সম্ভাৱনাৰ তত্ত্ব আৰু ত্ৰুটিৰ তত্ত্ব এতিয়া গাণিতিক আৰু ব্যৱহাৰিক দিশৰ পৰা এক শক্তিশালী বিষয় হৈ পৰিছে।

আৰ.এছ. উডৱাৰ্ড

১৪.১ সম্ভাৱনা - এক তাত্ত্বিক দৃষ্টিভংগী

আকৌ চাওঁ আহা নিম্নলিখিত পৰিস্থিতিটো :

ধৰা হওক, এটা মুদ্ৰা এলোমেলোকৈ টছ কৰা হৈছে।

যেতিয়া আমি মুদ্ৰাৰ কথা কওঁ, আমি ধৰি লওঁ যে সেয়া ‘ন্যায়সংগত’, অৰ্থাৎ ইয়াৰ দুয়োটা পৃষ্ঠ একে, গতিকে ই এটা পৃষ্ঠতকৈ আনটো পৃষ্ঠত বেছি পৰাৰ কোনো কাৰণ নাই। আমি মুদ্ৰাৰ এই ধৰ্মটোক ‘পক্ষপাতহীন’ বুলি কওঁ। ‘এলোমেলো টছ’ বুলি ক’লে আমি বুজোঁ যে মুদ্ৰাটো যিকোনো পক্ষপাত বা হস্তক্ষেপ নোহোৱাকৈ মুক্তভাৱে পৰিবলৈ দিয়া হৈছে।

আমি আগতেই জানো যে মুদ্ৰাটো কেৱল দুটা সম্ভাৱ্য উপায়ৰ এটাৰেহে পৰিব পাৰে - হয় মুৰৰ ফালে বা কাঁইটৰ ফালে (ইয়াৰ কাষত পৰাৰ সম্ভাৱনাক আমি বাদ দিওঁ, যিটো সম্ভৱ হ’ব পাৰে, যেনে যদি বালিত পৰে)। আমি যুক্তিসংগতভাৱে ধৰি ল’ব পাৰোঁ যে প্ৰতিটো ফলাফল, মুৰ বা কাঁইট, একে সম্ভাৱনাৰে ঘটিব। আমি এইটোৱেই বুজাবলৈ কওঁ যে মুৰ আৰু কাঁইটৰ ফলাফলবোৰ সমান সম্ভাৱ্য।

সমান সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ আন এটা উদাহৰণ হ’ল, ধৰা হওক আমি এবাৰ ডাইচ এটা দলিওৱা হ’ল। আমাৰ বাবে, ডাইচ মানেই সদায় ন্যায়সংগত ডাইচ। সম্ভাৱ্য ফলাফলবোৰ কি কি? সেইবোৰ হ’ল ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬। প্ৰতিটো সংখ্যা একে সম্ভাৱনাৰে ওলাব। গতিকে ডাইচ দলিওৱাৰ সমান সম্ভাৱ্য ফলাফলবোৰ হ’ল ১, ২, ৩, ৪, ৫ আৰু ৬।

প্ৰতিটো পৰীক্ষাৰ ফলাফল সমান সম্ভাৱ্যনে? চাওঁ আহা।

ধৰা হওক যে এটা বেগত ৪টা ৰঙা বল আৰু ১টা নীলা বল আছে, আৰু তুমি বেগটোলৈ নোচোৱাকৈ এটা বল উলিয়াইছা। ফলাফলবোৰ কি কি? ফলাফলবোৰ - এটা ৰঙা বল আৰু এটা নীলা বল সমান সম্ভাৱ্যনে? যিহেতু ৰঙা বল ৪টা আৰু নীলা বল মাত্ৰ এটা, তুমি মানিম যে নীলা বলতকৈ ৰঙা বল পোৱাৰ সম্ভাৱনা বেছি। গতিকে, ফলাফলবোৰ (ৰঙা বল বা নীলা বল) সমান সম্ভাৱ্য নহয়। অৱশ্যে, বেগৰ পৰা যিকোনো ৰঙৰ বল উলিওৱাৰ ফলাফল সমান সম্ভাৱ্য। গতিকে, সকলো পৰীক্ষাৰ ফলাফল সমান সম্ভাৱ্য হ’বই নালাগে।

অৱশ্যে, এই অধ্যায়ত, এতিয়াৰ পৰা আমি ধৰি ল’ম যে সকলো পৰীক্ষাৰ ফলাফল সমান সম্ভাৱ্য।

নৱম শ্ৰেণীত, আমি এটা ঘটনা $\mathrm{E}$ৰ প্ৰায়োগিক বা পৰীক্ষামূলক সম্ভাৱনা $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ক সংজ্ঞায়িত কৰিছিলোঁ

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\dfrac{\text { Number of trials in which the event happened }}{\text { Total number of trials }} $$

সম্ভাৱনাৰ প্ৰায়োগিক ব্যাখ্যাক এনে প্ৰতিটো ঘটনাৰ লগত প্ৰয়োগ কৰিব পাৰি যিটো পৰীক্ষাক বহু সংখ্যক বাৰ পুনৰাবৃত্তি কৰিব পাৰি। পৰীক্ষা পুনৰাবৃত্তি কৰাৰ এই প্রয়োজনৰ কিছু সীমাবদ্ধতা আছে, কাৰণ বহু পৰিস্থিতিত ইয়াৰ খৰচ বহুত বেছি বা সম্ভৱপৰ নহ’ব পাৰে। নিশ্চয়, মুদ্ৰা টছ বা ডাইচ দলিওৱাৰ পৰীক্ষাত ই ভালকৈ কাম কৰিছিল। কিন্তু উৎক্ষেপণৰ সময়ত উপগ্ৰহ এটাৰ বিফল হোৱাৰ প্ৰায়োগিক সম্ভাৱনা গণনা কৰিবলৈ উৎক্ষেপণ পৰীক্ষা পুনৰাবৃত্তি কৰাটো, বা ভূমিকম্পত বহুতলীয়া ভৱন ধ্বংস হোৱাৰ প্ৰায়োগিক সম্ভাৱনা গণনা কৰিবলৈ ভূমিকম্পৰ পৰিঘটনা পুনৰাবৃত্তি কৰাটো কেনেকুৱা হ’ব?

যি পৰীক্ষাত আমি কিছুমান ধাৰণা কৰিবলৈ সাজু, তাত পৰীক্ষাৰ পুনৰাবৃত্তি এৰাই চলিব পাৰি, কাৰণ সেই ধাৰণাবোৰে পোনপটীয়াকৈ সঠিক (তাত্ত্বিক) সম্ভাৱনা গণনা কৰাত সহায় কৰে। সমান সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ ধাৰণাটো (যিটো বহু পৰীক্ষাত বৈধ, যেনে ওপৰৰ দুটা উদাহৰণত, মুদ্ৰা আৰু ডাইচ) এনে এটা ধাৰণা যিয়ে আমাক ঘটনা এটাৰ সম্ভাৱনাৰ নিম্নলিখিত সংজ্ঞালৈ লৈ যায়।

ঘটনা E ৰ তাত্ত্বিক সম্ভাৱনা (ক্লাছিকেল সম্ভাৱনা বুলিও কোৱা হয়), $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ হিচাপে লিখা হয়, সংজ্ঞায়িত কৰা হয়

$$ P(E)=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes of the experiment }} \text {, } $$

য’ত আমি ধৰি লওঁ যে পৰীক্ষাটোৰ ফলাফলবোৰ সমান সম্ভাৱ্য।

আমি চমুকৈ তাত্ত্বিক সম্ভাৱনাক সম্ভাৱনা বুলি ক’ম।

সম্ভাৱনাৰ এই সংজ্ঞাটো পিয়েৰ চাইমন লাপলাছে ১৭৯৫ চনত দিছিল।

সম্ভাৱনা তত্ত্বৰ উৎপত্তি হৈছিল ১৬ শতিকাত যেতিয়া ইটালীয় চিকিৎসক আৰু গণিতজ্ঞ জে.কাৰ্ডানে এই বিষয়ত প্ৰথম কিতাপখন, দ্য বুক অন গেমছ অফ চান্স লিখিছিল। ইয়াৰ আৰম্ভণিৰে পৰা, সম্ভাৱনাৰ অধ্যয়নে মহান গণিতজ্ঞসকলৰ মনোযোগ আকৰ্ষণ কৰিছিল। জেমছ বাৰ্নুলি (১৬৫৪ - ১৭০৫), এ. ডি মইভ্ৰে (১৬৬৭ - ১৭৫৪), আৰু পিয়েৰ চাইমন লাপলাছ এই ক্ষেত্ৰলৈ গুৰুত্বপূৰ্ণ অৱদান আগবঢ়োৱাসকলৰ ভিতৰত আছিল। লাপলাছৰ থিয়ৰি এনালিটিক ডে প্ৰবাবিলিটেছ, ১৮১২, একক ব্যক্তি এজনৰ দ্বাৰা সম্ভাৱনা তত্ত্বলৈ আগবঢ়োৱা সৰ্বশ্ৰেষ্ঠ অৱদান বুলি গণ্য কৰা হয়। অতি সৰু কালত, সম্ভাৱনা জীৱবিজ্ঞান, অৰ্থনীতি, জিনেটিক্স, পদাৰ্থবিজ্ঞান, সমাজবিজ্ঞান আদি বহু ক্ষেত্ৰত বহুলভাৱে ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে।

পিয়েৰ চাইমন লাপলাছ (১৭৪৯ - ১৮২৭)

আকৌ চাওঁ আহা কিছুমান ঘটনাৰ সম্ভাৱনা যিবোৰ পৰীক্ষাৰ লগত জড়িত য’ত সমান সম্ভাৱ্য ধাৰণাটো প্ৰযোজ্য।

উদাহৰণ ১ : এবাৰ মুদ্ৰা টছ কৰিলে মুৰ পোৱাৰ সম্ভাৱনা উলিওৱা। লগতে কাঁইট পোৱাৰ সম্ভাৱনাও উলিওৱা।

সমাধান : এবাৰ মুদ্ৰা টছ কৰা পৰীক্ষাত, সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ সংখ্যা দুটা - মুৰ (H) আৰু কাঁইট (T)। E ক ঘটনা ‘মুৰ পোৱা’ বুলি ধৰা হওক। E ৰ অনুকূল ফলাফলৰ সংখ্যা, (অৰ্থাৎ, মুৰ পোৱা) হ’ল ১। গতিকে,

$$ P(E)=P(\text { head })=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes }}=\dfrac{1}{2} $$

একেদৰে, যদি $\mathrm{F}$ হ’ল ঘটনা ‘কাঁইট পোৱা’, তেন্তে

$$ P(F)=P(\text { tail })=\dfrac{1}{2} \quad \text { (Why ?) } $$

উদাহৰণ ২ : এটা বেগত এটা ৰঙা বল, এটা নীলা বল আৰু এটা হালধীয়া বল আছে, সকলো বল একে আকৃতিৰ। কৃতিকাই বেগটোলৈ নোচোৱাকৈ এটা বল উলিয়াইছে। তাইৰ হালধীয়া বল উলিওৱাৰ সম্ভাৱনা কিমান?

(i) হালধীয়া বল?

(ii) ৰঙা বল?

(iii) নীলা বল?

সমাধান : কৃতিকাই বেগটোলৈ নোচোৱাকৈ এটা বল উলিয়াইছে। গতিকে, তাই যিকোনো এটা উলিওৱাটো সমান সম্ভাৱ্য।

ধৰা হওক $\mathrm{Y}$ হ’ল ঘটনা ‘উলিওৱা বলটো হালধীয়া’, B হ’ল ঘটনা ‘উলিওৱা বলটো নীলা’, আৰু $\mathrm{R}$ হ’ল ঘটনা ‘উলিওৱা বলটো ৰঙা’।

এতিয়া, সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ সংখ্যা $=3$।

(i) ঘটনা $Y=1$ ৰ অনুকূল ফলাফলৰ সংখ্যা।

গতিকে, $\quad \mathrm{P}(\mathrm{Y})=\dfrac{1}{3}$

একেদৰে, $$ \text { (ii) } \mathrm{P}(\mathrm{R})=\dfrac{1}{3} \text { and (iii) } \mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{1}{3} \text {. } $$

মন্তব্য :

১. পৰীক্ষাৰ মাত্ৰ এটা ফলাফল থকা ঘটনাক এটা মৌলিক ঘটনা বোলে। উদাহৰণ ১ ত, দুয়োটা ঘটনা $\mathrm{E}$ আৰু $\mathrm{F}$ মৌলিক ঘটনা। একেদৰে, উদাহৰণ ২ ত, তিনিওটা ঘটনা, Y, B আৰু R মৌলিক ঘটনা।

২. উদাহৰণ ১ ত, আমি লক্ষ্য কৰোঁ: $P(E)+P(F)=1$

উদাহৰণ ২ ত, আমি লক্ষ্য কৰোঁ: $\mathrm{P}(\mathrm{Y})+\mathrm{P}(\mathrm{R})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=1$

লক্ষ্য কৰা যে পৰীক্ষা এটাৰ সকলো মৌলিক ঘটনাৰ সম্ভাৱনাৰ যোগফল ১। সাধাৰণতে ই সত্য।

উদাহৰণ ৩ : ধৰা হওক আমি এবাৰ ডাইচ দলিওৱা হ’ল। (i) ৪ তকৈ ডাঙৰ সংখ্যা পোৱাৰ সম্ভাৱনা কিমান? (ii) ৪ তকৈ সৰু বা সমান সংখ্যা পোৱাৰ সম্ভাৱনা কিমান?

সমাধান : (i) ইয়াত, ধৰা হওক $\mathrm{E}$ হ’ল ঘটনা ‘৪ তকৈ ডাঙৰ সংখ্যা পোৱা’। সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ সংখ্যা ছয়টা: ১, ২, ৩, ৪, ৫ আৰু ৬, আৰু $\mathrm{E}$ ৰ অনুকূল ফলাফলবোৰ হ’ল ৫ আৰু ৬। গতিকে, $\mathrm{E}$ ৰ অনুকূল ফলাফলৰ সংখ্যা হ’ল ২। গতিকে,

$$ P(E)=P(\text { number greater than } 4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} $$

(ii) ধৰা হওক $\mathrm{F}$ হ’ল ঘটনা ‘৪ তকৈ সৰু বা সমান সংখ্যা পোৱা’।

সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ সংখ্যা $=6$

ঘটনা $\mathrm{F}$ ৰ অনুকূল ফলাফলবোৰ হ’ল ১, ২, ৩, ৪।

গতিকে, $\mathrm{F}$ ৰ অনুকূল ফলাফলৰ সংখ্যা হ’ল ৪।

গতিকে, $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} $$

ওপৰৰ উদাহৰণত $\mathrm{E}$ আৰু $\mathrm{F}$ ঘটনাবোৰ মৌলিক ঘটনানে? নহয়, নহয় কাৰণ ঘটনা $\mathrm{E}$ ৰ ২টা ফলাফল আৰু ঘটনা $\mathrm{F}$ ৰ ৪টা ফলাফল আছে।

মন্তব্য : উদাহৰণ ১ ৰ পৰা, আমি লক্ষ্য কৰোঁ

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1 \tag{1} $$

য’ত $\mathrm{E}$ হ’ল ঘটনা ‘মুৰ পোৱা’ আৰু $\mathrm{F}$ হ’ল ঘটনা ‘কাঁইট পোৱা’।

উদাহৰণ ৩ ৰ (i) আৰু (ii) ৰ পৰা, আমি পাইছো

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1 \tag{2} $$

য’ত $\mathrm{E}$ হ’ল ঘটনা ‘$>4$ সংখ্যা পোৱা’ আৰু $\mathrm{F}$ হ’ল ঘটনা ‘$\leq 4$ সংখ্যা পোৱা’।

লক্ষ্য কৰা যে ৪ তকৈ ডাঙৰ নোহোৱা সংখ্যা পোৱাটো ৪ তকৈ সৰু বা সমান সংখ্যা পোৱাৰ দৰেই, আৰু ইয়াৰ বিপৰীতে।

ওপৰৰ (১) আৰু (২) ত, F টো ‘E নহয়’ৰ দৰেই নেকি? হয়, হয়। আমি ‘E নহয়’ ঘটনাটো $\overline{\mathrm{E}}$ ৰ দ্বাৰা সূচাওঁ।

গতিকে, $$ P(E)+P(\text { not } E)=1 $$

অৰ্থাৎ, $ P(E)+P(\bar{E})=1 \text {, which gives us } P(\bar{E})=1-P(E) \text {. } $

সাধাৰণতে, ঘটনা $\mathrm{E}$ ৰ বাবে ই সত্য,

$$ \mathbf{P}(\overline{\mathbf{E}})=1-\mathbf{P}(\mathbf{E}) $$

ঘটনা $\overline{\mathrm{E}}$, ‘$\mathrm{E}$ নহয়’ ক প্ৰতিনিধিত্ব কৰা, ঘটনা $\mathrm{E}$ ৰ পূৰক বুলি কোৱা হয়। আমি কওঁ যে $\mathrm{E}$ আৰু $\overline{\mathrm{E}}$ পূৰকীয় ঘটনা।

আগবাঢ়ি যোৱাৰ আগতে, আহা নিম্নলিখিত প্ৰশ্নবোৰৰ উত্তৰ বিচাৰি চাওঁ:

(i) এবাৰ ডাইচ দলিওৱাত ৮ সংখ্যা পোৱাৰ সম্ভাৱনা কিমান?

(ii) এবাৰ ডাইচ দলিওৱাত ৭ তকৈ সৰু সংখ্যা পোৱাৰ সম্ভাৱনা কিমান?

আকৌ (i) ৰ উত্তৰ দিওঁ:

আমি জানো যে এবাৰ ডাইচ দলিওৱাত মাত্ৰ ছয়টা সম্ভাৱ্য ফলাফল আছে। এই ফলাফলবোৰ হ’ল ১, ২, ৩, ৪, ৫ আৰু ৬। যিহেতু ডাইচৰ কোনো পৃষ্ঠত ৮ চিহ্নিত কৰা নাই, গতিকে ৮ ৰ অনুকূল ফলাফল নাই, অৰ্থাৎ এনে ফলাফলৰ সংখ্যা শূন্য। আন কথাত, এবাৰ ডাইচ দলিওৱাত ৮ পোৱাটো অসম্ভৱ।

গতিকে, $$ P(\text { getting } 8)=\dfrac{0}{6}=0 $$

অৰ্থাৎ, যি ঘটনা ঘটিবলৈ অসম্ভৱ, তাৰ সম্ভাৱনা ০। এনে ঘটনাক অসম্ভৱ ঘটনা বোলে।

আকৌ (ii) ৰ উত্তৰ দিওঁ:

যিহেতু ডাইচৰ প্ৰতিটো পৃষ্ঠ ৭ তকৈ সৰু সংখ্যাৰে চিহ্নিত, সেয়া নিশ্চিত যে ইয়াক এবাৰ দলিওৱাত আমি সদায় ৭ তকৈ সৰু সংখ্যা পাম। গতিকে, অনুকূল ফলাফলৰ সংখ্যা সকলো সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ সংখ্যাৰ দৰেই, যিটো ৬।

গতিকে, $$ P(E)=P(\text { getting a number less than } 7)=\dfrac{6}{6}=1 $$

গতিকে, যি ঘটনা নিশ্চিতভাৱে ঘটিব, তাৰ সম্ভাৱনা ১। এনে ঘটনাক নিশ্চিত ঘটনা বা সুনিশ্চিত ঘটনা বোলে।

টোকা: সম্ভাৱনা $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ ৰ সংজ্ঞাৰ পৰা, আমি দেখোঁ যে লৱটো (ঘটনা $\mathrm{E}$ ৰ অনুকূল ফলাফলৰ সংখ্যা) সদায় হৰটো (সকলো সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ সংখ্যা) তকৈ কম বা সমান। গতিকে,

$$ 0 \leq \mathrm{P}(\mathrm{E}) \leq 1 $$

এতিয়া, আহা তাসৰ খেলৰ লগত জড়িত এটা উদাহৰণ লওঁ। তাসৰ ডেক এটা দেখা নাই? ই ৫২খন তাসৰে গঠিত যিবোৰ ৪টা সুটত ভাগ কৰা হৈছে প্ৰতিটো সুটত ১৩খন তাস: স্পেড ($\spadesuit$), হাৰ্ট ($\heartsuit$), ডায়মণ্ড ($(\diamondsuit)$) আৰু ক্লাব ($(\clubsuit)$)। ক্লাব আৰু স্পেড ক’লা ৰঙৰ, আনহাতে হাৰ্ট আৰু ডায়মণ্ড ৰঙা ৰঙৰ। প্ৰতিটো সুটৰ তাসবোৰ হ’ল এচ, ৰজা, ৰাণী, জেক, ১০, ৯, ৮, ৭, ৬, ৫, ৪, ৩ আৰু ২। ৰজা, ৰাণী আৰু জেকবোৰক ফেচ কাৰ্ড বোলে।

উদাহৰণ ৪ : ৫২খন তাসৰ সজাই-পৰাই থোৱা ডেকৰ পৰা এখন তাস টনা হৈছে। তাসখনৰ তলৰটো হোৱাৰ সম্ভাৱনা গণনা কৰা:

(i) এচ হ’ব,

(ii) এচ নহ’ব।

সমাধান : সজাই-পৰাই থোৱাটোৱে সমান সম্ভাৱ্য ফলাফল নিশ্চিত কৰে।

(i) ডেক এটাত ৪টা এচ আছে। ধৰা হওক $\mathrm{E}$ হ’ল ঘটনা ‘তাসখন এচ’।

$\mathrm{E}=4$ ৰ অনুকূল ফলাফলৰ সংখ্যা

সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ সংখ্যা $=52$ (কিয়?)

গতিকে, $\quad P(E)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$

(ii) ধৰা হওক $\mathrm{F}$ হ’ল ঘটনা ‘টনা তাসখন এচ নহয়’।

ঘটনা $\mathrm{F}=52-4=48$ ৰ অনুকূল ফলাফলৰ সংখ্যা (কিয়?)

সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ সংখ্যা $=52$

গতিকে, $$ P(F)=\dfrac{48}{52}=\dfrac{12}{13} $$

মন্তব্য : লক্ষ্য কৰা যে $\mathrm{F}$ একো নহয় $\overline{\mathrm{E}}$। গতিকে, আমি $\mathrm{P}(\mathrm{F})$ ক এনেদৰেও গণনা কৰিব পাৰো: $P(F)=P(\bar{E})=1-P(E)=1-\dfrac{1}{13}=\dfrac{12}{13}$।

উদাহৰণ ৫ : দুগৰাকী খেলুৱৈ, সংগীতা আৰু ৰেশমা, টেনিছ খেল খেলিছে। জনা গৈছে যে সংগীতাৰ খেল জিকাৰ সম্ভাৱনা ০.৬২। ৰেশমাৰ খেল জিকাৰ সম্ভাৱনা কিমান?

সমাধান : S আৰু R ৰে ক্ৰমে সংগীতাৰ খেল জিকা আৰু ৰেশমাৰ খেল জিকা ঘটনাবোৰ সূচাওঁ।

সংগীতাৰ জিকাৰ সম্ভাৱনা $=\mathrm{P}(\mathrm{S})=0.62$ (দিয়া আছে)

ৰেশমাৰ জিকাৰ সম্ভাৱনা $=\mathrm{P}(\mathrm{R})=1-\mathrm{P}(\mathrm{S})$

[যিহেতু ঘটনা $\mathrm{R}$ আৰু $\mathrm{S}$ পূৰকীয়]

$$ =1-0.62=0.38 $$

উদাহৰণ ৬ : সৱিতা আৰু হামিদা বন্ধু। দুয়োৰে (i) বেলেগ জন্মদিন হোৱাৰ সম্ভাৱনা কিমান? (ii) একে জন্মদিন হোৱাৰ সম্ভাৱনা কিমান? (লিপ ইয়ৰক উপেক্ষা কৰি)।

সমাধান : দুয়ো বন্ধুৰ মাজৰ এজনী ছোৱালী, ধৰা হওক, সৱিতাৰ জন্মদিন বছৰৰ যিকোনো দিনত হ’ব পাৰে। এতিয়া, হামিদাৰ জন্মদিনো বছৰৰ ৩৬৫ দিনৰ যিকোনো দিনত হ’ব পাৰে।

আমি ধৰি লওঁ যে এই ৩৬৫টা ফলাফল সমান সম্ভাৱ্য।

(i) যদি হামিদাৰ জন্মদিন সৱিতাৰ জন্মদিনৰ পৰা বেলেগ, তেন্তে তাইৰ জন্মদিনৰ অনুকূল ফলাফলৰ সংখ্যা হ’ল $365-1=364$

গতিকে, P (হামিদাৰ জন্মদিন সৱিতাৰ জন্মদিনৰ পৰা বেলেগ) $=\dfrac{364}{365}$

(ii) $\mathrm{P}$ (সৱিতা আৰু হামিদাৰ একে জন্মদিন)

$$ \begin{aligned} & =1-\mathrm{P} \text { (both have different birthdays) } \\ & =1-\dfrac{364}{365} \quad[\text { Using } \mathrm{P}(\overline{\mathrm{E}})=1-\mathrm{P}(\mathrm{E})] \\ & =\dfrac{1}{365} \end{aligned} $$

উদাহৰণ ৭ : এখন বিদ্যালয়ৰ $\mathrm{X}$ শ্ৰেণীত ৪০ জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰী আছে যাৰ ভিতৰত ২৫ গৰাকী ছোৱালী আৰু ১৫ জন ল’ৰা। শ্ৰেণী শিক্ষকজনে শ্ৰেণী প্ৰতিনিধি হিচাপে এজন ছাত্ৰ-ছাত্ৰী বাছনি কৰিব লাগিব। তাই প্ৰতিজন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ নাম একেটা কাৰ্ডত লিখে, কাৰ্ডবোৰ একে। তাৰ পিছত তাই কাৰ্ডবোৰ বেগ এটাত ভৰাই ভালদৰে লৰাই দিয়ে। তাৰ পিছত তাই বেগৰ পৰা এখন কাৰ্ড টানি উলিয়ায়। কাৰ্ডখনত লিখা নাম (i) ছোৱালীৰ নাম হোৱাৰ সম্ভাৱনা কিমান? (ii) ল’ৰাৰ নাম হোৱাৰ সম্ভাৱনা কিমান?

সমাধান : ৪০ জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰী আছে, আৰু মাত্ৰ এখন নামৰ কাৰ্ড বাছনি কৰিব লাগিব।

(i) সকলো সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ সংখ্যা হ’ল ৪০

ছোৱালীৰ নাম থকা কাৰ্ডৰ বাবে অনুকূল ফলাফলৰ সংখ্যা = ২৫ (কিয়?)

গতিকে, $\mathrm{P}($ ছোৱালীৰ নাম থকা কাৰ্ড $)=\mathrm{P}($ ছোৱালী $)=\dfrac{25}{40}=\dfrac{5}{8}$

(ii) ল’ৰাৰ নাম থকা কাৰ্ডৰ বাবে অনুকূল ফলাফলৰ সংখ্যা $=15$ (কিয়?)

গতিকে, $\mathrm{P}($ ল’ৰাৰ নাম থকা কাৰ্ড $)=\mathrm{P}($ ল’ৰা $)=\dfrac{15}{40}=\dfrac{3}{8}$

টোকা: আমি $\mathrm{P}(\mathrm{Boy})$ ক এনেদৰেও নিৰ্ণয় কৰিব পাৰো,

$$ \mathrm{P}(\text { Boy })=1-\mathrm{P}(\text { not Boy })=1-\mathrm{P}(\text { Girl })=1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8} $$

উদাহৰণ ৮ : এটা বাকচত ৩টা নীলা, ২টা বগা, আৰু ৪টা ৰঙা মাৰ্বল আছে। যদি বাকচৰ পৰা এলোমেলোকৈ এটা মাৰ্বল উলিওৱা হয়, ইয়াৰ তলৰটো হোৱাৰ সম্ভাৱনা কিমান?

(i) বগা?

(ii) নীলা?

(iii) ৰঙা?

সমাধান : এলোমেলোকৈ মাৰ্বল এটা উলিওৱা বুলি ক’লে সকলো মাৰ্বল সমান সম্ভাৱনাৰে উলিওৱা হ’ব বুলি চমুকৈ কোৱা হয়। গতিকে,

সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ সংখ্যা $=3+2+4=9 \quad$ (কিয়?)

ধৰা হওক $\mathrm{W}$ ৰে ঘটনা ‘মাৰ্বলটো বগা’ সূচায়, $\mathrm{B}$ ৰে ঘটনা ‘মাৰ্বলটো নীলা’ সূচায় আৰু $\mathrm{R}$ ৰে ঘটনা ‘মাৰ্বলটো ৰঙা’ সূচায়।

(i) ঘটনা $\mathrm{W}=2$ ৰ অনুকূল ফলাফলৰ সংখ্যা

গতিকে, $\mathrm{P}(\mathrm{W})=\dfrac{2}{9}$

একেদৰে,

(ii) $\mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ আৰু

(iii) $\mathrm{P}(\mathrm{R})=\dfrac{4}{9}$

লক্ষ্য কৰা যে $\mathrm{P}(\mathrm{W})+\mathrm{P}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\mathrm{R})=1$।

উদাহৰণ ৯ : হৰপ্ৰীতে একেলগে দুটা বেলেগ মুদ্ৰা টছ কৰে (ধৰা হওক, এটা ₹১ৰ আৰু আনটো ₹২ৰ)। তাইৰ অন্ততঃ এটা মুৰ পোৱাৰ সম্ভাৱনা কিমান?

সমাধান : আমি $\mathrm{H}$ ৰে ‘মুৰ’ আৰু $\mathrm{T}$ ৰে ‘কাঁইট’ বুজাওঁ। যেতিয়া দুটা মুদ্ৰা একেলগে টছ কৰা হয়, সম্ভাৱ্য ফলাফলবোৰ হ’ল $(\mathrm{H}, \mathrm{H}),(\mathrm{H}, \mathrm{T}),(\mathrm{T}, \mathrm{H}),(\mathrm{T}, \mathrm{T})$, যিবোৰ সকলো সমান সম্ভাৱ্য। ইয়াত $(\mathrm{H}, \mathrm{H})$ ৰ অৰ্থ হ’ল প্ৰথম মুদ্ৰাত (ধৰা হওক ₹১ত) মুৰ আৰু দ্বিতীয় মুদ্ৰাত (₹২ত) মুৰ। একেদৰে (H, T) ৰ অৰ্থ হ’ল প্ৰথম মুদ্ৰাত মুৰ আৰু দ্বিতীয় মুদ্ৰাত কাঁইট ইত্যাদি।

ঘটনা $\mathrm{E}$, ‘অন্ততঃ এটা মুৰ’ ৰ অনুকূল ফলাফলবোৰ হ’ল $(\mathrm{H}, \mathrm{H}),(\mathrm{H}, \mathrm{T})$ আৰু (T, H)। (কিয়?)

গতিকে, $\mathrm{E}$ ৰ অনুকূল ফলাফলৰ সংখ্যা হ’ল ৩।

গতিকে, $\quad \mathrm{P}(\mathrm{E})=\dfrac{3}{4}$

অৰ্থাৎ, হৰপ্ৰীতৰ অন্ততঃ এটা মুৰ পোৱাৰ সম্ভাৱনা হ’ল $\dfrac{3}{4}$।

টোকা: তুমি $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ ক এনেদৰেও বিচাৰিব পাৰা:

$$ P(E)=1-P(\bar{E})=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} \quad\left(\text { Since } P(\bar{E})=P(\text { no head })=\dfrac{1}{4}\right) $$

তুমি লক্ষ্য কৰিলানে যে এতিয়ালৈকে আলোচনা কৰা সকলো উদাহৰণত, প্ৰতিটো পৰীক্ষাৰ সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ সংখ্যা সসীম আছিল? যদি নহয়, এতিয়া পৰীক্ষা কৰা।

অনেক পৰীক্ষা আছে য’ত ফলাফল দুটা দিয়া সংখ্যাৰ মাজৰ যিকোনো সংখ্যা, বা য’ত ফলাফল বৃত্ত বা আয়তৰ ভিতৰৰ প্ৰতিটো বিন্দু, ইত্যাদি। তুমি এতিয়া সকলো সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ সংখ্যা গণনা কৰিব পাৰানে? তুমি জানা, ই সম্ভৱ নহয় কাৰণ দুটা দিয়া সংখ্যাৰ মাজত অসীম সংখ্যক সংখ্যা আছে, বা বৃত্তৰ ভিতৰত অসীম সংখ্যক বিন্দু আছে। গতিকে, তুমি এতিয়ালৈকে শিকি অহা (তাত্ত্বিক) সম্ভাৱনাৰ সংজ্ঞাটো বৰ্তমান ৰূপত প্ৰয়োগ কৰিব নোৱাৰি। উপায়টো কি? ইয়াৰ উত্তৰ দিবলৈ, আহা নিম্নলিখিত উদাহৰণটো বিবেচনা কৰো:

উদাহৰণ ১০ : মিউজিকেল চেয়াৰ খেলত, সংগীত বজোৱা ব্যক্তিজনক তাই সংগীত বজোৱা আৰম্ভ কৰাৰ পিছৰ ২ মিনিটৰ ভিতৰত যিকোনো সময়ত সংগীত বজোৱা বন্ধ কৰিবলৈ উপদেশ দিয়া হৈছে। সংগীত আৰম্ভ কৰাৰ পিছৰ প্ৰথম আধা মিনিটৰ ভিতৰত বন্ধ হোৱাৰ সম্ভাৱনা কিমান?

সমাধান : ইয়াত সম্ভাৱ্য ফলাফলবোৰ হ’ল ০ আৰু ২ ৰ মাজৰ সকলো সংখ্যা। এইটো হ’ল সংখ্যা ৰেখাৰ ০ ৰ পৰা ২ লৈ অংশ (চিত্ৰ ১৪.১ চোৱা)।

চিত্ৰ ১৪.১

ধৰা হওক $\mathrm{E}$ হ’ল ঘটনা যে ‘সংগীত প্ৰথম আধা মিনিটৰ ভিতৰত বন্ধ হৈছে’।

$\mathrm{E}$ ৰ অনুকূল ফলাফলবোৰ হ’ল সংখ্যা ৰেখাৰ ০ ৰ পৰা $\dfrac{1}{2}$ লৈ বিন্দুবোৰ।

০ ৰ পৰা ২ লৈ দূৰত্ব হ’ল ২, আনহাতে ০ ৰ পৰা $\dfrac{1}{2}$ লৈ দূৰত্ব হ’ল $\dfrac{1}{2}$।

যিহেতু সকলো ফলাফল সমান সম্ভাৱ্য, আমি যুক্তি দিব পাৰোঁ যে, মুঠ দূৰত্ব ২ ৰ ভিতৰত, ঘটনা $\mathrm{E}$ ৰ অনুকূল দূৰত্ব হ’ল $\dfrac{1}{2}$।

গতিকে, $\quad P(E)=\dfrac{\text { Distance favourable to the event } E}{\text { Total distance in which outcomes can lie }}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{4}$

আমি এতিয়া উদাহৰণ ১০ ৰ ধাৰণাটো অনুকূল ক্ষেত্ৰফলৰ মুঠ ক্ষেত্ৰফলৰ অনুপাত হিচাপে সম্ভাৱনা বিচাৰিবলৈ বিস্তাৰ কৰিব পাৰোনে?

উদাহৰণ ১১ [^0] : চিত্ৰ ১৪.২ ত দেখুওৱা আয়তাকাৰ অঞ্চলৰ ক’বাত হেৰাই যোৱা হেলিকপ্টাৰ এটাৰ দুৰ্ঘটনাৰ খবৰ পোৱা গৈছে। চিত্ৰত দেখুওৱা হ্ৰদৰ ভিতৰত ইয়াৰ দুৰ্ঘটনা হোৱাৰ সম্ভাৱনা কিমান?

চিত্ৰ ১৪.২

সমাধান : হেলিকপ্টাৰটো অঞ্চলটোৰ যিকোনো ঠাইত সমান সম্ভাৱনাৰে দুৰ্ঘটনা হ’ব পাৰে।

হেলিকপ্টাৰটো দুৰ্ঘটনা হ’ব পৰা মুঠ অঞ্চলৰ ক্ষেত্ৰফল

$$ =(4.5 \times 9) \mathrm{km}^{2}=40.5 \mathrm{~km}^{2} $$

হ্ৰদৰ ক্ষেত্ৰফল $=(2.5 \times 3) \mathrm{km}^{2}=7.5 \mathrm{~km}^{2}$

গতিকে, $\mathrm{P}$ (হেলিকপ্টাৰ হ্ৰদত দুৰ্ঘটনা) $=\dfrac{7.5}{40.5}=\dfrac{75}{405}=\dfrac{5}{27}$

উদাহৰণ ১২ : এটা কাৰ্টনত ১০০টা চাৰ্ট আছে যাৰ ভিতৰত ৮৮টা ভাল, ৮টাৰ সৰু ত্ৰুটি আৰু ৪টাৰ ডাঙৰ ত্ৰুটি আছে। জিম্মি, এজন বেপাৰীয়ে, কেৱল ভাল চাৰ্টবোৰহে গ্ৰহণ কৰিব, কিন্তু সুজাতা, আন এজন বেপাৰীয়ে, কেৱল ডাঙৰ ত্ৰুটি থকা চাৰ্টবোৰহে প্ৰত্যাখ্যান কৰিব। কাৰ্টনৰ পৰা এলোমেলোকৈ এটা চাৰ্ট টনা হৈছে। ইয়াৰ তলৰটো হোৱাৰ সম্ভাৱনা কিমান?

(i) জিম্মিৰ বাবে গ্ৰহণযোগ্য?

(ii) সুজাতাৰ বাবে গ্ৰহণযোগ্য?

সমাধান : ১০০টা চাৰ্টৰ কাৰ্টনৰ পৰা এলোমেলোকৈ এটা চাৰ্ট টনা হৈছে। গতিকে, ১০০টা সমান সম্ভাৱ্য ফলাফল আছে।

(i) জিম্মিৰ বাবে অনুকূল (অৰ্থাৎ গ্ৰহণযোগ্য) ফলাফলৰ সংখ্যা $=88$ (কিয়?)

গতিকে, $\mathrm{P}$ (চাৰ্ট জিম্মিৰ বাবে গ্ৰহণযোগ্য) $=\dfrac{88}{100}=0.88$

(ii) সুজাতাৰ বাবে অনুকূল ফলাফলৰ সংখ্যা $=88+8=96$ (কিয়?)

গতিকে, $\mathrm{P}$ (চাৰ্ট সুজাতাৰ বাবে গ্ৰহণযোগ্য) $=\dfrac{96}{100}=0.96$

উদাহৰণ ১৩ : দুটা ডাইচ,