সম্ভাবনার তত্ত্ব এবং ত্রুটির তত্ত্ব এখন গাণিতিক আগ্রহ এবং বাস্তবিক গুরুত্বের এক সুবিশাল সংকলন গঠন করেছে।

আর.এস. উডওয়ার্ড

১৪.১ সম্ভাবনা - একটি তাত্ত্বিক পদ্ধতি

নিম্নলিখিত পরিস্থিতি বিবেচনা করা যাক:

ধরা যাক একটি মুদ্রা এলোমেলোভাবে নিক্ষেপ করা হলো।

যখন আমরা একটি মুদ্রার কথা বলি, আমরা ধরে নিই এটি ‘ন্যায্য’, অর্থাৎ এটি প্রতিসম যাতে একপাশে পড়ার চেয়ে অন্য পাশে পড়ার কোনো কারণ নেই। আমরা মুদ্রার এই বৈশিষ্ট্যকে ‘পক্ষপাতহীন’ বলি। ‘এলোমেলো নিক্ষেপ’ বাক্যাংশ দ্বারা আমরা বোঝাই যে মুদ্রাটি কোনো পক্ষপাত বা হস্তক্ষেপ ছাড়াই স্বাধীনভাবে পড়তে দেওয়া হয়েছে।

আমরা আগে থেকেই জানি, মুদ্রাটি কেবল দুটি সম্ভাব্য উপায়ে পড়তে পারে হয় হেড (মুণ্ড) উপরে বা টেল (লেজ) উপরে (আমরা এর ‘প্রান্তে পড়ার’ সম্ভাবনা বাতিল করি, যা সম্ভব হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, যদি এটি বালিতে পড়ে)। আমরা যুক্তিসঙ্গতভাবে ধরে নিতে পারি যে প্রতিটি ফলাফল, হেড বা টেল, অন্যটির মতোই ঘটার সম্ভাবনা রয়েছে। আমরা এটিকে বোঝাতে বলি যে ফলাফল হেড এবং টেল সমভাবে সম্ভাব্য।

সমভাবে সম্ভাব্য ফলাফলের আরেকটি উদাহরণের জন্য, ধরা যাক আমরা একটি পাশা একবার নিক্ষেপ করি। আমাদের জন্য, পাশা বলতে সর্বদা একটি ন্যায্য পাশা বোঝাবে। সম্ভাব্য ফলাফলগুলি কী কী? সেগুলি হল 1, 2, 3, 4, 5, 6। প্রতিটি সংখ্যা দেখানোর একই সম্ভাবনা রয়েছে। সুতরাং একটি পাশা নিক্ষেপের সমভাবে সম্ভাব্য ফলাফলগুলি হল 1, 2, 3, 4, 5 এবং 6।

প্রতিটি পরীক্ষার ফলাফল কি সমভাবে সম্ভাব্য? দেখা যাক।

ধরা যাক একটি ব্যাগে 4টি লাল বল এবং 1টি নীল বল আছে, এবং আপনি ব্যাগের ভিতরে না তাকিয়ে একটি বল তুলছেন। ফলাফলগুলি কী কী? ফলাফলগুলি - একটি লাল বল এবং একটি নীল বল কি সমভাবে সম্ভাব্য? যেহেতু 4টি লাল বল এবং কেবল একটি নীল বল আছে, আপনি একমত হবেন যে নীল বলের চেয়ে লাল বল পাওয়ার সম্ভাবনা বেশি। সুতরাং, ফলাফলগুলি (একটি লাল বল বা একটি নীল বল) সমভাবে সম্ভাব্য নয়। তবে, ব্যাগ থেকে যেকোনো রঙের বল তোলার ফলাফল সমভাবে সম্ভাব্য। সুতরাং, সমস্ত পরীক্ষার ফলাফল সমভাবে সম্ভাব্য হওয়া আবশ্যক নয়।

তবে, এই অধ্যায়ে, এখন থেকে, আমরা ধরে নেব যে সমস্ত পরীক্ষার ফলাফল সমভাবে সম্ভাব্য।

নবম শ্রেণীতে, আমরা একটি ঘটনার পরীক্ষামূলক বা অভিজ্ঞতামূলক সম্ভাবনা $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ কে সংজ্ঞায়িত করেছি

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\dfrac{\text { Number of trials in which the event happened }}{\text { Total number of trials }} $$

সম্ভাবনার অভিজ্ঞতামূলক ব্যাখ্যা সেই সমস্ত ঘটনার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যেতে পারে যা একটি পরীক্ষার সাথে যুক্ত এবং যা বহুবার পুনরাবৃত্তি করা যায়। একটি পরীক্ষা পুনরাবৃত্তি করার প্রয়োজনীয়তার কিছু সীমাবদ্ধতা রয়েছে, কারণ এটি অনেক পরিস্থিতিতে খুব ব্যয়বহুল বা অসম্ভব হতে পারে। অবশ্যই, এটি মুদ্রা নিক্ষেপ বা পাশা নিক্ষেপের পরীক্ষায় ভালভাবে কাজ করেছে। কিন্তু একটি স্যাটেলাইট উৎক্ষেপণের পরীক্ষা পুনরাবৃত্তি করে উৎক্ষেপণের সময় এর ব্যর্থতার অভিজ্ঞতামূলক সম্ভাবনা গণনা করা, বা ভূমিকম্পের ঘটনা পুনরাবৃত্তি করে একটি বহুতল ভবন ভূমিকম্পে ধ্বংস হওয়ার অভিজ্ঞতামূলক সম্ভাবনা গণনা করার বিষয়ে কী বলা যায়?

যেসব পরীক্ষায় আমরা নির্দিষ্ট অনুমান করতে প্রস্তুত, সেখানে একটি পরীক্ষার পুনরাবৃত্তি এড়ানো যেতে পারে, কারণ অনুমানগুলি সরাসরি সঠিক (তাত্ত্বিক) সম্ভাবনা গণনা করতে সাহায্য করে। সমভাবে সম্ভাব্য ফলাফলের অনুমান (যা অনেক পরীক্ষায় বৈধ, যেমন উপরের দুটি উদাহরণে, একটি মুদ্রা এবং একটি পাশার ক্ষেত্রে) হল এমন একটি অনুমান যা আমাদের একটি ঘটনার সম্ভাবনার নিম্নলিখিত সংজ্ঞায় নিয়ে যায়।

একটি ঘটনা E-এর তাত্ত্বিক সম্ভাবনা (যাকে শাস্ত্রীয় সম্ভাবনাও বলা হয়), যাকে $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ হিসাবে লেখা হয়, সংজ্ঞায়িত করা হয়

$$ P(E)=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes of the experiment }} \text {, } $$

যেখানে আমরা ধরে নিই যে পরীক্ষার ফলাফলগুলি সমভাবে সম্ভাব্য।

আমরা সংক্ষেপে তাত্ত্বিক সম্ভাবনাকে সম্ভাবনা বলব।

সম্ভাবনার এই সংজ্ঞাটি পিয়েরে সাইমন ল্যাপ্লেস 1795 সালে দিয়েছিলেন।

সম্ভাবনা তত্ত্বের উৎপত্তি হয় 16শ শতাব্দীতে যখন একজন ইতালীয় চিকিৎসক এবং গণিতবিদ জে. কার্ডান এই বিষয়ে প্রথম বই লিখেন, দ্য বুক অন গেমস অফ চান্স। এর সূচনা থেকে, সম্ভাবনা অধ্যয়ন মহান গণিতবিদদের দৃষ্টি আকর্ষণ করেছে। জেমস বার্নুলি (1654 - 1705), এ. ডি মোয়িভ্রে (1667 - 1754), এবং পিয়েরে সাইমন ল্যাপ্লেস তাদের মধ্যে অন্যতম যারা এই ক্ষেত্রে উল্লেখযোগ্য অবদান রেখেছেন। ল্যাপ্লেসের থিওরি অ্যানালিটিক ডেস প্রোবাবিলিটিস, 1812, সম্ভাবনা তত্ত্বে একজন ব্যক্তির সর্বশ্রেষ্ঠ অবদান হিসাবে বিবেচিত হয়। সাম্প্রতিক বছরগুলিতে, সম্ভাবনা ব্যাপকভাবে জীববিজ্ঞান, অর্থনীতি, জিনতত্ত্ব, পদার্থবিদ্যা, সমাজবিজ্ঞান ইত্যাদি অনেক ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়েছে।

পিয়েরে সাইমন ল্যাপ্লেস (1749 - 1827)

আসুন কিছু ঘটনার সম্ভাবনা বের করি যেগুলি সেইসব পরীক্ষার সাথে যুক্ত যেখানে সমভাবে সম্ভাব্য অনুমান প্রযোজ্য।

উদাহরণ 1: একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর। টেল পাওয়ার সম্ভাবনাও নির্ণয় কর।

সমাধান: একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করার পরীক্ষায়, সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা দুই - হেড (H) এবং টেল (T)। ধরা যাক E ঘটনাটি হল ‘হেড পাওয়া’। E-এর অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, (অর্থাৎ, হেড পাওয়া) হল 1। অতএব,

$$ P(E)=P(\text { head })=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes }}=\dfrac{1}{2} $$

একইভাবে, যদি $\mathrm{F}$ ঘটনাটি হয় ‘টেল পাওয়া’, তবে

$$ P(F)=P(\text { tail })=\dfrac{1}{2} \quad \text { (Why ?) } $$

উদাহরণ 2: একটি ব্যাগে একটি লাল বল, একটি নীল বল এবং একটি হলুদ বল আছে, সমস্ত বল একই আকারের। ক্রিতিকা ব্যাগের ভিতরে না তাকিয়ে একটি বল বের করে। তার দ্বারা নেওয়া বলটি যে হবে তার সম্ভাবনা কত?

(i) হলুদ বল?

(ii) লাল বল?

(iii) নীল বল?

সমাধান: ক্রিতিকা ব্যাগের ভিতরে না তাকিয়ে একটি বল বের করে। সুতরাং, সে তাদের যেকোনো একটি বের করবে তা সমভাবে সম্ভাব্য।

ধরা যাক $\mathrm{Y}$ ঘটনাটি হল ‘বের করা বলটি হলুদ’, B ঘটনাটি হল ‘বের করা বলটি নীল’, এবং $\mathrm{R}$ ঘটনাটি হল ‘বের করা বলটি লাল’।

এখন, সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা $=3$।

(i) ঘটনা $Y=1$-এর অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা।

সুতরাং, $\quad \mathrm{P}(\mathrm{Y})=\dfrac{1}{3}$

একইভাবে, $$ \text { (ii) } \mathrm{P}(\mathrm{R})=\dfrac{1}{3} \text { and (iii) } \mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{1}{3} \text {. } $$

মন্তব্য:

1. একটি পরীক্ষার কেবল একটি ফলাফল বিশিষ্ট ঘটনাকে প্রাথমিক ঘটনা বলে। উদাহরণ 1-এ, উভয় ঘটনা $\mathrm{E}$ এবং $\mathrm{F}$ প্রাথমিক ঘটনা। একইভাবে, উদাহরণ 2-এ, তিনটি ঘটনা, Y, B এবং R সবই প্রাথমিক ঘটনা।

2. উদাহরণ 1-এ, আমরা লক্ষ্য করি: $P(E)+P(F)=1$

উদাহরণ 2-এ, আমরা লক্ষ্য করি: $\mathrm{P}(\mathrm{Y})+\mathrm{P}(\mathrm{R})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=1$

লক্ষ্য করুন যে একটি পরীক্ষার সমস্ত প্রাথমিক ঘটনার সম্ভাবনার যোগফল 1। এটি সাধারণভাবে সত্য।

উদাহরণ 3: ধরা যাক আমরা একটি পাশা একবার নিক্ষেপ করি। (i) 4-এর চেয়ে বড় একটি সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত? (ii) 4-এর চেয়ে ছোট বা সমান একটি সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: (i) এখানে, ধরা যাক $\mathrm{E}$ ঘটনাটি হল ‘4-এর চেয়ে বড় একটি সংখ্যা পাওয়া’। সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা ছয়: 1, 2, 3, 4, 5 এবং 6, এবং $\mathrm{E}$-এর অনুকূল ফলাফলগুলি হল 5 এবং 6। অতএব, $\mathrm{E}$-এর অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা হল 2। সুতরাং,

$$ P(E)=P(\text { number greater than } 4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} $$

(ii) ধরা যাক $\mathrm{F}$ ঘটনাটি হল ‘4-এর চেয়ে ছোট বা সমান একটি সংখ্যা পাওয়া’।

সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা $=6$

ঘটনা $\mathrm{F}$-এর অনুকূল ফলাফলগুলি হল 1, 2, 3, 4।

সুতরাং, $\mathrm{F}$-এর অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা হল 4।

অতএব, $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} $$

উপরের উদাহরণে ঘটনা $\mathrm{E}$ এবং $\mathrm{F}$ কি প্রাথমিক ঘটনা? না, তারা নয় কারণ ঘটনা $\mathrm{E}$-এর 2টি ফলাফল আছে এবং ঘটনা $\mathrm{F}$-এর 4টি ফলাফল আছে।

মন্তব্য: উদাহরণ 1 থেকে, আমরা লক্ষ্য করি

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1 \tag{1} $$

যেখানে $\mathrm{E}$ ঘটনাটি হল ‘হেড পাওয়া’ এবং $\mathrm{F}$ ঘটনাটি হল ‘টেল পাওয়া’।

উদাহরণ 3-এর (i) এবং (ii) থেকে, আমরা পাই

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1 \tag{2} $$

যেখানে $\mathrm{E}$ ঘটনাটি হল ‘একটি সংখ্যা পাওয়া $>4$’ এবং $\mathrm{F}$ ঘটনাটি হল ‘একটি সংখ্যা পাওয়া $\leq 4$’।

লক্ষ্য করুন যে 4-এর চেয়ে বড় নয় এমন একটি সংখ্যা পাওয়া হল 4-এর চেয়ে ছোট বা সমান একটি সংখ্যা পাওয়ার সমান, এবং তদ্বিপরীত।

উপরের (1) এবং (2)-এ, F কি ‘E নয়’ এর সমান নয়? হ্যাঁ, তাই। আমরা ‘E নয়’ ঘটনাটিকে $\overline{\mathrm{E}}$ দ্বারা চিহ্নিত করি।

সুতরাং, $$ P(E)+P(\text { not } E)=1 $$

অর্থাৎ, $ P(E)+P(\bar{E})=1 \text {, which gives us } P(\bar{E})=1-P(E) \text {. } $

সাধারণভাবে, এটি সত্য যে একটি ঘটনা $\mathrm{E}$-এর জন্য,

$$ \mathbf{P}(\overline{\mathbf{E}})=1-\mathbf{P}(\mathbf{E}) $$

ঘটনা $\overline{\mathrm{E}}$, যা ‘$\mathrm{E}$ নয়’ কে প্রতিনিধিত্ব করে, তাকে ঘটনা $\mathrm{E}$-এর পরিপূরক বলা হয়। আমরা আরও বলি যে $\mathrm{E}$ এবং $\overline{\mathrm{E}}$ পরিপূরক ঘটনা।

আগে বাড়ার আগে, আসুন নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর খুঁজে বের করার চেষ্টা করি:

(i) একটি পাশা একবার নিক্ষেপ করলে 8 সংখ্যাটি পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

(ii) একটি পাশা একবার নিক্ষেপ করলে 7-এর চেয়ে ছোট একটি সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

আসুন (i) উত্তর দিই:

আমরা জানি যে একটি পাশা একবার নিক্ষেপ করলে কেবল ছয়টি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে। এই ফলাফলগুলি হল 1, 2, 3, 4, 5 এবং 6। যেহেতু পাশার কোনো মুখেই 8 চিহ্নিত নেই, তাই 8-এর অনুকূল কোনো ফলাফল নেই, অর্থাৎ, এমন ফলাফলের সংখ্যা শূন্য। অন্য কথায়, একটি পাশা একবার নিক্ষেপ করলে 8 পাওয়া অসম্ভব।

সুতরাং, $$ P(\text { getting } 8)=\dfrac{0}{6}=0 $$

অর্থাৎ, একটি ঘটনা যা ঘটতে অসম্ভব তার সম্ভাবনা 0। এমন ঘটনাকে একটি অসম্ভব ঘটনা বলে।

আসুন (ii) উত্তর দিই:

যেহেতু একটি পাশার প্রতিটি মুখ 7-এর চেয়ে ছোট একটি সংখ্যা দিয়ে চিহ্নিত, তাই এটি নিশ্চিত যে আমরা যখন এটি একবার নিক্ষেপ করি তখন সর্বদা 7-এর চেয়ে ছোট একটি সংখ্যা পাব। সুতরাং, অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যার সমান, যা হল 6।

অতএব, $$ P(E)=P(\text { getting a number less than } 7)=\dfrac{6}{6}=1 $$

সুতরাং, একটি ঘটনা যা ঘটবে তা নিশ্চিত (বা অবশ্যম্ভাবী) তার সম্ভাবনা 1। এমন ঘটনাকে একটি নিশ্চিত ঘটনা বা অবশ্যম্ভাবী ঘটনা বলে।

দ্রষ্টব্য: সম্ভাবনা $\mathrm{P}(\mathrm{E})$-এর সংজ্ঞা থেকে, আমরা দেখি যে লব (ঘটনা $\mathrm{E}$-এর অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা) সর্বদা হর (সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা) এর চেয়ে কম বা সমান। অতএব,

$$ 0 \leq \mathrm{P}(\mathrm{E}) \leq 1 $$

এখন, আসুন তাস খেলার সাথে সম্পর্কিত একটি উদাহরণ নিই। আপনি কি তাসের ডেক দেখেছেন? এতে 52টি তাস থাকে যা 4টি স্যুটে বিভক্ত, প্রতিটিতে 13টি তাস: স্পেড ($\spadesuit$), হার্ট ($\heartsuit$), ডায়মন্ড ($(\diamondsuit)$) এবং ক্লাব ($(\clubsuit)$)। ক্লাব এবং স্পেড কালো রঙের, অন্যদিকে হার্ট এবং ডায়মন্ড লাল রঙের। প্রতিটি স্যুটের তাসগুলি হল এক্কা, রাজা, রানী, গুলাম, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 এবং 2। রাজা, রানী এবং গুলামকে ফেস কার্ড বলে।

উদাহরণ 4: 52টি তাসের একটি ভালোভাবে ঝাঁকানো ডেক থেকে একটি তাস টানা হলো। সম্ভাবনা গণনা করুন যে তাসটি

(i) একটি এক্কা হবে,

(ii) একটি এক্কা হবে না।

সমাধান: ভালোভাবে ঝাঁকানো সমভাবে সম্ভাব্য ফলাফল নিশ্চিত করে।

(i) একটি ডেকে 4টি এক্কা আছে। ধরা যাক $\mathrm{E}$ ঘটনাটি হল ‘তাসটি একটি এক্কা’।

$\mathrm{E}=4$-এর অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা

সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা $=52$ (কেন?)

অতএব, $\quad P(E)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$

(ii) ধরা যাক $\mathrm{F}$ ঘটনাটি হল ‘টানা তাসটি একটি এক্কা নয়’।

ঘটনা $\mathrm{F}=52-4=48$-এর অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা (কেন?)

সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা $=52$

অতএব, $$ P(F)=\dfrac{48}{52}=\dfrac{12}{13} $$

মন্তব্য: লক্ষ্য করুন যে $\mathrm{F}$ কিছুই নয় কিন্তু $\overline{\mathrm{E}}$। অতএব, আমরা $\mathrm{P}(\mathrm{F})$ নিম্নরূপেও গণনা করতে পারি: $P(F)=P(\bar{E})=1-P(E)=1-\dfrac{1}{13}=\dfrac{12}{13}$।

উদাহরণ 5: দুই খেলোয়াড়, সঙ্গীতা এবং রেশমা, একটি টেনিস ম্যাচ খেলেন। এটি জানা আছে যে সঙ্গীতা ম্যাচ জেতার সম্ভাবনা 0.62। রেশমা ম্যাচ জেতার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: ধরা যাক S এবং R যথাক্রমে সঙ্গীতা ম্যাচ জিতেছে এবং রেশমা ম্যাচ জিতেছে ঘটনাগুলি বোঝায়।

সঙ্গীতার জেতার সম্ভাবনা $=\mathrm{P}(\mathrm{S})=0.62$ (প্রদত্ত)

রেশমার জেতার সম্ভাবনা $=\mathrm{P}(\mathrm{R})=1-\mathrm{P}(\mathrm{S})$

[যেহেতু ঘটনা $\mathrm{R}$ এবং $\mathrm{S}$ পরিপূরক]

$$ =1-0.62=0.38 $$

উদাহরণ 6: সবিতা এবং হামিদা বন্ধু। উভয়ের (i) ভিন্ন জন্মদিন হওয়ার সম্ভাবনা কত? (ii) একই জন্মদিন হওয়ার সম্ভাবনা কত? (লিপ ইয়ার উপেক্ষা করে)।

সমাধান: দুই বন্ধুর মধ্যে, একজন মেয়ে, ধরা যাক, সবিতার জন্মদিন বছরের যেকোনো দিন হতে পারে। এখন, হামিদার জন্মদিনও বছরের 365 দিনের যেকোনো দিন হতে পারে।

আমরা ধরে নিই যে এই 365টি ফলাফল সমভাবে সম্ভাব্য।

(i) যদি হামিদার জন্মদিন সবিতার থেকে ভিন্ন হয়, তাহলে তার জন্মদিনের অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা হল $365-1=364$

সুতরাং, P (হামিদার জন্মদিন সবিতার জন্মদিন থেকে ভিন্ন) $=\dfrac{364}{365}$

(ii) $\mathrm{P}$ (সবিতা এবং হামিদার একই জন্মদিন)

$$ \begin{aligned} & =1-\mathrm{P} \text { (both have different birthdays) } \\ & =1-\dfrac{364}{365} \quad[\text { Using } \mathrm{P}(\overline{\mathrm{E}})=1-\mathrm{P}(\mathrm{E})] \\ & =\dfrac{1}{365} \end{aligned} $$

উদাহরণ 7: একটি স্কুলের $\mathrm{X}$ শ্রেণীতে 40 জন শিক্ষার্থী আছেন যাদের মধ্যে 25 জন মেয়ে এবং 15 জন ছেলে। শ্রেণী শিক্ষককে একজন শিক্ষার্থীকে শ্রেণী প্রতিনিধি হিসাবে নির্বাচন করতে হবে। তিনি প্রতিটি শিক্ষার্থীর নাম একটি আলাদা কার্ডে লিখেন, কার্ডগুলি অভিন্ন। তারপর তিনি কার্ডগুলি একটি ব্যাগে রাখেন এবং ভালোভাবে নাড়ান। তারপর তিনি ব্যাগ থেকে একটি কার্ড বের করেন। কার্ডে লেখা নামটি যে হবে তার সম্ভাবনা কত? (i) একটি মেয়ের? (ii) একটি ছেলের?

সমাধান: 40 জন শিক্ষার্থী আছেন, এবং কেবল একটি নামের কার্ড বেছে নিতে হবে।

(i) সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা হল 40

একটি মেয়ের নাম সহ একটি কার্ডের অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা = 25 (কেন?)

অতএব, $\mathrm{P}($ একটি মেয়ের নাম সহ কার্ড $)=\mathrm{P}($ মেয়ে $)=\dfrac{25}{40}=\dfrac{5}{8}$

(ii) একটি ছেলের নাম সহ একটি কার্ডের অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা $=15$ (কেন?)

অতএব, $\mathrm{P}($ একটি ছেলের নাম সহ কার্ড $)=\mathrm{P}($ ছেলে $)=\dfrac{15}{40}=\dfrac{3}{8}$

দ্রষ্টব্য: আমরা $\mathrm{P}(\mathrm{Boy})$ নিম্নরূপেও নির্ণয় করতে পারি:

$$ \mathrm{P}(\text { Boy })=1-\mathrm{P}(\text { not Boy })=1-\mathrm{P}(\text { Girl })=1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8} $$

উদাহরণ 8: একটি বাক্সে 3টি নীল, 2টি সাদা এবং 4টি লাল মার্বেল আছে। যদি বাক্স থেকে এলোমেলোভাবে একটি মার্বেল টানা হয়, তাহলে এটি যে হবে তার সম্ভাবনা কত?

(i) সাদা?

(ii) নীল?

(iii) লাল?

সমাধান: বলা যে একটি মার্বেল এলোমেলোভাবে টানা হয়েছে হল সংক্ষেপে বলা যে সমস্ত মার্বেল টানার সমান সম্ভাবনা রয়েছে। অতএব,

সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা $=3+2+4=9 \quad$ (কেন?)

ধরা যাক $\mathrm{W}$ ঘটনাটি বোঝায় ‘মার্বেলটি সাদা’, $\mathrm{B}$ ঘটনাটি বোঝায় ‘মার্বেলটি নীল’ এবং $\mathrm{R}$ ঘটনাটি বোঝায় ‘মার্বেলটি লাল’।

(i) ঘটনা $\mathrm{W}=2$-এর অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা

সুতরাং, $\mathrm{P}(\mathrm{W})=\dfrac{2}{9}$

একইভাবে,

(ii) $\mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ এবং

(iii) $\mathrm{P}(\mathrm{R})=\dfrac{4}{9}$

লক্ষ্য করুন যে $\mathrm{P}(\mathrm{W})+\mathrm{P}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\mathrm{R})=1$।

উদাহরণ 9: হারপ্রীত একই সাথে দুটি ভিন্ন মুদ্রা নিক্ষেপ করে (ধরা যাক, একটি ₹1 এবং অন্যটি ₹2)। সে অন্তত একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: আমরা $\mathrm{H}$ লিখি ‘হেড’ এর জন্য এবং $\mathrm{T}$ লিখি ‘টেল’ এর জন্য। যখন দুটি মুদ্রা একই সাথে নিক্ষেপ করা হয়, তখন সম্ভাব্য ফলাফলগুলি হল $(\mathrm{H}, \mathrm{H}),(\mathrm{H}, \mathrm{T}),(\mathrm{T}, \mathrm{H}),(\mathrm{T}, \mathrm{T})$, যা সবই সমভাবে সম্ভাব্য। এখানে $(\mathrm{H}, \mathrm{H})$ মানে প্রথম মুদ্রায় (ধরা যাক ₹1) হেড এবং দ্বিতীয় মুদ্রায় (₹2) হেড। একইভাবে (H, T) মানে প্রথম মুদ্রায় হেড এবং দ্বিতীয় মুদ্রায় টেল ইত্যাদি।

ঘটনা $\mathrm{E}$, ‘অন্তত একটি হেড’ এর অনুকূল ফলাফলগুলি হল $(\mathrm{H}, \mathrm{H}),(\mathrm{H}, \mathrm{T})$ এবং (T, H)। (কেন?)

সুতরাং, $\mathrm{E}$-এর অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা হল 3।

অতএব, $\quad \mathrm{P}(\mathrm{E})=\dfrac{3}{4}$

অর্থাৎ, হারপ্রীতের অন্তত একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা হল $\dfrac{3}{4}$।

দ্রষ্টব্য: আপনি $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ নিম্নরূপেও পেতে পারেন:

$$ P(E)=1-P(\bar{E})=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} \quad\left(\text { Since } P(\bar{E})=P(\text { no head })=\dfrac{1}{4}\right) $$

আপনি কি লক্ষ্য করেছেন যে এখন পর্যন্ত আলোচিত সমস্ত উদাহরণে, প্রতিটি পরীক্ষায় সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা সসীম ছিল? যদি না হয়, এখনই পরীক্ষা করুন।

অনেক পরীক্ষা আছে যেখানে ফলাফল দুটি প্রদত্ত সংখ্যার মধ্যে যেকোনো সংখ্যা, বা যেখানে ফলাফল একটি বৃত্ত বা আয়তক্ষেত্রের মধ্যে প্রতিটি বিন্দু, ইত্যাদি। আপনি কি এখন সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা গণনা করতে পারেন? আপনি জানেন, এটি সম্ভব নয় কারণ দুটি প্রদত্ত সংখ্যার মধ্যে অসীম অনেক সংখ্যা আছে, বা একটি বৃত্তের মধ্যে অসীম অনেক বিন্দু আছে। সুতরাং, সম্ভাবনার (তাত্ত্বিক) সংজ্ঞা যা আপনি এখন পর্যন্ত শিখেছেন তা বর্তমান রূপে প্রয়োগ করা যাবে না। উপায় কী? এটি উত্তর দিতে, আসুন নিম্নলিখিত উদাহরণটি বিবেচনা করি:

উদাহরণ 10: একটি মিউজিক্যাল চেয়ার গেমে, যে ব্যক্তি সংগীত বাজাচ্ছে তাকে পরামর্শ দেওয়া হয়েছে যে সে সংগীত বাজানো শুরু করার পরে 2 মিনিটের মধ্যে যেকোনো সময় সংগীত বাজানো বন্ধ করবে। সংগীত শুরু হওয়ার পর প্রথম অর্ধ-মিনিটের মধ্যে বন্ধ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: এখানে সম্ভাব্য ফলাফলগুলি হল 0 এবং 2 এর মধ্যে সমস্ত সংখ্যা। এটি হল সংখ্যারেখার 0 থেকে 2 পর্যন্ত অংশ (চিত্র 14.1 দেখুন)।

চিত্র 14.1

ধরা যাক $\mathrm{E}$ ঘটনাটি হল ‘সংগীত প্রথম অর্ধ-মিনিটের মধ্যে বন্ধ করা হয়েছে’।

$\mathrm{E}$-এর অনুকূল ফলাফলগুলি হল সংখ্যারেখার 0 থেকে $\dfrac{1}{2}$ পর্যন্ত বিন্দু।

0 থেকে 2 পর্যন্ত দূরত্ব হল 2, অন্যদিকে 0 থেকে $\dfrac{1}{2}$ পর্যন্ত দূরত্ব হল $\dfrac{1}{2}$।

যেহেতু সমস্ত ফলাফল সমভাবে সম্ভাব্য, আমরা যুক্তি দিতে পারি যে মোট দূরত্ব 2-এর মধ্যে, ঘটনা $\mathrm{E}$-এর অনুকূল দূরত্ব হল $\dfrac{1}{2}$।

সুতরাং, $\quad P(E)=\dfrac{\text { Distance favourable to the event } E}{\text { Total distance in which outcomes can lie }}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{4}$

আমরা কি এখন উদাহরণ 10-এর ধারণাটি সম্ভাব্যতা হিসাবে অনুকূল ক্ষেত্রফল থেকে মোট ক্ষেত্রফলের অনুপাত বের করার জন্য প্রসারিত করতে পারি?

উদাহরণ 11[^0]: একটি নিখোঁজ হেলিকপ্টার চিত্র 14.2-এ দেখানো আয়তক্ষেত্রাকার অঞ্চলের কোথাও বিধ্বস্ত হয়েছে বলে জানানো হয়েছে। এটি চিত্রে দেখানো হ্রদের ভিতরে বিধ্বস্ত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

চিত্র 14.2

সমাধান: হেলিকপ্টারটি অঞ্চলের যেকোনো জায়গায় সমভাবে সম্ভাব্য বিধ্বস্ত হতে পারে।

সম্পূর্ণ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল যেখানে হেলিকপ্টারটি বিধ্বস্ত হতে পারে

$$ =(4.5 \times 9) \mathrm{km}^{2}=40.5 \mathrm{~km}^{2} $$

হ্রদের ক্ষেত্রফল $=(2.5 \times 3) \mathrm{km}^{2}=7.5 \mathrm{~km}^{2}$

অতএব, $\mathrm{P}$ (হেলিকপ্টার হ্রদের মধ্যে বিধ্বস্ত হয়েছে) $=\dfrac{7.5}{40.5}=\dfrac{75}{405}=\dfrac{5}{27}$

উদাহরণ 12: একটি কার্টনে 100টি শার্ট আছে যার মধ্যে 88টি ভাল, 8টির সামান্য ত্রুটি আছে এবং 4টির গুরুতর ত্রুটি আছে। জিমি, একজন ব্যবসায়ী, কেবল সেই শার্টগুলি গ্রহণ করবেন যা ভাল, কিন্তু সুজাতা, আরেকজন ব্যবসায়ী, কেবল সেই শার্টগুলি প্রত্যাখ্যান করবেন যাদের গুরুতর ত্রুটি আছে। কার্টন থেকে এলোমেলোভাবে একটি শার্ট টানা হলো। সম্ভাবনা কত যে

(i) এটি জিমির কাছে গ্রহণযোগ্য?

(ii) এটি সুজাতার কাছে গ্রহণযোগ্য?

সমাধান: 100টি শার্টের কার্টন থেকে এলোমেলোভাবে একটি শার্ট টানা হলো। অতএব, 100টি সমভাবে সম্ভাব্য ফলাফল আছে।

(i) জিমির জন্য অনুকূল (অর্থাৎ, গ্রহণযোগ্য) ফলাফলের সংখ্যা $=88$ (কেন?)

অতএব, $\mathrm{P}$ (শার্টটি জিমির কাছে গ্রহণযোগ্য) $=\dfrac{88}{100}=0.88$

(ii) সুজাতার জন্য অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা $=88+8=96$ (কেন?)

সুতরাং, $\mathrm{P}$ (শার্টটি সুজাতার কাছে গ্রহণযোগ্য) $=\dfrac{96}{100}=0.96$

উদাহরণ 13: দুটি পাশা, একটি নীল এবং একটি ধূসর, একই সময়ে নিক্ষেপ করা হলো। সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফল লিখুন। পাশার শীর্ষে উপস্থিত দুটি সংখ্যার যোগফল যে হবে তার সম্ভাবনা কত?

(i) 8?

(ii) 13?

(iii) 12-এর চেয়ে ছোট বা সমান?

সমাধান: যখন নীল পাশাটি ‘1’ দেখায়, ধূসর পাশাটি $1,2,3,4,5,6$ সংখ্যাগুলির যেকোনো একটি দেখাতে পারে। একই কথা সত্য যখন নীল পাশাটি ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’ বা ‘6’ দেখায়। পরীক্ষার সম্ভাব্য ফলাফলগুলি নীচের সারণীতে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে; প্রতিটি ক্রমযুক্ত জোড়ার প্রথম সংখ্যাটি নীল পাশায় উপস্থিত সংখ্যা এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি ধূসর পাশায় উপস্থিত সংখ্যা।

চিত্র 14.3

লক্ষ্য করুন যে জোড়া $(1,4)$ $(4,1)$ থেকে আলাদা। (কেন?)

সুতরাং, সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা $=6 \times 6=36$।

(i) ঘটনা ‘দুটি সংখ্যার যোগফল 8’ এর অনুকূল ফলাফলগুলি, যাকে E দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, হল: $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$ (চিত্র 14.3 দেখুন)

অর্থাৎ, $\mathrm{E}=5$-এর অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা।

অতএব, $P(E)=\dfrac{5}{36}$

(ii) আপনি চিত্র 14.3 থেকে দেখতে পারেন, ঘটনা F, ‘দুটি সংখ্যার যোগফল 13’ এর জন্য কোনো অনুকূল ফলাফল নেই।

সুতরাং, $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{0}{36}=0 $$

(iii) আপনি চিত্র 14.3 থেকে দেখতে পারেন, সমস্ত ফলাফল ঘটনা G, ‘দুটি সংখ্যার যোগফল $\leq 12$’ এর অনুকূল।

সুতরাং, $$ P(G)=\dfrac{36}{36}=1 $$

১৪.২ সারসংক্ষেপ

এই অধ্যায়ে, আপনি নিম্নলিখিত বিষয়গুলি অধ্যয়ন করেছেন:

1. একটি ঘটনা $\mathrm{E}$-এর তাত্ত্বিক (শাস্ত্রীয়) সম্ভাবনা, যাকে $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ হিসাবে লেখা হয়, সংজ্ঞায়িত করা হয়

$$ P(E)=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes of the experiment }} $$

যেখানে আমরা ধরে নিই যে পরীক্ষার ফলাফলগুলি সমভাবে সম্ভাব্য।

2. একটি নিশ্চিত ঘটনার সম্ভাবনা 1।

3. একটি অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা 0।

4. একটি ঘটনা $\mathrm{E}$-এর সম্ভাবনা হল একটি সংখ্যা $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ যাতে

$$ 0 \leq \mathrm{P}(\mathrm{E}) \leq 1 $$

5. একটি মাত্র ফলাফল বিশিষ্ট ঘটনাকে প্রাথমিক ঘটনা বলে। একটি পরীক্ষার সমস্ত প্রাথমিক ঘটনার সম্ভাবনার যোগফল 1।

6. যেকোনো ঘটনা $E, P(E)+P(\bar{E})=1$-এর জন্য, যেখানে $\bar{E}$ দাঁড়ায় ‘$E$ নয়’। $E$ এবং $\bar{E}$ কে পরিপূরক ঘটনা বলে।

পাঠকের জন্য একটি নোট

একটি ঘটনার পরীক্ষামূলক বা অভিজ্ঞতামূলক সম্ভাবনা কী ঘটেছে তার উপর ভিত্তি করে, যখন ঘটনার তাত্ত্বিক সম্ভাবনা নির্দিষ্ট অনুমানের ভিত্তিতে কী ঘটবে তা ভবিষ্যদ্বাণী করার চেষ্টা করে। একটি পরীক্ষায় ট্রায়ালের সংখ্যা বাড়তে থাকলে আমরা আশা করতে পারি যে পরীক্ষামূলক এবং তাত্ত্বিক সম্ভাবনা প্রায় একই হবে।