ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ದೋಷಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಈಗ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಬಹಳ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಬಹಳ ಮಹತ್ವದ ಒಂದು ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.

ಆರ್.ಎಸ್. ವುಡ್ವರ್ಡ್

14.1 ಸಂಭವನೀಯತೆ - ಒಂದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿಧಾನ

ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ :

ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಚಿಮ್ಮಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.

ನಾವು ನಾಣ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ, ಅದು ‘ನ್ಯಾಯಯುತ’ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಒಂದು ಬದಿಗಿಂತ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬೀಳಲು ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ. ನಾಣ್ಯದ ಈ ಗುಣವನ್ನು ನಾವು ‘ಪಕ್ಷಪಾತರಹಿತ’ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ‘ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಿಮ್ಮು’ ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದಿಂದ, ನಾಣ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಪಕ್ಷಪಾತ ಅಥವಾ ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪವಿಲ್ಲದೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಬೀಳಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ.

ಮುಂಚಿತವಾಗಿಯೇ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ನಾಣ್ಯವು ಎರಡು ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇಳಿಯಬಹುದು - ತಲೆ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಬಾಲ ಮೇಲೆ (ಅದು ಅಂಚಿನ ಮೇಲೆ ‘ಇಳಿಯುವ’ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ತಳ್ಳಿಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದು ಮರಳಿನ ಮೇಲೆ ಬಿದ್ದರೆ ಅದು ಸಾಧ್ಯವಿರಬಹುದು). ತಲೆ ಅಥವಾ ಬಾಲ ಎಂಬ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶವು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಮಂಜಸವಾಗಿ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಫಲಿತಾಂಶಗಳಾದ ತಲೆ ಮತ್ತು ಬಾಲ ಸಮಸಂಭವ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಮಸಂಭವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಒಮ್ಮೆ ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಮಗೆ, ದಾಳವೆಂದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ನ್ಯಾಯಯುತ ದಾಳವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ. ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಯಾವುವು? ಅವು 1, 2, 3, 4, 5, 6. ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಮೇಲೆ ಬರುವ ಒಂದೇ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ದಾಳ ಎಸೆಯುವ ಸಮಸಂಭವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು 1,2,3,4,5 ಮತ್ತು 6.

ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೂ ಸಮಸಂಭವವೇ? ನೋಡೋಣ.

ಒಂದು ಚೀಲದಲ್ಲಿ 4 ಕೆಂಪು ಚೆಂಡುಗಳು ಮತ್ತು 1 ನೀಲಿ ಚೆಂಡು ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಮತ್ತು ನೀವು ಚೀಲದೊಳಗೆ ನೋಡದೆ ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತೀರಿ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಯಾವುವು? ಫಲಿತಾಂಶಗಳಾದ - ಕೆಂಪು ಚೆಂಡು ಮತ್ತು ನೀಲಿ ಚೆಂಡು ಸಮಸಂಭವವೇ? 4 ಕೆಂಪು ಚೆಂಡುಗಳು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ನೀಲಿ ಚೆಂಡು ಇರುವುದರಿಂದ, ನೀಲಿ ಚೆಂಡಿಗಿಂತ ಕೆಂಪು ಚೆಂಡನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಹೆಚ್ಚು ಎಂದು ನೀವು ಒಪ್ಪುತ್ತೀರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳು (ಕೆಂಪು ಚೆಂಡು ಅಥವಾ ನೀಲಿ ಚೆಂಡು) ಸಮಸಂಭವವಲ್ಲ. ಆದರೆ, ಚೀಲದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಮಸಂಭವವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಮಸಂಭವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ಇನ್ನು ಮುಂದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಸಮಸಂಭವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಒಂಬತ್ತನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಘಟನೆಯ $\mathrm{E}$ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಥವಾ ಅನುಭವಜನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\dfrac{\text { Number of trials in which the event happened }}{\text { Total number of trials }} $$

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಭವಜನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಯೋಗದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟನೆಗೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಗೆ ಕೆಲವು ಮಿತಿಗಳಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಹಳ ದುಬಾರಿಯಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿರಬಹುದು. ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ, ಇದು ನಾಣ್ಯ ಚಿಮ್ಮುವ ಅಥವಾ ದಾಳ ಎಸೆಯುವ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿತು. ಆದರೆ ಉಪಗ್ರಹವನ್ನು ಉಡಾವಣೆ ಮಾಡುವ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ಅದರ ಉಡಾವಣೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾಗುವ ಅನುಭವಜನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು, ಅಥವಾ ಭೂಕಂಪದ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ ಬಹುಮಹಡಿ ಕಟ್ಟಡವು ಭೂಕಂಪದಲ್ಲಿ ನಾಶವಾಗುವ ಅನುಭವಜನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ?

ನಾವು ಕೆಲವು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಿದ್ಧವಿರುವ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಯೋಗದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಊಹೆಗಳು ನಿಖರ (ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ) ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಸಮಸಂಭವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಊಹೆ (ನಾಣ್ಯ ಮತ್ತು ದಾಳದ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳಂತೆ ಅನೇಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ) ಒಂದು ಅಂತಹ ಊಹೆಯಾಗಿದೆ, ಅದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ.

ಘಟನೆ E ಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಇದನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ), $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

$$ P(E)=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes of the experiment }} \text {, } $$

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಮಸಂಭವ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಿಯರೆ ಸೈಮನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ 1795 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರು.

ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವು 16 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಉಗಮವಾಯಿತು, ಇಟಾಲಿಯನ್ ವೈದ್ಯ ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞ ಜೆ.ಕಾರ್ಡಾನ್ ಈ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಮೊದಲ ಪುಸ್ತಕವಾದ ‘ದಿ ಬುಕ್ ಆನ್ ಗೇಮ್ಸ್ ಆಫ್ ಚಾನ್ಸ್’ ಅನ್ನು ಬರೆದಾಗ. ಅದರ ಆರಂಭದಿಂದಲೂ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಮಹಾನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯಿತು. ಜೇಮ್ಸ್ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ (1654 - 1705), ಎ. ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆ (1667 - 1754), ಮತ್ತು ಪಿಯರೆ ಸೈಮನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಈ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಗಣನೀಯ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದವರಲ್ಲಿ ಸೇರಿದ್ದಾರೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ನ ‘ಥಿಯೋರಿ ಅನಾಲಿಟಿಕ್ ಡೆಸ್ ಪ್ರೊಬಾಬಿಲಿಟೀಸ್’, 1812, ಒಂದೇ ವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ನೀಡಿದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕೊಡುಗೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇತ್ತೀಚಿನ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಆನುವಂಶಿಕತೆ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಸಮಾಜಶಾಸ್ತ್ರ ಮುಂತಾದ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ.

ಪಿಯರೆ ಸೈಮನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ (1749 - 1827)

ಸಮಸಂಭವ ಊಹೆ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ ತಲೆ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಹಾಗೆಯೇ ಬಾಲ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಚಿಮ್ಮುವ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡು - ತಲೆ (H) ಮತ್ತು ಬಾಲ (T). E ಯು ‘ತಲೆ ಬರುವ’ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ. E ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಅಂದರೆ, ತಲೆ ಬರುವುದು) 1. ಆದ್ದರಿಂದ,

$$ P(E)=P(\text { head })=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes }}=\dfrac{1}{2} $$

ಅಂತೆಯೇ, $\mathrm{F}$ ಯು ‘ಬಾಲ ಬರುವ’ ಘಟನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ,

$$ P(F)=P(\text { tail })=\dfrac{1}{2} \quad \text { (Why ?) } $$

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಒಂದು ಚೀಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೆಂಪು ಚೆಂಡು, ಒಂದು ನೀಲಿ ಚೆಂಡು ಮತ್ತು ಒಂದು ಹಳದಿ ಚೆಂಡು ಇದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಚೆಂಡುಗಳ ಗಾತ್ರವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿದೆ. ಕೃತಿಕಾ ಚೀಲದೊಳಗೆ ನೋಡದೆ ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆಯುತ್ತಾಳೆ. ಅವಳು ತೆಗೆಯುವ ಚೆಂಡು

(i) ಹಳದಿ ಚೆಂಡಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

(ii) ಕೆಂಪು ಚೆಂಡಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

(iii) ನೀಲಿ ಚೆಂಡಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ : ಕೃತಿಕಾ ಚೀಲದೊಳಗೆ ನೋಡದೆ ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆಯುತ್ತಾಳೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವಳು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ತೆಗೆಯುವುದು ಸಮಸಂಭವ.

$\mathrm{Y}$ ಯು ‘ತೆಗೆದ ಚೆಂಡು ಹಳದಿ ಬಣ್ಣದ್ದು’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ, B ಯು ‘ತೆಗೆದ ಚೆಂಡು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ್ದು’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು $\mathrm{R}$ ಯು ‘ತೆಗೆದ ಚೆಂಡು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ್ದು’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ.

ಈಗ, ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=3$.

(i) ಘಟನೆ $Y=1$ ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \mathrm{P}(\mathrm{Y})=\dfrac{1}{3}$

ಅಂತೆಯೇ, $$ \text { (ii) } \mathrm{P}(\mathrm{R})=\dfrac{1}{3} \text { and (iii) } \mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{1}{3} \text {. } $$

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು :

1. ಪ್ರಯೋಗದ ಕೇವಲ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘಟನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ, $\mathrm{E}$ ಮತ್ತು $\mathrm{F}$ ಎರಡೂ ಘಟನೆಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಘಟನೆಗಳಾದ Y, B ಮತ್ತು R ಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳಾಗಿವೆ.

2. ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ: $P(E)+P(F)=1$

ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ: $\mathrm{P}(\mathrm{Y})+\mathrm{P}(\mathrm{R})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=1$

ಪ್ರಯೋಗದ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತ 1 ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿಯೂ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 : ನಾವು ಒಮ್ಮೆ ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. (i) 4 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು? (ii) 4 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ : (i) ಇಲ್ಲಿ, $\mathrm{E}$ ಯು ‘4 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುವುದು’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ. ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಆರು: 1, 2, 3, 4, 5 ಮತ್ತು 6, ಮತ್ತು $\mathrm{E}$ ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು 5 ಮತ್ತು 6. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{E}$ ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಆದ್ದರಿಂದ,

$$ P(E)=P(\text { number greater than } 4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} $$

(ii) $\mathrm{F}$ ಯು ‘4 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುವುದು’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ.

ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=6$

ಘಟನೆ $\mathrm{F}$ ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು 1, 2, 3, 4.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{F}$ ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 4.

ಆದ್ದರಿಂದ, $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} $$

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ $\mathrm{E}$ ಮತ್ತು $\mathrm{F}$ ಘಟನೆಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳೇ? ಇಲ್ಲ, ಅವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ $\mathrm{E}$ ಘಟನೆಯು 2 ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತು $\mathrm{F}$ ಘಟನೆಯು 4 ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು : ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಿಂದ, ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1 \tag{1} $$

ಇಲ್ಲಿ $\mathrm{E}$ ಯು ‘ತಲೆ ಬರುವುದು’ ಎಂಬ ಘಟನೆ ಮತ್ತು $\mathrm{F}$ ಯು ‘ಬಾಲ ಬರುವುದು’ ಎಂಬ ಘಟನೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 ರ (i) ಮತ್ತು (ii) ರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1 \tag{2} $$

ಇಲ್ಲಿ $\mathrm{E}$ ಯು ‘4 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುವುದು’ $>4$ ಎಂಬ ಘಟನೆ ಮತ್ತು $\mathrm{F}$ ಯು ‘4 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುವುದು’ $\leq 4$ ಎಂಬ ಘಟನೆ.

4 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ ಪಡೆಯುವುದು 4 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆ ಪಡೆಯುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

(1) ಮತ್ತು (2) ರಲ್ಲಿ, F ಯು ‘E ಅಲ್ಲ’ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿಲ್ಲವೇ? ಹೌದು, ಅದು ಸಮನಾಗಿದೆ. ‘E ಅಲ್ಲ’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯನ್ನು ನಾವು $\overline{\mathrm{E}}$ ದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $$ P(E)+P(\text { not } E)=1 $$

ಅಂದರೆ, $ P(E)+P(\bar{E})=1 \text {, which gives us } P(\bar{E})=1-P(E) \text {. } $

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಘಟನೆ $\mathrm{E}$ ಗೆ,

$$ \mathbf{P}(\overline{\mathbf{E}})=1-\mathbf{P}(\mathbf{E}) $$

‘$\mathrm{E}$ ಅಲ್ಲ’ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಘಟನೆ $\overline{\mathrm{E}}$ ಅನ್ನು ಘಟನೆ $\mathrm{E}$ ನ ಪೂರಕ ಘಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. $\mathrm{E}$ ಮತ್ತು $\overline{\mathrm{E}}$ ಗಳು ಪೂರಕ ಘಟನೆಗಳು ಎಂದೂ ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಮುಂದುವರಿಯುವ ಮೊದಲು, ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

(i) ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಎಸೆದಾಗ 8 ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

(ii) ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಎಸೆದಾಗ 7 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

(i) ಗೆ ಉತ್ತರಿಸೋಣ :

ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಎಸೆದಾಗ ಕೇವಲ ಆರು ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು 1, 2, 3, 4, 5 ಮತ್ತು 6. ದಾಳದ ಯಾವ ಮುಖವೂ 8 ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, 8 ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಯಾವುದೇ ಫಲಿತಾಂಶವಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಅಂತಹ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಶೂನ್ಯ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಎಸೆದಾಗ 8 ಪಡೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $$ P(\text { getting } 8)=\dfrac{0}{6}=0 $$

ಅಂದರೆ, ಸಂಭವಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0. ಅಂತಹ ಘಟನೆಯನ್ನು ಅಸಾಧ್ಯ ಘಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

(ii) ಗೆ ಉತ್ತರಿಸೋಣ :

ದಾಳದ ಪ್ರತಿ ಮುಖವೂ 7 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಎಸೆದಾಗ ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ 7 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು ಖಚಿತ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು 6.

ಆದ್ದರಿಂದ, $$ P(E)=P(\text { getting a number less than } 7)=\dfrac{6}{6}=1 $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಖಚಿತವಾಗಿ (ಅಥವಾ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿ) ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1. ಅಂತಹ ಘಟನೆಯನ್ನು ಖಚಿತ ಘಟನೆ ಅಥವಾ ನಿಶ್ಚಿತ ಘಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ : ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ ರಿಂದ, ಅಂಶವು (ಘಟನೆ $\mathrm{E}$ ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಯಾವಾಗಲೂ ಛೇದಕ್ಕಿಂತ (ಎಲ್ಲಾ ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,

$$ 0 \leq \mathrm{P}(\mathrm{E}) \leq 1 $$

ಈಗ, ಆಟದ ಪತ್ರಿಕೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನೀವು ಆಟದ ಪತ್ರಿಕೆಗಳ ಡೆಕ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೀರಾ? ಇದು 52 ಪತ್ರಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು 4 ಸೂಟ್ ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲಿ 13 ಪತ್ರಿಕೆಗಳು: ಸ್ಪೇಡ್ಸ್ ($\spadesuit$), ಹಾರ್ಟ್ಸ್ ($\heartsuit$), ಡೈಮಂಡ್ಸ್ ($(\diamondsuit)$) ಮತ್ತು ಕ್ಲಬ್ಸ್ ($(\clubsuit)$). ಕ್ಲಬ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪೇಡ್ಸ್ ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣದವು, ಹಾರ್ಟ್ಸ್ ಮತ್ತು ಡೈಮಂಡ್ಸ್ ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದವು. ಪ್ರತಿ ಸೂಟ್ ನಲ್ಲಿನ ಪತ್ರಿಕೆಗಳು ಎಕ್ಸ್, ರಾಜ, ರಾಣಿ, ಜಾಕ್, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 ಮತ್ತು 2. ರಾಜರು, ರಾಣಿಯರು ಮತ್ತು ಜಾಕ್ ಗಳನ್ನು ಮುಖ ಪತ್ರಿಕೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 : ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕಲಕಿದ 52 ಪತ್ರಿಕೆಗಳ ಡೆಕ್ ನಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರಿಕೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪತ್ರಿಕೆಯು

(i) ಎಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ,

(ii) ಎಕ್ಸ್ ಆಗಿರದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕಲಕುವುದು ಸಮಸಂಭವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

(i) ಡೆಕ್ ನಲ್ಲಿ 4 ಎಕ್ಸ್ ಗಳಿವೆ. $\mathrm{E}$ ಯು ‘ಪತ್ರಿಕೆಯು ಎಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ.

$\mathrm{E}=4$ ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=52$ (ಏಕೆ?)

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad P(E)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$

(ii) $\mathrm{F}$ ಯು ‘ಎಳೆದ ಪತ್ರಿಕೆಯು ಎಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲ’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ.

ಘಟನೆ $\mathrm{F}=52-4=48$ ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಏಕೆ?)

ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=52$

ಆದ್ದರಿಂದ, $$ P(F)=\dfrac{48}{52}=\dfrac{12}{13} $$

ಟಿಪ್ಪಣಿ : $\mathrm{F}$ ಎಂಬುದು $\overline{\mathrm{E}}$ ಅಲ್ಲದೆ ಬೇರೇನೂ ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು $\mathrm{P}(\mathrm{F})$ ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಾಗಿಯೂ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು: $P(F)=P(\bar{E})=1-P(E)=1-\dfrac{1}{13}=\dfrac{12}{13}$.

ಉದಾಹರಣೆ 5 : ಇಬ್ಬರು ಆಟಗಾರರು, ಸಂಗೀತಾ ಮತ್ತು ರೇಷ್ಮಾ, ಟೆನ್ನಿಸ್ ಪಂದ್ಯವಾಡುತ್ತಾರೆ. ಸಂಗೀತಾ ಪಂದ್ಯವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.62 ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ರೇಷ್ಮಾ ಪಂದ್ಯವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ : S ಮತ್ತು R ಗಳು ಸಂಗೀತಾ ಪಂದ್ಯವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಘಟನೆ ಮತ್ತು ರೇಷ್ಮಾ ಪಂದ್ಯವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಘಟನೆಯನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಿ.

ಸಂಗೀತಾ ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ $=\mathrm{P}(\mathrm{S})=0.62$ (ನೀಡಲಾಗಿದೆ)

ರೇಷ್ಮಾ ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ $=\mathrm{P}(\mathrm{R})=1-\mathrm{P}(\mathrm{S})$

[$\mathrm{R}$ ಮತ್ತು $\mathrm{S}$ ಘಟನೆಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ]

$$ =1-0.62=0.38 $$

ಉದಾಹರಣೆ 6 : ಸಾವಿತಾ ಮತ್ತು ಹಮೀದಾ ಸ್ನೇಹಿತರು. ಇಬ್ಬರೂ (i) ವಿಭಿನ್ನ ಜನ್ಮದಿನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು? (ii) ಒಂದೇ ಜನ್ಮದಿನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು? (ಲೀಪ್ ವರ್ಷವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ).

ಪರಿಹಾರ : ಇಬ್ಬರು ಸ್ನೇಹಿತರಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬ ಹುಡುಗಿ, ಸಾವಿತಾ ಅವರ ಜನ್ಮದಿನವು ವರ್ಷದ ಯಾವುದೇ ದಿನವಾಗಿರಬಹುದು. ಈಗ, ಹಮೀದಾ ಅವರ ಜನ್ಮದಿನವು ವರ್ಷದ 365 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ದಿನವಾಗಿರಬಹುದು.

ಈ 365 ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಮಸಂಭವ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

(i) ಹಮೀದಾ ಅವರ ಜನ್ಮದಿನವು ಸಾವಿತಾ ಅವರ ಜನ್ಮದಿನದಿಂದ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವರ ಜನ್ಮದಿನಕ್ಕೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $365-1=364$

ಆದ್ದರಿಂದ, P (ಹಮೀದಾ ಅವರ ಜನ್ಮದಿನವು ಸಾವಿತಾ ಅವರ ಜನ್ಮದಿನದಿಂದ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ) $=\dfrac{364}{365}$

(ii) $\mathrm{P}$ (ಸಾವಿತಾ ಮತ್ತು ಹಮ