संभाव्यता सिद्धांत आणि त्रुटी सिद्धांत आता गणितीय दृष्ट्या अत्यंत रसपूर्ण आणि व्यावहारिक दृष्ट्या अत्यंत महत्त्वाची एक प्रचंड संरचना बनली आहे.

आर.एस. वुडवर्ड

१४.१ संभाव्यता - एक सैद्धांतिक दृष्टिकोन

चला पुढील परिस्थितीचा विचार करूया :

समजा एक नाणे यादृच्छिकपणे फेकले जाते.

जेव्हा आपण नाण्याचा उल्लेख करतो, तेव्हा आपण असे गृहीत धरतो की ते ‘निष्पक्ष’ आहे, म्हणजे ते सममितीय आहे जेणेकरून ते एका बाजूवर दुसऱ्या बाजूपेक्षा अधिक वेळा खाली येण्याचे काही कारण नाही. आपण नाण्याच्या या गुणधर्माला ‘पक्षपातरहित’ म्हणतो. ‘यादृच्छिक फेक’ या शब्दसमूहाचा अर्थ असा आहे की नाणे कोणत्याही पक्षपात किंवा हस्तक्षेपाशिवाय मुक्तपणे खाली पडू दिले जाते.

आपल्याला आधीच माहित आहे की नाणे फक्त दोन संभाव्य प्रकारांपैकी एका प्रकारे पडू शकते - एकतर काटा वर किंवा छापा वर (आपण त्याच्या ‘काठावर पडण्याची’ शक्यता दुर्लक्षित करतो, जी शक्य आहे, उदाहरणार्थ, जर ते वाळूवर पडले तर). आपण योग्यरितीने असे गृहीत धरू शकतो की प्रत्येक निष्पत्ती, काटा किंवा छापा, इतर प्रमाणेच घडण्याची शक्यता आहे. आपण हे सांगून संदर्भ देतो की काटा आणि छापा या निष्पत्ती समसंभाव्य आहेत.

समसंभाव्य निष्पत्तींचे दुसरे उदाहरण म्हणून, समजा आपण एकदा फासा फेकतो. आपल्यासाठी, फासा नेहमीच निष्पक्ष फासा असा अर्थ धरणार. संभाव्य निष्पत्ती कोणत्या? त्या आहेत १, २, ३, ४, ५, ६. प्रत्येक संख्येला दर्शवण्याची समान शक्यता आहे. म्हणून फासा फेकण्याच्या समसंभाव्य निष्पत्ती आहेत १, २, ३, ४, ५ आणि ६.

प्रत्येक प्रयोगाच्या निष्पत्ती समसंभाव्य असतात का? चला पाहूया.

समजा एका पिशवीत ४ लाल चेंडू आणि १ निळा चेंडू आहेत, आणि तुम्ही पिशवीत न पाहता एक चेंडू काढता. निष्पत्ती कोणत्या? निष्पत्ती - एक लाल चेंडू आणि एक निळा चेंडू समसंभाव्य आहेत का? ४ लाल चेंडू आणि फक्त एक निळा चेंडू असल्यामुळे, तुम्ही सहमत असाल की निळ्या चेंडूपेक्षा लाल चेंडू मिळण्याची शक्यता अधिक आहे. म्हणून, निष्पत्ती (लाल चेंडू किंवा निळा चेंडू) समसंभाव्य नाहीत. तथापि, पिशवीतून कोणत्याही रंगाचा चेंडू काढण्याची निष्पत्ती समसंभाव्य आहे. म्हणून, सर्व प्रयोगांमध्ये समसंभाव्य निष्पत्ती असणे आवश्यक नाही.

तथापि, या प्रकरणात, आतापासून पुढे, आपण असे गृहीत धरू की सर्व प्रयोगांच्या निष्पत्ती समसंभाव्य आहेत.

इयत्ता नववी मध्ये, आपण एखाद्या घटनेची $\mathrm{E}$ प्रायोगिक किंवा अनुभवजन्य संभाव्यता $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ म्हणून परिभाषित केली होती

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\dfrac{\text { Number of trials in which the event happened }}{\text { Total number of trials }} $$

संभाव्यतेचा अनुभवजन्य अर्थ लावणे अशा प्रत्येक घटनेवर लागू केले जाऊ शकते जी प्रयोगाशी संबंधित आहे आणि जी मोठ्या संख्येने पुनरावृत्ती केली जाऊ शकते. प्रयोगाची पुनरावृत्ती करण्याच्या आवश्यकतेवर काही मर्यादा आहेत, कारण अनेक परिस्थितींमध्ये ती खूप महाग किंवा अशक्य असू शकते. नाणे फेकणे किंवा फासा फेकण्याच्या प्रयोगांमध्ये ती नक्कीच चांगली काम केली. परंतु उपग्रह प्रक्षेपणाच्या प्रयोगाची पुनरावृत्ती करून त्याच्या प्रक्षेपणादरम्यान अपयशी ठरण्याची अनुभवजन्य संभाव्यता काढणे, किंवा भूकंपाच्या घटनेची पुनरावृत्ती करून बहुमजली इमारत भूकंपात नष्ट होण्याची अनुभवजन्य संभाव्यता काढणे याबद्दल काय?

अशा प्रयोगांमध्ये जेथे आपण काही गृहीतके करण्यास तयार आहोत, तेथे प्रयोगाची पुनरावृत्ती टाळता येऊ शकते, कारण गृहीतके नेमकी (सैद्धांतिक) संभाव्यता थेट काढण्यास मदत करतात. समसंभाव्य निष्पत्तींचे गृहीत (जे अनेक प्रयोगांमध्ये वैध आहे, जसे वरील दोन उदाहरणांमध्ये, नाणे आणि फासा) हे एक असे गृहीत आहे जे आपल्याला घटनेच्या संभाव्यतेच्या पुढील व्याख्येकडे नेतं.

घटना E ची सैद्धांतिक संभाव्यता (याला शास्त्रीय संभाव्यता देखील म्हणतात), $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ असे लिहिलेले, खालीलप्रमाणे परिभाषित केली आहे

$$ P(E)=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes of the experiment }} \text {, } $$

जेथे आपण असे गृहीत धरतो की प्रयोगाच्या निष्पत्ती समसंभाव्य आहेत.

आपण थोडक्यात सैद्धांतिक संभाव्यतेचा संभाव्यता म्हणून उल्लेख करू.

संभाव्यतेची ही व्याख्या पियरे सायमन लाप्लेस यांनी १७९५ मध्ये दिली होती.

संभाव्यता सिद्धांताचा उगम १६ व्या शतकात झाला जेव्हा इटालियन वैद्य आणि गणितज्ञ जे.कार्डन यांनी या विषयावरील पहिले पुस्तक, ‘द बुक ऑन गेम्स ऑफ चान्स’ लिहिले. त्याच्या सुरुवातीपासूनच, संभाव्यतेच्या अभ्यासाने महान गणितज्ञांचे लक्ष वेधले आहे. जेम्स बर्नौली (१६५४ - १७०५), ए. डी मोइव्हर (१६६७ - १७५४), आणि पियरे सायमन लाप्लेस यांसारख्या व्यक्ती या क्षेत्रात महत्त्वपूर्ण योगदान देणाऱ्यांमध्ये आहेत. लाप्लेसचे ‘थिओरी एनालिटिक डेस प्रोबॅबिलिटीज’, १८१२, हे संभाव्यता सिद्धांतात एका व्यक्तीने दिलेले सर्वात मोठे योगदान मानले जाते. अलीकडच्या वर्षांत, संभाव्यता जीवशास्त्र, अर्थशास्त्र, आनुवंशिकता, भौतिकशास्त्र, समाजशास्त्र इत्यादी अनेक क्षेत्रांमध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरली जात आहे.

पियरे सायमन लाप्लेस (१७४९ - १८२७)

चला, काही घटनांसाठी संभाव्यता शोधूया ज्या अशा प्रयोगांशी संबंधित आहेत जेथे समसंभाव्यता गृहीत धरली जाते.

उदाहरण १ : एक नाणे एकदा फेकले जाते तेव्हा काटा मिळण्याची संभाव्यता शोधा. तसेच छापा मिळण्याची संभाव्यता शोधा.

उकल : एक नाणे एकदा फेकण्याच्या प्रयोगात, संभाव्य निष्पत्तींची संख्या दोन आहे - काटा (H) आणि छापा (T). E ही घटना ‘काटा मिळणे’ मानू. E ला अनुकूल निष्पत्तींची संख्या, (म्हणजे काटा मिळण्याची) १ आहे. म्हणून,

$$ P(E)=P(\text { head })=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes }}=\dfrac{1}{2} $$

त्याचप्रमाणे, जर $\mathrm{F}$ ही घटना ‘छापा मिळणे’ असेल, तर

$$ P(F)=P(\text { tail })=\dfrac{1}{2} \quad \text { (Why ?) } $$

उदाहरण २ : एका पिशवीत एक लाल चेंडू, एक निळा चेंडू आणि एक पिवळा चेंडू आहे, सर्व चेंडू समान आकाराचे आहेत. कृतिका पिशवीत न पाहता एक चेंडू बाहेर काढते. तिला पुढील गोष्टी मिळण्याची संभाव्यता काय आहे?

(i) पिवळा चेंडू?

(ii) लाल चेंडू?

(iii) निळा चेंडू?

उकल : कृतिका पिशवीत न पाहता एक चेंडू बाहेर काढते. म्हणून, तिने त्यापैकी कोणताही एक चेंडू काढणे समसंभाव्य आहे.

$\mathrm{Y}$ ही घटना ‘काढलेला चेंडू पिवळा आहे’ मानू, B ही घटना ‘काढलेला चेंडू निळा आहे’ मानू, आणि $\mathrm{R}$ ही घटना ‘काढलेला चेंडू लाल आहे’ मानू.

आता, संभाव्य निष्पत्तींची संख्या $=3$.

(i) $Y=1$ या घटनेस अनुकूल निष्पत्तींची संख्या.

म्हणून, $\quad \mathrm{P}(\mathrm{Y})=\dfrac{1}{3}$

त्याचप्रमाणे, $$ \text { (ii) } \mathrm{P}(\mathrm{R})=\dfrac{1}{3} \text { and (iii) } \mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{1}{3} \text {. } $$

टिपा :

१. प्रयोगाची फक्त एक निष्पत्ती असलेल्या घटनेला मूलभूत घटना म्हणतात. उदाहरण १ मध्ये, दोन्ही घटना $\mathrm{E}$ आणि $\mathrm{F}$ मूलभूत घटना आहेत. त्याचप्रमाणे, उदाहरण २ मध्ये, सर्व तीन घटना, Y, B आणि R मूलभूत घटना आहेत.

२. उदाहरण १ मध्ये, आपण लक्षात घेतो की: $P(E)+P(F)=1$

उदाहरण २ मध्ये, आपण लक्षात घेतो की : $\mathrm{P}(\mathrm{Y})+\mathrm{P}(\mathrm{R})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=1$

लक्षात घ्या की प्रयोगाच्या सर्व मूलभूत घटनांच्या संभाव्यतेची बेरीज १ आहे. हे सामान्यतः देखील खरे आहे.

उदाहरण ३ : समजा आपण एकदा फासा फेकतो. (i) ४ पेक्षा मोठी संख्या मिळण्याची संभाव्यता काय आहे? (ii) ४ पेक्षा कमी किंवा समान संख्या मिळण्याची संभाव्यता काय आहे?

उकल : (i) येथे, $\mathrm{E}$ ही घटना ‘४ पेक्षा मोठी संख्या मिळणे’ मानू. संभाव्य निष्पत्तींची संख्या सहा आहे : १, २, ३, ४, ५ आणि ६, आणि $\mathrm{E}$ ला अनुकूल निष्पत्ती आहेत ५ आणि ६. म्हणून, $\mathrm{E}$ ला अनुकूल निष्पत्तींची संख्या २ आहे. म्हणून,

$$ P(E)=P(\text { number greater than } 4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} $$

(ii) $\mathrm{F}$ ही घटना ‘४ पेक्षा कमी किंवा समान संख्या मिळणे’ मानू.

संभाव्य निष्पत्तींची संख्या $=6$

$\mathrm{F}$ या घटनेस अनुकूल निष्पत्ती आहेत १, २, ३, ४.

म्हणून, $\mathrm{F}$ ला अनुकूल निष्पत्तींची संख्या ४ आहे.

म्हणून, $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} $$

वरील उदाहरणातील $\mathrm{E}$ आणि $\mathrm{F}$ ह्या घटना मूलभूत घटना आहेत का? नाही, त्या नाहीत कारण $\mathrm{E}$ या घटनेला २ निष्पत्ती आहेत आणि $\mathrm{F}$ या घटनेला ४ निष्पत्ती आहेत.

टिपा : उदाहरण १ वरून, आपण लक्षात घेतो की

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1 \tag{1} $$

जेथे $\mathrm{E}$ ही घटना ‘काटा मिळणे’ आहे आणि $\mathrm{F}$ ही घटना ‘छापा मिळणे’ आहे.

उदाहरण ३ च्या (i) आणि (ii) वरून, आपल्याला हे देखील मिळते

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1 \tag{2} $$

जेथे $\mathrm{E}$ ही घटना ‘४ पेक्षा मोठी संख्या मिळणे’ आहे आणि $\mathrm{F}$ ही घटना ‘४ पेक्षा कमी किंवा समान संख्या मिळणे’ आहे.

लक्षात घ्या की ४ पेक्षा मोठी नसलेली संख्या मिळणे म्हणजे ४ पेक्षा कमी किंवा समान संख्या मिळणे आणि त्याउलट.

वरील (१) आणि (२) मध्ये, F हे ‘E नाही’ सारखेच नाही का? होय, तेच आहे. आपण ‘E नाही’ या घटनेला $\overline{\mathrm{E}}$ ने दर्शवतो.

म्हणून, $$ P(E)+P(\text { not } E)=1 $$

म्हणजे, $ P(E)+P(\bar{E})=1 \text {, which gives us } P(\bar{E})=1-P(E) \text {. } $

सामान्यतः, हे खरे आहे की एखाद्या घटना $\mathrm{E}$ साठी,

$$ \mathbf{P}(\overline{\mathbf{E}})=1-\mathbf{P}(\mathbf{E}) $$

$\overline{\mathrm{E}}$ ही घटना, जी ‘$\mathrm{E}$ नाही’ दर्शवते, तिला घटना $\mathrm{E}$ ची पूरक घटना म्हणतात. आपण असेही म्हणतो की $\mathrm{E}$ आणि $\overline{\mathrm{E}}$ या पूरक घटना आहेत.

पुढे जाण्यापूर्वी, चला पुढील प्रश्नांची उत्तरे शोधण्याचा प्रयत्न करूया:

(i) एक फासा एकदाच फेकला तेव्हा ८ संख्या मिळण्याची संभाव्यता काय आहे?

(ii) एक फासा एकदाच फेकला तेव्हा ७ पेक्षा कमी संख्या मिळण्याची संभाव्यता काय आहे?

चला (i) चे उत्तर देऊया :

आपल्याला माहित आहे की एक फासा एकदाच फेकल्यावर फक्त सहा संभाव्य निष्पत्ती असतात. ह्या निष्पत्ती आहेत १, २, ३, ४, ५ आणि ६. फाशाच्या कोणत्याही बाजूवर ८ अंकित नसल्यामुळे, ८ ला अनुकूल कोणतीही निष्पत्ती नाही, म्हणजे अशा निष्पत्तींची संख्या शून्य आहे. दुसऱ्या शब्दांत, एक फासा एकदाच फेकल्यावर ८ मिळणे, अशक्य आहे.

म्हणून, $$ P(\text { getting } 8)=\dfrac{0}{6}=0 $$

म्हणजे, अशा घटनेची संभाव्यता जी घडणे अशक्य आहे ती ० आहे. अशा घटनेला अशक्य घटना म्हणतात.

चला (ii) चे उत्तर देऊया :

फाशाच्या प्रत्येक बाजूवर ७ पेक्षा कमी संख्या अंकित असल्यामुळे, तो एकदाच फेकला गेला तेव्हा आपल्याला निश्चितपणे नेहमीच ७ पेक्षा कमी संख्या मिळेल. म्हणून, अनुकूल निष्पत्तींची संख्या ही सर्व संभाव्य निष्पत्तींच्या संख्येएवढीच आहे, जी ६ आहे.

म्हणून, $$ P(E)=P(\text { getting a number less than } 7)=\dfrac{6}{6}=1 $$

म्हणून, अशा घटनेची संभाव्यता जी घडणे निश्चित (किंवा खात्रीलायक) आहे ती १ आहे. अशा घटनेला निश्चित घटना किंवा खात्रीलायक घटना म्हणतात.

सूचना : संभाव्यतेच्या $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ व्याख्येवरून, आपण पाहतो की अंश (घटना $\mathrm{E}$ ला अनुकूल निष्पत्तींची संख्या) हा नेहमीच छेद (सर्व संभाव्य निष्पत्तींची संख्या) पेक्षा कमी किंवा समान असतो. म्हणून,

$$ 0 \leq \mathrm{P}(\mathrm{E}) \leq 1 $$

आता, चला पत्ते खेळण्याशी संबंधित एक उदाहरण घेऊ. तुम्ही पत्त्यांचा डेक पाहिला आहे का? त्यात ५२ पत्ते असतात आणि ते प्रत्येकी १३ पत्त्यांच्या ४ संचांमध्ये विभागलेले असतात - इस्पिक ( $\spadesuit$ ), हृदय ( $\heartsuit$), डायमंड ($(\diamondsuit)$) आणि क्लब ($(\clubsuit)$). क्लब आणि इस्पिक काळ्या रंगाचे असतात, तर हृदय आणि डायमंड लाल रंगाचे असतात. प्रत्येक संचातील पत्ते असतात एक्का, राजा, राणी, गुलाम, १०, ९, ८, ७, ६, ५, ४, ३ आणि २. राजे, राण्या आणि गुलाम यांना चेहऱ्याचे पत्ते म्हणतात.

उदाहरण ४ : ५२ पत्त्यांच्या चांगल्या प्रकारे मिसळलेल्या डेकमधून एक पत्ता काढला जातो. पत्ता पुढीलप्रमाणे असण्याची संभाव्यता काढा.

(i) एक्का असणे,

(ii) एक्का नसणे.

उकल : चांगली मिसळणी समसंभाव्य निष्पत्ती सुनिश्चित करते.

(i) डेकमध्ये ४ एक्के असतात. $\mathrm{E}$ ही घटना ‘पत्ता एक्का आहे’ मानू.

$\mathrm{E}=4$ ला अनुकूल निष्पत्तींची संख्या

संभाव्य निष्पत्तींची संख्या $=52$ (का?)

म्हणून, $\quad P(E)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$

(ii) $\mathrm{F}$ ही घटना ‘काढलेला पत्ता एक्का नाही’ मानू.

$\mathrm{F}=52-4=48$ या घटनेस अनुकूल निष्पत्तींची संख्या (का?)

संभाव्य निष्पत्तींची संख्या $=52$

म्हणून, $$ P(F)=\dfrac{48}{52}=\dfrac{12}{13} $$

टीप : लक्षात घ्या की $\mathrm{F}$ हे $\overline{\mathrm{E}}$ शिवाय काहीही नाही. म्हणून, आपण $\mathrm{P}(\mathrm{F})$ खालीलप्रमाणे देखील काढू शकतो: $P(F)=P(\bar{E})=1-P(E)=1-\dfrac{1}{13}=\dfrac{12}{13}$.

उदाहरण ५ : दोन खेळाडू, संगीता आणि रेशमा, टेनिस सामना खेळतात. हे माहित आहे की संगीताला सामना जिंकण्याची संभाव्यता ०.६२ आहे. रेशमाला सामना जिंकण्याची संभाव्यता काय आहे?

उकल : S आणि R हे अनुक्रमे संगीता सामना जिंकते आणि रेशमा सामना जिंकते या घटना दर्शवू.

संगीताच्या जिंकण्याची संभाव्यता $=\mathrm{P}(\mathrm{S})=0.62$ (दिलेली)

रेशमाच्या जिंकण्याची संभाव्यता $=\mathrm{P}(\mathrm{R})=1-\mathrm{P}(\mathrm{S})$

[कारण $\mathrm{R}$ आणि $\mathrm{S}$ ह्या घटना पूरक आहेत]

$$ =1-0.62=0.38 $$

उदाहरण ६ : सविता आणि हमीदा मैत्रिणी आहेत. दोघींचे (i) वेगवेगळे वाढदिवस असण्याची संभाव्यता काय आहे? (ii) समान वाढदिवस असण्याची संभाव्यता काय आहे? (लीप वर्ष दुर्लक्षित करून).

उकल : दोन मैत्रिणींपैकी, एक मुलगी, म्हणा, सविताचा वाढदिवस वर्षातील कोणताही दिवस असू शकतो. आता, हमीदाचा वाढदिवस देखील वर्षातील ३६५ दिवसांपैकी कोणताही दिवस असू शकतो.

आपण असे गृहीत धरतो की ह्या ३६५ निष्पत्ती समसंभाव्य आहेत.

(i) जर हमीदाचा वाढदिवस सविताच्या वाढदिवसापेक्षा वेगळा असेल, तर तिच्या वाढदिवसासाठी अनुकूल निष्पत्तींची संख्या $365-1=364$

म्हणून, P (हमीदाचा वाढदिवस सविताच्या वाढदिवसापेक्षा वेगळा आहे) $=\dfrac{364}{365}$

(ii) $\mathrm{P}$ (सविता आणि हमीदा यांचा वाढदिवस समान आहे)

$$ \begin{aligned} & =1-\mathrm{P} \text { (both have different birthdays) } \\ & =1-\dfrac{364}{365} \quad[\text { Using } \mathrm{P}(\overline{\mathrm{E}})=1-\mathrm{P}(\mathrm{E})] \\ & =\dfrac{1}{365} \end{aligned} $$

उदाहरण ७ : एका शाळेच्या इयत्ता $\mathrm{X}$ मध्ये ४० विद्यार्थी आहेत ज्यापैकी २५ मुली आणि १५ मुले आहेत. वर्गशिक्षकांनी एका विद्यार्थ्याची वर्गप्रतिनिधी म्हणून निवड करायची आहे. त्या प्रत्येक विद्यार्थ्याचे नाम एका स्वतंत्र कार्डवर लिहितात, कार्डे सारखीच असतात. नंतर ती ती कार्डे एका पिशवीत ठेवते आणि चांगली मिसळते. नंतर ती पिशवीतून एक कार्ड काढते. कार्डावर लिहिलेले नाव (i) मुलीचे असण्याची संभाव्यता काय आहे? (ii) मुलाचे असण्याची संभाव्यता काय आहे?

उकल : ४० विद्यार्थी आहेत, आणि फक्त एक नाम कार्ड निवडायचे आहे.

(i) सर्व संभाव्य निष्पत्तींची संख्या ४० आहे

मुलीच्या नावाच्या कार्डासाठी अनुकूल निष्पत्तींची संख्या = २५ (का?)

म्हणून, $\mathrm{P}($ मुलीच्या नावाचे कार्ड $)=\mathrm{P}($ मुलगी $)=\dfrac{25}{40}=\dfrac{5}{8}$

(ii) मुलाच्या नावाच्या कार्डासाठी अनुकूल निष्पत्तींची संख्या $=15$ (का?)

म्हणून, $\mathrm{P}($ मुलाच्या नावाचे कार्ड $)=\mathrm{P}($ मुलगा $)=\dfrac{15}{40}=\dfrac{3}{8}$

सूचना : आपण $\mathrm{P}(\mathrm{Boy})$ खालीलप्रमाणे घेऊन देखील ठरवू शकतो:

$$ \mathrm{P}(\text { Boy })=1-\mathrm{P}(\text { not Boy })=1-\mathrm{P}(\text { Girl })=1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8} $$

उदाहरण ८ : एका बॉक्समध्ये ३ निळे, २ पांढरे आणि ४ लाल संगमरवरी चेंडू आहेत. जर बॉक्समधून यादृच्छिकपणे एक संगमरवरी चेंडू काढला, तर तो पुढीलप्रमाणे असण्याची संभाव्यता काय आहे?

(i) पांढरा?

(ii) निळा?

(iii) लाल?

उकल : संगमरवरी चेंडू यादृच्छिकपणे काढला जातो असे म्हणणे म्हणजे सर्व संगमरवरी चेंडू समान संभाव्यतेने काढले जातील असे सांगण्याचा एक छोटा मार्ग आहे. म्हणून,

संभाव्य निष्पत्तींची संख्या $=3+2+4=9 \quad$ (का?)

$\mathrm{W}$ ही घटना ‘संगमरवरी चेंडू पांढरा आहे’ दर्शवू, $\mathrm{B}$ ही घटना ‘संगमरवरी चेंडू निळा आहे’ दर्शवू आणि $\mathrm{R}$ ही घटना ‘संगमरवरी चेंडू लाल आहे’ दर्शवू.

(i) $\mathrm{W}=2$ या घटनेस अनुकूल निष्पत्तींची संख्या

म्हणून, $\mathrm{P}(\mathrm{W})=\dfrac{2}{9}$

त्याचप्रमाणे,

(ii) $\mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ आणि

(iii) $\mathrm{P}(\mathrm{R})=\dfrac{4}{9}$

लक्षात घ्या की $\mathrm{P}(\mathrm{W})+\mathrm{P}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\mathrm{R})=1$.

उदाहरण ९ : हरप्रीत एकाच वेळी दोन वेगवेगळी नाणी फेकते (म्हणा, एक ₹ १ चे आणि दुसरे ₹ २ चे). तिला किमान एक काटा मिळण्याची संभाव्यता काय आहे?

उकल : आपण $\mathrm{H}$ हे ‘काटा’ साठी आणि $\mathrm{T}$ हे ‘छापा’ साठी लिहू. जेव्हा दोन नाणी एकाच वेळी फेकली जातात, तेव्हा संभाव्य निष्पत्ती आहेत $(\mathrm{H}, \mathrm{H}),(\mathrm{H}, \mathrm{T}),(\mathrm{T}, \mathrm{H}),(\mathrm{T}, \mathrm{T})$, ज्या सर्व समसंभाव्य आहेत. येथे $(\mathrm{H}, \mathrm{H})$ चा अर्थ पहिल्या नाण्यावर (म्हणा ₹ १ वर) काटा वर आणि दुसऱ्या नाण्यावर (₹ २ वर) काटा वर. त्याचप्रमाणे (H, T) चा अर्थ पहिल्या नाण्यावर काटा वर आणि दुसऱ्या नाण्यावर छापा वर आणि असेच.

$\mathrm{E}$ या घटनेस, ‘किमान एक काटा’ अनुकूल निष्पत्ती आहेत $(\mathrm{H}, \mathrm{H}),(\mathrm{H}, \mathrm{T})$ आणि (T, H). (का?)

म्हणून, $\mathrm{E}$ ला अनुकूल निष्पत्तींची संख्या ३ आहे.

म्हणून, $\quad \mathrm{P}(\mathrm{E})=\dfrac{3}{4}$

म्हणजे, हरप्रीतला किमान एक काटा मिळण्याची संभाव्यता $\dfrac{3}{4}$ आहे.

सूचना : तुम्ही $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ खालीलप्रमाणे देखील शोधू शकता:

$$ P(E)=1-P(\bar{E})=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} \quad\left(\text { Since } P(\bar{E})=P(\text { no head })=\dfrac{1}{4}\right) $$

आतापर्यंत चर्चा केलेल्या सर्व उदाहरणांमध्ये, प्रत्येक प्रयोगातील संभाव्य निष्पत्तींची संख्या मर्यादित होती हे तुम्ही पाहिले का? नसेल तर, आता तपासा.

असे अनेक प्रयोग आहेत ज्यात निष्पत्ती ही दोन दिलेल्या संख्यांमधील कोणतीही संख्या असते, किंवा ज्यात निष्पत्ती वर्तुळात किंवा आयतामधील प्रत्येक बिंदू असतो, इत्यादी. तुम्ही आता सर्व संभाव्य निष्पत्तींची संख्या मोजू शकता का? तुम्हाला माहिती आहे, हे शक्य नाही कारण दोन दिलेल्या संख्यांमध्ये अनंत संख्या असतात, किंवा वर्तुळामध्ये अनंत बिंदू असतात. म्हणून, संभाव्यतेची (सैद्धांतिक) व्याख्या जी तुम्ही आतापर्यंत शिकलात ती सध्याच्या स्वरूपात लागू करता येणार नाह