സാധ്യതകളുടെ സിദ്ധാന്തവും പിശകുകളുടെ സിദ്ധാന്തവും ഇപ്പോൾ വളരെ ഗണിതപരമായ താൽപ്പര്യമുള്ളതും വളരെ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യമുള്ളതുമായ ഒരു ശക്തമായ വിജ്ഞാനശാഖയാണ്.

ആർ.എസ്. വുഡ്വാർഡ്

14.1 സാധ്യത - ഒരു സൈദ്ധാന്തിക സമീപനം

നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സാഹചര്യം പരിഗണിക്കാം:

ഒരു നാണയം ക്രമരഹിതമായി എറിയുന്നുവെന്ന് കരുതുക.

നാണയം എന്ന് പറയുമ്പോൾ, അത് ‘നീതിയുള്ളതാണ്’ എന്ന് അനുമാനിക്കുന്നു, അതായത്, അത് സമമിതിയാണ്, അതിനാൽ ഒരു വശത്ത് മറ്റേ വശത്തേക്കാൾ കൂടുതൽ തവണ താഴെ വരാൻ എന്തെങ്കിലും കാരണമില്ല. നാണയത്തിന്റെ ഈ സ്വഭാവത്തെ ‘പക്ഷപാതരഹിതം’ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ‘ക്രമരഹിതമായ ടോസ്’ എന്ന വാചകത്താൽ, നാണയത്തിന് ഏതെങ്കിലും പക്ഷപാതമോ ഇടപെടലോ ഇല്ലാതെ സ്വതന്ത്രമായി വീഴാൻ അനുവദിക്കുന്നു എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

മുൻകൂട്ടി അറിയാം, നാണയത്തിന് രണ്ട് സാധ്യമായ വഴികളിൽ ഒന്നിൽ മാത്രമേ താഴെ വീഴാൻ കഴിയൂ: തല മുകളിലോ വാല് മുകളിലോ (അതിന്റെ വക്കിൽ ‘താഴെ വീഴുന്ന’ സാധ്യത ഞങ്ങൾ നിരസിക്കുന്നു, അത് സാധ്യമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, അത് മണലിൽ വീഴുകയാണെങ്കിൽ). ഓരോ ഫലവും, തലയോ വാലോ, മറ്റൊന്നിന് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യതയുണ്ടെന്ന് ന്യായമായി അനുമാനിക്കാം. തലയും വാലും ഫലങ്ങൾ തുല്യമായി സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യതയുണ്ട് എന്ന് പറഞ്ഞുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾ ഇതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

തുല്യമായി സംഭവിക്കാനിടയുള്ള ഫലങ്ങളുടെ മറ്റൊരു ഉദാഹരണത്തിനായി, ഞങ്ങൾ ഒരു ഡൈ ഒരു തവണ എറിയുന്നുവെന്ന് കരുതുക. ഞങ്ങൾക്ക്, ഒരു ഡൈ എന്നാൽ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു നീതിയുള്ള ഡൈ എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്. സാധ്യമായ ഫലങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്? അവ 1, 2, 3, 4, 5, 6 എന്നിവയാണ്. ഓരോ നമ്പറിനും കാണിക്കാനുള്ള സാധ്യത ഒന്നുതന്നെയാണ്. അതിനാൽ ഒരു ഡൈ എറിയുന്നതിന്റെ തുല്യമായി സംഭവിക്കാനിടയുള്ള ഫലങ്ങൾ 1,2,3,4,5,6 എന്നിവയാണ്.

എല്ലാ പരീക്ഷണത്തിന്റെയും ഫലങ്ങൾ തുല്യമായി സംഭവിക്കാനിടയുള്ളതാണോ? നമുക്ക് നോക്കാം.

ഒരു ബാഗിൽ 4 ചുവന്ന പന്തുകളും 1 നീല പന്തും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നും നിങ്ങൾ ബാഗിലേക്ക് നോക്കാതെ ഒരു പന്ത് വലിച്ചെടുക്കുന്നുവെന്നും കരുതുക. ഫലങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്? ഫലങ്ങൾ - ഒരു ചുവന്ന പന്തും ഒരു നീല പന്തും തുല്യമായി സംഭവിക്കാനിടയുള്ളതാണോ? 4 ചുവന്ന പന്തുകളും ഒരു നീല പന്തും മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നീല പന്തിനേക്കാൾ ഒരു ചുവന്ന പന്ത് ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത കൂടുതലാണെന്ന് നിങ്ങൾ സമ്മതിക്കും. അതിനാൽ, ഫലങ്ങൾ (ഒരു ചുവന്ന പന്ത് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നീല പന്ത്) തുല്യമായി സംഭവിക്കാനിടയുള്ളതല്ല. എന്നിരുന്നാലും, ബാഗിൽ നിന്ന് ഏത് നിറത്തിലുള്ള പന്ത് വലിച്ചെടുക്കുന്നതിന്റെ ഫലം തുല്യമായി സംഭവിക്കാനിടയുള്ളതാണ്. അതിനാൽ, എല്ലാ പരീക്ഷണങ്ങൾക്കും തുല്യമായി സംഭവിക്കാനിടയുള്ള ഫലങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്നില്ല.

എന്നിരുന്നാലും, ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, ഇപ്പോൾ മുതൽ, എല്ലാ പരീക്ഷണങ്ങൾക്കും തുല്യമായി സംഭവിക്കാനിടയുള്ള ഫലങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും.

ഒൻപതാം ക്ലാസ്സിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ പരീക്ഷണാത്മക അല്ലെങ്കിൽ അനുഭവപരമായ സാധ്യത $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ നിർവചിച്ചു $\mathrm{E}$ എന്ന്

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\dfrac{\text { Number of trials in which the event happened }}{\text { Total number of trials }} $$

സാധ്യതയുടെ അനുഭവപരമായ വ്യാഖ്യാനം ഒരു വലിയ എണ്ണം തവണ ആവർത്തിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു പരീക്ഷണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട എല്ലാ സംഭവങ്ങൾക്കും ബാധകമാക്കാം. ഒരു പരീക്ഷണം ആവർത്തിക്കേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകതയ്ക്ക് ചില പരിമിതികളുണ്ട്, കാരണം ഇത് പല സാഹചര്യങ്ങളിലും വളരെ ചെലവേറിയതോ സാധ്യമല്ലാത്തതോ ആയിരിക്കാം. തീർച്ചയായും, ഇത് നാണയം എറിയൽ അല്ലെങ്കിൽ ഡൈ എറിയൽ പരീക്ഷണങ്ങളിൽ നന്നായി പ്രവർത്തിച്ചു. എന്നാൽ ഒരു ഉപഗ്രഹം വിക്ഷേപിക്കുന്ന പരീക്ഷണം ആവർത്തിച്ച് വിക്ഷേപണ സമയത്ത് അതിന്റെ പരാജയത്തിന്റെ അനുഭവപരമായ സാധ്യത കണക്കാക്കുന്നതിനോ, ഒരു ഭൂകമ്പത്തിന്റെ പ്രതിഭാസം ആവർത്തിച്ച് ഒരു ഭൂകമ്പത്തിൽ ഒരു ബഹുനില കെട്ടിടം നശിപ്പിക്കപ്പെടുന്നതിന്റെ അനുഭവപരമായ സാധ്യത കണക്കാക്കുന്നതിനോ എങ്ങനെ?

ഞങ്ങൾ ചില അനുമാനങ്ങൾ ചെയ്യാൻ തയ്യാറായ പരീക്ഷണങ്ങളിൽ, ഒരു പരീക്ഷണത്തിന്റെ ആവർത്തനം ഒഴിവാക്കാം, കാരണം അനുമാനങ്ങൾ കൃത്യമായ (സൈദ്ധാന്തിക) സാധ്യത നേരിട്ട് കണക്കാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു. തുല്യമായി സംഭവിക്കാനിടയുള്ള ഫലങ്ങളുടെ അനുമാനം (ഒരു നാണയത്തിന്റെയും ഒരു ഡൈയുടെയും മുകളിലുള്ള രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങളിലെന്നപോലെ, പല പരീക്ഷണങ്ങളിലും സാധുതയുള്ളത്) അത്തരമൊരു അനുമാനമാണ്, അത് ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സൈദ്ധാന്തിക സാധ്യത (ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റി എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു) $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു, ഇത് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്

$$ P(E)=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes of the experiment }} \text {, } $$

പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഫലങ്ങൾ തുല്യമായി സംഭവിക്കാനിടയുള്ളതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നിടത്ത്.

സൈദ്ധാന്തിക സാധ്യതയെ ഞങ്ങൾ സംക്ഷിപ്തമായി സാധ്യത എന്ന് വിളിക്കും.

സാധ്യതയുടെ ഈ നിർവചനം 1795-ൽ പിയറി സൈമൺ ലാപ്ലേസ് നൽകി.

സാധ്യതാ സിദ്ധാന്തത്തിന് 16-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഉത്ഭവമുണ്ടായി, ഒരു ഇറ്റാലിയൻ വൈദ്യനും ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനുമായ ജെ.കാർദൻ ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ആദ്യ പുസ്തകം, ദി ബുക്ക് ഓൺ ഗെയിംസ് ഓഫ് ചാൻസ് എഴുതിയപ്പോൾ. ആരംഭം മുതൽ, സാധ്യതയുടെ പഠനം മഹാനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിച്ചു. ജെയിംസ് ബെർണൂലി (1654 - 1705), എ. ഡി മോയിവർ (1667 - 1754), പിയറി സൈമൺ ലാപ്ലേസ് എന്നിവർ ഈ മേഖലയിൽ കാര്യമായ സംഭാവനകൾ നൽകിയവരിൽ പെടുന്നു. ലാപ്ലേസിന്റെ തിയോറി അനലിറ്റിക് ഡെസ് പ്രോബബിലിറ്റീസ്, 1812, ഒരൊറ്റ വ്യക്തിയുടെ സാധ്യതാ സിദ്ധാന്തത്തിലേക്കുള്ള ഏറ്റവും വലിയ സംഭാവനയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. സമീപകാലത്ത്, ജീവശാസ്ത്രം, സാമ്പത്തികശാസ്ത്രം, ജനിതകശാസ്ത്രം, ഭൗതികശാസ്ത്രം, സാമൂഹികശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ പല മേഖലകളിലും സാധ്യത വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു.

പിയറി സൈമൺ ലാപ്ലേസ് (1749 - 1827)

തുല്യമായ അനുമാനം നിലനിൽക്കുന്ന പരീക്ഷണങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചില സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യത കണ്ടെത്താം.

ഉദാഹരണം 1 : ഒരു നാണയം ഒരു തവണ ടോസ് ചെയ്യുമ്പോൾ തല ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക. വാല് ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യതയും കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം : ഒരു നാണയം ഒരു തവണ ടോസ് ചെയ്യുന്ന പരീക്ഷണത്തിൽ, സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം രണ്ടാണ് - തല (H) ഉം വാല് (T) ഉം. E എന്നത് ‘തല ലഭിക്കുന്നു’ എന്ന സംഭവമായിരിക്കട്ടെ. E യ്ക്ക് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം, (അതായത്, തല ലഭിക്കുന്നത്) 1 ആണ്. അതിനാൽ,

$$ P(E)=P(\text { head })=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes }}=\dfrac{1}{2} $$

അതുപോലെ, $\mathrm{F}$ എന്നത് ‘വാല് ലഭിക്കുന്നു’ എന്ന സംഭവമാണെങ്കിൽ,

$$ P(F)=P(\text { tail })=\dfrac{1}{2} \quad \text { (Why ?) } $$

ഉദാഹരണം 2 : ഒരു ബാഗിൽ ഒരു ചുവന്ന പന്ത്, ഒരു നീല പന്ത്, ഒരു മഞ്ഞ പന്ത് എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, എല്ലാ പന്തുകളും ഒരേ വലുപ്പത്തിലാണ്. ക്രിതിക ബാഗിലേക്ക് നോക്കാതെ ഒരു പന്ത് പുറത്തെടുക്കുന്നു. അവൾ പുറത്തെടുക്കുന്നതിന്റെ സാധ്യത എന്താണ്

(i) മഞ്ഞ പന്ത്?

(ii) ചുവന്ന പന്ത്?

(iii) നീല പന്ത്?

പരിഹാരം : ക്രിതിക ബാഗിലേക്ക് നോക്കാതെ ഒരു പന്ത് പുറത്തെടുക്കുന്നു. അതിനാൽ, അവൾ അവയിലേതെങ്കിലും ഒന്ന് പുറത്തെടുക്കാനുള്ള സാധ്യത തുല്യമാണ്.

$\mathrm{Y}$ എന്നത് ‘പുറത്തെടുത്ത പന്ത് മഞ്ഞയാണ്’ എന്ന സംഭവമായിരിക്കട്ടെ, B എന്നത് ‘പുറത്തെടുത്ത പന്ത് നീലയാണ്’ എന്ന സംഭവമായിരിക്കട്ടെ, $\mathrm{R}$ എന്നത് ‘പുറത്തെടുത്ത പന്ത് ചുവപ്പാണ്’ എന്ന സംഭവമായിരിക്കട്ടെ.

ഇപ്പോൾ, സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം $=3$.

(i) സംഭവത്തിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം $Y=1$.

അതിനാൽ, $\quad \mathrm{P}(\mathrm{Y})=\dfrac{1}{3}$

അതുപോലെ, $$ \text { (ii) } \mathrm{P}(\mathrm{R})=\dfrac{1}{3} \text { and (iii) } \mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{1}{3} \text {. } $$

അഭിപ്രായങ്ങൾ :

1. പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഒരു ഫലം മാത്രമുള്ള ഒരു സംഭവത്തെ പ്രാഥമിക സംഭവം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണം 1-ൽ, രണ്ട് സംഭവങ്ങളും $\mathrm{E}$ ഉം $\mathrm{F}$ ഉം പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളാണ്. അതുപോലെ, ഉദാഹരണം 2-ൽ, മൂന്ന് സംഭവങ്ങളും, Y, B, R എന്നിവ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളാണ്.

2. ഉദാഹരണം 1-ൽ, ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു: $P(E)+P(F)=1$

ഉദാഹരണം 2-ൽ, ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു: $\mathrm{P}(\mathrm{Y})+\mathrm{P}(\mathrm{R})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=1$

ഒരു പരീക്ഷണത്തിന്റെ എല്ലാ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെയും സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുക 1 ആണെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക. ഇത് പൊതുവേയും ശരിയാണ്.

ഉദാഹരണം 3 : ഞങ്ങൾ ഒരു ഡൈ ഒരു തവണ എറിയുന്നുവെന്ന് കരുതുക. (i) 4-ൽ കൂടുതൽ ഒരു സംഖ്യ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്? (ii) 4-ൽ കുറയാത്ത അല്ലെങ്കിൽ തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം : (i) ഇവിടെ, $\mathrm{E}$ എന്നത് ‘4-ൽ കൂടുതൽ ഒരു സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നു’ എന്ന സംഭവമായിരിക്കട്ടെ. സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം ആറാണ്: 1, 2, 3, 4, 5, 6, $\mathrm{E}$ എന്നിവയ്ക്ക് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങൾ 5 ഉം 6 ഉം ആണ്. അതിനാൽ, $\mathrm{E}$ എന്നതിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം 2 ആണ്. അതിനാൽ,

$$ P(E)=P(\text { number greater than } 4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} $$

(ii) $\mathrm{F}$ എന്നത് ‘4-ൽ കുറയാത്ത അല്ലെങ്കിൽ തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നു’ എന്ന സംഭവമായിരിക്കട്ടെ.

സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം $=6$

സംഭവത്തിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങൾ $\mathrm{F}$ 1, 2, 3, 4 എന്നിവയാണ്.

അതിനാൽ, $\mathrm{F}$ എന്നതിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം 4 ആണ്.

അതിനാൽ, $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} $$

മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിലെ $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ എന്നീ സംഭവങ്ങൾ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളാണോ? അല്ല, അവ അങ്ങനെയല്ല, കാരണം സംഭവം $\mathrm{E}$ ന് 2 ഫലങ്ങളുണ്ട്, സംഭവം $\mathrm{F}$ ന് 4 ഫലങ്ങളുണ്ട്.

അഭിപ്രായങ്ങൾ : ഉദാഹരണം 1-ൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1 \tag{1} $$

ഇവിടെ $\mathrm{E}$ എന്നത് ‘തല ലഭിക്കുന്നു’ എന്ന സംഭവമാണ്, $\mathrm{F}$ എന്നത് ‘വാല് ലഭിക്കുന്നു’ എന്ന സംഭവമാണ്.

ഉദാഹരണം 3-ന്റെ (i), (ii) എന്നിവയിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1 \tag{2} $$

ഇവിടെ $\mathrm{E}$ എന്നത് ‘ഒരു സംഖ്യ $>4$ ലഭിക്കുന്നു’ എന്ന സംഭവമാണ്, $\mathrm{F}$ എന്നത് ‘ഒരു സംഖ്യ $\leq 4$ ലഭിക്കുന്നു’ എന്ന സംഭവമാണ്.

4-ൽ കൂടുതലല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നത് 4-ൽ കുറയാത്ത അല്ലെങ്കിൽ തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണെന്നും തിരിച്ചും ശ്രദ്ധിക്കുക.

(1), (2) എന്നിവയിൽ, F എന്നത് ‘E അല്ല’ എന്നതിന് തുല്യമല്ലേ? അതെ, അതാണ്. ‘E അല്ല’ എന്ന സംഭവത്തെ ഞങ്ങൾ $\overline{\mathrm{E}}$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, $$ P(E)+P(\text { not } E)=1 $$

അതായത്, $ P(E)+P(\bar{E})=1 \text {, which gives us } P(\bar{E})=1-P(E) \text {. } $

പൊതുവേ, ഒരു സംഭവത്തിന് $\mathrm{E}$,

$$ \mathbf{P}(\overline{\mathbf{E}})=1-\mathbf{P}(\mathbf{E}) $$

സംഭവം $\overline{\mathrm{E}}$, ‘$\mathrm{E}$ അല്ല’ എന്നതിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, സംഭവത്തിന്റെ പൂരകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു $\mathrm{E}$. $\mathrm{E}$, $\overline{\mathrm{E}}$ എന്നിവ പൂരക സംഭവങ്ങളാണെന്നും ഞങ്ങൾ പറയുന്നു.

മുന്നോട്ട് പോകുന്നതിനുമുമ്പ്, ഇനിപ്പറയുന്ന ചോദ്യങ്ങൾക്കുള്ള ഉത്തരങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം:

(i) ഒരു ഡൈ ഒരു തവണ എറിയുമ്പോൾ 8 എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

(ii) ഒരു ഡൈ ഒരു തവണ എറിയുമ്പോൾ 7-ൽ കുറവായ ഒരു സംഖ്യ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

നമുക്ക് (i) ഉത്തരം നൽകാം:

ഒരു ഡൈ ഒരു തവണ എറിയുമ്പോൾ ആറ് സാധ്യമായ ഫലങ്ങൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്ന് നമുക്കറിയാം. ഈ ഫലങ്ങൾ 1, 2, 3, 4, 5, 6 എന്നിവയാണ്. ഡൈയുടെ ഒരു മുഖത്തും 8 അടയാളപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ലാത്തതിനാൽ, 8-ന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളൊന്നുമില്ല, അതായത്, അത്തരം ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം പൂജ്യമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ഡൈ ഒരു തവണ എറിയുമ്പോൾ 8 ലഭിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്.

അതിനാൽ, $$ P(\text { getting } 8)=\dfrac{0}{6}=0 $$

അതായത്, സംഭവിക്കാൻ അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത 0 ആണ്. അത്തരമൊരു സംഭവത്തെ അസാധ്യ സംഭവം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നമുക്ക് (ii) ഉത്തരം നൽകാം:

ഒരു ഡൈയുടെ ഓരോ മുഖവും 7-ൽ കുറവായ ഒരു സംഖ്യയാൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, അത് ഒരു തവണ എറിയുമ്പോൾ എല്ലായ്പ്പോഴും 7-ൽ കുറവായ ഒരു സംഖ്യ ലഭിക്കുമെന്ന് ഉറപ്പാണ്. അതിനാൽ, അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം എല്ലാ സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, അത് 6 ആണ്.

അതിനാൽ, $$ P(E)=P(\text { getting a number less than } 7)=\dfrac{6}{6}=1 $$

അതിനാൽ, സംഭവിക്കാൻ ഉറപ്പുള്ള (അല്ലെങ്കിൽ നിശ്ചിതമായ) ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത 1 ആണ്. അത്തരമൊരു സംഭവത്തെ ഉറപ്പുള്ള സംഭവം അല്ലെങ്കിൽ നിശ്ചിത സംഭവം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

കുറിപ്പ് : സാധ്യതയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് $\mathrm{P}(\mathrm{E})$, ന്യൂമറേറ്റർ (സംഭവത്തിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം $\mathrm{E}$) എല്ലായ്പ്പോഴും ഡിനോമിനേറ്ററിന് (എല്ലാ സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണം) കുറയാത്തതോ തുല്യമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. അതിനാൽ,

$$ 0 \leq \mathrm{P}(\mathrm{E}) \leq 1 $$

ഇപ്പോൾ, കാർഡുകൾ കളിക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കാം. കാർഡുകൾ കളിക്കുന്ന ഒരു ഡെക്ക് നിങ്ങൾ കണ്ടിട്ടുണ്ടോ? ഇതിൽ 52 കാർഡുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അവ 4 സ്യൂട്ടുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു, ഓരോന്നിനും 13 കാർഡുകൾ: സ്പേഡുകൾ ($\spadesuit$), ഹാർട്ട്സ് ($\heartsuit$), ഡയമണ്ട്സ് ($(\diamondsuit)$), ക്ലബ്സ് ($(\clubsuit)$). ക്ലബ്സും സ്പേഡുകളും കറുത്ത നിറത്തിലാണ്, ഹാർട്ട്സും ഡയമണ്ട്സും ചുവപ്പ് നിറത്തിലാണ്. ഓരോ സ്യൂട്ടിലെയും കാർഡുകൾ ഏസ്, കിംഗ്, ക്വീൻ, ജാക്ക്, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 എന്നിവയാണ്. കിംഗ്സ്, ക്വീൻസ്, ജാക്കുകൾ എന്നിവ ഫേസ് കാർഡുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണം 4 : 52 കാർഡുകളുടെ നന്നായി കുലുക്കിയ ഒരു ഡെക്കിൽ നിന്ന് ഒരു കാർഡ് വലിച്ചെടുക്കുന്നു. കാർഡ് ഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കുക

(i) ഒരു ഏസ് ആകുക,

(ii) ഒരു ഏസ് ആകാതിരിക്കുക.

പരിഹാരം : നന്നായി കുലുക്കൽ തുല്യമായി സംഭവിക്കാനിടയുള്ള ഫ