સંભાવનાઓનો સિદ્ધાંત અને ત્રુટિઓનો સિદ્ધાંત હવે મહાન ગાણિતિક રુચિ અને મહાન વ્યવહારુ મહત્વનો એક ભવ્ય સમૂહ રચે છે.

આર.એસ. વુડવર્ડ

14.1 સંભાવના - એક સૈદ્ધાંતિક અભિગમ

ચાલો નીચેની પરિસ્થિતિ ધ્યાનમાં લઈએ:

માની લો કે એક સિક્કો રેન્ડમ ઉછાળવામાં આવે છે.

જ્યારે આપણે સિક્કાની વાત કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે ધારીએ છીએ કે તે ‘ફેર’ છે, એટલે કે, તે સંમિત છે જેથી તે એક બાજુ પર બીજી બાજુ કરતાં વધુ વાર નીચે આવે તેવું કોઈ કારણ નથી. આપણે સિક્કાની આ ગુણધર્મને ‘પક્ષપાતરહિત’ હોવા તરીકે ઓળખીએ છીએ. ‘રેન્ડમ ટૉસ’ શબ્દસમૂહ દ્વારા, આપણો અર્થ એ છે કે સિક્કાને કોઈ પક્ષપાત અથવા દખલગીરી વિના મુક્ત રીતે નીચે પડવા દેવામાં આવે છે.

આપણે અગાઉથી જાણીએ છીએ કે સિક્કો માત્ર બે સંભવિત રીતોમાંથી એક રીતે જ ઊતરી શકે છે: કાં તો હેડ ઉપર અથવા ટેલ ઉપર (આપણે તેના ‘કિનારા પર ઊતરવા’ની સંભાવનાને અવગણીએ છીએ, જે શક્ય હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, જો તે રેતી પર પડે). આપણે વાજબી રીતે ધારી શકીએ છીએ કે દરેક પરિણામ, હેડ અથવા ટેલ, બીજા જેટલું જ સંભવિત છે. આપણે આનો ઉલ્લેખ કરીએ છીએ કે હેડ અને ટેલ પરિણામો સમાન સંભાવના ધરાવે છે તેમ કહીને.

સમાન સંભાવના ધરાવતા પરિણામોના બીજા ઉદાહરણ માટે, ધારો કે આપણે એક વાર પાસો ફેંકીએ છીએ. આપણા માટે, પાસો હંમેશા ફેર પાસો હશે. સંભવિત પરિણામો કયા છે? તે 1, 2, 3, 4, 5, 6 છે. દરેક સંખ્યાને બતાવવાની સમાન સંભાવના છે. તેથી પાસો ફેંકવાના સમાન સંભાવના ધરાવતા પરિણામો 1,2,3,4,5 અને 6 છે.

શું દરેક પ્રયોગના પરિણામો સમાન સંભાવના ધરાવે છે? ચાલો જોઈએ.

ધારો કે એક થેલીમાં 4 લાલ દડા અને 1 વાદળી દડો છે, અને તમે થેલીમાં જોયા વિના એક દડો દોરો છો. પરિણામો શું છે? શું પરિણામો - એક લાલ દડો અને એક વાદળી દડો સમાન સંભાવના ધરાવે છે? કારણ કે ત્યાં 4 લાલ દડા છે અને માત્ર એક વાદળી દડો છે, તમે સહમત થશો કે તમને વાદળી દડા કરતાં લાલ દડો મળવાની સંભાવના વધુ છે. તેથી, પરિણામો (લાલ દડો અથવા વાદળી દડો) સમાન સંભાવના ધરાવતા નથી. જો કે, થેલીમાંથી કોઈ પણ રંગનો દડો દોરવાનું પરિણામ સમાન સંભાવના ધરાવે છે. તેથી, બધા પ્રયોગોમાં જરૂરી નથી કે સમાન સંભાવના ધરાવતા પરિણામો હોય.

જો કે, આ પ્રકરણમાં, અત્યારથી, આપણે ધારીશું કે બધા પ્રયોગો સમાન સંભાવના ધરાવતા પરિણામો ધરાવે છે.

કક્ષા IX માં, આપણે ઘટના $\mathrm{E}$ ની પ્રાયોગિક અથવા અનુભવજન્ય સંભાવના $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ ને વ્યાખ્યાયિત કરી હતી

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\dfrac{\text { Number of trials in which the event happened }}{\text { Total number of trials }} $$

સંભાવનાની અનુભવજન્ય અર્થઘટન એ દરેક ઘટનાઓ પર લાગુ કરી શકાય છે જે એવા પ્રયોગ સાથે સંકળાયેલી છે જેને મોટી સંખ્યામાં પુનરાવર્તિત કરી શકાય છે. પ્રયોગના પુનરાવર્તનની જરૂરિયાતમાં કેટલીક મર્યાદાઓ છે, કારણ કે તે ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં ખૂબ ખર્ચાળ અથવા અશક્ય હોઈ શકે છે. અલબત્ત, તે સિક્કો ઉછાળવા અથવા પાસો ફેંકવાના પ્રયોગોમાં સારી રીતે કામ કર્યું. પરંતુ ઉડ્ડયન દરમિયાન તેની નિષ્ફળતાની અનુભવજન્ય સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે ઉપગ્રહ લોન્ચ કરવાના પ્રયોગને પુનરાવર્તિત કરવા વિશે, અથવા ભૂકંપ દરમિયાન મલ્ટીસ્ટોરી બિલ્ડિંગ નાશ પામવાની અનુભવજન્ય સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે ભૂકંપની ઘટનાને પુનરાવર્તિત કરવા વિશે શું?

પ્રયોગોમાં જ્યાં આપણે ચોક્કસ ધારણાઓ બનાવવા માટે તૈયાર છીએ, ત્યાં પ્રયોગના પુનરાવર્તનને ટાળી શકાય છે, કારણ કે ધારણાઓ સીધી રીતે ચોક્કસ (સૈદ્ધાંતિક) સંભાવનાની ગણતરી કરવામાં મદદ કરે છે. સમાન સંભાવના ધરાવતા પરિણામોની ધારણા (જે ઘણા પ્રયોગોમાં માન્ય છે, જેમ કે ઉપરના બે ઉદાહરણોમાં, સિક્કા અને પાસાના) એવી એક ધારણા છે જે આપણને ઘટનાની સંભાવનાની નીચેની વ્યાખ્યા તરફ દોરી જાય છે.

ઘટના E ની સૈદ્ધાંતિક સંભાવના (જેને શાસ્ત્રીય સંભાવના પણ કહેવાય છે), જે $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ તરીકે લખાય છે, તેને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

$$ P(E)=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes of the experiment }} \text {, } $$

જ્યાં આપણે ધારીએ છીએ કે પ્રયોગના પરિણામો સમાન સંભાવના ધરાવે છે.

આપણે સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાનો સંક્ષિપ્તમાં સંભાવના તરીકે ઉલ્લેખ કરીશું.

સંભાવનાની આ વ્યાખ્યા પિયર સિમોન લાપ્લાસ દ્વારા 1795 માં આપવામાં આવી હતી.

સંભાવના સિદ્ધાંતનો ઉદ્ભવ 16મી સદીમાં થયો હતો જ્યારે એક ઇટાલિયન ચિકિત્સક અને ગણિતશાસ્ત્રી જે.કાર્ડને આ વિષય પર પ્રથમ પુસ્તક, ધ બુક ઓન ગેમ્સ ઓફ ચાન્સ લખ્યું હતું. તેની શરૂઆતથી, સંભાવનાના અભ્યાસે મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓનું ધ્યાન આકર્ષિત કર્યું છે. જેમ્સ બર્નૌલી (1654 - 1705), એ. ડી મોઇવર (1667 - 1754), અને પિયર સિમોન લાપ્લાસ તેમાંના છે જેઓએ આ ક્ષેત્રમાં નોંધપાત્ર યોગદાન આપ્યું છે. લાપ્લાસનો થિયરી એનાલિટિક ડેસ પ્રોબેબિલિટેસ, 1812, એક વ્યક્તિ દ્વારા સંભાવના સિદ્ધાંતમાં સૌથી મોટું યોગદાન ગણવામાં આવે છે. તાજેતરના વર્ષોમાં, સંભાવનાનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થયો છે જેમ કે જીવવિજ્ઞાન, અર્થશાસ્ત્ર, જનીનવિજ્ઞાન, ભૌતિકશાસ્ત્ર, સમાજશાસ્ત્ર વગેરે.

પિયર સિમોન લાપ્લાસ (1749 - 1827)

ચાલો કેટલીક ઘટનાઓ માટે સંભાવના શોધીએ જે પ્રયોગો સાથે સંકળાયેલી છે જ્યાં સમાન સંભાવના ધરાવતી ધારણા ધરાવે છે.

ઉદાહરણ 1 : જ્યારે એક સિક્કો એક વાર ઉછાળવામાં આવે ત્યારે હેડ મળવાની સંભાવના શોધો. ટેલ મળવાની સંભાવના પણ શોધો.

ઉકેલ : એક સિક્કો એક વાર ઉછાળવાના પ્રયોગમાં, સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા બે છે - હેડ (H) અને ટેલ (T). ઘટના E ને ‘હેડ મળવો’ થવા દો. E માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા, (એટલે કે, હેડ મળવો) 1 છે. તેથી,

$$ P(E)=P(\text { head })=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes }}=\dfrac{1}{2} $$

એ જ રીતે, જો $\mathrm{F}$ એ ઘટના ‘ટેલ મળવી’ હોય, તો

$$ P(F)=P(\text { tail })=\dfrac{1}{2} \quad \text { (Why ?) } $$

ઉદાહરણ 2 : એક થેલીમાં એક લાલ દડો, એક વાદળી દડો અને એક પીળો દડો છે, બધા દડા સમાન કદના છે. કૃતિકા થેલીમાંથી એક દડો દોરે છે તેમાં જોયા વિના. તેના દ્વારા પીળો દડો દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

(i) પીળો દડો?

(ii) લાલ દડો?

(iii) વાદળી દડો?

ઉકેલ : કૃતિકા થેલીમાંથી એક દડો દોરે છે તેમાં જોયા વિના. તેથી, તે સમાન સંભાવના છે કે તે તેમાંથી કોઈ પણ એક દોરે છે.

$\mathrm{Y}$ ને ઘટના ‘દોરેલો દડો પીળો છે’ થવા દો, B ને ઘટના ‘દોરેલો દડો વાદળી છે’ થવા દો, અને $\mathrm{R}$ ને ઘટના ‘દોરેલો દડો લાલ છે’ થવા દો.

હવે, સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા $=3$.

(i) ઘટના $Y=1$ માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા.

તેથી, $\quad \mathrm{P}(\mathrm{Y})=\dfrac{1}{3}$

એ જ રીતે, $$ \text { (ii) } \mathrm{P}(\mathrm{R})=\dfrac{1}{3} \text { and (iii) } \mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{1}{3} \text {. } $$

ટિપ્પણીઓ :

1. એક ઘટના જેમાં પ્રયોગનું માત્ર એક જ પરિણામ હોય તેને પ્રાથમિક ઘટના કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ 1 માં, બંને ઘટનાઓ $\mathrm{E}$ અને $\mathrm{F}$ પ્રાથમિક ઘટનાઓ છે. એ જ રીતે, ઉદાહરણ 2 માં, ત્રણેય ઘટનાઓ, Y, B અને R પ્રાથમિક ઘટનાઓ છે.

2. ઉદાહરણ 1 માં, આપણે નોંધીએ છીએ: $P(E)+P(F)=1$

ઉદાહરણ 2 માં, આપણે નોંધીએ છીએ: $\mathrm{P}(\mathrm{Y})+\mathrm{P}(\mathrm{R})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=1$

નિરીક્ષણ કરો કે પ્રયોગની તમામ પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 છે. આ સામાન્ય રીતે પણ સાચું છે.

ઉદાહરણ 3 : ધારો કે આપણે એક વાર પાસો ફેંકીએ છીએ. (i) 4 કરતાં મોટી સંખ્યા મળવાની સંભાવના કેટલી છે? (ii) 4 કરતાં ઓછી અથવા બરાબર સંખ્યા મળવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ : (i) અહીં, $\mathrm{E}$ ને ઘટના ‘4 કરતાં મોટી સંખ્યા મળવી’ થવા દો. સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા છ છે: 1, 2, 3, 4, 5 અને 6, અને $\mathrm{E}$ માટે અનુકૂળ પરિણામો 5 અને 6 છે. તેથી, $\mathrm{E}$ માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 2 છે. તેથી,

$$ P(E)=P(\text { number greater than } 4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} $$

(ii) $\mathrm{F}$ ને ઘટના ‘4 કરતાં ઓછી અથવા બરાબર સંખ્યા મળવી’ થવા દો.

સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા $=6$

ઘટના $\mathrm{F}$ માટે અનુકૂળ પરિણામો 1, 2, 3, 4 છે.

તેથી, $\mathrm{F}$ માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 4 છે.

તેથી, $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} $$

શું ઉપરના ઉદાહરણમાં ઘટનાઓ $\mathrm{E}$ અને $\mathrm{F}$ પ્રાથમિક ઘટનાઓ છે? ના, તે નથી કારણ કે ઘટના $\mathrm{E}$ માં 2 પરિણામો છે અને ઘટના $\mathrm{F}$ માં 4 પરિણામો છે.

ટિપ્પણીઓ : ઉદાહરણ 1 માંથી, આપણે નોંધીએ છીએ

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1 \tag{1} $$

જ્યાં $\mathrm{E}$ એ ઘટના ‘હેડ મળવો’ છે અને $\mathrm{F}$ એ ઘટના ‘ટેલ મળવી’ છે.

ઉદાહરણ 3 ના (i) અને (ii) માંથી, આપણને પણ મળે છે

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1 \tag{2} $$

જ્યાં $\mathrm{E}$ એ ઘટના ‘સંખ્યા $>4$ મળવી’ છે અને $\mathrm{F}$ એ ઘટના ‘સંખ્યા $\leq 4$ મળવી’ છે.

નોંધ કરો કે 4 કરતાં મોટી ન હોય તેવી સંખ્યા મળવી એ 4 કરતાં ઓછી અથવા બરાબર સંખ્યા મળવા જેવું જ છે, અને ઊલટું.

ઉપર (1) અને (2) માં, શું F એ ‘E નહીં’ જેવું જ નથી? હા, તે છે. આપણે ઘટના ‘E નહીં’ ને $\overline{\mathrm{E}}$ દ્વારા દર્શાવીએ છીએ.

તેથી, $$ P(E)+P(\text { not } E)=1 $$

એટલે કે, $ P(E)+P(\bar{E})=1 \text {, which gives us } P(\bar{E})=1-P(E) \text {. } $

સામાન્ય રીતે, તે સાચું છે કે ઘટના $\mathrm{E}$ માટે,

$$ \mathbf{P}(\overline{\mathbf{E}})=1-\mathbf{P}(\mathbf{E}) $$

ઘટના $\overline{\mathrm{E}}$, જે ‘$\mathrm{E}$ નહીં’ ને રજૂ કરે છે, તેને ઘટના $\mathrm{E}$ ની પૂરક ઘટના કહેવામાં આવે છે. આપણે એ પણ કહીએ છીએ કે $\mathrm{E}$ અને $\overline{\mathrm{E}}$ પૂરક ઘટનાઓ છે.

વધુ આગળ વધતા પહેલા, ચાલો નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ:

(i) એક પાસાની એક ફેંકમાં 8 નંબર મળવાની સંભાવના કેટલી છે?

(ii) એક પાસાની એક ફેંકમાં 7 કરતાં ઓછી સંખ્યા મળવાની સંભાવના કેટલી છે?

ચાલો (i) નો જવાબ આપીએ:

આપણે જાણીએ છીએ કે એક પાસાની એક ફેંકમાં માત્ર છ જ સંભવિત પરિણામો હોય છે. આ પરિણામો 1, 2, 3, 4, 5 અને 6 છે. કારણ કે પાસાના કોઈ પણ ચહેરા પર 8 અંકિત નથી, તેથી 8 માટે અનુકૂળ કોઈ પરિણામ નથી, એટલે કે, આવા પરિણામોની સંખ્યા શૂન્ય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક પાસાની એક ફેંકમાં 8 મળવું અશક્ય છે.

તેથી, $$ P(\text { getting } 8)=\dfrac{0}{6}=0 $$

એટલે કે, એવી ઘટનાની સંભાવના જે થવી અશક્ય છે તે 0 છે. આવી ઘટનાને અશક્ય ઘટના કહેવામાં આવે છે.

ચાલો (ii) નો જવાબ આપીએ:

કારણ કે પાસાના દરેક ચહેરા પર 7 કરતાં ઓછી સંખ્યા અંકિત છે, તે નિશ્ચિત છે કે જ્યારે તે એક વાર ફેંકવામાં આવે ત્યારે આપણને હંમેશા 7 કરતાં ઓછી સંખ્યા મળશે. તેથી, અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા તમામ સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા જેટલી જ છે, જે 6 છે.

તેથી, $$ P(E)=P(\text { getting a number less than } 7)=\dfrac{6}{6}=1 $$

તેથી, એવી ઘટનાની સંભાવના જે થવી નિશ્ચિત (અથવા ચોક્કસ) છે તે 1 છે. આવી ઘટનાને નિશ્ચિત ઘટના અથવા ચોક્કસ ઘટના કહેવામાં આવે છે.

નોંધ : સંભાવના $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ ની વ્યાખ્યામાંથી, આપણે જોઈએ છીએ કે અંશ (ઘટના $\mathrm{E}$ માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા) હંમેશા છેદ (તમામ સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા) કરતાં ઓછો અથવા બરાબર હોય છે. તેથી,

$$ 0 \leq \mathrm{P}(\mathrm{E}) \leq 1 $$

હવે, ચાલો પ્લેઇંગ કાર્ડ્સ સાથે સંબંધિત એક ઉદાહરણ લઈએ. શું તમે પ્લેઇંગ કાર્ડ્સનો ડેક જોયો છે? તેમાં 52 કાર્ડ્સ હોય છે જે 4 સુટ્સમાં વહેંચાયેલા હોય છે, દરેકમાં 13 કાર્ડ્સ: સ્પેડ્સ ($\spadesuit$), હાર્ટ્સ ($\heartsuit$), ડાયમન્ડ્સ ($(\diamondsuit)$) અને ક્લબ્સ ($(\clubsuit)$). ક્લબ્સ અને સ્પેડ્સ કાળા રંગના હોય છે, જ્યારે હાર્ટ્સ અને ડાયમન્ડ્સ લાલ રંગના હોય છે. દરેક સુટમાં કાર્ડ્સ એસ, કિંગ, ક્વીન, જેક, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 અને 2 છે. કિંગ્સ, ક્વીન્સ અને જેક્સને ફેસ કાર્ડ્સ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 4 : 52 કાર્ડ્સના સારી રીતે ફેરવેલા ડેકમાંથી એક કાર્ડ દોરવામાં આવે છે. ગણતરી કરો કે કાર્ડ

(i) એક એસ હશે,

(ii) એસ નહીં હશે તેની સંભાવના.

ઉકેલ : સારી રીતે ફેરવવાથી સમાન સંભાવના ધરાવતા પરિણામો સુનિશ્ચિત થાય છે.

(i) ડેકમાં 4 એસ હોય છે. $\mathrm{E}$ ને ઘટના ‘કાર્ડ એક એસ છે’ થવા દો.

$\mathrm{E}=4$ માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા

સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા $=52$ (શા માટે?)

તેથી, $\quad P(E)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$

(ii) $\mathrm{F}$ ને ઘટના ‘દોરેલું કાર્ડ એસ નથી’ થવા દો.

ઘટના $\mathrm{F}=52-4=48$ માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (શા માટે?)

સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા $=52$

તેથી, $$ P(F)=\dfrac{48}{52}=\dfrac{12}{13} $$

ટિપ્પણી : નોંધ કરો કે $\mathrm{F}$ એ $\overline{\mathrm{E}}$ સિવાય બીજું કંઈ નથી. તેથી, આપણે $\mathrm{P}(\mathrm{F})$ નીચે પ્રમાણે પણ ગણતરી કરી શકીએ: $P(F)=P(\bar{E})=1-P(E)=1-\dfrac{1}{13}=\dfrac{12}{13}$.

ઉદાહરણ 5 : બે ખેલાડીઓ, સંગીતા અને રેશમા, ટેનિસ મેચ રમે છે. તે જાણીતું છે કે સંગીતાની મેચ જીતવાની સંભાવના 0.62 છે. રેશમાની મેચ જીતવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ : S અને R દ્વારા ઘટનાઓ દર્શાવો કે સંગીતા મેચ જીતે છે અને રેશમા મેચ જીતે છે, અનુક્રમે.

સંગીતાની જીતની સંભાવના $=\mathrm{P}(\mathrm{S})=0.62$ (આપેલ)

રેશમાની જીતની સંભાવના $=\mathrm{P}(\mathrm{R})=1-\mathrm{P}(\mathrm{S})$

[કારણ કે ઘટનાઓ $\mathrm{R}$ અને $\mathrm{S}$ પૂરક છે]

$$ =1-0.62=0.38 $$

ઉદાહરણ 6 : સવિતા અને હમીદા મિત્રો છે. બંનેની (i) અલગ જન્મતિથિ હશે તેની સંભાવના કેટલી છે? (ii) સમાન જન્મતિથિ હશે? (લીપ વર્ષને અવગણીને).

ઉકેલ : બે મિત્રોમાંથી, એક છોકરી, કહો, સવિતાની જન્મતિથિ વર્ષના કોઈ પણ દિવસે હોઈ શકે છે. હવે, હમીદાની જન્મતિથિ પણ વર્ષના 365 દિવસોમાંથી કોઈ પણ દિવસે હોઈ શકે છે.

આપણે ધારીએ છીએ કે આ 365 પરિણામો સમાન સંભાવના ધરાવે છે.

(i) જો હમીદાની જન્મતિથિ સવિતાની જન્મતિથિ કરતાં અલગ હોય, તો તેની જન્મતિથિ માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $365-1=364$

તેથી, P (હમીદાની જન્મતિથિ સવિતાની જન્મતિથિ કરતાં અલગ છે) $=\dfrac{364}{365}$

(ii) $\mathrm{P}$ (સવિતા અને હમીદાની જન્મતિથિ સમાન છે)

$$ \begin{aligned} & =1-\mathrm{P} \text { (both have different birthdays) } \\ & =1-\dfrac{364}{365} \quad[\text { Using } \mathrm{P}(\overline{\mathrm{E}})=1-\mathrm{P}(\mathrm{E})] \\ & =\dfrac{1}{365} \end{aligned} $$

ઉદાહરણ 7 : એક