mathrm{F}$ کے لیے موزوں نتائج 1، 2، 3، 4 ہیں۔

لہذا، $\mathrm{F}$ کے لیے موزوں نتائج کی تعداد 4 ہے۔

لہذا، $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} $$

کیا اوپر کی مثال میں واقعات $\mathrm{E}$ اور $\mathrm{F}$ ابتدائی واقعات ہیں؟ نہیں، وہ نہیں ہیں کیونکہ واقعہ $\mathrm{E}$ کے 2 نتائج ہیں اور واقعہ $\mathrm{F}$ کے 4 نتائج ہیں۔

تبصرے : مثال 1 سے، ہم نوٹ کرتے ہیں

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1 \tag{1} $$

جہاں $\mathrm{E}$ واقعہ ‘چیتھڑا حاصل کرنا’ ہے اور $\mathrm{F}$ واقعہ ‘پٹھا حاصل کرنا’ ہے۔

مثال 3 کے (i) اور (ii) سے، ہمیں یہ بھی ملتا ہے

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1 \tag{2} $$

جہاں $\mathrm{E}$ واقعہ ‘ایک نمبر $>4$ حاصل کرنا’ ہے اور $\mathrm{F}$ واقعہ ‘ایک نمبر $\leq 4$ حاصل کرنا’ ہے۔

نوٹ کریں کہ 4 سے زیادہ نہ ہونے والا نمبر حاصل کرنا، 4 سے کم یا برابر نمبر حاصل کرنے کے مترادف ہے، اور اس کے برعکس۔

اوپر (1) اور (2) میں، کیا F ‘E نہیں’ کے مترادف نہیں ہے؟ ہاں، یہ ہے۔ ہم واقعہ ‘E نہیں’ کو $\overline{\mathrm{E}}$ سے ظاہر کرتے ہیں۔

لہذا، $$ P(E)+P(\text { not } E)=1 $$

یعنی، $ P(E)+P(\bar{E})=1 \text {, which gives us } P(\bar{E})=1-P(E) \text {. } $

عام طور پر، یہ سچ ہے کہ کسی واقعہ $\mathrm{E}$ کے لیے،

$$ \mathbf{P}(\overline{\mathbf{E}})=1-\mathbf{P}(\mathbf{E}) $$

واقعہ $\overline{\mathrm{E}}$، جو ‘$\mathrm{E}$ نہیں’ کی نمائندگی کرتا ہے، واقعہ $\mathrm{E}$ کا تکملہ کہلاتا ہے۔ ہم یہ بھی کہتے ہیں کہ $\mathrm{E}$ اور $\overline{\mathrm{E}}$ تکمیلی واقعات ہیں۔

آگے بڑھنے سے پہلے، آئیے مندرجہ ذیل سوالات کے جوابات تلاش کرنے کی کوشش کریں:

(i) ایک پانسہ کے ایک پھینک میں 8 نمبر حاصل کرنے کا احتمال کیا ہے؟

(ii) ایک پانسہ کے ایک پھینک میں 7 سے کم نمبر حاصل کرنے کا احتمال کیا ہے؟

آئیے (i) کا جواب دیں:

ہم جانتے ہیں کہ ایک پانسہ کے ایک پھینک میں صرف چھ ممکنہ نتائج ہیں۔ یہ نتائج 1، 2، 3، 4، 5 اور 6 ہیں۔ چونکہ پانسے کے کسی بھی رخ پر 8 نشان زد نہیں ہے، لہذا 8 کے لیے موزوں کوئی نتیجہ نہیں ہے، یعنی ایسے نتائج کی تعداد صفر ہے۔ دوسرے الفاظ میں، ایک پانسہ کے ایک پھینک میں 8 حاصل کرنا، ناممکن ہے۔

لہذا، $$ P(\text { getting } 8)=\dfrac{0}{6}=0 $$

یعنی، ایسے واقعے کا احتمال جو واقع ہونا ناممکن ہے، 0 ہے۔ ایسے واقعے کو ناممکن واقعہ کہتے ہیں۔

آئیے (ii) کا جواب دیں:

چونکہ پانسے کے ہر رخ پر 7 سے کم نمبر سے نشان زد ہے، یہ یقینی ہے کہ جب اسے ایک بار پھینکا جائے گا تو ہمیں ہمیشہ 7 سے کم نمبر ملے گا۔ لہذا، موزوں نتائج کی تعداد تمام ممکنہ نتائج کی تعداد کے برابر ہے، جو 6 ہے۔

لہذا، $$ P(E)=P(\text { getting a number less than } 7)=\dfrac{6}{6}=1 $$

لہذا، ایسے واقعے کا احتمال جو واقع ہونا یقینی (یا حتمی) ہے، 1 ہے۔ ایسے واقعے کو یقینی واقعہ یا حتمی واقعہ کہتے ہیں۔

نوٹ: احتمال $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ کی تعریف سے، ہم دیکھتے ہیں کہ شمار کنندہ (واقعہ $\mathrm{E}$ کے لیے موزوں نتائج کی تعداد) ہمیشہ مخرج (تمام ممکنہ نتائج کی تعداد) سے کم یا برابر ہوتا ہے۔ لہذا،

$$ 0 \leq \mathrm{P}(\mathrm{E}) \leq 1 $$

اب، آئیے تاش کے پتوں سے متعلق ایک مثال لیں۔ کیا آپ نے تاش کے پتوں کی گڈی دیکھی ہے؟ اس میں 52 پتے ہوتے ہیں جو 4 قسم کے 13 پتوں میں تقسیم ہوتے ہیں: پان ($\spadesuit$)، دِل ($\heartsuit$)، ہیرے ($(\diamondsuit)$) اور چڑیاں ($(\clubsuit)$)۔ چڑیاں اور پان کالے رنگ کے ہوتے ہیں، جبکہ دِل اور ہیرے سرخ رنگ کے ہوتے ہیں۔ ہر قسم کے پتے ایس، بادشاہ، بیگم، غلام، 10، 9، 8، 7، 6، 5، 4، 3 اور 2 ہیں۔ بادشاہ، بیگم اور غلام چہرے والے پتے کہلاتے ہیں۔

مثال 4 : 52 پتوں کی اچھی طرح سے ہلائی گئی گڈی سے ایک پتہ نکالا جاتا ہے۔ احتمال کا حساب لگائیں کہ پتہ

(i) ایک ایس ہوگا،

(ii) ایس نہیں ہوگا۔

حل : اچھی طرح سے ہلانا یکساں طور پر ممکن نتائج کو یقینی بناتا ہے۔

(i) گڈی میں 4 ایس ہوتے ہیں۔ فرض کریں $\mathrm{E}$ واقعہ ‘پتہ ایس ہے’ ہے۔

$\mathrm{E}=4$ کے لیے موزوں نتائج کی تعداد

ممکنہ نتائج کی تعداد $=52$ (کیوں؟)

لہذا، $\quad P(E)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$

(ii) فرض کریں $\mathrm{F}$ واقعہ ‘نکالا گیا پتہ ایس نہیں ہے’ ہے۔

واقعہ $\mathrm{F}=52-4=48$ کے لیے موزوں نتائج کی تعداد (کیوں؟)

ممکنہ نتائج کی تعداد $=52$

لہذا، $$ P(F)=\dfrac{48}{52}=\dfrac{12}{13} $$

تبصرہ: نوٹ کریں کہ $\mathrm{F}$ دراصل $\overline{\mathrm{E}}$ ہی ہے۔ لہذا، ہم $\mathrm{P}(\mathrm{F})$ کا حساب اس طرح بھی لگا سکتے ہیں: $P(F)=P(\bar{E})=1-P(E)=1-\dfrac{1}{13}=\dfrac{12}{13}$۔

مثال 5 : دو کھلاڑی، سنگیتا اور ریشما، ایک ٹینس میچ کھیلتی ہیں۔ یہ معلوم ہے کہ سنگیتا کے میچ جیتنے کا احتمال 0.62 ہے۔ ریشما کے میچ جیتنے کا احتمال کیا ہے؟

حل : فرض کریں S اور R ان واقعات کو ظاہر کرتے ہیں کہ سنگیتا میچ جیتتی ہے اور ریشما میچ جیتی ہے، بالترتیب۔

سنگیتا کے جیتنے کا احتمال $=\mathrm{P}(\mathrm{S})=0.62$ (دی گئی)

ریشما کے جیتنے کا احتمال $=\mathrm{P}(\mathrm{R})=1-\mathrm{P}(\mathrm{S})$

[چونکہ واقعات $\mathrm{R}$ اور $\mathrm{S}$ تکمیلی ہیں]

$$ =1-0.62=0.38 $$

مثال 6 : سویتا اور حمیدہ دوست ہیں۔ احتمال کیا ہے کہ دونوں کی (i) مختلف سالگرہ ہوں گی؟ (ii) ایک ہی سالگرہ ہوگی؟ (لیپ سال کو نظر انداز کرتے ہوئے)۔

حل : دو دوستوں میں سے، ایک لڑکی، فرض کریں، سویتا کی سالگرہ سال کے کسی بھی دن ہو سکتی ہے۔ اب، حمیدہ کی سالگرہ بھی سال کے 365 دنوں میں سے کسی بھی دن ہو سکتی ہے۔

ہم فرض کرتے ہیں کہ یہ 365 نتائج یکساں طور پر ممکن ہیں۔

(i) اگر حمیدہ کی سالگرہ سویتا سے مختلف ہے، تو اس کی سالگرہ کے لیے موزوں نتائج کی تعداد $365-1=364$

لہذا، P (حمیدہ کی سالگرہ سویتا کی سالگرہ سے مختلف ہے) $=\dfrac{364}{365}$

(ii) $\mathrm{P}$ (سویتا اور حمیدہ کی ایک ہی سالگرہ ہے)

$$ \begin{aligned} & =1-\mathrm{P} \text { (both have different birthdays) } \\ & =1-\dfrac{364}{365} \quad[\text { Using } \mathrm{P}(\overline{\mathrm{E}})=1-\mathrm{P}(\mathrm{E})] \\ & =\dfrac{1}{365} \end{aligned} $$

مثال 7 : ایک اسکول کی کلاس $\mathrm{X}$ میں 40 طلباء ہیں جن میں سے 25 لڑکیاں اور 15 لڑکے ہیں۔ کلاس ٹیچر کو ایک طالب علم کو کلاس نمائندہ کے طور پر منتخب کرنا ہے۔ وہ ہر طالب علم کا نام ایک الگ کارڈ پر لکھتی ہے، کارڈ ایک جیسے ہیں۔ پھر وہ کارڈز کو ایک تھیلے میں ڈالتی ہے اور انہیں اچھی طرح ہلاتی ہے۔ پھر وہ تھیلے سے ایک کارڈ نکالتی ہے۔ احتمال کیا ہے کہ کارڈ پر لکھا ہوا نام (i) ایک لڑکی کا ہے؟ (ii) ایک لڑکے کا ہے؟

حل : 40 طلباء ہیں، اور صرف ایک نام کارڈ منتخب کرنا ہے۔

(i) تمام ممکنہ نتائج کی تعداد 40 ہے

ایک لڑکی کے نام والے کارڈ کے لیے موزوں نتائج کی تعداد = 25 (کیوں؟)

لہذا، $\mathrm{P}($ ایک لڑکی کے نام والا کارڈ $)=\mathrm{P}($ لڑکی $)=\dfrac{25}{40}=\dfrac{5}{8}$

(ii) ایک لڑکے کے نام والے کارڈ کے لیے موزوں نتائج کی تعداد $=15$ (کیوں؟)

لہذا، $\mathrm{P}($ ایک لڑکے کے نام والا کارڈ $)=\mathrm{P}($ لڑکا $)=\dfrac{15}{40}=\dfrac{3}{8}$

نوٹ: ہم $\mathrm{P}(\mathrm{Boy})$ کا تعین اس طرح بھی کر سکتے ہیں:

$$ \mathrm{P}(\text { Boy })=1-\mathrm{P}(\text { not Boy })=1-\mathrm{P}(\text { Girl })=1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8} $$

مثال 8 : ایک ڈبے میں 3 نیلے، 2 سفید، اور 4 سرخ ماربل ہیں۔ اگر ڈبے سے بے ترتیبی سے ایک ماربل نکالا جاتا ہے، تو احتمال کیا ہے کہ وہ ہوگا

(i) سفید؟

(ii) نیلا؟

(iii) سرخ؟

حل : یہ کہنا کہ ایک ماربل بے ترتیبی سے نکالا جاتا ہے، یہ کہنے کا مختصر طریقہ ہے کہ تمام ماربلز کے نکالے جانے کا امکان یکساں ہے۔ لہذا،

ممکنہ نتائج کی تعداد $=3+2+4=9 \quad$ (کیوں؟)

فرض کریں $\mathrm{W}$ واقعہ ‘ماربل سفید ہے’ کو ظاہر کرتا ہے، $\mathrm{B}$ واقعہ ‘ماربل نیلا ہے’ کو ظاہر کرتا ہے اور $\mathrm{R}$ واقعہ ‘ماربل سرخ ہے’ کو ظاہر کرتا ہے۔

(i) واقعہ $\mathrm{W}=2$ کے لیے موزوں نتائج کی تعداد

لہذا، $\mathrm{P}(\mathrm{W})=\dfrac{2}{9}$

اسی طرح،

(ii) $\mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ اور

(iii) $\mathrm{P}(\mathrm{R})=\dfrac{4}{9}$

نوٹ کریں کہ $\mathrm{P}(\mathrm{W})+\mathrm{P}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\mathrm{R})=1$۔

مثال 9 : ہرپریت دو مختلف سکے بیک وقت اچھالتی ہے (فرض کریں، ایک ₹1 کا اور دوسرا ₹2 کا)۔ احتمال کیا ہے کہ اسے کم از کم ایک چیتھڑا ملے؟

حل : ہم چیتھڑے کے لیے $\mathrm{H}$ اور پٹھے کے لیے $\mathrm{T}$ لکھتے ہیں۔ جب دو سکے بیک وقت اچھالے جاتے ہیں، تو ممکنہ نتائج $(\mathrm{H}, \mathrm{H}),(\mathrm{H}, \mathrm{T}),(\mathrm{T}, \mathrm{H}),(\mathrm{T}, \mathrm{T})$ ہیں، جو سب یکساں طور پر ممکن ہیں۔ یہاں $(\mathrm{H}, \mathrm{H})$ کا مطلب ہے پہلے سکے پر چیتھڑا اوپر (فرض کریں ₹1 پر) اور دوسرے سکے پر چیتھڑا اوپر (₹2 پر)۔ اسی طرح (H, T) کا مطلب ہے پہلے سکے پر چیتھڑا اوپر اور دوسرے سکے پر پٹھا اوپر اور اسی طرح۔

واقعہ $\mathrm{E}$، ‘کم از کم ایک چیتھڑا’ کے لیے موزوں نتائج $(\mathrm{H}, \mathrm{H}),(\mathrm{H}, \mathrm{T})$ اور (T, H) ہیں۔ (کیوں؟)

لہذا، $\mathrm{E}$ کے لیے موزوں نتائج کی تعداد 3 ہے۔

لہذا، $\quad \mathrm{P}(\mathrm{E})=\dfrac{3}{4}$

یعنی، ہرپریت کے کم از کم ایک چیتھڑا حاصل کرنے کا احتمال $\dfrac{3}{4}$ ہے۔

نوٹ: آپ $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ کو اس طرح بھی تلاش کر سکتے ہیں:

$$ P(E)=1-P(\bar{E})=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} \quad\left(\text { Since } P(\bar{E})=P(\text { no head })=\dfrac{1}{4}\right) $$

کیا آپ نے نوٹ کیا کہ اب تک زیر بحث تمام مثالوں میں، ہر تجربے میں ممکنہ نتائج کی تعداد محدود تھی؟ اگر نہیں، تو اب چیک کریں۔

بہت سے تجربات ایسے ہیں جن میں نتیجہ دو دیے گئے نمبروں کے درمیان کوئی بھی نمبر ہوتا ہے، یا جس میں نتیجہ کسی دائرے یا مستطیل کے اندر ہر نقطہ ہوتا ہے، وغیرہ۔ کیا آپ اب تمام ممکنہ نتائج کی تعداد گن سکتے ہیں؟ جیسا کہ آپ جانتے ہیں، یہ ممکن نہیں ہے کیونکہ دو دیے گئے نمبروں کے درمیان لامحدود تعداد میں نمبر ہوتے ہیں، یا کسی دائرے کے اندر لامحدود نقاط ہوتے ہیں۔ لہذا، احتمال کی (نظریاتی) تعریف جو آپ نے اب تک سیکھی ہے، موجودہ شکل میں لاگو نہیں کی جا سکتی۔ راستہ کیا ہے؟ اس کا جواب دینے کے لیے، آئیے مندرجہ ذیل مثال پر غور کریں:

مثال 10 : ایک میوزیکل چیئر گیم میں، میوزک بجانے والے شخص کو مشورہ دیا گیا ہے کہ وہ میوزک بجانا شروع کرنے کے بعد 2 منٹ کے اندر کسی بھی وقت میوزک بجانا بند کر دے۔ احتمال کیا ہے کہ میوزک شروع ہونے کے بعد پہلے آدھے منٹ کے اندر بند ہو جائے گا؟

حل : یہاں ممکنہ نتائج 0 اور 2 کے درمیان تمام نمبر ہیں۔ یہ نمبر لائن کا 0 سے 2 تک کا حصہ ہے (شکل 14.1 دیکھیں)۔

شکل 14.1

فرض کریں $\mathrm{E}$ واقعہ ہے کہ ‘میوزک پہلے آدھے منٹ کے اندر بند ہو جاتا ہے’۔

$\mathrm{E}$ کے لیے موزوں نتائج نمبر لائن پر 0 سے $\dfrac{1}{2}$ تک کے نقاط ہیں۔

0 سے 2 کا فاصلہ 2 ہے، جبکہ 0 سے $\dfrac{1}{2}$ کا فاصلہ $\dfrac{1}{2}$ ہے۔

چونکہ تمام نتائج یکساں طور پر ممکن ہیں، ہم دلیل دے سکتے ہیں کہ کل فاصلہ 2 میں سے، واقعہ $\mathrm{E}$ کے لیے موزوں فاصلہ $\dfrac{1}{2}$ ہے۔

لہذا، $\quad P(E)=\dfrac{\text { Distance favourable to the event } E}{\text { Total distance in which outcomes can lie }}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{4}$

کیا ہم اب مثال 10 کے خیال کو احتمال کو موزوں رقبے اور کل رقبے کے تناسب کے طور پر تلاش کرنے کے لیے بڑھا سکتے ہیں؟

مثال 11 [^0] : ایک لاپتہ ہیلی کاپٹر کے بارے میں اطلاع ہے کہ وہ شکل 14.2 میں دکھائے گئے مستطیل علاقے میں کہیں گر کر تباہ ہو گیا ہے۔ احتمال کیا ہے کہ یہ شکل میں دکھائے گئے جھیل کے اندر گر کر تباہ ہوا؟

شکل 14.2

حل : ہیلی کاپٹر کے علاقے میں کہیں بھی گرنے کا امکان یکساں ہے۔

پورے علاقے کا رقبہ جہاں ہیلی کاپٹر گر سکتا ہے

$$ =(4.5 \times 9) \mathrm{km}^{2}=40.5 \mathrm{~km}^{2} $$

جھیل کا رقبہ $=(2.5 \times 3) \mathrm{km}^{2}=7.5 \mathrm{~km}^{2}$

لہذا، $\mathrm{P}$ (ہیلی کاپٹر جھیل میں گر کر تباہ ہوا) $=\dfrac{7.5}{40.5}=\dfrac{75}{405}=\dfrac{5}{27}$

مثال 12 : ایک کارٹن میں 100 قمیضیں ہیں جن میں سے 88 اچھی ہیں، 8 میں معمولی خرابیاں ہیں اور 4 میں بڑی خرابیاں ہیں۔ جمی، ایک تاجر، صرف وہی قمیضیں قبول کرے گا جو اچھی ہیں، لیکن سُجاتھا، ایک اور تاجر، صرف ان قمیضوں کو مسترد کرے گی جن میں بڑی خرابیاں ہیں۔ کارٹن سے بے ترتیبی سے ایک قمیض نکالی جاتی ہے۔ احتمال کیا ہے کہ

(i) یہ جمی کے لیے قابل قبول ہے؟

(ii) یہ سُجاتھا کے لیے قابل قبول ہے؟

حل : 100 قمیضوں کے کارٹن سے بے ترتیبی سے ایک قمیض نکالی جاتی ہے۔ لہذا، 100 یکساں طور پر ممکن نتائج ہیں۔

(i) جمی کے لیے موزوں (یعنی قابل قبول) نتائج کی تعداد $=88$ (کیوں؟)

لہذا، $\mathrm{P}$ (قمض جمی کے لیے قابل قبول ہے) $=\dfrac{88}{100}=0.88$

(ii) سُجاتھا کے لیے موزوں نتائج کی تعداد $=88+8=96$ (کیوں؟)

لہذا، $\mathrm{P}$ (قمض سُجاتھا کے لیے قابل قبول ہے) $=\dfrac{96}{100}=0.96$

مثال 13 : دو پانسے، ایک نیلا اور ایک سرمئی، بیک وقت پھینکے جاتے ہیں۔ تمام ممکنہ نتائج لکھیں۔ احتمال کیا ہے کہ پانسوں کے اوپر والے رخ پر ظاہر ہونے والے دو نمبروں کا مجموعہ

(i) 8 ہو؟

(ii) 13 ہو؟

(iii) 12 سے کم یا برابر ہو؟

حل : جب نیلا پانسہ ‘1’ دکھاتا ہے، تو سرمئی پانسہ $1,2,3,4,5,6$ میں سے کوئی بھی نمبر دکھا سکتا ہے۔ یہی بات اس وقت بھی سچ ہے جب نیلا پانسہ ‘2’، ‘3’، ‘4’، ‘5’ یا ‘6’ دکھاتا ہے۔ تجربے کے ممکنہ نتائج نیچے دی گئی جدول میں درج ہیں؛ ہر ترتیب شدہ جوڑے میں پہلا نمبر نیلے پانسے پر ظاہر ہونے والا نمبر ہے اور دوسرا نمبر سرمئی پانسے پر ظاہر ہونے والا نمبر ہے۔

شکل 14.3

نوٹ کریں کہ جوڑا $(1,4)$ جوڑے $(4,1)$ سے مختلف ہے۔ (کیوں؟)

لہذا، ممکنہ نتائج کی تعداد $=6 \times 6=36$۔

(i) واقعہ ‘دو نمبروں کا مجموعہ 8 ہے’ کے لیے موزوں نتائج، جسے E سے ظاہر کیا جاتا ہے، ہیں: $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$ (شکل 14.3 دیکھیں)

یعنی، $\mathrm{E}=5$ کے لیے موزوں نتائج کی تعداد۔

لہذا، $P(E)=\dfrac{5}{36}$

(ii) جیسا کہ آپ شکل 14.3 سے دیکھ سکتے ہیں، واقعہ F، ‘دو نمبروں کا مجموعہ 13 ہے’ کے لیے کوئی موزوں نتیجہ نہیں ہے۔

لہذا، $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{0}{36}=0 $$

(iii) جیسا کہ آپ شکل 14