ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਅਤੇ ਗਲਤੀਆਂ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਹੁਣ ਗਣਿਤਿਕ ਦਿਲਚਸਪੀ ਅਤੇ ਵਿਹਾਰਕ ਮਹੱਤਤਾ ਦਾ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਮੂਹ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।

ਆਰ.ਐਸ. ਵੁੱਡਵਰਡ

14.1 ਸੰਭਾਵਨਾ - ਇੱਕ ਸਿਧਾਂਤਕ ਪਹੁੰਚ

ਆਓ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਥਿਤੀ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ:

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਸਿੱਕਾ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਉਛਾਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਿੱਕੇ ਦੀ ਗੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ‘ਨਿਰਪੱਖ’ ਹੈ, ਯਾਨੀ ਇਹ ਸਮਮਿਤੀ ਹੈ ਤਾਂ ਕਿ ਇਸ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਦੀ ਬਜਾਏ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਡਿੱਗਣ ਦਾ ਕੋਈ ਕਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਿੱਕੇ ਦੀ ਇਸ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਨੂੰ ‘ਪੱਖਪਾਤ ਰਹਿਤ’ ਹੋਣਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ‘ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਉਛਾਲ’ ਦੇ ਵਾਕੰਸ਼ ਦੁਆਰਾ, ਸਾਡਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਿੱਕੇ ਨੂੰ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਪੱਖਪਾਤ ਜਾਂ ਦਖਲਅੰਦਾਜ਼ੀ ਦੇ ਆਜ਼ਾਦੀ ਨਾਲ ਡਿੱਗਣ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਤੋਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿੱਕਾ ਸਿਰਫ ਦੋ ਸੰਭਾਵਿਤ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਹੀ ਡਿੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ: ਜਾਂ ਤਾਂ ਚਿੱਤ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਪੱਟ ਉੱਪਰ (ਅਸੀਂ ਇਸ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ‘ਤੇ ‘ਡਿੱਗਣ’ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਖਾਰਜ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਜੇ ਇਹ ਰੇਤ ‘ਤੇ ਡਿੱਗਦਾ ਹੈ)। ਅਸੀਂ ਤਰਕਸੰਗਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰੇਕ ਨਤੀਜਾ, ਚਿੱਤ ਜਾਂ ਪੱਟ, ਦੂਜੇ ਨਾਲੋਂ ਉੱਠਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦੇ ਕੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨਤੀਜੇ ਚਿੱਤ ਅਤੇ ਪੱਟ, ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਹਨ।

ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਇੱਕ ਵਾਰ ਸੁੱਟਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਡੇ ਲਈ, ਪਾਸਾ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਪਾਸਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜੇ ਕੀ ਹਨ? ਉਹ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ਹਨ। ਹਰੇਕ ਨੰਬਰ ਦੇ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਪਾਸਾ ਸੁੱਟਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜੇ 1,2,3,4,5 ਅਤੇ 6 ਹਨ।

ਕੀ ਹਰੇਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਹਨ? ਆਓ ਦੇਖੀਏ।

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਬੈਗ ਵਿੱਚ 4 ਲਾਲ ਗੇਂਦਾਂ ਅਤੇ 1 ਨੀਲੀ ਗੇਂਦ ਹੈ, ਅਤੇ ਤੁਸੀਂ ਬੈਗ ਵਿੱਚ ਦੇਖੇ ਬਿਨਾਂ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਕੱਢਦੇ ਹੋ। ਨਤੀਜੇ ਕੀ ਹਨ? ਕੀ ਨਤੀਜੇ - ਇੱਕ ਲਾਲ ਗੇਂਦ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨੀਲੀ ਗੇਂਦ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਹਨ? ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਥੇ 4 ਲਾਲ ਗੇਂਦਾਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਨੀਲੀ ਗੇਂਦ ਹੈ, ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਗੱਲ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੋਵੋਗੇ ਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਨੀਲੀ ਗੇਂਦ ਨਾਲੋਂ ਲਾਲ ਗੇਂਦ ਮਿਲਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੱਧ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਨਤੀਜੇ (ਇੱਕ ਲਾਲ ਗੇਂਦ ਜਾਂ ਨੀਲੀ ਗੇਂਦ) ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਬੈਗ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਰੰਗ ਦੀ ਗੇਂਦ ਕੱਢਣ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਰੇ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜੇ ਹੋਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਹੁਣ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਮੰਨਾਂਗੇ ਕਿ ਸਾਰੇ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜੇ ਹਨ।

ਕਲਾਸ IX ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਘਟਨਾ $\mathrm{E}$ ਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗਿਕ ਜਾਂ ਅਨੁਭਵਿਕ ਸੰਭਾਵਨਾ $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਸੀ

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\dfrac{\text { Number of trials in which the event happened }}{\text { Total number of trials }} $$

ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਅਨੁਭਵਿਕ ਵਿਆਖਿਆ ਨੂੰ ਉਸ ਹਰੇਕ ਘਟਨਾ ‘ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੋਈ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਵੱਡੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਸੀਮਾਵਾਂ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਬਹੁਤ ਮਹਿੰਗਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਅਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਬੇਸ਼ੱਕ, ਇਹ ਸਿੱਕਾ ਉਛਾਲਣ ਜਾਂ ਪਾਸਾ ਸੁੱਟਣ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਸੀ। ਪਰ ਇੱਕ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਦੇ ਲਾਂਚ ਕਰਨ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਉਣ ਬਾਰੇ ਕੀ, ਤਾਂ ਜੋ ਲਾਂਚ ਕਰਨ ਦੇ ਦੌਰਾਨ ਇਸ ਦੀ ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਅਨੁਭਵਿਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਭੂਚਾਲ ਦੀ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਉਣ ਬਾਰੇ ਕੀ, ਤਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਭੂਚਾਲ ਵਿੱਚ ਬਹੁ-ਮੰਜ਼ਿਲਾ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਨਸ਼ਟ ਹੋਣ ਦੀ ਅਨੁਭਵਿਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ?

ਉਹਨਾਂ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ, ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀ ਪੁਨਰਾਵ੍ਰੱਤੀ ਤੋਂ ਬਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਸਹੀ (ਸਿਧਾਂਤਕ) ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ (ਜੋ ਕਿ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ ਮੰਨਣਯੋਗ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀਆਂ ਦੋ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਿੱਕੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਦੀ) ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਧਾਰਨਾ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਇੱਕ ਘਟਨਾ E ਦੀ ਸਿਧਾਂਤਕ ਸੰਭਾਵਨਾ (ਜਿਸ ਨੂੰ ਕਲਾਸੀਕਲ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਜਿਵੇਂ ਕਿ $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$$ P(E)=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes of the experiment }} \text {, } $$

ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਹਨ।

ਅਸੀਂ ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ ਸਿਧਾਂਤਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਦਰਸਾਵਾਂਗੇ।

ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਪੀਅਰੇ ਸਾਈਮਨ ਲਾਪਲੇਸ ਦੁਆਰਾ 1795 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੀ।

ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ 16ਵੀਂ ਸਦੀ ਵਿੱਚ ਹੋਈ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਇਤਾਲਵੀ ਡਾਕਟਰ ਅਤੇ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਜੇ.ਕਾਰਡਨ ਨੇ ਇਸ ਵਿਸ਼ੇ ‘ਤੇ ਪਹਿਲੀ ਕਿਤਾਬ, ਦ ਬੁੱਕ ਆਨ ਗੇਮਜ਼ ਆਫ਼ ਚਾਂਸ ਲਿਖੀ। ਆਪਣੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਤੋਂ ਹੀ, ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਨੇ ਮਹਾਨ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਦਾ ਧਿਆਨ ਆਕਰਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਜੇਮਜ਼ ਬਰਨੌਲੀ (1654 - 1705), ਏ. ਡੀ ਮੋਇਵਰ (1667 - 1754), ਅਤੇ ਪੀਅਰੇ ਸਾਈਮਨ ਲਾਪਲੇਸ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਇਸ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਯੋਗਦਾਨ ਪਾਇਆ। ਲਾਪਲੇਸ ਦੀ ਥਿਓਰੀ ਐਨਾਲਿਟਿਕ ਡੇਸ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟਸ, 1812, ਨੂੰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਯੋਗਦਾਨ ਵਜੋਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਾਲ ਹੀ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ, ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਵਿਆਪਕ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਖੇਤਰਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨ, ਅਰਥ ਸ਼ਾਸਤਰ, ਜੈਨੇਟਿਕਸ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਸਮਾਜ ਸ਼ਾਸਤਰ ਆਦਿ ਵਿੱਚ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।

ਪੀਅਰੇ ਸਾਈਮਨ ਲਾਪਲੇਸ (1749 - 1827)

ਆਓ ਉਹਨਾਂ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜੀਆਂ ਕੁਝ ਘਟਨਾਵਾਂ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭੀਏ ਜਿੱਥੇ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਧਾਰਨਾ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 1 : ਇੱਕ ਸਿੱਕੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਉਛਾਲਣ ‘ਤੇ ਚਿੱਤ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਨਾਲ ਹੀ ਪੱਟ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ : ਇੱਕ ਸਿੱਕੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਉਛਾਲਣ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਵਿੱਚ, ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੋ ਹੈ - ਚਿੱਤ (H) ਅਤੇ ਪੱਟ (T)। ਮੰਨ ਲਓ E ਘਟਨਾ ‘ਚਿੱਤ ਆਉਣਾ’ ਹੈ। E ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, (ਯਾਨੀ, ਚਿੱਤ ਆਉਣ ਦੀ) 1 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,

$$ P(E)=P(\text { head })=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes }}=\dfrac{1}{2} $$

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ $\mathrm{F}$ ਘਟਨਾ ‘ਪੱਟ ਆਉਣਾ’ ਹੈ, ਤਾਂ

$$ P(F)=P(\text { tail })=\dfrac{1}{2} \quad \text { (Why ?) } $$

ਉਦਾਹਰਣ 2 : ਇੱਕ ਬੈਗ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲਾਲ ਗੇਂਦ, ਇੱਕ ਨੀਲੀ ਗੇਂਦ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪੀਲੀ ਗੇਂਦ ਹੈ, ਸਾਰੀਆਂ ਗੇਂਦਾਂ ਇੱਕੋ ਅਕਾਰ ਦੀਆਂ ਹਨ। ਕ੍ਰਿਤਿਕਾ ਬੈਗ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਬਿਨਾਂ ਦੇਖੇ ਕੱਢਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਕੱਢੇਗੀ

(i) ਪੀਲੀ ਗੇਂਦ?

(ii) ਲਾਲ ਗੇਂਦ?

(iii) ਨੀਲੀ ਗੇਂਦ?

ਹੱਲ : ਕ੍ਰਿਤਿਕਾ ਬੈਗ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਬਿਨਾਂ ਦੇਖੇ ਕੱਢਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਇੱਕ ਕੱਢ ਲਵੇਗੀ।

ਮੰਨ ਲਓ $\mathrm{Y}$ ਘਟਨਾ ‘ਕੱਢੀ ਗਈ ਗੇਂਦ ਪੀਲੀ ਹੈ’ ਹੈ, B ਘਟਨਾ ‘ਕੱਢੀ ਗਈ ਗੇਂਦ ਨੀਲੀ ਹੈ’ ਹੈ, ਅਤੇ $\mathrm{R}$ ਘਟਨਾ ‘ਕੱਢੀ ਗਈ ਗੇਂਦ ਲਾਲ ਹੈ’ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $=3$.

(i) ਘਟਨਾ $Y=1$ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ।

ਇਸ ਲਈ, $\quad \mathrm{P}(\mathrm{Y})=\dfrac{1}{3}$

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $$ \text { (ii) } \mathrm{P}(\mathrm{R})=\dfrac{1}{3} \text { and (iii) } \mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{1}{3} \text {. } $$

ਟਿੱਪਣੀਆਂ :

1. ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦਾ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਾਥਮਿਕ ਘਟਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਣ 1 ਵਿੱਚ, ਦੋਵੇਂ ਘਟਨਾਵਾਂ $\mathrm{E}$ ਅਤੇ $\mathrm{F}$ ਪ੍ਰਾਥਮਿਕ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਉਦਾਹਰਣ 2 ਵਿੱਚ, ਸਾਰੀਆਂ ਤਿੰਨ ਘਟਨਾਵਾਂ, Y, B ਅਤੇ R ਪ੍ਰਾਥਮਿਕ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ।

2. ਉਦਾਹਰਣ 1 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: $P(E)+P(F)=1$

ਉਦਾਹਰਣ 2 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: $\mathrm{P}(\mathrm{Y})+\mathrm{P}(\mathrm{R})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=1$

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਪ੍ਰਾਥਮਿਕ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 1 ਹੈ। ਇਹ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 3 : ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਇੱਕ ਵਾਰ ਸੁੱਟਦੇ ਹਾਂ। (i) 4 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਨੰਬਰ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ? (ii) 4 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਨੰਬਰ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?

ਹੱਲ : (i) ਇੱਥੇ, ਮੰਨ ਲਓ $\mathrm{E}$ ਘਟਨਾ ‘4 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਨੰਬਰ ਆਉਣਾ’ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਛੇ ਹੈ: 1, 2, 3, 4, 5 ਅਤੇ 6, ਅਤੇ $\mathrm{E}$ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਨਤੀਜੇ 5 ਅਤੇ 6 ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, $\mathrm{E}$ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 2 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,

$$ P(E)=P(\text { number greater than } 4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} $$

(ii) ਮੰਨ ਲਓ $\mathrm{F}$ ਘਟਨਾ ‘4 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਨੰਬਰ ਆਉਣਾ’ ਹੈ।

ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $=6$

ਘਟਨਾ $\mathrm{F}$ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਨਤੀਜੇ 1, 2, 3, 4 ਹਨ।

ਇਸ ਲਈ, $\mathrm{F}$ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 4 ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} $$

ਕੀ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਉਦਾਹਰਣ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ $\mathrm{E}$ ਅਤੇ $\mathrm{F}$ ਪ੍ਰਾਥਮਿਕ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ? ਨਹੀਂ, ਉਹ ਨਹੀਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਘਟਨਾ $\mathrm{E}$ ਦੇ 2 ਨਤੀਜੇ ਹਨ ਅਤੇ ਘਟਨਾ $\mathrm{F}$ ਦੇ 4 ਨਤੀਜੇ ਹਨ।

ਟਿੱਪਣੀਆਂ : ਉਦਾਹਰਣ 1 ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1 \tag{1} $$

ਜਿੱਥੇ $\mathrm{E}$ ਘਟਨਾ ‘ਚਿੱਤ ਆਉਣਾ’ ਹੈ ਅਤੇ $\mathrm{F}$ ਘਟਨਾ ‘ਪੱਟ ਆਉਣਾ’ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 3 ਦੇ (i) ਅਤੇ (ii) ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1 \tag{2} $$

ਜਿੱਥੇ $\mathrm{E}$ ਘਟਨਾ ‘ਇੱਕ ਨੰਬਰ $>4$ ਆਉਣਾ’ ਹੈ ਅਤੇ $\mathrm{F}$ ਘਟਨਾ ‘ਇੱਕ ਨੰਬਰ $\leq 4$ ਆਉਣਾ’ ਹੈ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ 4 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਨੰਬਰ ਨਾ ਆਉਣਾ 4 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਨੰਬਰ ਆਉਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਵੀ।

(1) ਅਤੇ (2) ਵਿੱਚ, ਕੀ F ‘E ਨਹੀਂ’ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ? ਹਾਂ, ਇਹ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਘਟਨਾ ‘E ਨਹੀਂ’ ਨੂੰ $\overline{\mathrm{E}}$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।

ਇਸ ਲਈ, $$ P(E)+P(\text { not } E)=1 $$

ਯਾਨੀ, $ P(E)+P(\bar{E})=1 \text {, which gives us } P(\bar{E})=1-P(E) \text {. } $

ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਇਹ ਸੱਚ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਘਟਨਾ $\mathrm{E}$ ਲਈ,

$$ \mathbf{P}(\overline{\mathbf{E}})=1-\mathbf{P}(\mathbf{E}) $$

ਘਟਨਾ $\overline{\mathrm{E}}$, ਜੋ ‘$\mathrm{E}$ ਨਹੀਂ’ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਨੂੰ ਘਟਨਾ $\mathrm{E}$ ਦਾ ਪੂਰਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\mathrm{E}$ ਅਤੇ $\overline{\mathrm{E}}$ ਪੂਰਕ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ।

ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਵਾਲਾਂ ਦੇ ਜਵਾਬ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੀਏ:

(i) ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਸੁੱਟਣ ‘ਤੇ 8 ਨੰਬਰ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?

(ii) ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਸੁੱਟਣ ‘ਤੇ 7 ਤੋਂ ਘੱਟ ਨੰਬਰ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?

ਆਓ (i) ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਈਏ:

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਸੁੱਟਣ ‘ਤੇ ਸਿਰਫ ਛੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਨਤੀਜੇ 1, 2, 3, 4, 5 ਅਤੇ 6 ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਪਾਸੇ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਾਸੇ ‘ਤੇ 8 ਅੰਕਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ 8 ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਕੋਈ ਨਤੀਜਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਅਜਿਹੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਸੁੱਟਣ ‘ਤੇ 8 ਆਉਣਾ ਅਸੰਭਵ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $$ P(\text { getting } 8)=\dfrac{0}{6}=0 $$

ਯਾਨੀ, ਉਸ ਘਟਨਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਜੋ ਵਾਪਰਨਾ ਅਸੰਭਵ ਹੈ, 0 ਹੈ। ਅਜਿਹੀ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਅਸੰਭਵ ਘਟਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਆਓ (ii) ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਈਏ:

ਕਿਉਂਕਿ ਪਾਸੇ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ‘ਤੇ 7 ਤੋਂ ਘੱਟ ਨੰਬਰ ਅੰਕਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ 7 ਤੋਂ ਘੱਟ ਨੰਬਰ ਮਿਲੇਗਾ। ਇਸ ਲਈ, ਅਨੁਕੂਲ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 6 ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $$ P(E)=P(\text { getting a number less than } 7)=\dfrac{6}{6}=1 $$

ਇਸ ਲਈ, ਉਸ ਘਟਨਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਜੋ ਵਾਪਰਨਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ (ਜਾਂ ਯਕੀਨੀ) ਹੈ, 1 ਹੈ। ਅਜਿਹੀ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਘਟਨਾ ਜਾਂ ਯਕੀਨੀ ਘਟਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਨੋਟ: ਸੰਭਾਵਨਾ $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅੰਸ਼ (ਘਟਨਾ $\mathrm{E}$ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ) ਹਮੇਸ਼ਾ ਹਰ (ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ) ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,

$$ 0 \leq \mathrm{P}(\mathrm{E}) \leq 1 $$

ਹੁਣ, ਆਓ ਤਾਸ਼ ਦੇ ਪੱਤਿਆਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਲਈਏ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਤਾਸ਼ ਦੇ ਪੱਤਿਆਂ ਦਾ ਡੇਕ ਦੇਖਿਆ ਹੈ? ਇਸ ਵਿੱਚ 52 ਪੱਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ 4 ਸੂਟਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ 13 ਪੱਤੇ: ਸਪੇਡ ($\spadesuit$), ਹਾਰਟ ($\heartsuit$), ਡਾਇਮੰਡ ($(\diamondsuit)$) ਅਤੇ ਕਲੱਬ ($(\clubsuit)$)। ਕਲੱਬ ਅਤੇ ਸਪੇਡ ਕਾਲੇ ਰੰਗ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਹਾਰਟ ਅਤੇ ਡਾਇਮੰਡ ਲਾਲ ਰੰਗ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਸੂਟ ਵਿੱਚ ਪੱਤੇ ਇਹ ਹਨ: ਐਸ, ਕਿੰਗ, ਕੁਈਨ, ਜੈਕ, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 ਅਤੇ 2। ਕਿੰਗ, ਕੁਈਨ ਅਤੇ ਜੈਕ ਨੂੰ ਫੇਸ ਕਾਰਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 4 : 52 ਪੱਤਿਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫੈਂਟੀ ਗਈ ਗੱਡੀ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਪੱਤਾ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਕਿ ਪੱਤਾ

(i) ਇੱਕ ਐਸ ਹੋਵੇਗਾ,

(ii) ਐਸ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ।

ਹੱਲ : ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫੈਂਟਣ ਨਾਲ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜੇ ਸੁਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

(i) ਇੱਕ ਡੇਕ ਵਿੱਚ 4 ਐਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ $\mathrm{E}$ ਘਟਨਾ ‘ਪੱਤਾ ਇੱਕ ਐਸ ਹੈ’ ਹੈ।

$\mathrm{E}=4$ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ

ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $=52$ (ਕਿਉਂ?)

ਇਸ ਲਈ, $\quad P(E)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$

(ii) ਮੰਨ ਲਓ $\mathrm{F}$ ਘਟਨਾ ‘ਕੱਢਿਆ ਗਿਆ ਪੱਤਾ ਐਸ ਨਹੀਂ ਹੈ’ ਹੈ।

ਘਟਨਾ $\mathrm{F}=52-4=48$ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ (ਕਿਉਂ?)

ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤ