సంభావ్యతల సిద్ధాంతం మరియు దోషాల సిద్ధాంతం ఇప్పుడు గణితశాస్త్రపరంగా గొప్ప ఆసక్తి మరియు గొప్ప ఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యత కలిగిన భారీ సంపదగా ఏర్పడింది.

ఆర్.ఎస్. వుడ్వార్డ్

14.1 సంభావ్యత - ఒక సైద్ధాంతిక విధానం

కింది పరిస్థితిని పరిశీలిద్దాం:

ఒక నాణెం యాదృచ్ఛికంగా ఎగురవేయబడింది అనుకుందాం.

మనం ఒక నాణెం గురించి మాట్లాడినప్పుడు, అది ‘న్యాయమైనది’ అని మనం భావిస్తాము, అంటే అది సౌష్ఠవంగా ఉంటుంది, తద్వారా అది ఒక వైపు కంటే మరొక వైపు తరచుగా కిందికి రావడానికి ఎటువంటి కారణం ఉండదు. నాణెం యొక్క ఈ లక్షణాన్ని మనం ‘పక్షపాతరహితం’గా పిలుస్తాము. ‘యాదృచ్ఛికంగా ఎగురవేయడం’ అనే పదబంధం ద్వారా, నాణెం ఎటువంటి పక్షపాతం లేదా జోక్యం లేకుండా స్వేచ్ఛగా పడటానికి అనుమతించబడుతుందని మనం అర్థం చేసుకుంటాము.

ముందుగానే మనకు తెలుసు, నాణెం రెండు సాధ్యమైన మార్గాల్లో ఒకదానిలో మాత్రమే కింద పడుతుంది - తల పైకి లేదా బొమ్మ పైకి (అది దాని అంచు మీద ‘పడటం’ యొక్క సాధ్యతను మనం విస్మరిస్తాము, ఇది సాధ్యమే, ఉదాహరణకు, అది ఇసుక మీద పడితే). తల లేదా బొమ్మ అనే ప్రతి ఫలితం ఒకదానికొకటి సంభవించే అవకాశం ఉందని మనం సహేతుకంగా భావించవచ్చు. ఫలితాలు తల మరియు బొమ్మ సమానంగా సంభవించే అవకాశం ఉన్నాయని చెప్పడం ద్వారా మనం దీనిని సూచిస్తాము.

సమానంగా సంభవించే ఫలితాల మరొక ఉదాహరణ కోసం, మనం ఒక పాచికను ఒకసారి విసిరినట్లు భావించండి. మనకు, పాచిక అంటే ఎల్లప్పుడూ న్యాయమైన పాచిక. సాధ్యమైన ఫలితాలు ఏమిటి? అవి 1, 2, 3, 4, 5, 6. ప్రతి సంఖ్యకు కనిపించే అవకాశం ఒకేలా ఉంటుంది. కాబట్టి పాచికను విసిరినప్పుడు సమానంగా సంభవించే ఫలితాలు 1,2,3,4,5 మరియు 6.

ప్రతి ప్రయోగం యొక్క ఫలితాలు సమానంగా సంభవించే అవకాశం ఉన్నాయా? చూద్దాం.

ఒక సంచిలో 4 ఎరుపు బంతులు మరియు 1 నీలం బంతి ఉన్నాయి మరియు మీరు సంచిలోకి చూడకుండా ఒక బంతిని తీస్తారు అనుకుందాం. ఫలితాలు ఏమిటి? ఫలితాలు - ఒక ఎరుపు బంతి మరియు నీలం బంతి సమానంగా సంభవించే అవకాశం ఉన్నాయా? 4 ఎరుపు బంతులు మరియు ఒకే ఒక నీలం బంతి మాత్రమే ఉన్నందున, నీలం బంతి కంటే ఎరుపు బంతిని పొందే అవకాశం ఎక్కువగా ఉందని మీరు అంగీకరిస్తారు. కాబట్టి, ఫలితాలు (ఎరుపు బంతి లేదా నీలం బంతి) సమానంగా సంభవించే అవకాశం లేదు. అయితే, సంచి నుండి ఏ రంగు బంతినైనా తీసే ఫలితం సమానంగా సంభవించే అవకాశం ఉంటుంది. కాబట్టి, అన్ని ప్రయోగాలు తప్పనిసరిగా సమానంగా సంభవించే ఫలితాలను కలిగి ఉండవు.

అయితే, ఈ అధ్యాయంలో, ఇప్పటి నుండి, అన్ని ప్రయోగాలు సమానంగా సంభవించే ఫలితాలను కలిగి ఉంటాయని మనం భావిస్తాము.

తరగతి IX లో, మనం ఒక ఘటన $\mathrm{E}$ యొక్క ప్రయోగాత్మక లేదా అనుభావిక సంభావ్యత $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ను ఇలా నిర్వచించాము

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\dfrac{\text { Number of trials in which the event happened }}{\text { Total number of trials }} $$

సంభావ్యత యొక్క అనుభావిక వివరణను పెద్ద సంఖ్యలో సార్లు పునరావృతం చేయగల ప్రయోగంతో అనుబంధించబడిన ప్రతి ఘటనకు వర్తింపజేయవచ్చు. ఒక ప్రయోగాన్ని పునరావృతం చేయడం అవసరం కొన్ని పరిమితులను కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఇది చాలా ఖరీదైనది లేదా అనేక పరిస్థితుల్లో సాధ్యం కాకపోవచ్చు. వాస్తవానికి, ఇది నాణెం ఎగురవేయడం లేదా పాచిక విసిరే ప్రయోగాలలో బాగా పనిచేసింది. కానీ దాని ప్రయోగ సమయంలో వైఫల్యం యొక్క అనుభావిక సంభావ్యతను లెక్కించడానికి ఒక ఉపగ్రహాన్ని ప్రయోగించే ప్రయోగాన్ని పునరావృతం చేయడం, లేదా భూకంపం దృగ్విషయాన్ని పునరావృతం చేయడం ద్వారా బహుళ అంతస్తుల భవనం భూకంపంలో నాశనమయ్యే అనుభావిక సంభావ్యతను లెక్కించడం గురించి ఏమిటి?

మనం కొన్ని ఊహలు చేయడానికి సిద్ధంగా ఉన్న ప్రయోగాలలో, ఒక ప్రయోగం యొక్క పునరావృతం నివారించబడుతుంది, ఎందుకంటే ఊహలు ఖచ్చితమైన (సైద్ధాంతిక) సంభావ్యతను నేరుగా లెక్కించడంలో సహాయపడతాయి. సమానంగా సంభవించే ఫలితాల ఊహ (ఇది అనేక ప్రయోగాలలో చెల్లుబాటు అవుతుంది, పైన ఉన్న రెండు ఉదాహరణలలో వలె, నాణెం మరియు పాచిక) అటువంటి ఒక ఊహ, ఇది ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యత యొక్క క్రింది నిర్వచనానికి మమ్మల్ని దారి తీస్తుంది.

ఒక ఘటన E యొక్క సైద్ధాంతిక సంభావ్యత (క్లాసికల్ సంభావ్యత అని కూడా పిలుస్తారు), $\mathrm{P}(\mathrm{E})$గా వ్రాయబడింది, ఇలా నిర్వచించబడింది

$$ P(E)=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes of the experiment }} \text {, } $$

ఇక్కడ మనం ప్రయోగం యొక్క ఫలితాలు సమానంగా సంభవించే అవకాశం ఉందని భావిస్తాము.

మనం సైద్ధాంతిక సంభావ్యతను సంభావ్యతగా సంక్షిప్తంగా సూచిస్తాము.

సంభావ్యత యొక్క ఈ నిర్వచనం 1795 లో పియరే సైమన్ లాప్లేస్ చేత ఇవ్వబడింది.

సంభావ్యత సిద్ధాంతం 16వ శతాబ్దంలో దాని మూలాన్ని కలిగి ఉంది, ఇటాలియన్ వైద్యుడు మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జె.కార్డాన్ ఈ విషయంపై మొదటి పుస్తకం, ది బుక్ ఆన్ గేమ్స్ ఆఫ్ ఛాన్స్ ను వ్రాసినప్పుడు. దీని ప్రారంభం నుండి, సంభావ్యత అధ్యయనం గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుల దృష్టిని ఆకర్షించింది. జేమ్స్ బెర్నౌలి (1654 - 1705), ఎ. డి మోయివ్రే (1667 - 1754), మరియు పియరే సైమన్ లాప్లేస్ ఈ రంగానికి గణనీయమైన సహకారం అందించిన వారిలో ఉన్నారు. లాప్లేస్ యొక్క థియోరీ అనలిటిక్ డెస్ ప్రోబాబిలిటీస్, 1812, ఒకే వ్యక్తి చేత సంభావ్యత సిద్ధాంతానికి చేసిన గొప్ప సహకారంగా పరిగణించబడుతుంది. ఇటీవలి సంవత్సరాలలో, సంభావ్యత జీవశాస్త్రం, ఆర్థికశాస్త్రం, జన్యుశాస్త్రం, భౌతికశాస్త్రం, సామాజికశాస్త్రం మొదలైన అనేక రంగాలలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది.

పియరే సైమన్ లాప్లేస్ (1749 - 1827)

సమానంగా సంభవించే ఊహ ఉన్న ప్రయోగాలతో అనుబంధించబడిన కొన్ని ఘటనల కోసం సంభావ్యతను కనుగొందాం.

ఉదాహరణ 1 : ఒక నాణెం ఒకసారి ఎగురవేయబడినప్పుడు తల వచ్చే సంభావ్యతను కనుగొనండి. అలాగే బొమ్మ వచ్చే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

సాధన : ఒక నాణెం ఒకసారి ఎగురవేసే ప్రయోగంలో, సాధ్యమైన ఫలితాల సంఖ్య రెండు - తల (H) మరియు బొమ్మ (T). E ను ‘తల వచ్చే’ ఘటనగా ఉండనివ్వండి. E కు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య, (అంటే, తల వచ్చేది) 1. కాబట్టి,

$$ P(E)=P(\text { head })=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes }}=\dfrac{1}{2} $$

అదేవిధంగా, $\mathrm{F}$ ‘బొమ్మ వచ్చే’ ఘటన అయితే,

$$ P(F)=P(\text { tail })=\dfrac{1}{2} \quad \text { (Why ?) } $$

ఉదాహరణ 2 : ఒక సంచిలో ఒక ఎరుపు బంతి, ఒక నీలం బంతి మరియు ఒక పసుపు బంతి ఉన్నాయి, అన్ని బంతులు ఒకే పరిమాణంలో ఉన్నాయి. కృతిక సంచి నుండి బంతిని దానిలోకి చూడకుండా తీస్తుంది. ఆమె తీసే బంతి

(i) పసుపు బంతి అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?

(ii) ఎరుపు బంతి అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?

(iii) నీలం బంతి అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?

సాధన : కృతిక సంచి నుండి బంతిని దానిలోకి చూడకుండా తీస్తుంది. కాబట్టి, ఆమె వాటిలో ఏదైనా ఒకదాన్ని తీసే అవకాశం సమానంగా ఉంటుంది.

$\mathrm{Y}$ ‘తీసిన బంతి పసుపు రంగులో ఉంది’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి, B ‘తీసిన బంతి నీలం రంగులో ఉంది’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి, మరియు $\mathrm{R}$ ‘తీసిన బంతి ఎరుపు రంగులో ఉంది’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి.

ఇప్పుడు, సాధ్యమైన ఫలితాల సంఖ్య $=3$.

(i) ఘటన $Y=1$కు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య.

కాబట్టి, $\quad \mathrm{P}(\mathrm{Y})=\dfrac{1}{3}$

అదేవిధంగా, $$ \text { (ii) } \mathrm{P}(\mathrm{R})=\dfrac{1}{3} \text { and (iii) } \mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{1}{3} \text {. } $$

వ్యాఖ్యలు :

1. ప్రయోగం యొక్క ఒకే ఒక ఫలితాన్ని కలిగి ఉన్న ఘటనను ప్రాథమిక ఘటన అంటారు. ఉదాహరణ 1 లో, రెండు ఘటనలు $\mathrm{E}$ మరియు $\mathrm{F}$ ప్రాథమిక ఘటనలు. అదేవిధంగా, ఉదాహరణ 2 లో, మూడు ఘటనలు, Y, B మరియు R అన్నీ ప్రాథమిక ఘటనలు.

2. ఉదాహరణ 1 లో, మనం గమనించాము: $P(E)+P(F)=1$

ఉదాహరణ 2 లో, మనం గమనించాము: $\mathrm{P}(\mathrm{Y})+\mathrm{P}(\mathrm{R})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=1$

ఒక ప్రయోగం యొక్క అన్ని ప్రాథమిక ఘటనల సంభావ్యతల మొత్తం 1 అని గమనించండి. ఇది సాధారణంగా కూడా నిజం.

ఉదాహరణ 3 : మనం ఒక పాచికను ఒకసారి విసిరినట్లు భావించండి. (i) 4 కంటే ఎక్కువ సంఖ్య వచ్చే సంభావ్యత ఎంత? (ii) 4 కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన సంఖ్య వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?

సాధన : (i) ఇక్కడ, $\mathrm{E}$ ‘4 కంటే ఎక్కువ సంఖ్య వచ్చే’ ఘటనగా ఉండనివ్వండి. సాధ్యమైన ఫలితాల సంఖ్య ఆరు: 1, 2, 3, 4, 5 మరియు 6, మరియు $\mathrm{E}$కు అనుకూలమైన ఫలితాలు 5 మరియు 6. కాబట్టి, $\mathrm{E}$కు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య 2. కాబట్టి,

$$ P(E)=P(\text { number greater than } 4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} $$

(ii) $\mathrm{F}$ ‘4 కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన సంఖ్య వచ్చే’ ఘటనగా ఉండనివ్వండి.

సాధ్యమైన ఫలితాల సంఖ్య $=6$

ఘటన $\mathrm{F}$కు అనుకూలమైన ఫలితాలు 1, 2, 3, 4.

కాబట్టి, $\mathrm{F}$కు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య 4.

కాబట్టి, $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} $$

పై ఉదాహరణలోని ఘటనలు $\mathrm{E}$ మరియు $\mathrm{F}$ ప్రాథమిక ఘటనలా? లేదు, అవి కావు ఎందుకంటే ఘటన $\mathrm{E}$కు 2 ఫలితాలు మరియు ఘటన $\mathrm{F}$కు 4 ఫలితాలు ఉన్నాయి.

వ్యాఖ్యలు : ఉదాహరణ 1 నుండి, మనం గమనించాము

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1 \tag{1} $$

ఇక్కడ $\mathrm{E}$ ‘తల వచ్చే’ ఘటన మరియు $\mathrm{F}$ ‘బొమ్మ వచ్చే’ ఘటన.

ఉదాహరణ 3 యొక్క (i) మరియు (ii) నుండి, మనం కూడా పొందుతాము

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1 \tag{2} $$

ఇక్కడ $\mathrm{E}$ ‘సంఖ్య $>4$ వచ్చే’ ఘటన మరియు $\mathrm{F}$ ‘సంఖ్య $\leq 4$ వచ్చే’ ఘటన.

4 కంటే ఎక్కువ కాని సంఖ్య వచ్చేది 4 కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన సంఖ్య వచ్చేదితో సమానమేనని గమనించండి మరియు దీనికి విరుద్ధంగా కూడా.

పైన (1) మరియు (2) లో, F ‘E కాదు’తో సమానం కాదా? అవును, అది అలానే ఉంటుంది. మనం ‘E కాదు’ అనే ఘటనను $\overline{\mathrm{E}}$తో సూచిస్తాము.

కాబట్టి, $$ P(E)+P(\text { not } E)=1 $$

అంటే, $ P(E)+P(\bar{E})=1 \text {, which gives us } P(\bar{E})=1-P(E) \text {. } $

సాధారణంగా, ఒక ఘటన $\mathrm{E}$ కోసం ఇది నిజం,

$$ \mathbf{P}(\overline{\mathbf{E}})=1-\mathbf{P}(\mathbf{E}) $$

‘$\mathrm{E}$ కాదు’ని సూచించే ఘటన $\overline{\mathrm{E}}$, ఘటన $\mathrm{E}$ యొక్క పూరకం అంటారు. $\mathrm{E}$ మరియు $\overline{\mathrm{E}}$ పూరక ఘటనలు అని కూడా మనం చెప్తాము.

మరింత ముందుకు వెళ్లే ముందు, కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలు కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

(i) ఒక పాచికను ఒకసారి విసిరినప్పుడు సంఖ్య 8 వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?

(ii) ఒక పాచికను ఒకసారి విసిరినప్పుడు 7 కంటే తక్కువ సంఖ్య వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?

(i)కి సమాధానం ఇద్దాం:

ఒక పాచికను ఒకసారి విసిరినప్పుడు ఆరు సాధ్యమైన ఫలితాలు మాత్రమే ఉన్నాయని మనకు తెలుసు. ఈ ఫలితాలు 1, 2, 3, 4, 5 మరియు 6. పాచిక యొక్క ఏ ముఖంపైనూ 8 గుర్తించబడలేదు కాబట్టి, 8కి అనుకూలమైన ఫలితం లేదు, అంటే అటువంటి ఫలితాల సంఖ్య సున్నా. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒక పాచికను ఒకసారి విసిరినప్పుడు 8 వచ్చేది అసాధ్యం.

కాబట్టి, $$ P(\text { getting } 8)=\dfrac{0}{6}=0 $$

అంటే, సంభవించడానికి అసాధ్యమైన ఘటన యొక్క సంభావ్యత 0. అటువంటి ఘటనను అసాధ్య ఘటన అంటారు.

(ii)కి సమాధానం ఇద్దాం:

పాచిక యొక్క ప్రతి ముఖం 7 కంటే తక్కువ సంఖ్యతో గుర్తించబడినందున, దానిని ఒకసారి విసిరినప్పుడు మనం ఎల్లప్పుడూ 7 కంటే తక్కువ సంఖ్యను పొందుతామని ఖచ్చితంగా చెప్పవచ్చు. కాబట్టి, అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య అన్ని సాధ్యమైన ఫలితాల సంఖ్యతో సమానంగా ఉంటుంది, ఇది 6.

కాబట్టి, $$ P(E)=P(\text { getting a number less than } 7)=\dfrac{6}{6}=1 $$

కాబట్టి, ఖచ్చితంగా (లేదా నిశ్చయంగా) సంభవించే ఘటన యొక్క సంభావ్యత 1. అటువంటి ఘటనను ఖచ్చితమైన ఘటన లేదా నిశ్చయ ఘటన అంటారు.

గమనిక : సంభావ్యత $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ యొక్క నిర్వచనం నుండి, మనం చూస్తాము అంశం (ఘటన $\mathrm{E}$కు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య) ఎల్లప్పుడూ హారం (అన్ని సాధ్యమైన ఫలితాల సంఖ్య) కంటే తక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటుంది. కాబట్టి,

$$ 0 \leq \mathrm{P}(\mathrm{E}) \leq 1 $$

ఇప్పుడు, ఆటపాట కార్డులకు సంబంధించిన ఒక ఉదాహరణను తీసుకుందాం. మీరు ఆటపాట కార్డుల డెక్ చూశారా? ఇది 52 కార్డులను కలిగి ఉంటుంది, ఇవి ప్రతి 13 కార్డుల 4 సూట్లుగా విభజించబడ్డాయి: స్పేడ్స్ ($\spadesuit$), హార్ట్స్ ($\heartsuit$), డైమండ్స్ ($(\diamondsuit)$) మరియు క్లబ్స్ ($(\clubsuit)$). క్లబ్స్ మరియు స్పేడ్స్ నలుపు రంగులో ఉంటాయి, అయితే హార్ట్స్ మరియు డైమండ్స్ ఎరుపు రంగులో ఉంటాయి. ప్రతి సూట్లోని కార్డులు ఏస్, కింగ్, క్వీన్, జాక్, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 మరియు 2. కింగ్స్, క్వీన్స్ మరియు జాక్స్ ఫేస్ కార్డ్లు అంటారు.

ఉదాహరణ 4 : 52 కార్డుల బాగా కలిపిన డెక్ నుండి ఒక కార్డ్ తీయబడుతుంది. కార్డ్

(i) ఏస్ అయ్యే సంభావ్యత,

(ii) ఏస్ కాకపోవడం యొక్క సంభావ్యత లెక్కించండి.

సాధన : బాగా కలపడం సమానంగా సంభవించే ఫలితాలను నిర్ధారిస్తుంది.

(i) డెక్లో 4 ఏస్లు ఉన్నాయి. $\mathrm{E}$ ‘కార్డ్ ఏస్’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి.

$\mathrm{E}=4$కు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య

సాధ్యమైన ఫలితాల సంఖ్య $=52$ (ఎందుకు?)

కాబట్టి, $\quad P(E)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$

(ii) $\mathrm{F}$ ‘తీసిన కార్డ్ ఏస్ కాదు’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి.

ఘటన $\mathrm{F}=52-4=48$కు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య (ఎందుకు?)

సాధ్యమైన ఫలితాల సంఖ్య $=52$

కాబట్టి, $$ P(F)=\dfrac{48}{52}=\dfrac{12}{13} $$

వ్యాఖ్య : $\mathrm{F}$ అంటే $\overline{\mathrm{E}}$ అని గమనించండి. కాబట్టి, మనం $\mathrm{P}(\mathrm{F})$ని కింది విధంగా కూడా లెక్కించవచ్చు: $P(F)=P(\bar{E})=1-P(E)=1-\dfrac{1}{13}=\dfrac{12}{13}$.

ఉదాహరణ 5 : ఇద్దరు ఆటగాళ్లు, సంగీత మరియు రేష్మ, టెన్నిస్ మ్యాచ్ ఆడతారు. సంగీత మ్యాచ్ గెలిచే సంభావ్యత 0.62 అని తెలుసు. రేష్మ మ్యాచ్ గెలిచే సంభావ్యత ఎంత?

సాధన : S మరియు R లు సంగీత మ్యాచ్ గెలిచే ఘటన మరియు రేష్మ మ్యాచ్ గెలిచే ఘటనలను వరుసగా సూచిస్తాయి.

సంగీత గెలుపు యొక్క సంభావ్యత $=\mathrm{P}(\mathrm{S})=0.62$ (ఇవ్వబడింది)

రేష్మ గెలుపు యొక్క సంభావ్యత $=\mathrm{P}(\mathrm{R})=1-\mathrm{P}(\mathrm{S})$

[ఘటనలు $\mathrm{R}$ మరియు $\mathrm{S}$ పూరకాలు కాబట్టి]

$$ =1-0.62=0.38 $$

ఉదాహరణ 6 : సావిత మరియు హమీద స్నేహితులు. ఇద్దరికీ (i) వేర్వేరు పుట్టినరోజులు ఉండే సంభావ్యత ఎంత? (ii) ఒకే పుట్టినరోజు ఉండే సంభావ్యత ఎంత? (లీపు సంవత్సరాన్ని విస్మరించి).

సాధన : ఇద్దరు స్నేహితులలో, ఒక అమ్మాయి, అంటే, సావిత పుట్టినరోజు సంవత్సరంలో ఏ రోజైనా కావచ్చు. ఇప్పుడు, హమీద పుట్టినరోజు కూడా సంవత్సరంలోని 365 రోజులలో ఏ రోజైనా కావచ్చు.

ఈ 365 ఫలితాలు సమానంగా సంభవించే అవకాశం ఉన్నాయని మనం భావిస్తాము.

(i) హమీద పుట్టినరోజు సావిత పుట్టినరోజు నుండి భిన్నంగా